7.2.1 余項
「……就這樣，我被表妹辯倒了。」我說。
「尤里對條件看得真緊啊……」泰朵拉說道。
「我看你被辯倒了很開心嘛。」米爾嘉說道。
這裡是我的教室。
米爾嘉出了院，從今天起回來上課了。不過是拄著枴杖來的。因為行動不便，放學後我們就沒到圖書室去，直接在教室討論起來了。
米爾嘉的眼鏡煥然一新，鏡框的彎曲度略與之前不同。左臂和右腳還纏著繃帶，顯得很可憐。
學妹泰朵拉也加入了我們的談話。因為前些日子捉迷藏的事，我不由得很在意她，可她卻一如往常。
女孩子的心，還真是難以捉摸啊 —— 咦？
「我說泰朵拉，你換了髮型？」
清爽了許多，給人感覺不再亂七八糟慌慌張張了，反而利落了許多。
「誒？啊，你發現了？沒做什麼大的修整，只把長長的部分稍微修剪了一下……剪太短了嗎？」
泰朵拉用手指拽著劉海，眼睛往上看著。
「短了不少……不過很配你哦。」
「誒？是是是是是嗎？很……很高興你能這麼說……」
只見泰朵拉兩手握拳在腦袋上轉來轉去，不知道是什麼手勢。
「然後呢？聽見『12 和 0 是不一樣的』你就跟霜打的茄子似的撤了？」米爾嘉問道。
「此話怎講？」
「時鐘的世界，是由 mod 來運營的。」
「mod ？」
「求余項 —— 也就是餘數的運算，叫作 mod。打個比方，7 除以 3 餘數得 1 就可以寫成下面這樣。
7 mod 3 = 1
無視商，只關注餘數。我們按順序來講。」
米爾嘉說著，向我打了個手勢。
讓我交出筆記本和自動鉛筆是吧，遵命，遵命。
◎ ◎ ◎
我們按順序來講。
你用了自然數的範圍來定義余項。自然數 a 除以 b 得到的商設為 q，余項設為 r，則 a, b, q, r 關係如下所示，這是對的。
在此，將 a 和 b 的範圍從自然數擴大到整數，但因為商不能為 0，所以 b ≠ 0。
將整數 a 除以整數 b(b ≠ 0) 得到的商設為 q，余項設為 r，用以下等式定義商和余項。因為 b 也有可能為負數，所以我們在附加條件的不等式中用絕對值 |b| 代替 b。
給出 a, b 的話，q, r 就具有唯一性了。這樣就可以定義 mod 了。
mod的定義（整數）
假設 a, b, q, r 是整數， b ≠ 0。
這沒什麼難的。和 +，-，×，÷ 一樣，mod 就是一個運算。打比方說，用 7 除以 -3，商為 -2，餘數為 1。
因為存在制約條件 0 ≤ r < |-3|，所以 7 mod (-3) 的值只能為 1。
採用剛剛我們定義的運算 mod，假設從凌晨 0 點開始過了 h 個小時，那麼時針就會指向 h mod 12。當然，為了讓你表妹沒法吐槽，我把 12 的刻度事先換成了 0。
h 也可以是負數。從凌晨 0 點過了 -1 個小時（也就是提前了一小時）時，時針指向 11，然後 (-1) mod 12 也確實為 11。
-1 = 12 × (-1) + 11 (0 ≤ 11 < |12|)
那麼，我給泰朵拉出道簡單的題，對於整數 a 和 b，存在
a mod b = 0
請用一句話說明 a 和 b 的關係。
◎ ◎ ◎
「嗯……」泰朵拉思考著米爾嘉的問題，「整數 a 和 b 的關係嗎，a mod b 指的是 a 除以 b 的餘數對吧，所以 a mod b = 0 指的是……『a 除以 b 餘數為 0』吧！」
「沒什麼錯，不過泰朵拉，這可以直接用一句話歸納。」
「誒？用一句話？嗯，那個……」
「『a 是 b 的倍數』，或者說『b 是 a 的約數』也行。」米爾嘉說道。
「還可以說成『a 能整除 b』。」我說。
「啊，是這樣啊！」泰朵拉用力點了點頭。
「mod 是只求餘數的運算對吧。」我說，「求商和餘數我還能明白，只求餘數有什麼意義嗎？」
「喔……你不是喜歡『調查奇偶性』嗎？」米爾嘉反問我。
「調查奇偶性是種理論啊……啊，對了！」
「沒錯。『調查奇偶性』就是『調查除以 2 的餘數』。」
嗯，確實如此。調查奇偶性的時候除以 2，無視商，只關注餘數。原來如此。
