10.7.1 自己家中
期末考試也終於告一段落。慶功宴當天的傍晚，大家都聚在了一起。
「打擾了。」米爾嘉說道。
「沒事，歡迎歡迎。」我媽說道。
米爾嘉直勾勾地盯著我媽的臉。
「那個……有什麼事嗎？」
「您跟您兒子耳朵長得好像啊。」
「打……打打打打打擾了。」泰朵拉來了，樣子很是緊張。
「外套掛在這邊的衣架上哦。」我媽說道。
「我們這麼多人來打擾您，真是不好意思。」盈盈說道。
「很期待你給我們表演鋼琴哦！」我媽看起來很高興。
「嗨～」尤里來了。
「沒帶男朋友來嗎？」盈盈戲弄尤里。
「因為沒必要。」
「來來，大家到客廳集合！披薩到了喲！」
我媽出來管事兒了。—— 話說什麼時候決定吃披薩了？
「大家都拿到果汁了吧？來，乾杯！」連出來宣佈乾杯的都是老媽，「期末考試考得怎麼樣？」
「喂，老媽—— 老媽！」
跟女生們說話說得不亦樂乎。咋說呢……
10.7.2 Zeta·變奏曲
「那我開始嘍。」盈盈一下子坐在鋼琴前。
一個音符響起。
又一個。
隔了好一陣子之後，盈盈開始慢慢地敲擊鍵盤各處。
我以為她是試彈。
但我錯了。
只見盈盈的雙手在鍵盤上游移，速度越來越快。毫無秩序的音符間填上了其他的音符。一堆雜亂無章的音符中誕生了小小的圖案，然後無數的圖案開始交織，形成了更大的圖案。
然後，就從離散走向了連續！
回過神來，我已經被拋向了廣袤的大海。海浪，海浪，海浪，不停襲來的海浪。盈盈彈出的琴音翻湧著，捲起波浪，將我沖走。我在這激流的衝擊下，完全失去了方向感，就在這一瞬間 ——
我站在了寂靜的海岸邊，仰望著夜空。夜空中無數的星辰就像與一個個微小的漩渦相互輝映般，閃耀著星光。對，似乎有規律，又好似沒有……
「數星星的人和畫星座的人。這兩種人，哥哥你屬於哪種？」
回過神來，盈盈的演奏不知何時已經結束了。
沉默。
三秒後，我拚命鼓掌，力氣大得手都要痛了。
沒想到我家的鋼琴也能發出這麼美妙的聲音！
「真棒……太棒了！這是什麼曲子？」泰朵拉問道。
「米爾嘉親作曲，Zeta·變奏曲。」盈盈答道。
「Zeta 變奏曲……嗎？」泰朵拉問道。
「對。」米爾嘉答道，「仿照在數學中普遍擴大的 Zeta，Zeta 變奏曲。不僅黎曼的 Zeta 函數是 Zeta，其實有許許多多的 Zeta 交織存在著。」
「這麼說來，在講谷山 - 志村定理的時候，學姐也提到過，是 Zeta 連接著兩個世界吧。」泰朵拉說道。
「對。我簡單說一下吧。用一個質數定義一個函數 
，這個質數對於橢圓曲線 E 形成好的歸約。」
將積寫成下面這樣的形式冪級數。
用這個數列 a(k)，創造下面這樣的 q 展開的形式。
這樣一來，F (q) 就變成了權為 2 的自守形式。 則是連接橢圓曲線這個代數對象的 Zeta。
是連接自守形式這個解析對象的 Zeta。所有的橢圓曲線都存在與其對應的，通過 Zeta 連接的自守形式。這就是谷山 - 志村定理。
代數 Zeta ＝ 解析 Zeta
此外，我們看看歐拉乘積和黎曼的 Zeta 函數。在這邊，「圍繞質數的乘積」與「圍繞自然數的和」相等。看，很像吧。
歐拉乘積 ＝ 黎曼的 Zeta 函數
「說像還真是像……不過兩邊都叫『Zeta』，還真是『不拘小節地同等看待』呢。」泰朵拉說道。
「哎，尤里。」我媽悄悄向尤里搭話，「這麼難的東西你能聽明白嗎？」
「不，聽不明白。」
「數學這東西，有什麼用啊……」我媽歎了口氣。
「雖然不知道有什麼用，不過我喜歡數學！」尤里回答道。
◎ ◎ ◎
「最後一塊我就收下了啊。」我伸手準備拿披薩。
「啊！」尤里叫道。
「嗯？你想吃？那給你吧。」
「好開心喵！」
「說起來，米爾嘉講的基本勾股數的解法好有趣啊。」
