6.2.1 為了將運算引入集合
「我以為做完檢查馬上就能出院了，沒想到居然讓我住三天。太無聊了，你帶泰朵拉一起來看我，我們一起研究數學。」
這是米爾嘉的請求 —— 或者說是命令。
於是，我跟泰朵拉第二天就去探望了無聊的女王陛下。米爾嘉很歡迎我們來聽她的群論入門課。
「首先，從集合說起。」米爾嘉把長髮梳到腦後，從床上坐起身說道。
◎ ◎ ◎
首先，從集合說起。
我們知道很多種關於數字的集合。
是 {1, 2, 3, ... } 等全體自然數的集合。 
是 {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 等全體整數的集合。 
是全體有理數的集合（有理數可寫作兩個整數之比）。 
是全體實數的集合。 
是全體複數的集合。
從小學到高中，我們都一直在學習數字的集合，學習運算。換個角度，我們不研究剛剛提到的那些集合，而是將運算引入完全不同的集合之中試試，這也會很有趣哦。
6.2.2 運算
「對於集合 G，我們假設定義有 
這個運算。對於集合 G 的任意元素 a 和 b，都有以下關係成立。
此時，我們稱『關於運算 ，集合 G 是閉集』。」
米爾嘉剛講完「閉集」這個用語，泰朵拉就舉起了手。她是那種不管講解對象是否在眼前，只要有問題，都會毫不猶豫地舉手發問的人。
「我有問題，符號 是什麼意思呢？」
「意思？我們先不說 具體是什麼樣的運算，你只要想著 是要進行某種運算就行了。這麼說可能有點不近人情，總之你可以先想成是 + 啊 × 啊之類的運算。跟我們拿字母 a 和 b 代替具體數字一個道理，只是用符號 來代替具體運算。」米爾嘉一氣呵成地解說道。
「我懂了。還有個問題，集合的這個符號是……」
「式子 a ∈ G 讀作『a 是 G 的元素』，用英語說就 是『a is an element of G』或 者『a belongs to G』，更簡單地說就是『a is in G』。你把 a b ∈ G 想成『a b 是集合 G 的元素』這個命題就好。關於 a 和 b 的 運算結果，也就是 a b 具體是什麼，我們先不討論，只保證『a b 也是集合 G 的元素』就行。直到你習慣 ∈ 這個符號……沒眼鏡我看不太清楚，你參照他正在筆記本上畫的那張圖應該就行。」
我正聽著米爾嘉的話做著筆記，話鋒就這麼突然向我轉來，我不禁嚇了一跳。
這時恰好我在聽米爾嘉講話，剛剛往集合 G 的圓圈裡寫下 a, b，a b 這三個元素。
「嗯，我懂了。」泰朵拉答道，「話說，為什麼集合會是 G 啊？『集合』的英文明明是 set 吧。」
「從集合出發，然後定義群。『群』的英文是 group。」
「原來 G 是 group 的首字母啊……」
「那麼，我舉個 ∈ 符號的例子看看你們理解了沒有。 表示全體自然數的集合，下面這個命題為真命題嗎？」米爾嘉一把從我手裡拿過筆記本和自動鉛筆，寫道：
「因為 1 是自然數，1 就是 的元素，所以 為真命題。」泰朵拉乾脆地回答道。
「好，那這個呢？」
「因為 2 + 3 是 5，這個也是自然數，所以 為真命題。」
「好，不過不要說『2 + 3 是 5』，要說『2 + 3 等於 5』。」
「好的，2 + 3 等於 5。」
「那麼，泰朵拉，能說『全體自然數的集合 ，關於運算 + 都是閉集』嗎？」米爾嘉注視著泰朵拉的眼睛。
「嗯嗯……我認為是閉集。」
「為什麼？」
「要說為什麼……這個，怎麼說才好呢……」
「泰朵拉，從定義出發去想想。」我搭了把手。
