10.4.1 什麼是橢圓曲線
我們從食堂轉移到了二樓的咖啡店，找了張能坐下四個人的大桌子，大家一起喝著咖啡（只有尤里喝著可可），繼續剛才的話題。
「尤里，你還想回去嗎？」米爾嘉問道。
「我在聽，不管聽得懂，還是聽不懂。」
「好，那麼我先從定義開始講起。橢圓曲線指的是……」
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橢圓曲線指的是當 a, b, c 為有理數時，可用以下方程式表示的曲線。
y2 = x3 + ax2 + bx + c
但存在以下附加條件。
三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0 沒有重根。
這是橢圓曲線的定義，嚴格來說是『有理數域 
上的』橢圓曲線的定義。也就是說，我們將 x, y 考慮成有理數域 的元素。
打個比方，以下式子是橢圓曲線的方程式。
y2 = x3 - x 橢圓曲線的方程式的例子
在這裡我們把方程式 y2 = x3 + ax2 + bx + c 中的 (a, b, c) 替換成了 (0, -1, 0)。右邊的 x3 - x 可以分解成如下形式。
x3 - x = (x - 0)(x - 1)(x + 1)
因為三次方程 x3 - x = 0 的解有三個，分別是 x = 0, 1, -1，且沒有重根，所以滿足橢圓曲線的條件。我們來畫個圖。
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「左邊圓圓的那個，是橢圓嗎？」泰朵拉問道。
「不是。」米爾嘉答道，「『橢圓曲線』含有『橢圓』這個詞，是有歷史淵源的。橢圓曲線的形狀和橢圓沒有關係。」
10.4.2 從有理數域到有限域
接下來，我們從代數角度研究橢圓曲線 y2 = x3 - x。
我來簡單說明一下數學都有哪些領域。
代數關注的是方程式和方程式的解，以及群、環、域等。
幾何關注的是點、線、平面、立體、相交、相切等。
分析關注的是極限、微分、導函數、積分等。
當然，這些是相互關聯的。例如，方程式裡的「重根」雖然是代數概念，但卻跟曲線『相切』的幾何概念，「導函數」值為 0 的分析概念相關。
幸好我們只是體驗一下谷山 - 志村定理的氣氛，用不著大型武器。需要的只有餘項、毅力、想像力。
我們剛剛為了把握橢圓曲線 y2 = x3 - x 的樣子，將三次方程 x3 - x 進行了因式分解，解了三次方程式 x3 - x = 0，並得到了 (0, 0), (1, 0), (-1, 0) 這三個有理點。
存在一個有理數域 ，也就是存在有限個有理數域。但有理數域的元素數量是無限的。也就是說，有理數是無限的。
在這裡，我們逆轉一下思維，即想出無限個具有有限個元素的域。我們知道這樣的域，它就是有限域。有限域 
有 p 個元素，也就是有限個元素。但質數 p 卻有無數個，所以存在無數個 。
接下來，我們要從「有理數域 的世界」空間傳送到「有限域 的世界」了哦。
我們從有限域 中找一個滿足橢圓曲線方程式的點 (x, y)。
換言之，就等於把橢圓曲線方程式看作以下這個同余式。
關於有限域，我們簡單複習一下。有限域
為了保證 0 以外的元素可以進行除法運算，p 為質數。如下所示，有限域
雖然域的數量是無限的，但不要忘記每個域的元素數量是有限的。
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「為什麼『有限個』這麼重要呢？」泰朵拉問道。
「因為能逐個擊破。」米爾嘉馬上回答，「有限域 只含有 p 個元素，所以我們可以把這 p 個元素代入 x 和 y 中來進行調查。只要質數 p 不大，我們就可以動手計算，一點一點地去找尋滿足橢圓方程式的點 (x, y)。」
「這需要毅力喵！」尤里叫道。
「對。」米爾嘉點頭，「有限域 是微型的有理數域 。最適合拿來玩了。那麼，我們來逐個擊破吧。」
10.4.3 有限域 F2
最簡單的有限域 
，其運算表如下。因為是域，所以有加法和乘法。我們在進行一般計算後，求除以 2 的餘數（余項）。
(x, y) 可能出現以下 4 種組合。
(x, y)=(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)
我們把這 4 種情況都代入到方程式 y2 + x = x3 中，看等號是否成立。但在加減乘除的運算中則使用上述運算表。減法的話我們只要加上加法中的逆元就行了，不過太麻煩了，所以我們就將 x 移項，用以下形式來驗證。
y2 + x = x3 （將 x 移項到等式左邊，消去減法）
例如，當 (x,y) = (0,0) 時，將其代入 y2 + x = x3，則得到 02 + 0 = 03。用運算表計算的話，左邊等於 0，右邊也等於 0。因為左邊和右邊相等，所以 
上的點 (0,0) 滿足方程 y2 = x3 - x。同理，我們來試著驗證其他幾組 (x,y)。
這樣一來，我們可知方程式 y2 = x3 - x 在 上的解為以下兩個。
(x, y) = (0, 0), (1, 0)
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「米爾嘉大人！在空間傳送後，沒有重根的條件……」
「尤里，你真聰明。」米爾嘉回應道。
「原來如此！」我突然明白了。尤里真厲害啊。
「你們發現了什麼啊？」泰朵拉一臉困惑。
「尤里。」米爾嘉催促尤里開口。