「米爾嘉大人的解法？哥哥，那是什麼樣的問題？」
我向尤里簡要說明了我跟米爾嘉是如何解開了「是否存在無數個基本勾股數」的問題。
10.7.3 生產的孤獨
「能把燈光調暗點嗎？」盈盈說著，開始用爵士風格演繹巴赫的曲子。她似乎想一直擔任配背景音樂的工作。房間裡瀰漫著輕鬆的氣氛。
「為什麼懷爾斯會……」泰朵拉突然開口，「會覺得憑一人之力就能證明呢？一個人把自己關在書房里長達七年，肯定非常孤獨吧。大家一起幫忙的話豈不是很快就能證明出來了嗎？」
「他想一個人實現自己的夢想吧。」米爾嘉回答道，「但是就連懷爾斯也不是全部自己完成的。數學是一門積累的學問。不管怎樣的天才，都不是由零開始創造所有的數學知識的。他們也要站在其他人無數的證明結果的基礎之上。」
「孤獨嗎……」我喃喃道，「尤里經常說『喜歡一起思考』。但是，即使通過相互討論創造了『一起思考』的環境，靈感也是從每個人腦海裡產生的吧。」
咦？尤里去哪兒了……環視四周，發現她在房間角落裡正寫著什麼。
「跟生孩子一樣呢。」我媽端來了茶，「有深愛的丈夫在，也有醫生在，但是要『生產』的只有將要當媽的人。誰都沒法代替母親生產。對孩子來說，只有一個母親。」
「孤獨的人會寫信。」米爾嘉說道，「孤獨的數學家則寫論文。為了傳遞給未來的某個人，寫一封以論文為名的信。」
「如果寫了，就不孤獨了。」泰朵拉突然低聲說，「即使不能馬上被人收到，能以語言表達出來也很重要呢……」
「確實，如果山繆沒有出版那本書，費馬大定理也不會傳遞到我們這裡。」
「歷史，是奇跡堆積而成的。」泰朵拉說道。
10.7.4 尤里的靈感
「哥哥，哥哥！」尤里一直沒說話，這時突然叫了起來，「我列出了一串平方數哦。」
「你到底在說什麼？」
尤里清了清嗓子，開始講道：
「剛才那個『是否存在無數個基本勾股數』的問題。我列出了一串平方數，把每個數跟它旁邊的數字相減。」
「這樣一來，減法運算的結果就都是奇數了呢。」
「這叫作『差分數列』。」我說道。
「尤里你真聰明。」米爾嘉說道。
米爾嘉在誇她什麼啊？
「喵哈！米爾嘉大人已經看穿了嗎？因為減法這裡……叫作差分數列是嗎？……會出現所有的奇數，所以也就會出現奇數的平方數對吧。打個比方，剛才我寫的數列裡出現了 9 這個奇數的平方數，因為 32 = 9，所以 9 是奇數的平方數。也就是說，如果平方數加上奇數的平方數，就會得到下一個平方數。這不就產生了無數個基本勾股數嗎？」
「我啊，在這裡發現了基本勾股數 (3, 4, 5)。不過這不是人家偶然發 現的哦！差分數列的部分會出現所有奇數的平方數。也就是說，會找到無數組 (a, b, c) 這樣的數字。之後我就不知道該說什麼了……」
這樣啊，尤里是根據無數個「奇數的平方數」來構成無數個基本勾股數的啊。
「不夠公式化。」米爾嘉說道，「這沒表現出互質。不過尤里已經把重要的思路講出來了。」
「米爾嘉大人……能麻煩您繼續嗎？」尤里問道。
「你把接力棒交給哥哥吧。」米爾嘉說道。
「好好。」我連忙應道，開始向大家說明。
◎ ◎ ◎
之後，要證明存在無數個基本勾股數。
首先，準備一個平方數的數列。
計算 
可求出差分數列。
也就是這麼回事。
剛才我們得到的 4k + 1 這個式子，只要隨便用一個數字代替 k，就能形成奇數的平方數。我們要這麼具體地去想： 
即 b = 2j - 1。
也就是說，如果 k = j(j - 1)，那麼 4k + 1 就是平方數。如果 j = 2，那麼 k 就等於 2，此時 4k + 1 = 9 = 32。也就是說，j = 2 時可以得到 (a, b, c) = (3, 4, 5) 這組勾股數。
當 j = 3 時，k = 6，(a, b, c) = (12，5，13)。
