第二天。
放學後的教室，只剩下我和米爾嘉。
「你可愛的妹妹還好吧？」
米爾嘉輕輕用手指撩起垂散在額頭前的劉海，問道。
「誒？啊，你說尤里？她挺好的，腳已經沒事了。」
「你直接叫她名字啊。」
「嗯，因為從小就在一起。」
「尤里跟你長得很像嘛。」米爾嘉說。
「是嗎……差不多吧，因為是親戚嘛。」
「抗打擊能力也很強。」
「她被你突然給了一句，猶如醍醐灌頂，很高興。」
「這邊也很像。」
米爾嘉伸出右手，觸碰我的左耳。
「干，幹什麼？！」我嚇了一跳，身子直往後縮。
「耳朵形狀很像，你跟尤里。」
「是，是嗎……」我怎麼會記得耳朵的形狀啊。
「拐點的位置。」
「啊？」
「尤里的耳朵，這裡也有一個拐點。」
米爾嘉摸著我的耳朵。
「啊……？」
「怎麼臉紅了？」米爾嘉歪著頭看我。
「我才沒臉紅呢！」
「你還能知道自己臉是什麼顏色啊，真有才。」
「因為你眼鏡裡照出我的臉了。」
「喔……能看見啊。」
「能看見，你看……」我湊上去，盯著自己在米爾嘉眼鏡裡的影子，「這裡……就能看見。」
「你的眼鏡也把我照出來了。」米爾嘉說。
一句話讓我意識到，我無意之間貼她太近了。
米爾嘉伸出雙手，抓住我兩隻耳朵。
她就這麼把我拉了過去……
「學長，大發現大發現！」活力四射的少女伴著她那慣有的大嗓門登場了。
米爾嘉迅速放開手，我險些向後跌倒。
泰朵拉看我們沒在圖書室，就過來找我們了。
「我 把『兩個數的平方差等於兩數之和乘以兩數之差』用在複數上，發現了不得了的事！能把質數因數分解！」
泰朵拉高高揮動著手裡的筆記本。
「打個比方，我試著把 2 分解成 1 + 1 這樣的形式，做了這樣的變形。」
「也就是說，存在以下等式！」
2 = (1 + i)(1 - i)
「這樣，就把質數 2 因數分解了！」
啊……我總算明白她想說什麼了。
「我說，泰朵拉……計算本身是正確的，但是你把 2 分解成了複數的積，並不是整數的積。」
「但是……」泰朵拉把目光投到筆記本上。
「我知道你喜歡因數分解，但是這樣根本說不過去啊！——啊，好疼！」
「不配當老師。」米爾嘉說。
「我又不是老師！」而且也不至於踹我啊。
「展開思 路。」米爾嘉無視了 我，繼續說 道，「確實泰朵拉的等式 2 = (1 + i)(1 - i) 沒把質數分解成整數的積的形 式，但是把 1 + i 和 1 - i 看成整數的一種又如何呢？事實上，當 a, b 為整數時，複數 a + b i 稱為高斯整數。1 + i, 1 - i, 3 + 2i, -4 + 8i 這樣的都是高斯整數。當然高斯整數也包括 a + b i 中 b = 0 的情況，也就是說高斯整數包含普通的整數。全體整數的集合寫作 
，全體高斯整數的集合寫作 
，這個表示方法，象徵 i 纏繞著 。」
整數
假設 a, b 為整數，則我們把 a + b i 稱為高斯整數。
全體整數的集合
全體高斯整數的集合
當
，
時，我們用
表示全體 a + b i 形式的數字集合。
「就像取整數時取數軸上分散的值一樣，取高斯整數時也要取復平面上分散的值。整數是一維空間，高斯整數是二維空間。」
「米爾嘉，這是格點吧！」泰朵拉叫道。
「沒錯。高斯整數對應復平面上的格點。泰朵拉你剛剛用 2 = (1 + i) (1 - i) 表示的就是
在整數 Z 中是質數，
但在高斯整數 中不能成為質數的數字。
2 這個數字在整數 Z 裡是質數，可是在高斯整數 裡就不是質數，因為它能分解成積的形式。」
「就像是不應該壞掉的原子壞掉了嗎……」我說。
「這比喻挺浪漫的嘛。」米爾嘉冷冷地回了我一句。
「我們的質數，在高斯整數 裡，全部都能被因數分解呢……」
「誰說『全部』的？」
「啊？不……不對嗎？」泰朵拉慌了。
「不對。我們的整數 裡包含兩種質數。一種拿到高斯整數 裡能分解成積的形式，可以說是『可以粉碎的質數』。打比方說，把 2 拿到 的世界裡進行分解，就得到 (1 + i)(1 - i)。而另一種質數即使拿到高斯整數 裡，也不能分解成積的形式，這就是『無法粉碎的質數』。比如 3，即使把它拿到 裡也無法將其粉碎。3 即使在 裡也還是質數。但是要注意一下，可以粉碎和無法粉碎不是正式的數學用語。±1 既不是合數也不是質數，它叫作單數。」
原來如此，「可以粉碎的質數」和「無法粉碎的質數」……米爾嘉這不 也用了個浪漫的比喻嗎。
米爾嘉掃視了一下我們的表情，緩緩地轉過去，面向黑板。我跟泰朵拉簡直像中了邪一樣跟著她。
米爾嘉拿過一支粉筆，靜靜地閉上眼……三秒鐘。
「從現在開始，來把我們的質數一個個粉碎，試試能不能看穿有哪些情況屬於『無法粉碎的質數』。」
米爾嘉開始在黑板上寫起了數學公式。
「還看不太出來。我們把質數列中『無法粉碎的質數』圈出來。」
