7.3.1 喝著可可
夜晚，我的房間。
「學這麼晚辛苦了。」我媽放下了一杯可可。
已經這麼晚了嗎……我看著馬克杯，恍惚地想著。說過了喝咖啡就行，她卻總拿來可可，能不能別總是把我當小孩子看啊。
我爸和我媽結婚後有了我，一家人。米爾嘉也有家人，泰朵拉也有家人。
我們才十來歲，但我們也背負著許多東西，某些我們要背負的東西。
米爾嘉也是。
「不過，哥哥他在我小學三年級的時候就……死了。」
泰朵拉也是。
「所以，所以……請你不要回頭。」
——我後背上能感覺到泰朵拉的雙手在不停顫抖。我的心也忐忑不定。
唉。
我翻開筆記本。
數學……
數學的存在很有份量 —— 我一直這麼想。或許完成後的數學確實是這樣，但完成之前的數學肯定有所不同。
寫數學公式，就會留下數學公式。半途而廢，就只會留下寫到一半的數學公式。這是理所當然的。
然而，教科書上沒有寫到一半的數學公式。在建築工地上已經搭好了腳手架。所以一說到數學，我們腦海中總會浮現出整然有序的、已經完成的畫面。但實際上，那些創造出最尖端數學的地方，不都是跟施工現場一樣亂七八糟的嗎？
畢竟發現數學、創造數學的是人類，懷著殘缺、震顫、忐忑之心的人類。是憧憬美麗的結構，傾慕永恆，想方設法捕捉無限的人類，培育出了今日的數學。
不是純粹地獲取，而是由自己創造出來的；從搜集不起眼的水晶碎片開始，直至建成宏偉的佛寺；在一無所有的空間裡放入公理，由公理推導定理，由定理再導出其他定理；由一顆小小的種子開始，構建整個宇宙。 —— 這就是數學。
米爾嘉優雅的解答，泰朵拉付出的努力，尤里對於條件的關注……我能改變對數學的固有印象，也是受了她們的巨大影響啊。
我喝著熱乎乎的可可，漫無邊際地想著。
7.3.2 運算表的研究
那麼，該研究數學了。
泰朵拉把 
的運算表寫到一半，那我也來寫寫看吧。
只是做個乘法運算，寫出除以 12 的餘數而已，費不了什麼工夫。
不過，米爾嘉為什麼讓泰朵拉寫這個運算表呢？一切得從在同余式的兩邊同時除以 C 這裡說起。
問題7-1 （同余式和除法運算）
假設 a, b, C, m 為整數。
當 C 具有何種性質時，以下關係成立？
米爾嘉說了。
「觀察乘法運算不是沒用的，它能幫你更好地理解除法運算。」
好，那我就舉 m = 12 這個例子，來好好觀察一下這個運算表。
一行一行地讀。
因為 0 乘以什麼數字都得 0，所以 0 這行全部是 0。
1 這行是 0, 1, 2, ... , 11，數字依次排列。這也是理所當然的。
2 這行是 0, 2, 4, 6, 8，直到 10 數字是遞增的，但是當 a × b 等於 12 的時候又歸零了。因為這是以 12 為模的運算 —— 也就是說取除以 12 的餘數，所以也是很自然的。
3 這行也一樣。0, 3, 6，直到 9，當 a × b 等於 12 的時候又歸零。
嗯……同余式
a × C ≡ b × C (mod 12)
用運算 可以寫成下面這樣。
a C = b C
因為 裡已經包含了 mod 的計算，所以不寫 ≡，寫成 = 就可以。
嗯……那麼接下來就要思考 的逆運算了嗎。
……
不，不對，搞錯了。
與其綜合考慮在集合 
中 的逆運算，不是應該先考慮 C 的逆元嗎？假設 C 的逆元為 C\' ， C\' 就滿足
C C\' = 1
如果集合 
內存在這樣的數字 C\'，就應該能進行「除法運算」。因為在
a C = b C
的兩邊同時乘以 C\'，就存在以下等式。
(a C) C\' = (b C) C\'
因為 關於 滿足結合律，所以上面的式子可以寫成下面這樣。
a (C C\') = b (C C\')
因為 C C\' = 1，所以
a 1 = b 1
運用運算 的定義，可以寫成以下這樣。
(a × 1) mod 12 = (b × 1) mod 12
即
a mod 12 = b mod 12
由此，以下式子成立。
a ≡ b (mod 12)
也就是說，如果對於 C 存在逆元 C\'，那麼就可以在同余式的兩邊同時除以 C 不是嗎？
嗯嗯，總而言之，除以 C 和乘以它的倒數 
是一回事。這樣就不是普通的除法運算，而是考慮到 mod 的除法運算了。從這個角度來說，把 C 的逆元寫成 C\'，可能不如象徵性地寫成 或者 C-1 比較好。
來找 C 的逆元存在的條件吧。從 裡找出滿足 C C\' = 1 的數字就行。怎麼找好呢……啊，這樣啊！很簡單，用運算表就行了！只要找出表中含有 1 的行就可以。哈哈，所以米爾嘉才讓泰朵拉寫運算表的啊……
那麼，我們把運算表中 1 的地方畫上圓圈。
咦？沒想到這麼少。存在逆元的只有 1, 5, 7, 11 這四個嗎……嗯？
1, 5, 7, 11 ？
1, 5, 7, 11 不是之前在時鐘巡迴裡常見的「與 12 互質的數字」嗎？！
也就是說，和 12 互質的數字關於 存在逆元。換句話說，只要是跟模互質的數字，就可以進行除法運算……就是這麼回事吧？
說起來，米爾嘉在學校出的例子真有意思啊！—— 15 和 75 以 12 為模同余。
不出所料。除以跟 12 互質的 5，結果仍然同余。然而除以跟 12 不互質的 3，同余就不成立了。
7.3.3 證明
我試著寫下剛剛根據運算表得到的猜想。
猜想：同余式中，用與模互質的數字可以進行除法運算。也就是說，當以下式子成立時，
a × C ≡ b × C (mod m)
若 C 與 m 互質（即 C ⊥ m），則以下式子成立。
a ≡ b (mod m)
好的，試著證明這個猜想吧。因為可以寫出 的具體運算表，所以可以檢驗。但通常情況下， 
包含無數個元素，寫不出具體的運算表，所以必須嚴謹地證明。
從這裡出發。
a × C ≡ b × C (mod m)
這個式子可以變形成以下這種形式。
a × C - b × C ≡ 0 (mod m)
左邊提出 C，得到以下式子。
(a - b) × C ≡ 0 (mod m)
以 m 為模，(a - b) × C 與 0 同余，說明 (a - b) × C 是 m 的倍數。也就是說，存在某個整數 J，使得以下等式成立。
(a - b) × C ≡ J × m
這樣一來，所有字母都是整數，且兩邊都變成了積的形式。
我想推導的是，存在某個整數 K，使得以下等式成立。
a × b = K × m
因為如果 a - b 是 m 的倍數，則 a - b ≡ 0 (mod m)，也就意味著下式是成立的。
a ≡ b (mod m)
又因為
(a - b) × C ≡ J × m
所以 (a - b) × C 是 m 的倍數。如果 C 和 m 互質，則 a - b 含有 m 所有的質因數。
換言之，a - b 是 m 的倍數，所以可以寫成 a - b = K × m 這種形式。
嗯，在這裡「互質指的是沒有共同的質因數」又派上用場了。
解答7-1 （同余式和除法運算）
假設a, b, C, m 為整數。
當 C 與 m 互質時，以下式子成立。