「嗯。在傳送之前，橢圓曲線有 x3 + ax2 + bx + c = 0 不存在重根這個條件。但是我覺得……在傳送之後，不用在有限域的世界把這個條件再研究一遍喵？」
「尤里說得對。」米爾嘉說道，「在有限域中考慮橢圓曲線的時候，應該重新審查一次條件。因為掉落到微型世界的時候，橢圓曲線可能已經不包含這個條件了。」
尤里絕不放過任何一個條件。真是這樣啊。
「事實上 是什麼情況？」我問道。
「在 上，y2 = x3 - x 不構成橢圓曲線。因為 x3 - x 可以像下面這樣進行因式分解。平方因子 (x - 1)2 有重根。」
x3 - x = (x - 0)(x - 1)2 在 上的因式分解
「這個因式分解是對的嗎？」泰朵拉問道。
「是對的。想想有理數域上的因式分解——
x3 - x = (x - 0)(x - 1)(x + 1) 在 上的因式分解
在 上，1 是自身加法中的逆元，所以『加 1』就等於『減 1』。也就是說，x + 1 可以換成 x - 1。」
「我明白了，重要的是在哪個域上進行運算吧。」泰朵拉似乎也理解了。
10.4.4 有限域 
「這次我們舉有限域 
的例子。運算表如下。
(x, y) 一共有 9 種情況。我們把這 9 種情況都代入到方程式 y2 + x = x3 中，看等號是否成立。」
「這樣一來，我們可知方程式 y2 = x3 - x 在 上的解為以下 3 個。」
(x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 0)
「米爾嘉大人，在 上還構成橢圓曲線嗎？」
「是。在方程式 y2 = x3 - x 的情況下，只有在 的情況下掉落到有限域的時候才不構成橢圓曲線。說明我就省了。」
「掉落到有限域……是嗎？」泰朵拉很在意用詞，追問道。
「正確來說叫歸約。將有理數域上的橢圓曲線移到有限域，稱為歸約。如果於質數 p 歸約橢圓曲線都不會產生重根，那麼這種情況就叫作『於 p 有好的歸約』，如果產生了重根，就叫 作『於 p 有壞的歸約』。橢圓曲線 y2 = x3 - x 於 2 有壞的歸約。因為它在 上有重根。」
「『歸約』嗎……感覺像化學術語 1 呢。」泰朵拉說道。
1「歸約」的日語為「還元」，日語化學中也使用這個詞，意思是還原。—— 譯者注
「壞的歸約也分好幾種。於 p 歸約的時候，如果重根停留在二重根的範圍內，就把這條橢圓曲線稱為『於 p 有乘法歸約』，如果有三重根，則稱為『於 p 有加法歸約』。」
「好複雜喵。」
「然後，不管於什麼質數歸約，只存在『好的歸約』和『壞的歸約』這兩種情況時，我們就將這條橢圓曲線稱為半穩定的橢圓曲線。」
「誒？！」我提高了嗓門，「這就是懷爾斯證明了的那個……」
「對。這就是懷爾斯定理『每一條半穩定的橢圓曲線都可以對應一個模形式』中出現的『半穩定』的定義。半穩定的橢圓曲線指的就是不管於任何質數歸約，重根數量都只停留在二重根的橢圓曲線。」
10.4.5 有限域 
有限域 
的運算表如下。
這次我們來一個個確認 (x, y) 的 25 種情況。
這樣一來，我們就可以知道方程式 y2 = x3 - x 在 上的解為以下 7 個。
(x, y)=(0, 0), (1, 0), (4, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 4)
10.4.6 點的個數
「差不多該想要自己來計算了吧。我們把方程式 y2 = x3 - x 在有限域 中解的個數用 s(p) 來表示。
s(p) =（方程式 y2 = x3 - x 在有限域 中解的個數）
我們已經研究完了 s(2), s(3), s(5)。我想請人來填下面這個表格。
我們來分工合作吧。尤里負責 
和 
，泰朵拉負責 
和 
，然後你負責 
和 
。」米爾嘉對我說道。
「米爾嘉大人呢？」尤里問道。
「我睡個午覺。你們填好了叫我。」米爾嘉說著閉上了眼。
我們三個人默默地算起了有限域。求在有限域 
中有幾個滿足橢圓曲線 y2 = x3 - x 的點。
p 越大越費工夫，不過計算本身並沒有那麼困難。我在計算的間隙中偷瞄了一眼米爾嘉。
米爾嘉閉著眼睛，輕輕靠在椅背上。仔細一看，她已經安靜地睡著了。這位黑髮才女，還真的睡著了啊……
泰朵拉在旁邊戳了戳我。
「學長，你怎麼停下來了。」
在求完點的個數以後，我們互相檢查了各自負責的部分。我有一個計算錯誤，泰朵拉有三個，尤里則是零個。
「尤里真厲害啊……」泰朵拉感歎道。
「喵哈哈～」
「那，我們該叫醒女王大人了吧。」
10.4.7 稜柱
「數列 s(p) 的表填好了。」米爾嘉醒來後馬上接著往下講。
「我們略微涉足了橢圓曲線的世界。以 y2 = x3 - x 這條橢圓曲線為例，數了數這條橢圓曲線在有限體 中解的個數。」
「s(p) 有什麼含義嗎？」泰朵拉舉起手。
「我感覺有點像質數喵。」
「這個數列 s(p) 體現了橢圓曲線 y2 = x3 - x 的一個側面。使用無數的有限域，就可以從各種各樣的角度來看橢圓曲線。」
「好像稜鏡啊！」泰朵拉說道，「陽光透過稜鏡會被分解成無數種顏色的光，把所有的光重合在一起又會還原成本來的陽光。感覺跟這個很像不是嗎？有理數域 是陽光，有限域 表示每個質數 p 的顏色……」
「這比喻相當不錯。」米爾嘉說道，「關於『橢圓曲線的世界』我們就先談到這裡，吃完巧克力慕斯後，接下來我們就該前往『自守形式的世界』了。」
「巧克力慕斯？」
「現在尤里正過去買呢。」尤里從米爾嘉那接了錢，搖晃著馬尾辮跑到了甜點區。