「這樣也看不出來。我們乾脆不用質數列，而是用全體整數列來看看。把從 2 到 17 的所有整數中『無法粉碎的質數』畫上圈，就能看出些端倪了。」
「再替換成表的形式，就能清楚地看出都有哪些情況了。」
「這之後會怎麼樣呢？我非常，非常想知道！」泰朵拉看著米爾嘉，激動得臉都泛起了紅潮。
「確實很令人感興趣。那麼，我們按順序來粉碎比 17 大的質數。」米爾嘉繼續寫下數學公式，粉筆敲擊黑板的聲音也高昂了許多。
「來，我們把這些結果做成表的形式。質數以外的數字我們用 . 來代替。」
「！」我吃了一驚。真令人驚訝。畫圈的數字整齊地排列在右端。因為表的每行包含 4 個數字……所以右端的是「除以 4 後餘數為 3 的質數」。
畫圈的是「無法粉碎的質數」。也就是說，「可以粉碎的質數」，即能用 (a + b i)(a - b i) 的形式表示的質數除以 4 後，餘數為 3，不是嗎？除以 4 之後的餘數有什麼特別的含義嗎？
問題5-3 （可以粉碎的質數）
質數 p 和整數 a, b 具有以下關係。證明 p 除以 4 餘數不為 3。
p = (a + b i)(a - b i)
「要證明這個太簡單了。」米爾嘉說。
把整數根據除以 4 的餘數進行分類，整數除以 4 的餘數無非就是 0, 1, 2, 3 中的一個。換言之，所有的整數都包含在下列式子之中（其中 q 為整數）。
將這些式子平方，再提出 4。
也就是說，用平方數除以 4 的餘數只能是 0 或者 1。因此，兩個平方數的和 a2 + b2 除以 4 的餘數只能是 0 + 0 = 0、0 + 1 = 1 或者 1 + 1 = 2 中的一個。
因此，(a + b i)(a - b i) = a2 + b2 除以 4 的餘數不會是 3。
解答5-3 （可以粉碎的質數）
1. 平方數 a2 除以 4 的餘數不是 0 就是 1。
2. 平方數 b2 除以 4 的餘數也不是 0 就是 1。
3. 兩個平方數的和 a2 + b2 除以 4 的餘數是 0, 1, 2 中的一個。
4. 因此，a2 + b2 = (a + b i)(a - b i) = p 除以 4 的餘數不會是 3。
「綜上所述，可以粉碎的質數除以 4 餘數不是 3。實際上，若把 p 作為奇質數，則存在以下關係。
除以 4 餘數為 1
這麼說來，以前我還出過找不同的題呢。239, 251, 257, 263, 271, 283 這些數字中，不同的是 257。只有這個數是『可以粉碎的質數』，因為只有 257 這個質數除以 4 餘數為 1。」
「除以 4 餘數為 3 的質數，不僅不能因數分解為 (a + b i)(a - b i) 的形式，也無法分解為其他任何形式。實際上，整數 中除以 4 餘數為 3 的質數在 裡也起著『質數』的作用。」
我咀嚼著米爾嘉的話，感覺很不可思議。使用高斯整數 ，就能理解整數 中存在可以粉碎質數的情況。
但是，沒想到研究能否粉碎竟然跟「除以 4 的餘數」有關。用餘數研究整數原來這麼深奧啊。
除法和餘數我們在小學就學了。原來不知不覺中我們從小學開始就拿著「求餘數」這個強有力的工具了啊。想起小學時學除法的時候，我們一字一頓地跟著老師念：「除 —— 數 —— 」。像是被這段記憶牽引著一般，我想起了小學高年級時期的老師。老師看了我的筆記本，表揚我：「你寫的數字真漂亮。」從那以後，我就喜歡在筆記本上寫數學公式了。
泰朵拉開了口。
「米爾嘉，在復平面裡計算，在 裡計算，在 裡計算……在這麼多範圍裡計算數字，好有意思啊，而且還摻雜著圖形……」
「考慮計算的結構是很有意思的。」米爾嘉回答，「為了將計算進一步思考歸納，我們有一個概念 —— 群。這也很有意思，不過今天我們該回去了，明天再講群論。」
「好。」泰朵拉答道。
我重新想到。
人類真是無法預知未來。
我們以為明日也會往常如今日。
明天，也能繼續聽米爾嘉講解。
在放學後，在老地方。
雖然我們本應知道「會發生什麼都是未知的」。
明天再講群論 —— 米爾嘉確實是這麼說的。
然而，她卻沒能遵守約定。
因為第二天，發生了交通事故。
「這些命題」反映了一個事實。
數字世界從 
擴展到 時，質數分解的形態，
是由質數除以 4 的餘數決定的。
—— 加籐和也，黑川信重，齋籐毅，《數論 I》[25]
我的筆記
用下圖來表示 △OPQ 和 △OP\'Q\' 相似。
設 
（
為實數），則 α, β 表現為以下形式。
此時，可用下列等式表示 αβ。
用 a, b, c, d 表示兩個三角形的各邊。
首先，ΔOPQ 的三邊邊長如下所示。
然後，ΔOP\'Q\' 的三邊邊長如下所示。
最後得到
可以說，三邊比例相等。
