10.3.1 搭乘時間機器
米爾嘉閉上眼睛，做了一次深呼吸，然後睜開眼。
「讓我們乘上時間機器吧，穿越時空回到 Anno Domini 1986 —— 公元 1986 年。在太陽系第三行星居住的人類，還沒證明出費馬大定理。尤里你就是懷爾斯，思考接下來應該證明什麼。好了，1986 年的景色是這樣的……」
1986 年的景色
谷山 - 志村猜想
【未證明】每一條橢圓曲線都可以對應一個模形式。
FLT(3)，FLT(4)，FLT(5)，FLT(7)
【已證明】當 k = 3, 4, 5, 7 時，
不存在 x, y, z，滿足方程
。
弗賴曲線
【已證明】如果存在 p, x, y, z 滿足方程
（x, y, z 是自然數。P ≥ 3，p 為質數），那麼也存在弗賴曲線。
弗賴曲線和橢圓函數的關係
【已證明】弗賴曲線是橢圓曲線的一種。
弗賴曲線和模形式的關係
【已證明】弗賴曲線不是模形式。
「這就是『1986 年的景色』。」米爾嘉說道，「標著【已證明】的，是不用自己證明就可以直接拿來用的命題。這裡該尤里你出馬了。」
米爾嘉看著尤里，尤里噌地一下挺直了後背。
「哪怕有不明白的用詞，尤里你也能解開下面這個問題。」
問題10-1 （搭乘時間機器）
從「1986 年的景色」出發去思考，接下來只要證明何種命題，就能證明費馬大定理了呢？
10.3.2 從「1986 年的景色」發現問題
尤里用一副要哭鼻子的樣子看著我，像是在求助。不過很快她就變為一臉認真的表情，把目光投向米爾嘉的問題。一邊念叨著「因為反證法……」一邊開始思考。
我自己馬上就解開了剛才的問題。因為米爾嘉將其稱為「1986 年的景色」，就相當於給了一個近乎答案的，清晰明瞭的提示。
但儘管如此，我還是有些吃驚。
我喜歡數學公式。數學公式具體且具有相容性。解讀數學公式來理解其結構，將數學公式變形來引出思路。有數學公式就能領會，沒有就會感到不滿足。
然而，「費馬大定理」的證明實在是太難了。我完全無法理解公開研討會上老師給我們展示的數學公式。好不甘心。
我能很順利地追上米爾嘉 在「1986 年的景色」中表明的邏輯，卻跟不上數學公式。但就算這樣，我也因為能追上邏輯的流向而感到喜悅。就好像即使不能探查星星，卻能欣賞夜空中的星座一樣吧。
在學校老師會命令我們「證明這個」「證明那個」，而不會告訴我們「去思考一下應該證明什麼」。解開老師給的問題固然很重要，然而發現應該去解開的問題不也是很重要的嗎？在交錯複雜的命題森林中，找出該走的那條小路……
「我明白了。」尤里的聲音中透著緊張，「只要證明谷山 - 志村猜想，也就是——
『每一條橢圓曲線都可以對應一個模形式』
這個命題，就證明了費馬大定理。」
「理由是？」米爾嘉不給喘息機會地問道。
「用……反證法。」尤里謹慎地開始說明，「反證法的假設是要證明的命題的反面……不，是要證明的命題的否定。」
假設：「費馬大定理不成立。」
這樣一來，就存在 n, x, y, z 滿足方程 
。這樣一來 …… 咦？ p 是質數啊 …… 啊，對對。因為 FLT(4) 已經得到了證明，所以可以認為 n ≠ 4，n 也不等於 8, 16, 32, 64, ... 。也就是說，n 可以寫成 n = mp，即『自然數 m』和『n 的質因數 p，p ≥ 3』的乘積的形式。如果存在 n, x, y, z 滿足方程 ，那麼根據指數運算法則，m, p 滿足以下等式。
然後……將這個 xm, ym, zm 重新命名為 x, y, z 的話，就存在滿足 xp + yp = zp 的 p, x, y, z。」
尤里說到這裡偷瞄了我一眼，我沉默地點了點頭。
「喔，然後呢？」米爾嘉說道。
「然後，根據『1986 年的景色』—— 如果存在 p, x, y, z 滿足方程 xp + yp = zp，那麼也存在弗賴曲線。弗賴曲線是橢圓曲線的一種，但不是模形式。所以……就存在弗賴曲線這種『非模形式的橢圓曲線』。嗯，理論上就是這樣。雖然我不知道『弗賴曲線』『橢圓曲線』『模形式』是什麼……」
推導出的命題：存在非模形式的橢圓曲線。
「到這裡我用了所有的【已證明】的命題。然後現在——
