10.2.1 問題
吃完飯後，我們開始傾聽米爾嘉的解說。
「17 世紀的數學家費馬，在他一直研究的《算術》這本書的空白處留下了一個問題，就是所謂的『費馬大定理』。」
費馬大定理
當 n ≥ 3 時，以下方程式不存在自然數解。
「他以書面形式表達了和這個數學公式同樣的內容，並在空白處寫下了一句著名的話。」
我確信已發現了一種美妙的證法，
可惜這裡空白的地方太小，寫不下。
「然後，費馬並沒有寫出證明方法。」米爾嘉說道，「既然他都這麼暗示了，當然也就有很多數學愛好者躍躍欲試。話說回來，為什麼後人會知道費馬在書中空白處寫下的私人筆記？」
「這麼一說，也是啊。」泰朵拉歪著頭，滿臉寫著不可思議四個大字。
「這要歸功於費馬的兒子山繆。」米爾嘉說道，「他重印了帶有費馬筆記的《算術》，讓險些消失的『費馬大定理』復活了。寫這本《算術》的是 3 世紀左右的數學家丟番圖。17 世紀的巴歇將這本書翻譯成了希臘語和拉丁語。費馬學習了巴歇版的《算術》，並寫下了筆記。山繆重印的是丟番圖著，巴歇譯，寫有費馬筆記的《算術》。」
「這樣啊……」我說，「從 3 世紀的丟番圖，到巴歇，再到 17 世紀的費馬，然後通過山繆傳到更遠的未來。數學穿越時空流傳後世啊……」
「然後，再傳給現代的我們。簡直就像數學的接力呢。」泰朵拉做了一個接住接力棒的手勢。
「然後數學家們就開始了長達三個半世紀的挑戰。」米爾嘉開始緩慢地講述歷史，「首先是 17 世紀。」
10.2.2 初等數論的時代
17 世紀是初等數論的時代。因為費馬大定理是一個涉及「所有的 n」的命題，所以想一次證明出來太難了。因此數學家們想就個別的 n 進行證明。
最初，費馬自己證明了 FLT(4)，使用的工具是無窮遞降法。這麼說來，之前我們也 用「面積不構成平方數的直角三角形定理」證明過 FLT(4) 呢。
進入 18 世紀。歐拉老師證明了 FLT(3)。
在 19 世紀，狄利克雷證明了 FLT(5)，勒讓德補充了狄利克雷的證明。然而拉梅證明了 FLT(7) 以後，就後繼無人了。因為證明過程太過複雜了。
那個時代人們使用的武器有倍數、約數、最大公約數、質數、互質，還有無窮遞降法。
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「先從具體例子開始解啊……」泰朵拉說道。
「跟我們解題的時候一樣，按照『從特殊到一般』的順序。」
「原來如此。」
「新時代是從……」米爾嘉繼續往下說道，「蘇菲·姬曼開始的。那是在 19 世紀。」
10.2.3 代數數論時代
19 世紀是代數數論時代。1825 年，蘇菲·姬曼在 FLT 的通解上取得了成果。她證明了「如果 p 和 2p + 1 都為奇質數，則 xp + yp = zp 不存在自然數解。此時 
」這個定理。
1847 年，拉梅和柯西開始競相證明「費馬大定理」。當時關鍵在於粉碎 xp + yp = zp，在複數領域進行因式分解。
在此 α 是 
這個複數。因為由歐拉的公式可知 
，所以 α 的絕對值是 1，幅角是 
。也就是說，α 是 1 的 p 次方根之一。根據整數和 α，用一般的加法和乘法創造出的環 
就是一種整數環。
他們想在整數環 的基礎上將 xp + yp 分解質因數，使因子 (x + αky) 之間互質，各因子是「p 次方數」，帶進無窮遞降法裡。然而他們失敗了。因為——
整數環中不一定滿足「質因數分解的唯一分解定理」這個條件。
如果不滿足質因數分解的唯一分解定理，那麼即使 p 次方數的各因子互質，各因子也不一定是 p 次方數。庫默爾指出了這一點，爭論得以結束。整數環中，「質因數分解的唯一分解定理」就此消亡。
為了打破這個僵局，庫默爾提出了理想數這個概念，戴德金以集合的形式將其整理為「理想」概念。「理想」概念有「理想」公理，就像數字一樣，其計算得到了定義。「理想」具有的最重要的性質 —— 當然是質因數分解的唯一分解定理。根據「理想」，「質因數分解的唯一分解定理」復活了。庫默爾證明了對於「正規質數」，費馬大定理是成立的。
19 世紀結束。自費馬寫下那段話後，已經過去了 250 年。
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「費馬大定理就是這樣被證明的啊！」泰朵拉在胸前握緊雙拳說道。
「然而，並不是。」
「誒？誒誒誒？」
「庫默爾的代數數論結出了豐碩的果實。」米爾嘉說道，「懷爾斯的證明中，代數數論還是基本的工具。然而由於代數數論的直接擴張，費馬大定理沒有得到證明。我們繼續講幾何數論時代吧。那是在 20 世紀，在日本。」
10.2.4 幾何數論時代
那是在 20 世紀，在日本。1955 年，也就是第二次世界大戰結束十年後，數學國際會議於日本召開。谷山 - 志村猜想也是在那個時候誕生的。漸漸地，谷山 - 志村猜想成為了連接「橢圓曲線」和「自守形式」（模形式）兩個世界的巨大橋樑。如何將這個猜想轉變為定理成為了數論領域的重要課題。但很明顯，這是一個巨大的難題。但是誰都沒注意到，這個數論領域的重要課題於費馬大定理也是一個重要課題。
1985 年，弗賴提出了一個讓人眼前一亮的觀點。假設「費馬大定理不成立」，就能創造出一個跟谷山 - 志村猜想相矛盾的反例。這樣就在費馬大定理與谷山 - 志村猜想間建立了聯繫。話雖這麼說，這也只是把一個難題歸結到另一個難題上，問題並沒有變簡單。
而挑戰了這個難題的人是懷爾斯。他在自己家中獨自一人進行了長達七年的研究。其間他一直在大學授課，但沒人知道他一直在挑戰費馬大定理。
1993 年，懷爾斯聲明他證明了費馬大定理。然而證明有缺陷，但他繼續挑戰，終於在 1994 年跟泰勒一起修正了缺陷，完全證明了費馬大定理。
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米爾嘉很快地結束了講解。講歷史的話題很讓她心急吧。
「我想談談數學。」米爾嘉看著我。
「現在，拿出筆記本。」
我拿出了筆記本和自動鉛筆，尤里小聲說道：
「人家能先回去嗎？光聽歷史我腦子就已經裝不下了。」
米爾嘉聽到這兩句嘀咕，說道：
「好……我知道了，那我出個尤里你能解開的問題吧。」