6.3 第二天

6.3.1　交換律

第二天我們也去了病房。

米爾嘉迎接我和泰朵拉的第一句話是 ——

「關於任意元都滿足交換律的群，稱為阿貝爾群。」

交換律

「咦？」泰朵拉詫異地說，「不是說結合律和交換律是一回事嗎？」

「結合律說的就是可以改變計算順序吧？如果是這樣的話，就用不著交換律了吧？」

「錯了。」米爾嘉說道，「好好看看，結合律中雖然交換了計算的順序，卻沒有交換 ★ 號左右的字母。整數、有理數、實數的加法運算都是阿貝爾群，也就是說滿足交換律的群。所以很難想像不滿足交換律的情況。」

「差的運算……減法呢？」我說。

「確實差的運算符不滿足交換律。因為 a - b = b - a 並不一定成立。但是差的運算符也不滿足結合律。」

「啊，對啊。不適合拿來當群的例子。那麼，矩陣呢？」

「嗯。高中數學中『矩陣的乘積』正是不滿足交換律的典型例子。」米爾嘉說道。

「昨天……我考慮了元素個數為 2 的群。」泰朵拉說道，「我認為那個群是滿足交換律的……對嗎？」

「為什麼這麼想啊？泰朵拉？」

「這個……因為 e a = a e 啊？」

「喔，嗯，泰朵拉說的對，那個群滿足交換律。也就是說，剛才泰朵拉證明了『元素個數為 2 的群是阿貝爾群』這個定理。」

「阿貝爾群……」

阿貝爾群的定義（阿貝爾群的公理）

我們將滿足以下公理的集合 G 稱為阿貝爾群。

• 關於運算 是閉集。

• 對於任意的元，都滿足結合律。

• 存在單位元。

• 對於任意的元，都有與其相對應的逆元。

• 對於任意的元，都滿足交換律。

（阿貝爾群與普通群的區別在於是否滿足交換律）

6.3.2　正多邊形

米爾嘉饒有興致地往下講著。

◎　　◎　　◎

提到「元素個數為 2 的群」，我想起來了。

集合 {-1, +1} 關於一般的乘法構成群。

對了，x = -1, +1 是方程式

x2 = 1

的解。方程式的解構成群。方程式的解屬於制約的一種，而這個制約恰好創造了群。如果 x2 = 1 還不足以充分說明問題，我們就提高次數看看，換成三次方程。

x3 = 1

這個方程的解是 1 的立方根，有三個，分別如下所示。

　這裡的

事實上，{1, ω, ω2} 關於乘法構成了阿貝爾群，因為 x = ω 是 x3 = 1 的解，所以我們將其簡化為 ω3 = 1，運算表如下。

保留指數應該更方便看吧，這樣就容易確認是否滿足阿貝爾群的公理了。

跑題了，一般將 n 次方程式 xn = 1 的 n 個解構成的集合記作下面這樣。

這個集合構成關於乘法運算的阿貝爾群。——是不是太抽像了不容易明白？

那我們就從復平面上的幾何角度來看。因為單位圓上的複數的絕對值為 1，所以積是「幅角的和」。也就是說，要考慮 1 的 n 次根，只要考慮將單位圓的圓周 n 等分的點就可以了。

n = 1 時，{1} 和只由單位元構成的群同構。

n = 2 時，{1, -1} 和由兩個元組成的群同構。

n = 3 時，{1, ω, ω2} 對應正三角形的頂點。

n = 4 時，{1, i, -1, -i} 對應正方形的頂點。

因為是幅角 360° = 2π 的 n 等分，所以 xn = 1 的解為 k = 0, 1, ..., n - 1，可用以下形式表述。

從方程式的角度來看，我們熟悉的正 n 邊形的頂點 是「1 的 n 次根的解」，從群的角度來看則變成了「元素個數為 n 個的阿貝爾群的例子」。單位圓上的舞蹈真是有趣啊。

6.3.3　數學文章的解釋

「泰朵拉，玩弄了這麼半天群，你應該明白這句話的含義了吧？」

米爾嘉說著閉上眼，唱起歌來。

橢圓曲線中

有著作為

阿貝爾群的結構

「嗯？如何？」米爾嘉張開眼問道。

「我，我也能明白嗎……」泰朵拉不安地回答道。

「先試著想想。」米爾嘉說，「明不明白，不想怎麼會知道呢。不能因為『橢圓曲線』和『阿貝爾群』聽上去很難就怕了它們。它們等你幾百年了，就算不能馬上明白也不要怕。要從正面直面它們。」