「你別說話。」米爾嘉瞪了我一眼，「可以從定義出發去想呀，泰朵拉。因為關於集合 的任意元素 a 和 b，都滿足 
。所以可以說關於運算 +，全體自然數的集合 都是閉集。」
「那個……我可以把它看成『兩個自然數相加，結果還是自然數』嗎？」
「可以。集合 G 關於運算 是『閉集』的說法，正是這個意思。」
「嗯！我明白了！」泰朵拉活力十足地喊道。
運算的定義（關於運算是閉集）
集合 G 關於運算
6.2.3 結合律
米爾嘉加快了節奏。
「下一個是結合律。這是一個『不拘泥於運算順序』的法則。」
泰朵拉又噌地一下舉起手。
「那個，米爾嘉，我知道加法運算中 (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)，所以我也明白這個『結合律』。不過這需要證明……嗎？就是說，我不明白怎麼去理解你剛剛講的『結合律』。」
「聽好了泰朵拉。」米爾嘉嗓音輕柔，「我不是讓你去證明。首先，請先理解這個規律叫作『結合律』，之後我們會講到好幾條法則，然後我會在最後說明『……滿足以上這些法則的集合就叫作群』。換言之，我現在正在為定義群而做準備呢。」
「我明白了，我先這麼理解著。有時候數學課上也會講到像這次的結合律一樣超 —— 級 —— 理所當然的內容。這種時候我一般都很迷茫。我是應該把這些理所當然的內容『背下來』呢？還是應該『去證明』呢？」
「問得非常好。」我插了句嘴，「既然在上課，問老師就好了吧？」
「肯定有很多老師回答不出來。」米爾嘉說。
結合律
6.2.4 單位元
「講義」繼續。真是的，這兒哪是病房啊，都成了講堂了。米爾嘉像揮舞指揮棒一般揮動著食指，似乎每揮一下都會飄出新的音符。
「接下來，我們來講講單位元。」米爾嘉接著講道，「打比方說，我們做加法運算的時候，不管在哪個數上加上 0，這個數字都『不會變』。乘法運算的時候，不管在哪個數上乘上 1，這個數也『不會變』。也就是說，『加法運算中的 0』和『乘法運算中的 1』很像。把這個『不會變』的因素用數學語言表現出來就是單位元。一般把單位元記作 e。對於任意元素 a，元素 a 與元素 e 的運算結果都始終為 a，也就是不變。我們把這樣的元素 e 稱為單位元。」
單位元的定義（單位元 e 的公理）
對於集合 G 中的任意元素 a，我們把集合 G 中滿足以下等式的元素 e，稱為在演算
「米爾嘉……我頭都暈了！最後單位元就是 0 嗎？還是 1 ？總感覺像說悄悄話似的，明白的人自然明白，不明白的人還是不明白啊。」
「對於全體整數的集合 來說，在運算 + 裡單位元就是 0，但是在運算 × 裡單位元是 1。」
「誒？誒誒誒？」
「單位元根據集合和運算而不同。裡面的元素 e 具體是什麼都可以。只要滿足對於集合 G 中的任意元素 a，都存在 這個等式就行。這樣我們就把這個元素 e 稱為單位元。為了理解 e 這個元素實際是什麼，問問也沒關係，不過證明的時候只需要用到公理。」
「？」
「這麼說比較好吧，一切都取決於這個元素是不是單位元，滿不滿足單位元的公理。換句話說就是 —— 公理創造定義。」
「沒完全懂，不過大致上懂了。」
我靜靜地聽著她們倆說話。
我一直把定義理解 為「詞彙的嚴格含義」。這大體上來說沒什麼錯，然而我從沒把「數學公式」包含在「詞彙」的範圍之中。
「公理創造定義」 —— 這是用數學公式這個最嚴密的詞彙，以及名為公理的命題來定義的意思嗎？
我自認喜歡數學公式，卻沒有想過把數學公式建立在數學的地基上啊。
這麼說來，之前米爾嘉在講虛數單位 i 的時候，也提起過公理和定理。