假設我證明了谷山 - 志村猜想。
這樣一來，就存在『每一條橢圓曲線都可以對應一個模形式』。因為每一條橢圓曲線都可以對應一個模形式，所以可以推導出下面這個命題。」
推導出的命題：不存在非模形式的橢圓曲線。
「我推導出了兩種結論，即『存在』非模形式的橢圓曲線和『不存在』非模形式的橢圓曲線，它們互相矛盾。因此由反證法，否定了假設，證明了費馬大定理。
假設的否定：「費馬大定理成立。」
所以，如上所述，只要證明了谷山 - 志村猜想，也就證明了費馬大定理！」
尤里眼中閃著光芒，看著米爾嘉。
我和泰朵拉也看著米爾嘉。
米爾嘉拋了個媚眼，說了一句：
「Perfect。」
解答10-1 （搭乘時間機器）
只要證明了谷山 - 志村猜想，也就證明了費馬大定理。
米爾嘉微微笑著，聲音平靜地補充道：「弗賴想出了弗賴曲線，弗賴曲線給了費馬大定理一個反例，而賽爾把這個猜想公式化了。黎貝證明了這個猜想。為何懷爾斯聽到這個會興奮，想必尤里你已經明白了吧。費馬大定理 —— 這是一塊 350 多年來沒人能解開的，古老的七巧板。但是這塊七巧板現在也就只差一塊了，而且我們已經知道，只要證明谷山 - 志村猜想，就能填上這一塊板子。」
尤里用力地點了好幾次頭。
10.3.3 半穩定的橢圓曲線
「懷爾斯證明了谷山 - 志村猜想對吧。」泰朵拉在胸前握緊雙拳說道。
「然而，並不是。」米爾嘉答道。
「咦？咦咦咦？」
「就像尤里回答的那樣，如果能證明谷山 - 志村猜想，也就證明了費馬大定理。說的沒錯。但實際歷史不是這樣的。事實上懷爾斯證明的命題是『每一條半穩定的橢圓曲線都可以對應一個模形式』。是存在『半穩定』這個限制條件的。」
米爾嘉站了起來，在我們身邊走來走去，繼續說著。
「為什麼要加上這個限制條件呢？因為如果沒有限制條件，要證明谷山 - 志村猜想太難了。那為什麼帶有限制條件也沒關係呢？你明白嗎？」米爾嘉把手放在了泰朵拉的肩膀上。
「這，這個……我不明白。」
「尤里你呢？」
尤里默默地想了一會，不久後一下子抬起頭回答道：
「我明白了。因為弗賴曲線是半穩定的橢圓曲線吧！」
「就是這樣。」米爾嘉用中指推了推眼鏡，「尤里的推測很有邏輯性。懷爾斯為了使用反證法，就想證明出一個與弗賴曲線的存在相悖的命題。為什麼他想證明帶有半穩定這個限制條件的谷山 - 志村猜想呢？因為弗賴曲線具有半穩定的性質。於是，由他證明的最重要的定理是這個——
懷爾斯定理：每一條半穩定的橢圓曲線都可以對應一個模形式。
根據這個定理，就可以導出矛盾了。」
根據弗賴曲線：
存在不對應模形式的半穩定的橢圓曲線。
根據懷爾斯定理：
不存在不對應模形式的半穩定的橢圓曲線。
「這就構成了矛盾。根據反證法，證明完畢。費馬大定理成為了真正意義上的定理。」
10.3.4 證明概要
「費馬大定理」證明概要
使用反證法。
1. 假設：費馬大定理不成立。
2. 根據假設，可以作出弗賴曲線。
3. 弗賴曲線：雖是半穩定的橢圓曲線，但不對應模形式。
4. 即「存在不對應模形式的半穩定的橢圓曲線」。
5. 懷爾斯定理：每一條半穩定的橢圓曲線都可以對應一個模形式。
6. 即「不存在不對應模形式的半穩定的橢圓曲線」。
7. 上述第 4 項和第 6 項相矛盾。
8. 因此費馬大定理成立。
米爾嘉沉默地掃視了我們一圈。
「這個『證明概要』在邏輯上是正確的，但還不夠。不夠也是理所當然的，因為這只不過是一個概述。我們並不明白谷山 - 志村猜想是什麼，也不明白『橢圓曲線』『弗賴曲線』『模形式』等重要詞語的含義。但即使不能理解懷爾斯的證明，也可以體會谷山 - 志村猜想吧？起碼可以再向數學領域踏出一步吧？你們也這麼覺得……吧？」米爾嘉問道。
我們不暇思索地點了點頭。
「接下來，我要以這四個題目來談數學。
橢圓曲線的世界
自守形式的世界
谷山 - 志村定理
弗賴曲線
因為『谷山 - 志村猜想』已經在 1999 年被完全證明了，之後我們就稱其為『谷山 - 志村定理』。首先，橢圓曲線指的是……啊，我們先換個地方，觀眾太多了。」米爾嘉說道。
剛才食堂裡不少參加研討會的高中生們圍住了我們的座位，專注地聽著米爾嘉講話。