泰朵拉陷入深思，一臉認真。沉默了一會兒，慢慢開口道：

「我……我不知道『橢圓曲線』，不過『有著作為阿貝爾群的結構』我覺得我還是明白的……不，我明白。阿貝爾群指的是滿足交換律的群。這就是阿貝爾群的定義。我知道交換律，也學過群的公理，所以我知道阿貝爾群的定義。這個嘛，橢圓曲線指的應該是某種集合，由它出發應該也可以定義某種運算。因為……」

「群的定義是……」我開口。

「學長！等一下再說，我就要想出來了！群指的是在集合上定義了某種運算。如果說『橢圓曲線中有著作為阿貝爾群的結構』，那麼運算就應該定義在橢圓曲線這個集合上，且滿足阿貝爾群的公理。也就是說……運算是閉集，滿足結合律，也有單位元，所有元素都存在與其對應的逆元……然後，嗯，應該也滿足交換律。」

米爾嘉滿意地點了點頭。

我驚呆了！泰朵拉吃透了定義。這樣啊，即使不知道橢圓曲線這個用語，只要以已經知道的阿貝爾群為線索，還是可以努力向前進發的……

泰朵拉似乎注意到了什麼，兩手遮住了嘴。

「啊！想把作為群的構造的東西放進橢圓曲線中的，一定是研究橢圓曲線的人。這樣一來，也許能以阿貝爾群的結構為線索來研究橢圓曲線……」

然後，米爾嘉打斷了泰朵拉的話。

「泰朵拉，泰朵拉，你到底是何人？」

「神馬？」

「你的理解速度把我嚇了一跳。泰朵拉，過來一下。」

米爾嘉招手。

「什麼事？」泰朵拉聽話地湊到床邊。

米爾嘉用右手臂跐溜一下纏緊了她，然後 ——

在泰朵拉臉頰上，親了一口。

「呀啊！米米米米米爾嘉！！」

「我最喜歡聰明的孩子了。」米爾嘉調皮地吐了吐舌頭。

6.3.4　辯群公理

談話告一段落，泰朵拉又倒了杯茶。米爾嘉想把頭髮重新扎一下，卻費了好半天勁，可能是因為左手臂疼吧。

「用我幫忙嗎？」泰朵拉問道。

「唔……那，麻煩你了。」

「編辮子行嗎？」

「隨便。」

泰朵拉高興地給米爾嘉編起了辮子，真難得看到米爾嘉梳辮子。

「數學領域裡存在辮子嗎？」泰朵拉問道。

「公理方面沒有矛盾就存在。」米爾嘉馬上答道。

「『辮群公理』是吧。」

到底是什麼公理啊，我內心忍不住吐槽。

「無矛盾性是存在的基石。」米爾嘉說道。

「好，編完了。小時候我也留過長頭髮，早上總是媽媽給我編辮子，好懷念那個時候，媽媽在我身後編著辮子給我唱《Greensleeves》。」

「聽上去簡直就像女孩子的事兒。」我忍不住調侃道。

「人家本來就是女孩子！而且尤里也是女孩子啊，之前還……」泰朵拉反駁道。

「尤里？」為什麼突然提到尤里？

「啊，沒……我怎麼就管不住這張嘴呢！唉……」

泰朵拉揪了一下自己的臉頰。

「難不成是『四親等旁系血親』的事兒？」我問道。

「誒？咦？學長？」

「尤里告訴我了。尤里就相當於我妹妹……」

「啊，是……是嗎？這個……咦？這麼說來，學姐也有兄弟姐妹嗎？」

「有個哥哥。」米爾嘉看著自己的髮梢。

「誒？！」我跟泰朵拉忍不住提高了嗓門。

米爾嘉有哥哥？我從沒聽說過。

「不過，哥哥他在我小學三年級的時候就……死了。」

一行清淚從米爾嘉臉上滑過。

她沒有擦拭。

而是閉上了眼。

又一行清淚。

「米爾嘉……」泰朵拉立即拿出手帕給她擦眼淚。

「明天我就出院了，你們可以不用過來。」米爾嘉說道。