當 j = 4 時，k = 12，(a, b, c) = (24，7，25)。
將 j 逐漸增大，就能創造出無數組勾股數。
接下來只要證明我們創造的勾股數是基本勾股數就行了。為此，需要證明 (a, b, c) 三個數兩兩互質。
因為 c = a + 1，所以 c ⊥ a……是吧。因為 c 和 a 這兩個數字具有共同的質因數 p，所以 c - a 應該是 p 的倍數。又因為 c - a 等於 1，所以 c 和 a 互質。
然後要證明 b ⊥ c。假設 b 和 c 的最大公約數為 g，令 b = gB，c = gC。
根據最後得出的式子 a2 = g2(C2 - B2)，可知 a2 是 g2 的倍數。也就是說，a 是 g 的倍數。另外，因為 c ＝ g_C，所以 c 也是 _g 的倍數，即 g 是 a 和 c 的公約數。另一方面，因為 c ⊥ a，所以 a 和 c 的公約數 g 等於 1。
因為 b 和 c 的最大公約數 g 等於 1，所以可以得出結論：b ⊥ c。同理也可得出 a ⊥ b。
綜上所述，可以創造無數個基本勾股數。
◎ ◎ ◎
「學長！這是個邊長的差等於 1 的直角三角形啊！我之前一直在想，是不是能從這裡著手……」
「確實。」可能只是我的研究方向跑偏了……
「我最喜歡聰明的孩子了。」米爾嘉說道，「尤里，過來一下。」
「什麼？」尤里問道。
「慢著。」我攔住了尤里。
10.7.5 並非偶然
欣賞盈盈的琴聲，大聊特聊，聽著尤里的證明……即便沒有酒，我也醉在這氛圍之中了。於是我一個人去走廊「醒酒」。
呼……我倚在牆壁上，任由自己滑下來跌坐在地上。真是被尤里打敗了啊。
之前我擺出一副老師的樣子，教給她「基本勾股數的一般形式」和「用 t 參數化的方法」，可這次尤里靠自己思考，找出了屬於自己的證明方法。而且泰朵拉還暗示過那條路。我是不是拖了泰朵拉的後腿？米爾嘉好像也說過我「不配當老師」來著。完了，感覺好失落……
泰朵拉從房間走了出來。
「學長，你怎麼了？心情不好？」
她蹲在我面前，臉上寫滿了擔心。從她身上飄來甜甜的香氣。
「沒什麼，我自己在給自己開反省大會。」
泰朵拉一臉不解：「對了學長，那個『M 的謎』你解開了嗎？」
首字母 M 的謎。泰朵拉的掛飾。
「我認輸了。只是少了愛……是吧。」
「是少了 i 的幅角。」泰朵拉看似很開心地說道，「那個掛飾不是 M，我是想把 M 逆時針旋轉 90° 變成 
。因為我超級喜歡數學，所以想要個 。不過因為沒有，所以就用 M 代替了。」
「的確， 的掛飾哪兒都沒有賣的呢。」
「希臘的話沒準有賣呢。」
「那，不是某個人的名字的首字母啊……」imaginary boyfriend ？
「某個人……比如米爾嘉的 M ？」
「啊，不是……這麼說來之前在圖書室捉迷藏的時候，我還什麼都沒能說呢……」
我話剛說到一半，泰朵拉臉上突然染上了紅暈，伸開雙臂上下揮來揮去。是「停」的手勢。我立馬閉上了嘴。
「學長，你經常說相遇是個偶然對吧。不過……我能遇見學長不是偶然，是奇跡哦！」
泰朵拉滿臉通紅地留下這句話，就飛也似地跑回客廳了。
10.7.6 平安夜
「最後大家一起來唱首歌吧！」我媽宣佈。
歌名是 —— 《平安夜》
今年馬上就要落下帷幕了。雖然發生了很多事情，但比起整個數學史來說，我這一年微不足道。但對我來說，對我們來說，這是無法代替的一年。
曲終，鼓掌！大家臉頰都泛起了紅潮。
「那，接下來……大家一起開始收拾！」我媽又宣佈道，「公主們有我家騎士護送回家，不必擔心！」我媽拍了拍我的肩膀。
「老媽……為啥這麼獨斷專行？」
「跟你一模一樣。」米爾嘉說道。