「定義」一個數字 i，使得 i 滿足方程 x2 + 1 = 0。
我們用方程式的形式表示了 i 應該滿足的「公理」。
那時，她故意把公理和定義放在了一起講。
6.2.5 逆元
「接下來是逆元。」米爾嘉說。
「這麼說來，『元』到底是什麼啊？剛才也出現了單位元這個用語……」
「集合的元跟集合的元素是一個意思。用英語說就是 element。」
「element ？也就是……構成全體的每個元素吧？」
「對於元素 a，我們將滿足以下等式的元素 b 稱為元素 a 的逆元。」
逆元的定義（逆元的公理）
假設 a 為集合 G 的元素，e 為單位元，對於 a 存在 b ∈ G 滿足以下等式，則將 b 稱為關於運算
用實數來說，就是關於運算 +，3 的逆元是 -3；關於運算 ×，3 的逆元是 
。
6.2.6 群的定義
米爾嘉挺直腰背，張開雙臂，滿是繃帶的左手臂看上去很慘烈，不過她的動作全都那麼優雅。
「那麼，我們定義了『運算』『結合律』『單位元』『逆元』，接下來終於能定義『群』了。」
群的定義（群的公理）
我們將滿足以下公理的集合 G 稱為群。
關於運算
對於任意的元，都滿足結合律。
存在單位元。
對於任意的元，都有與其相對應的逆元。
關於運算 是閉集，對於任意的元都滿足結合律，存在單位元，對於任意的元都有與其相對應的逆元 ——
我們稱如此集合為群。
米爾嘉宣佈。
6.2.7 群的示例
「泰朵拉，你看到這樣的公理會怎麼辦？」米爾嘉問道。
「認真讀。」
「那是必須的，然後呢？」
「然後……」泰朵拉偷瞄了我一眼。
「答案在他臉上寫著呢嗎？」
「不是不是，嗯……舉例子，『示例是理解的試金石』。」
「對。想舉例子，就需要理解力和想像力。例如，下面這個命題是真命題嗎？」米爾嘉立即問道。
「全體整數的集合 Z 構成關於運算 + 的群。」
「唔，全體整數的集合……能構成群吧。」
「為什麼這麼想？」
「唔……我感覺能。」
「不行。」米爾嘉說。
她口中的「不行」是一把利刃，斷得利落爽快。
「泰朵拉，你確認一下是否滿足群的公理，滿足就是群，不滿足就不是群。因為公理創造定義。」
「啊，好，不過……」泰朵拉有些慌張。
「 關於運算 + 是閉集嗎？」米爾嘉問道。
「嗯……是。因為把整數加在一起，結果還是整數。」
「結合律成立？」米爾嘉不給任何喘息機會，迅速扔出下一個問題。
「嗯。」
「存在單位元？」
「單位元……嗯，存在。」
「 中關於『運算 +』的單位元指的是？」
「加了也不變……是 0 嗎？」
「對。那麼，某個整數 a 的逆元指的是？」
「啊，這個我還不太……逆元指的是……這個……」
「逆元的定義是？」米爾嘉尖銳地追問。
「用運算……那個，不好意思，我忘了。」
「假設 e 為單位元，a 的逆元為 b，則存在 。」米爾嘉說。
「這指的是……a + b = b + a = 0 嗎？但是 a 和 b 相加等於 0 又指的是什麼？」
「a 和 b 相加等於 0 的時候，b 是 a 的逆元。a 加上什麼數字得 0 ？」
「負數……那個，是 -a 嗎？」
「對，這就對了。對於整數集合 的元素 a，其關於運算 + 的逆元指的就是 -a。對於任意整數 a, -a 這個逆元都是集合 的元素。」
「嗯！」
「所以呢？」
「誒？」
「剛才我們一個個確認了群的公理對吧。確認完所有的公理以後，就可以說『全體整數的集合 ，關於運算 + 都構成群』了。」
「啊，就是為了這個才一一確認的啊。」
「對。」
米爾嘉停了一下，閉上了眼 —— 但只有一瞬，就繼續開始往下講。
