10.5.1 保護形式
吃完巧克力慕斯以後，泰朵拉開始講自守形式。
「下面這個函數 Φ(z) 有著非常有意思的性質。
在此，參數 z 暗示了複數……尤里，怎麼了？」
「米爾嘉大人……這個數學公式，我一點都看不懂。」
「讓哥哥來幫你簡單解釋一下吧。」米爾嘉看向我。
「這個……」突然把問題扔給我嗎，「我說尤里，看見這麼複雜的數學公式，可不能想著『我一點都不明白』啊。」
「我沒覺得『一點都不明白』啊，哥哥。嗯……這個像牌坊一樣的符號是什麼啊。」
「不是牌坊，是 
（π 的大寫），這是表示乘法的符號。下面寫著 k = 1，上面寫著 ∞。意思是把變量 k 替換成 1, 2, 3, ... ，再乘以 右邊寫著的所有因子。明白嗎？」
「不明白。給人家具體講講嘛！」尤里嘟起嘴。
「我們來試試不用 把米爾嘉寫的 Φ(z) 表示出來。它會變成無限乘積的形式。」
「 的意思我倒是明白了……不過太複雜了喵！」尤里說道。
「所以都說了！為了簡寫才用 來表示的！」我說道。
「Φ(z) 是自守形式的一種，尤其是模形式的夥伴。」米爾嘉說道，「a, b, c, d 是整數，滿足 ad - bc = 1，且 c 是 32 的倍數，再基於 z = u + ν_i，ν_ > 0 這個條件……可知以下等式成立。」
「自守……形式？」尤里重複道。
「保護形式。由 
這個式子，可知『經由 Φ 來看，z 和 
形式相同』。即使發生了 
這種變換，也保持了原有的形式，所以叫作自守形式。話雖這麼說，也有 (cz + d)2 這種程度的偏差。(cz + d)2 的指數 2 稱為權。Φ(z) 是『權為 2 的自守形式』。到這裡聽明白了嗎？」
「完全……沒辦法想像。」泰朵拉抱著頭。
「喔……那我舉個簡單的例子吧。因為『a, b, c, d 是整數，滿足 ad - bc = 1，且 c 是 32 的倍數』，所以我們打個比方，假設 
，這樣一來……
也就是說，z + 1 和 z 經由 Φ 可以同等看待。換言之，實軸方向構成了週期為 1 的函數。」
「雖然不太明白……但能夠感覺出確實是這樣。」泰朵拉答道。
「再複雜一點的話，人家腦袋就要爆炸了喵。」尤里說道。
「好吧，接下來我把 Φ(z) 變簡單點。」
米爾嘉微笑著把手放在尤里的頭上。
10.5.2 q 展開
「好好看看函數 Φ(z) 的定義方程式。」米爾嘉繼續往下講。
「在這裡你們應該注意到了吧，這個式子裡鑲嵌了無數個 e2πiz。因此，我們像下面這樣定義一個字母 q。
q = e2πiz (q 的定義)
此時，可以用 q 表示 Φ(z)。這就交給泰朵拉來吧。」
「誒？讓我來嗎？」泰朵拉先是表示吃驚，然後想了一會兒說道，「對了，指數運算法則……是這樣嗎？」
「式子變形不難。用的只有指數運算法則而已。」
「好的。」米爾嘉說道，「像這樣，用 q = e2πiz 來表示這個式子，就叫作 q 展開。從現在開始，我們只關注 q。」
10.5.3 從 F(q) 到數列 a(k)
「為了忘記 Φ(z)，只關注 q，我們給它換個名字，叫作 F(q)。」
「F(q) 全體都 是『積的形式』。現在我想把 F(q) 變成『和的形式』。尤里，把積的形式轉化成和的形式叫什麼來著？」
「我不知……啊，難不成叫作展開？」
「對。我們找個人來把 F(q) 展開。數學公式狂熱分子 —— 哥哥就很合適嘛。」
「等等，F(q) 可是無限積啊……」我說道。
「只要從 q1 到 q29 的係數都正確就行了。超過 30 次方的項就無視掉，函數的收斂我們也無視掉。作為形式冪級數來計算。」
◎ ◎ ◎
在三個女生目不轉睛的注視下，我開始展開數學公式。真讓人緊張啊……一瞬間我想找些簡便算法，但還是決定就這麼硬算下去。因為算到 q29 就夠了，超過 30 次方的項在計算途中無視掉就好了。那麼就把超過 30 次方的項省略，寫作 Q30 吧。
當 k = 1 時，將因子移到 的前面。
展開 2 次方的部分。
將 q 乘到括號內。
將最前面的兩個因式相乘。
呼……我做了個深呼吸，繼續往下計算。
因為 
只會產生超過 30 次方的項，所以 k = 8 之後就不用展開了。
◎ ◎ ◎
「做完了。這樣就行了吧？」我問道。
「好的。」米爾嘉點點頭，「我們將 qk 的係數稱為 a(k)，將 F(q) 看作數列 a(k) 的生成函數。把係數明確寫出來……
把這個總結成表格。
可以從數列 a(k) 還原 F(q)。也就是說，數列 a(k) 像含有遺傳因子般含有關於 F(q) 的信息。接下來終於該說到將橢圓函數和自守形式世界連接起來的『谷山 - 志村定理』了。」