「我想問問在 mod 的定義中出現的 a = bq + r 這個式子。」泰朵拉說道，「r 是英語的 remainder『餘數』的首字母對吧，但是 q 是什麼單詞的首字母呢？『除』是 pide，『比率』是 ratio，『分數』的話是 fraction……」
「quotient。」米爾嘉立即答道，「是『商』。mod 是 modulo。」
7.2.2 同余
「那麼，我們來談談同余。」米爾嘉說道，「同余指的是，把餘數相等的數同等看待。」
「同等看待？」泰朵拉一臉不解。
「就是把不同的東西看成一樣的東西的意思哦，泰朵拉。」我補充道。
「時鐘的例子很簡單。」米爾嘉繼續講道，「3 點和 15 點是不同的時刻，但是在這兩個時刻，時針都指向 3。因此，我們把 3 和 15 同等看待。也就是說，把除以 12 得到的余項中，相等的余項同等看待。如下面的數學公式所示。」
3 ≡ 15 (mod 12)
「要注意這裡的符號不是 =，而是 ≡。這個式子叫作同余式。此外，我們把這時的 12 稱為模。3 ≡ 15 (mod 12) 這個同余式讀作
『3 和 15 對模 12 同余。』
試著以 12 為模，舉出幾個同余式的例子。總之就用 ≡ 連接那些用模除後餘數相等的數。」
「因為 ≡ 兩邊的余項相等，所以一般可以像下面這樣表示。
也可以把這個想成是 ≡ 的定義。」
「米爾嘉，我想問一下。」泰朵拉舉起手。
「什麼？」
「我感覺越來越不明白 mod 這個運算的含義了。剛開始我是將 a mod b 理解為『a 除以 b 的餘數』，但是涉及『以 m 為模同余』時，出現了 (mod m)，mod 左邊被除數的位置上什麼都沒有寫……」
「這樣啊，不習慣的話確實容易搞混。」米爾嘉說道，「泰朵拉，你明白這個式子的意思吧？」
a mod m = b mod m
「嗯，我明白，餘數相等。等式的意思是『a 除以 m 的餘數』和『b 除以 m 的餘數』相等。」
「那就行了。這個式子中，兩邊的除數都是 m。現在為了把式子簡化，我們把兩邊都有的 mod m 統一寫到右邊，但在這裡 a 和 b 並不相等，只是除以 m 的餘數相等。所以我們不採用 a = b (mod m) 這樣的等號 =，在此我們用一個跟等號很像的符號 ≡ 來代替它。」
a ≡ b (mod m)
「原來如此，我明白了。a mod m 是計算餘數的式子。a ≡ b (mod m) 是表示餘數相等的式子……是這樣吧？」
「是這樣。」
米爾嘉豎起食指轉了一圈，繼續往下講。
「那麼，a 除以 m 的餘數等於 b 除以 m 的餘數可以直接寫成
a mod m = b mod m
也可以寫成下面這種形式。
(a - b) mod m = 0
換句話說，就是『以 m 為模的同餘數字的差，是 m 的倍數』。」
「誒？誒？啊，確實是這麼回事。這個我明白。一計算 a - b，兩邊的餘數就會消失了呢。」泰朵拉瞭然地點頭。
「對，舉個例子，15 和 3 的情況下，
就像這樣，15 和 3 的差確實是 12 的倍數。」
mod 的另一種說法
假設 a, b, m 為整數，m ≠ 0 。
7.2.3 同余的含義
「話說，為什麼要把餘數相等的兩個數字稱為同余呢？我倒是知道三角形的全等 1……」
1日文中整數的「同余」和幾何的「全等」是一個詞，皆為「合同」。—— 譯者注
米爾嘉聽了這個問題，微微歪著頭，回以微笑。
「你一直都很在意用詞呢……確實，幾何裡也有這個詞。『兩個三角形全等』指的是無視位置和方向，把兩個三角形同等看待。把兩個全等的三角形的位置和方向翻過來掉過去，能恰好重合，對吧？」
我和泰朵拉默默地點了點頭。米爾嘉繼續往下講。
「無視差異是很重要的。整數的同余跟幾何的全等很像。以 m 為模，無視 m 倍數上的差異，把兩個數字同等看待。如果把同余的兩個數字加減 m 的倍數，就能恰好相等。」
7.2.4 不拘小節地同等看待