「那麼，下一個問題。」
「奇數的集合關於運算 + 構成群嗎？」
「嗯……我先確認一下是否滿足公理。啊，看來不行，比如 1 + 3 = 4，但 4 不是奇數。」
「沒錯。奇數的集合關於運算＋連閉集都不是，所以不是群。那麼，下一個問題。」
「偶數的集合關於運算 + 構成群嗎？」
「誒？我覺得跟奇數同理，構不成群。」
「……」米爾嘉沉默著閉上眼，搖了搖頭。
「誒？啊！我弄錯了。這次可以構成群，因為偶數 + 偶數 = 偶數。滿足結合律、單位元以及逆元的條件。」
「對，那下一個。」
「全體整數的集合關於運算 × 構成群嗎？」
「誒？這個之前研究過啊？構成群。」
「不，之前研究的是關於運算 + 構成群，這次研究的是運算 ×。全體整數的集合 關於加法 + 構成群，但關於乘法 × 不構成群。這是為什麼呢，泰朵拉？」
「誒？全體整數的集合關於乘法 × 不構成群？」
泰朵拉咬著指甲認真想著。
「因為整數 × 整數還是整數，所以是閉集。結合律當然也成立。單位元……乘上去也不變的數字……當然是 1 了。真的不構成群嗎？—— 啊！」
「你明白了嗎？」米爾嘉微笑道。
「我明白了，沒有逆元。打比方說，3 乘上任何整數也不能得到單位元 1，所以 3 沒有逆元。」
「 不是逆元？」米爾嘉問。
「誒？ —— 因為 不是 的元素啊！」
「就是這樣。看來你漸漸明白確認公理的感覺了啊。」
「嗯，明白一點了。」
於是米爾嘉放柔了語氣，微笑著說道：
「確認公理和確認定義是一個感覺吧？」
6.2.8 最小的群
我愉快地聽著她們兩位少女的對話。
「那麼泰朵拉，什麼樣的群元素個數最少？」
問題6-1 （元素個數最少的群）
元素個數最少的是什麼群？
「用沒有元素的集合構成的群嗎？」泰朵拉問道。
「沒錯。是空集。」我插了句嘴。
「不對。」米爾嘉予以否定。
「誒？」我很疑惑，「集合中元素個數最少的，不就是一個元素都沒有的集合嗎？也就是空集啊？」
「你這句話說得對。」米爾嘉回答。
「那空集不就是元素個數最少的群了！」我說。
「不對。空集不能構成群。你們都把群的公理忘了嗎？沒有單位元無法構成群，空集裡沒有元素，所以空集不能構成群。」米爾嘉說。
「哦……」
「元素個數最少的群，指的是只有一個元素的集合，不用說，這個元素就是單位元。」
「原來如此。」我說。
「學姐學長，等一下。因為必須具備單位元，所以空集不能構成群，這我明白了。但是根據群的公理，群中還必須具備逆元啊，只有單位元這一個要素不行吧？」
「因為單位元的逆元就是它本身，所以不要緊。」米爾嘉回答。
「在群裡，單位元的逆元就是單位元自身。」
「啊……還有這麼一回事啊！」泰朵拉一臉恍然大悟的表情。
解答6-1 （元素個數最少的群）
元素個數最少的群，是只由單位元構成的群{e}。此時，我們用以下等式定義運算
換言之，e 的逆元就是 e 本身。
「群的運算表如下。雖然只包含一個單位元 e，表格比較單調，但表示出了 。」
「原來如此，運算表也就是運算 的『九九乘法表』啊。畫出運算表，就能定義運算了吧？」我說。
「不過九九乘法表並不是閉集的運算表呢。」米爾嘉補了一句。
6.2.9 有 2 個元素的群
問題6-2 （有 2 個元素的群）
表示出元素個數為 2 的群。
「我們來建立元素個數為 2 的群。」米爾嘉說，「假設 e 為單位元，另一元素為 a，先畫個空白的運算表，然後再往裡面填寫。」
「從單位元的定義出發，我們馬上就有可以填的欄了。泰朵拉，你說往哪裡填？」
