8.2.1 圖書室
在這之後的一周，週五放學後。
我像往常一樣邁進圖書室，這時泰朵拉已經開始學習了。她一個人在筆記本上熱衷地寫著什麼。
「來得真早啊。」
「啊，學長！剛剛米爾嘉學姐也來了一下，不過說是要跟盈盈學姐練習，就回去了。」
「你現在做的是村木老師出的問題？」
「沒錯。又是三角形的問題呢。」
問題8-1
存在三邊皆為自然數，面積為平方數的直角三角形嗎？
「已經想了很久了嗎？感覺能解開嗎？」我問道。
「我正在舉實際例子來驗證自己的理解呢！所以麻煩學長不要說話！」泰朵拉把食指放在嘴唇上，做了一個『噓』的手勢。我不由得心跳了一下。
「那，我在那邊算自己的。等會兒咱們一起回去。」
「好。」泰朵拉笑了笑。
我原本打算繼續算有限域 
，但不由得被剛剛泰朵拉的問題牽住了心思。
「存在三邊皆為自然數，面積為平方數的直角三角形嗎？」
直角三角形……也就是說，三邊邊長應該能構成勾股數。用變量表示三邊邊長，再研究它們的條件就能解開了吧？
不過還是先舉個實例來驗證自己的理解吧。——「示例是理解的試金石」。
假設三邊邊長分別為 a, b, c（c 為斜邊邊長），研究一下典型的勾股數吧！
(a, b, c) = (3, 4, 5)
此時，
直角三角形的面積 
因為不存在平方後得 6 的整數，所以 6 不是平方數。原來如此！
那再看看別的例子吧。研究一下 (a, b, c) = (5, 12, 13) 的情況。
直角三角形的面積 
30 也不是平方數，喔？
我在表上試著總結了幾個勾股數。
原來如此……的確面積無法構成平方數。不過我只研究了 5 組，還不能斷言「絕對無法構成平方數」。未經證明的話只不過是猜想而已。
好，那麼來挑戰一下，看能不能證明
「不存在三邊皆為自然數，面積為平方數的直角三角形。」
整體證明的思路，還是用反證法吧。假定存在一個面積為平方數的直角三角形，然後推導出矛盾。感覺這樣會更清楚一些。
要證明的命題：「不存在三邊皆為自然數，面積為平方數的直角三角形。」
要證明的命題的否定如下，我們假定其成立。
反證法的假設：「存在三邊皆為自然數，面積為平方數的直角三角形。」
接下來，把命題裡的重點用數學公式表達出來。
首先是「直角三角形」。假設三邊邊長為自然數 a, b, c，c 為斜邊邊長，然後由勾股定理得到
a2 + b2 = c2
這個等式可以表達「直角三角形」的概念。
因為我想以盡可能簡單的形式逐步思考，所以我將 a, b 設為兩個互質的數字。想得到互質的話，只要除以 a 和 b 的最大公約數就好。把 a 和 b 的最大公約數設為 g，就存在以下自然數 A, B。
a = gA, b = gB, A ⊥ B（A 和 B「互質」）
因為 g 代表了 a 和 b 的所有質因數，所以 A 和 B 已經沒有共同的質因數了。也就是說，A 和 B 互質（A ⊥ B）。
把 a = gA, b = gB 代入到勾股定理裡試試。
也就是說，c2 是 g2 的倍數。這樣一來，c 就是 g 的倍數，那麼就存在滿足下式的整數 C。
c = gC
好的，繼續計算。
由 A ⊥ B 和 A2 + B2 = C2，即可推導出 B ⊥ C, C ⊥ A。這樣就可以導入三個兩兩互質的數字 A, B, C 來替換 a , b, c。(A, B, C) 是基本勾股數。
至此可以說是一路筆直地踏實前行。下面應該走哪邊好呢……
嗯。這次 在『面積是平方數』的條件裡代入 A, B 來研究吧。感覺找到狀態了……設 d 為某個自然數，寫成下面這種形式就可以用數學公式表達「面積是平方數」的概念了。
代入 a = gA, b = gB。
計算得
因為 (A, B, C) 是基本勾股數，所以 A 和 B 中有一方為偶數。也就是說是自然數。因此 d2 是 g2 的倍數，即 d 是 g 的倍數。所以，存在自然數 D 滿足 d = gD，代入公式。
去分母，兩邊同時除以 g2，可得到下式。
至此，就創造出了一個帶有附加條件的新問題，條件就是給出的數字之間互質。這個問題是泰朵拉手中卡片的另一個說法。
嗯，進行得很順利嘛。
不過，還是沒能發現關鍵的矛盾所在。
問題8-2 （問題 8-1 的另一個說法）
存在滿足以下式子的自然數 A, B, C, D 嗎？
（A ⊥ B 表示的是 A 和 B 互質）
「放學時間到了！」
聽到瑞谷老師的聲音，我才恍然大悟地抬起頭。
天色已經暗了，在鑽研數學的過程中，我忘記了時間的流逝，生活在如夢境般的另一個世界之中。會意識到這點，是因為我已經回到了往常的世界。這邊的世界 —— 有我，有泰朵拉，有米爾嘉……
「學長？」
泰朵拉站在我面前。
「該回去了吧？」
我看著泰朵拉，沉默地注視了一會兒，她臉頰微紅，歪著頭問我。
「學長？」
「嗯，回去吧。謝謝你，泰朵拉。」
「誒？謝什麼啊？」
「沒什麼，總覺得該謝謝你，嗯。」
8.2.2 曲曲折折的小路
我們並肩走在回家的路上，穿過住宅區曲曲折折的小路。
「我怎麼這麼……手忙腳亂呢……」泰朵拉說道，「只要出現一個數學公式，我腦袋就被塞滿了，條件都不知道飛到哪兒去了……」
泰朵拉一會兒雙拳按頭，一會兒雙手抱頭。
「這麼說來，之前你也說過變量一多就感覺難了呢。」
「對對！學長和米爾嘉學姐都能輕輕鬆鬆地寫出定義方程式。『設 
』啊『定義 
』什麼的……我最不擅長這個了。」
「雖然定義方程式中變量會增加，不過之後的式子變形會很有趣哦。」
「所以啊！我一直在努力挑戰這次的問題，用那個畢達哥拉·搾汁機。」
「嗯？什麼意思？」
「就是那個『用 m 和 n 創造基本勾股數』的方法啊！我想用『基本勾股數的一般形式』來考慮。」
「啊，原來如此，還有這種方法啊。」
這樣啊，確實，只要使用基本勾股數的一般形式，就能用 A, B, C 表示 m 和 n。從這裡開始研究的話，能不能引出矛盾呢？
「這主意不錯啊。」
「啊，學長你也在想嗎？我也不會輸的哦！」
泰朵拉一邊說著，一邊擺出拳擊的架勢左右揮著拳頭。