「我覺得很不可思議。」泰朵拉說，「數學是一門嚴謹的學問對吧。數學重視日常生活中那些想不到的、微小的差異，然而偶爾也能非常不拘小節地將兩個東西同等看待嗎？『復平面』中，將點和數字同等看待，在醫院講過的『群』則是在集合的元素中定義運算，和數字同等看待。還有整數的『同余』，也是無視倍數的差異同等看待。本來同余這個用語也是將幾何和整數做了同等看待……」
「一出現同等看待，感覺就變得有意思了。」我點頭道，「應該說感覺好像『發現』了未知的事物，『這個和那個很像！不，幾乎一樣！』—— 這種感覺是喜悅嗎？還是看穿結構的快樂呢？結構的同等看待……」
「我們在醫院討論過『群同構』。」米爾嘉也開口了，「同構這個概念是想從數學層面表達『結構的同等看待』。創造同構的映射稱為同構映射，同構映射是含義的源泉，也是連接兩個世界的橋樑。」
7.2.5 等式和同余式
「這個嘛，就先不往哲學方面談了。」米爾嘉繼續先前的話題，「本來 = 這個符號就很像 ≡。因為等式和同余式非常相似，所以數學家們才選了這個跟等號非常相似的符號表示同余。事實上，等式和同余式極為相似，但是除法除外。」
等式的情況 ——
當 a = b 時，以下關係式成立。
a + C = b + C 兩邊同時加上同一個數，結果相等a - C = b - C 兩邊同時減去同一個數，結果相等a × C = b × C 兩邊同時乘以同一個數，結果相等
同余式的情況 ——
當 a ≡ b (mod m) 時，以下關係式成立。
a + C ≡ b + C (mod m) 兩邊同時加上同一個數，結果同余a - C ≡ b - C (mod m) 兩邊同時減去同一個數，結果同余a × C ≡ b × C (mod m) 兩邊同時乘以同一個數，結果同余
7.2.6 兩邊同時做除法運算的條件
「除法就是去除。」米爾嘉說。確實，加減乘除四則運算中，關於加法、減法以及乘法，等式和同余式都一模一樣。於是問題自然就來了……正當我想到這裡的時候，泰朵拉舉起了手。
「米爾嘉，同余式不可以在兩邊同時除以同一個數嗎？」
對，就是這個！泰朵拉雖然經常會落下條件，不過還是非常聰明的，她一直跟著米爾嘉的思路，也始終執著地帶著問題聽講。同余式中該怎麼進行除法運算呢……
「跟等式不一樣。現在讓他來舉具體例子。」米爾嘉指著我。
把包袱丟給我嗎？！好吧，也行……
「這個，嗯……比如說，將 12 作為模，則 3 和 15 同余。
3 ≡ 15 (mod 12)
但是，在兩邊同時除以 3，同余式就不成立了。因為在兩邊同時除以 3，左邊是 1，右邊是 5。以 12 為模的話 1 跟 5 是不同余的。」我說。
(3 ÷ 3)
(15 ÷ 3) (mod 12)
「誒？是嗎……」泰朵拉說道，「以 12 為模，1 跟 5 不同余……啊，對啊。因為時鐘的時針在 1 點和 5 點分別指向不同的位置。明明在 3 點和 15 點是指向一個位置的……總覺得有些可惜呢。」
「剛剛他舉了一個不能除的例子。」米爾嘉說道，「但是也有兩邊可以除以同一個數的情況，比如說 15 和 75 這個例子，這兩個數以 12 為模是同余的。」
15 ≡ 75 (mod 12)
「75 點是幾點啊？」泰朵拉說道，「75 ÷ 12……這個，商 6 余 3 對吧。因為 15 ÷ 12 商 1 余 3，所以 15 和 75 確實是同余的。」
「這時就算在兩邊同時除以 5，同余式也成立。」米爾嘉說道。
(15 ÷ 5) ≡ (75 ÷ 5) (mod 12)
「嗯。15 ÷ 5 = 3，75 ÷ 5 = 15，3 跟 15 同余。咦？不過像這樣在兩邊同時除以 3，同余式就不成立了呢……」
(15 ÷ 3)(75 ÷ 3) (mod 12)
因為 15 ÷ 3 = 5，75 ÷ 3 = 25。5 點和 25 點……也就是說，時針指向的是 5 點和凌晨 1 點。
我恍然大悟。原來在同余式兩邊同時除以某個數，同余式有可能成立，也有可能不成立啊。
這樣一來，下一個問題是……
就如回應我一般，米爾嘉說道：