「單位元是元素不變……我知道了，是這裡吧，e e 和 e a。」
「豎著的也一樣，a e = a。」米爾嘉又補上了一個空欄。
「然後，剩下的是 a a，就等於 e。」米爾嘉填上了最後一個空欄。
泰朵拉瞬間舉起了手。
「米爾嘉，關於最後填的那個地方，我感覺不一定『等於 e』……比如說用這樣的運算表定義 怎麼樣？這樣元素數量也是 2 個，但跟剛剛你講的就不是一個群了吧。」泰朵拉畫出表格。
泰朵拉想的運算表 —— 這是群？
「不行。」米爾嘉回答。
「泰朵拉，這個表格啊……」我忍不住開口。
「不行，讓泰朵拉回答。」米爾嘉打斷了我，「群的公理她明白。」
「好，我想想…… 為什麼我的運算表不能構成群呢？ 嗯…… 我知道了，一個個確認群的公理就好了。只出現了 e 和 a 兩個元素，所以是『閉集』……單位元是 e……啊！」泰朵拉抬起頭，「我明白了，a 的『逆元』是不存在的。要說為什麼……因為 a 這行沒有 e，所以不管是 a e 還是 a a 都不等於 e。所以 a 不存在逆元！所以這下就不能構成群了，對吧！」
「很好。」米爾嘉答道。
解答6-2 （元素個數為 2 的群）
元素個數為 2 的群，是由單位元和另一元素構成的群 {e, a}。此時，我們用以下等式定義運算
換言之，運算表如下所示。
6.2.10 同構
「對了，沒必要把元素個數為 2 的群寫成 {e, a}。打個比方，偶數和奇數的和怎麼寫呢？ { 偶數，奇數 } 關於 + 構成群，偶數是單位元。」米爾嘉說道。
「{+1, -1} 也行吧。運算為 ×，單位元為 +1。」
「像下面這樣，元素和運算都為符號的情況又如何呢？對於集合 {☆, ★}，我們定義如下運算 
，☆ 是單位元，這也是群。」
「不過，這樣就全都『一樣』了呢。」我說，「不管是 {e, a}，還是 { 偶數，奇數 }，以及 {+1, -1}，還有 {☆, ★} …… 全都『一樣』了。只要把運算表中的文字機械地替換，就變成其他的表了。」
「對，我們稱這種『一樣』的群為同構群。事實上，元素個數為 2 的群都是同構群。」
「同構群……」泰朵拉重複道。
「對，同構群。」米爾嘉漸漸加快了語速，「將同構群同等看待，則本質上只有一個元素個數為 2 的群。不管追溯多少年之前的歷史，還是展望多少億年之後的未來，無論造訪世界上哪一個國家，還是將旅途的腳印延伸到宇宙的盡頭，都不會動搖這個事實。元素個數為 2 的群本質上只有一個。」
我們默默地聆聽著。
「群的公理上哪兒都沒寫著『元 素個數為 2 的群本質上只有一個』。但我們可以將這個結論從群的公理中推導出來。」
這時，米爾嘉突然放緩了語速，右手慢慢撫摸著左手臂的繃帶，然後用耳語般的聲音說道：
「這是公理給出的無聲的制約。這個制約把集合的元素緊緊結合在一起。並不是單純的捆綁，而是相互結成有序的關係。換言之，就是根據公理給出制約，制約創造結構。」
制約，創造結構……
6.2.11 用餐
到了用餐時間。
阿姨用托盤端來了病號餐，我們收拾好草稿紙和筆記本，開始幫米爾嘉準備用餐。
「看上去很好吃呢。」泰朵拉倒著茶說道。
「病號餐嗎……」米爾嘉回應道，「還行吧，餐具差口氣，味道差口氣，看著也差口氣。除了這些也沒啥好抱怨的了。」
「不，你抱怨的夠多了。」我說。
「跟國際航班的飛機餐很像。不同的是沒有葡萄酒。」米爾嘉一臉認真地評價道。
「這兒是醫院……怎麼可能給你端酒來啊。」我說。
「那個……學長學姐，先不說這個，我們還沒有成年呢……」泰朵拉略帶驚訝地說道。
「未成年這個制約能不能創造結構呢？」米爾嘉說道。