7.1.1 餘數的定義
「哥哥，這個怎麼樣？」尤里問我。
「什麼？」
「誒？沒發現嗎？你看你看！」
尤里說著轉過頭，馬尾辮上苔綠色的新絲帶輕輕搖曳著。
「絲帶真漂亮啊。」
「嘁嘁嘁……哥哥，你這樣可是會不受女孩子歡迎的哦。」
「你這是什麼意思啊？」
「不應該說『絲帶真漂亮啊』，應該說『很配你哦』才對嘛。」
「誒……」
「你真是不明白女孩子的心思喵！」尤里又開始用貓語說話了。
「是是……很配你哦。」
「喂！別機械地重複啊！」
「哈哈哈……」
「熱身完畢，今天要講什麼？」尤里問道。
「尤里，你知道餘數的定義嗎？」
「除完剩下的數字對吧。」
「這……你忘了怎麼描述定義了嗎？『餘數指的是……』」
「啊！想起來了。『餘數指的是除完剩下的數字』對吧。」
「我知道你想說什麼，但是這不算定義，用什麼除什麼？剩下的數字指的是什麼？必須說明白。」
「嗯……人家沒這麼想過，弄不明白啊。」
「那我們一起來想。」我打開筆記本。
「好啊。」尤里戴上眼鏡，湊到我身邊。
開始學習——
「為了準確地定義餘數，我們採用數學公式。」
「a 除以 b 剩下的數字指的就是這個等式中的 r。我們這麼來定義這些字母：a 和 b 是自然數，q 和 r 是自然數或者 0。」
「咦？我說哥哥，我感覺這個等式沒有定義餘數啊，而且根本沒出現除法運算！」
「定義餘數也是定義除法運算，所以在定義餘數的時候沒出現除法運 是正常的。這個式子用乘法定義了餘數。首先你先好好讀讀 a = bq + r 這個等式。讀數學公式不能著急，得邊讀邊一個個去確認 a, b, q, r 這些字母的意思。」
「人家知道啦，老師。嗯……自然數指的就是 1, 2, 3 這樣的吧……在等式 a = bq + r 裡出現了 a, b, q, r 這四個字母。a 是被除數，b 是除數，r 是餘數……但是 q 是什麼？」
「你認為是什麼？」
「b 和 q 相乘，再加上 r 就等於 a……難不成 q 是除法運算的答案？」
「沒錯。q 是 a 除以 b 的商。」
「那我就明白這個等式的意思了。a = bq + r 就表示用 a 除以 b，商為 q 餘數為 r 對吧。但是這個等式裡，
右邊寫的條件 (0 ≤ r < b) 又是為什麼呢？」
「你終於發現了啊。你真是不會放過任何一個條件呢。好好想想看，為什麼會存在這個條件？如果有很在意的地方，就一個一個仔細想，這對學習數學非常重要哦。」
「哥哥演起老師還真是有模有樣的。 ——嗯，因為 r 是餘數，所以 0 ≤ r，總之餘數要大於等於 0 對吧。餘數是 0 就整除了。但是為什麼 r < b 我就不明白了……」
尤里推了一下她的樹脂框眼鏡，雙手抱在胸前。
「這個，r < b 嘛……r 是餘數，b 是除數……啊！這不是明擺著嘛！r < b 就意味著『餘數』比『除數』小。比如 7 除以 3，餘數為 1 是 吧， 7 ÷h 3 = 2 ... 1。用 3 除，餘數肯定不會超過 3，如果用 3 除余 4，就會出現『餘數多了』的問題……」
「對對，就是這麼回事。尤里真棒，能用具體數字舉例。條件 0 ≤ r < b 表示餘數肯定大於等於 0，且餘數小於除數。看吧，只要這樣仔細讀，這個定義餘數的等式 a = bq + r (0 ≤ r < b) 不也進到腦子裡了嗎？數學這東西，就算你非常神速地把它全背下來也沒用。要慢慢地讀，反覆地寫數學公式，有疑問要仔細思考，舉出具體例子驗證。這麼玩很重要。玩著玩著就學會了。要想準確定義餘數，就必須證明存在唯一滿足這個式子的 q 跟 r。現在我們先省去這個步驟。」
餘數的定義（自然數）
我們用以下等式定義 a 除以 b 的商 q 和餘數 r。
在此，a, b 為自然數，q, r 為自然數或0。
「那麼，來把你的例子套到等式裡看看。用 7 除以 3，商為 2 餘數為 1。也就是說，a = 7, b = 3, q = 2, r = 1。」
7 = 3 × 2 + 1 (0 ≤ 1 < 3)
「嗯，明白……不過這有意思嗎？」
「尤里，之前我跟你舉過『使用數學公式表達』的例子。算數和數學最大的不同在於，會不會出現帶有字母的數學公式，對吧？你已經理解了『餘數』是什麼，但是要表達它，則需要數學公式。然後，在數學公式中，我們必須緊緊咬住每一個字母的含義。這就是我之前想說的。」
「喔……我明白了，哥哥。」
「不過話說回來，你還是沒放過任何一個條件呢，了不起！」
「討厭！人家會不好意思的！」
7.1.2 時針指示之物
我指了指牆上的時鐘。
「如果時鐘時針指向 3，那麼可能出現兩種情況 —— 凌晨 3 點，或者 15 點，也就是下午 3 點。我們不知道是哪種情況。時針指向的是『用現在的時刻除以 12 的餘數』。因為 15 ÷ 12 = 1 ... 3，餘數是 3，所以在 15 點時時針會指向 3 這個數字。」
「喔……聽哥哥你這麼一說，確實是這樣呢。要是 23 點的話，就用 23 除以 12，餘數是 11，然後時針會指向 11……沒錯。」
「所以，時鐘正在進行求餘數的計算哦。」
「不是吧！哥哥你搞錯了吧！」
「嗯？」
「因為你看嘛，想想餘數為 0 的時候啊，12 點的時候，時針不指向 0 而指向 12，難道說餘數得 12 ？太奇怪了吧。」
「啊，說的也是，但是 12 跟 0 是一樣的啊……」
「12 跟 0 才不一樣呢！哥哥你忘了餘數的定義了嗎？
用 12 除的時候，餘數 r 有 0 ≤ r < 12 這個條件吧？ 12 沒有餘數哦！喵哈哈～」
「呃……」
尤里這傢伙，跟立了什麼大功一樣……