「這樣下一個問題自然就來了。」
問題7-1 （同余式和除法運算）
假設 a, b, C, m 為整數。
當 C 具有何種性質時，以下關係成立？
「這個條件就是說，兩邊可以同時除以 C 對吧。」
「對。」米爾嘉簡短地回答道。
我跟泰朵拉都迅速閉上嘴，開始進入思考模式。
我從 mod 的定義出發，開始變形數學公式，往泰朵拉那裡瞟了一眼，發現她也開始在筆記本上寫寫畫畫了……但不久，她就一臉抱歉地對我說：
「對不起，學長……還有米爾嘉學姐。很抱歉打擾你們了，不過能給我點提示嗎？就算想琢磨也完全沒有頭緒啊……」
「思考問題的第一步是？」米爾嘉問道。
「舉例子。『示例是理解的試金石』。」泰朵拉答道，「我又確認了一遍剛才 3 ≡ 15 和 15 ≡ 75 的例子。」
「泰朵拉你想從除法運算的角度想吧？」
「誒？啊，是，沒錯。從可以進行除法運算的條件……」
「泰朵拉你啊……別從除法運算想，先觀察乘法運算。觀察乘法運算不是沒用的，它能幫你更好地理解除法運算。現在我們給集合 {0, 1, 2, ... , 11} 起個名字，叫作 
。
然後在集合 裡定義運算 
，我們把運算 定義為『兩個數相乘除以 12 求餘數』。當然集合 關於運算 是閉集。因為除數是 12，所以餘數 r 在 0 ≤ r < 12 這個範圍內。」
（運算 的定義）
「泰朵拉，我在醫院說群的時候寫了一個 ★ 的運算表，現在你來寫 的運算表，然後我們針對你寫的運算表來討論。」
「好，好的。請問，這個方框裡面帶個 × 的符號是……」
「別管它是 ★ 還是 
，是什麼都行。我只是試著選了一個跟乘法運算很像的符號。你算算這兩個例子。」米爾嘉舉了兩個例子。
「我懂了，那我來寫運算表。」
老實的泰朵拉開始在自己的筆記本上畫起運算表。首先在 0 的行和列上寫上一大串 0，然後在 1 的行和列上寫上 1, 2, 3, 4, ... , 11。然後開始努力填滿表格。
填到 6 這一行的一半時，泰朵拉突然抬起頭。
「啊，糟了！糟了糟了，我忘了今天得提早回家！抱歉，學長，米爾嘉學姐。今天我先失陪了，我們改天再一起研究數學吧！」
泰朵拉抓起筆記本 —— 上面是寫了一半的運算表，離開了教室。
7.2.7 枴杖
教室裡剩下我和米爾嘉。
少了活力四射的泰朵拉，教室一下子安靜了許多。
我看著米爾嘉腳上的繃帶，她是不是還在疼呢？
「米爾嘉，拄拐很費勁吧？」
「也不是我願意的。」
米爾嘉平時總是挺直腰板，雷厲風行地走路，拄拐對她來說應該很憋屈吧。
「不過，你就快能扔掉枴杖了吧。」
「我已經能撇掉枴杖走了，今天我只是想確認一下能不能行。」
確認？算了，不管怎麼說，沒出什麼大事真是太好了。
「今天你這就回去了嗎？」我問她。
「唔……也是啊。回去之前我想先去趟廁所。」
米爾嘉突然對我伸出手。
「誒？」
「枴杖太麻煩了。」
啊……原來是讓我借她肩膀。
我左手拿著枴杖，右手臂繞過米爾嘉的後背撐著她，就像懷抱一般。嗯……好難掌握平衡啊，而且碰女孩子這件事本身就讓我緊張得不行。
她左手臂繞過我的脖子，繃帶粗糙的觸感和藥品的氣味。我們一起站起來，走出教室，步入走廊。然後……
「左邊。」米爾嘉說道。
這邊嗎？不過，能不能不要在我耳邊小聲說話啊。
我們調整著步伐，注意著腳下。
「我走太快了？」
「沒關係。」
米爾嘉的重量應該都壓在我身上，我卻幾乎感覺不到她的重量。能感覺到的，只有柔軟又豐滿的……心跳不停，臉如火燒，柑橘系的香味把我的心攪得一團亂。
走廊裡沒有人，茜紅色的夕陽從窗口斜斜地灑進來。
「到這裡就行。」我們到了廁所跟前。
「那我在這兒等你。」我把枴杖遞給她。
「兩人三足，果然有意思啊。」
米爾嘉丟下這句話就進了廁所。
呼……
我靠在走廊的牆壁上，大大地出了一口氣。
透過窗戶，可以看到美麗的晚霞散佈在天際。
回去路上也要一直借她肩膀嗎。女孩子，怎麼說呢，真是非常的……我啊，難不成淨是被米爾嘉牽著鼻子走嗎？算了，無所謂了。
「兩人三足，果然有意思啊。」
果然？