10.6.1 兩個世界
該說到谷山 - 志村定理了。我們今天跑過了兩個世界。在「橢圓曲線的世界」裡，我們由橢圓曲線 y2 = x3 - x 創造了數列 s(p)。在「自守形式的世界」裡，我們由自守形式 Φ(z) 創造了 F(q)，然後創造了數列 a(k)。谷山 - 志村定理認為這兩個世界是對應的。
將兩個數列 s(p) 和 s(p) 分別總結成表格的形式，如下所示。
關注質數，將兩個表格合成一個表格，兩個世界就會相連。
問題10-2 （在橢圓曲線和自守形式之間架起橋樑）
找出數列 s(p) 和數列 a(p) 之間的關係。
「誒？我好像明白了。」尤里說道。
「米爾嘉，我也明白了。」泰朵拉說道。
當然，我也馬上就明白了。s(p) 是來源於橢圓函數的數列。a(p) 是來源於自守形式的數列。然而……為什麼它們之間的關係會這麼簡單？
我也為這個事實震驚了 —— 橢圓曲線和自守形式竟然能拿來玩。居然能靠自己動手來嘗試有限域和 q 展開的計算……不過是米爾嘉提出來讓我算，我才算出來的……
「幹什麼呢？」米爾嘉問道，「尤里，快點回答。」
「啊，是。數列 s(p) 和數列 a(p) 之間有 s(p) + a(p) = p 的關係。不過……太不可思議了！」
解答10-2 （在橢圓曲線和自守形式之間架起橋樑）
數列 s(p) 和數列 a(p) 之間有著如下關係。
s(p) + a(p) = p
橢圓曲線和自守形式（旅行地圖）
「橢圓曲線和自守形式的來源完全不同。」米爾嘉說道，「然而，它們在深處卻有著聯繫。我們通過一個例子觸碰到了這個聯繫，在橢圓曲線和自守形式之間架起了一座橋樑。關於所有的橢圓曲線都存在這樣的對應關係。這就是谷山 - 志村定理。它在橢圓曲線和自守形式兩個世界間架起了橋樑。這座連接兩個世界的橋樑，是用 Zeta 構成的。」
「Zeta ？」我回應道。
「那個改天再講。現在我想講一下弗賴曲線。」
10.6.2 弗賴曲線
假設「費馬大定理不成立」，就能構成某條橢圓曲線。弗賴注意到了這一點。這條橢圓曲線叫作弗賴曲線。
假設費馬大定理不成立，則存在三個兩兩互質的自然數 a, b, c 以及大於等於 3 的質數 p，它們滿足以下等式。
弗賴曲線就是用這兩個自然數 a, b 構成的。
（弗賴曲線）
10.6.3 半穩定
「接下來，我們來確認弗賴曲線是半穩定的。下面我們把用于歸約的質數表示為 
。這是為了不跟弗賴曲線 中出現的 p 搞混。然後，橢圓曲線『半穩定』指的是用質數 歸約橢圓曲線時會出現『好的歸約』或者『乘法歸約』。換言之，在有限域 
中 考慮橢圓曲線方程式 
時會出現兩種情況：要麼 
沒有重根（好的歸約），要麼有重根，但只有二重根（乘法歸約）。也就是沒有三重根。」
米爾嘉在這裡停頓了大約三秒鐘。
「用質數 歸約弗賴曲線的時候沒有三重根。因為如果用質數 歸約時出現三重根，那就意味著有三個解 
。這三個解以質數 為模同余。以質數 為模就意味著 0 是 的倍數。也就是說，?
這兩個數都必須是 的倍數。但因為 a ⊥ b，所以 a 和 b 沒有共同的質因數。也就是說， 這兩個數不能都是 的倍數。因此，弗賴曲線即使有重根，最多也只是二重根。弗賴曲線是半穩定的。」
「懷爾斯證明了『每一條半穩定的橢圓曲線都可以對應一個模形式』這一定理。橢圓曲線對應模形式指的是這條橢圓曲線與自守形式中的一種形式 —— 模形式相對應。可以說『懷爾斯定理』是連接半穩定的橢圓曲線和自守形式的橋樑。利用這個定理，就能將半穩定的弗賴曲線和自守形式相對應。自守形式中可以定義一個叫作 level 的數，根據賽爾和黎貝的研究，弗賴曲線與『權為 2，level 為 2 的自守形式』相對應。然而，依據自守形式的理論，已經證明了『不存在權為 2，level 為 2 的自守形式』。這就產生了矛盾。
總結一下就是這樣：假設費馬大定理不成立，就可以造出弗賴曲線。這講的是『橢圓曲線的世界』。緊握弗賴曲線這張入場券，走過懷爾斯定理這座橋，前往『自守形式的世界』。在那裡應該存在著與弗賴曲線相對應的自守形式。然而，在那邊迎接我們的只有『不存在那樣的自守形式』這個事實。這也就意味著，最初的假設 —— 『費馬大定理不成立』是錯的。」
泰朵拉唰地舉起手。
「我提個可能很奇怪的問題……為什麼『不存在權為 2，level 為 2 的自守形式』呢？」泰朵拉問道。
「你問的非常對。」米爾嘉答道，「不過……還不能馬上給你解釋。接下來要是纏起阿里阿德涅之線 2，就能以橢圓曲線和自守形式為開端，深入探索數學的森林。什麼時候我們一起去吧。」
2英雄忒修斯在克里特公主阿里阿德涅的幫助下，用一個線團破解了迷宮，殺死了怪物彌諾陶洛斯。這個線團稱為阿里阿德涅之線，是忒修斯在迷宮中的生命之線。——譯者注
米爾嘉面對我們展開雙臂。
簡直就像天使的羽翼一般。
◎ ◎ ◎
「不好意思，我們該關門了。」咖啡店的服務生來到我們桌前。回過神來，店裡只剩下我們四個人。桌子上四處散落著筆記用紙。
「差不多該回去了吧。」我說道。
「米爾嘉，非常感謝！」泰朵拉行了一禮。
「好有趣啊。米爾嘉大人。」尤里說道。
「真的太神奇了。」我也表示贊同。
「喔……是嗎？」米爾嘉一下子看向了別處。
「下次再見米爾嘉大人，該是慶功宴了吧……好期待喵！」
「下個週六。」我說道。
「在期末考試的慶功宴以前，別忘了還有期末考試這回事喲！」
泰朵拉舉起雙手說道。