5.2.1 複數的和
放學後，我急忙趕到圖書室，米爾嘉和泰朵拉已經開始討論了。
「複數是由平面上的點表示的 —— 這裡我不太懂。不，我知道要讓複數 3 + 2i 對應平面上的點 (3, 2)，但是我認為數字是數字，點是點，是兩回事。『數字』和『點』是怎麼建立關係的呢？」
「數字的本質在於計算。用點計算試試，想想複數的和與積。」米爾嘉說。
◎ ◎ ◎
想想複數的和與積。
兩者都可以用復平面上的幾何圖形來表示。
我們用平行四邊形的對角線來表示複數的和。因為複數的和就等於橫坐標 x 與縱坐標 y 的和，也就是兩個矢量的和，很簡單。
「複數的和」 
「平行四邊形的對角線」
在圖上舉例說明就形象了。兩個複數 1 + 2i 和 3 + i 的和等於 4 + 3i。能看到平行四邊形吧？
5.2.2 複數的積
這次是複數的積。
現在我們來求以下的複數 α 和 β 的積。
首先按一般思路算。
然後在復平面上將 α, β, αβ 三個數字作為矢量畫出來。
光看這張圖是看不出三個數字的幾何關係的。
然而我們加上點 (1, 0)，稍微引一條輔助線，兩個相似的三角形就會如星座浮現在夜空般，呈現在眼前。以這張圖來看，保持右下方的小三角形的比例不變，將其擴大並旋轉，就能變成左方的大三角形。用計算坐標的方法就可以確認三邊比例是否相等。
「複數的積」可以用「相似的三角形」來表示。但這又意味著什麼呢？為了深入研究，我們用極坐標的形式來表示複數。不用 xy 坐標來表示複數，而是用到原點的距離（絕對值）和與 x 軸的角度（幅角）的組合來表示。
複數的絕對值指的就是到原點 O 的距離。
複數的幅角指的就是和 x 軸正半軸形成的夾角。
例如複數 2 + 2i，如下圖所示。
由勾股定理可知，到原點 O 的距離是 
。因為複數 2 + 2i 的絕對值是 ，所以這下能明白幅角是 45° 吧？看見一個等腰直角三角形了吧？
2 + 2i 的絕對值寫作 |2 + 2i|，2 + 2i 的幅角則寫成 arg (2 + 2i)。
此時 αβ 的絕對值怎樣呢？
因為 △OPQ 相似於 △OP\'Q，所以這兩個三角形的各邊邊長的比例相等。
去分母，得到
又因為在這裡 Q\' = αβ, P = 1, Q = α, P\' = β，所以可得 
，
，
，
，即
|αβ|=|α|×|β|
也就是說，「複數的積」的絕對值就等於「複數的絕對值」的積。
接下來，我們來研究 αβ 的幅角。
∠POQ\' = ∠P\'OQ\' + ∠POP\'
又因為 △OPQ 相似於 △OP\'Q\'，所以有
∠POQ = ∠P\'OQ\'
因此，我們可以得到下式。
在此又因為 ∠POQ\' = arg (αβ), ∠POQ = arg (α), ∠POP\' = arg (β)，就可以得到結論。
arg (αβ) = arg (α) + arg ( β)
歸根結底，「複數的積」的幅角就等於「複數的幅角」的和。
綜上所述，採用極坐標的形式就可以得到下面這種關係。
「複數的積」 
「絕對值的積」和「幅角的和」
αβ 的絕對值等於 α 的絕對值乘以 β 的絕對值，這很正常。但是 αβ 幅角居然等於 α 幅角加 β 幅角？這就很有意思了。可以說幅角具有指數運算的性質。
那麼，能從幾何層面理解複數的積，同理也能從幾何層面理解複數平方後的式子。我們用復平面的知識，再研究一下午飯時那道速度題 —— 「平方等於 -1 的數字」。
5.2.3 復平面上的 ±i
我們用復平面的知識，再研究一下「平方等於 -1 的數字」。如果用代數的眼光來看方程 x2 = -1，問題就是
平方等於 -1 的數字是什麼？
而如果用幾何的眼光來看，問題就是
如何擴大及旋轉才能令其變換兩次後得 -1 ？
話說回來，-1 到底是什麼呢？復平面上，-1 是「絕對值為 1，幅角為 180°」的一個點。因為可以靠「絕對值的積與幅角的和」來計算複數的積，所以平方後等於 -1 的複數 x 的性質就是「絕對值平方後為 1，幅角擴大 2 倍為 180°」。
平方等於 1 的正數是 
。擴大 2 倍為 180° 的幅角就是 90°。也就是說，絕對值為 1，幅角是 90° 的複數平方後為 -1。這確實與複數 i 一致。
然而，x2 = -1 應該有 ±i 兩個解。另一個解 x = -i 去哪兒了呢？實際上，擴大 2 倍為 180° 的幅角有兩個，分別是 +90° 和 -90°。這兩個角剛好與 +i 和 -i 對應。-90° 角擴大 2 倍是 -180°，但 180° 與 -180° 實際上是同一個角度。
像這樣，如果可以把 ?i 看作是「絕對值為 1，幅角是 ±90° 的複數」，「±i 平方後等於 -1」的性質就沒什麼彆扭的了。也就是說，「向右連續轉兩次」和「向左連續轉兩次」就等於「向後轉」。
用幾何方法更容易形象生動地體現數字的性質。將複數這個「數字」表現為復平面上的「點」，確實是個很棒的點子。
◎ ◎ ◎
「很棒的點子。」米爾嘉說。
米爾嘉流暢的解說令我和泰朵拉深深地折服了，一時間我們都沉默著不知道說什麼。
「對了，米爾嘉。」我說，「因為複數包含實數，所以同一規律也適用於計算實數的積吧？」
米爾嘉沉默地點點頭。我繼續往下說。
「比如有這麼一個問題 —— 『負數乘以負數為什麼得正數』。
負 × 負 = 正
這裡會自然而然地想到復平面上的旋轉。比如，我們來考慮下面這個式子。
(-1) × (-1) = 1
乘兩次 -1 也就相當於將 -1 的幅角 180° 擴大兩倍，就變成了旋轉 360°，等於根本沒旋轉。根本沒旋轉指的是幅角為 0°，對應 1 這個數字對吧。」
「泰朵拉，剛才他說的你明白嗎？」米爾嘉問。
「啊，這個……我明白了。」泰朵拉回答。
「那就好，就像他說的那樣，『負負得正』是很自然的，要問有多自然，就像『連續向後轉兩次就回到原來的朝向』一樣自然。」
啊，之前從米爾嘉那聽到「ω 的華爾茲」的時候，差不多也是這個感覺。只看實數來說明負數的積，是無法直觀地理解的。然而用復平面旋轉來形象地說明，就不覺得負數的積彆扭了。把較為寬廣的複數世界描繪於心，也就能徹底理解深埋於其中的實數世界了。從高維空間往下看，找尋數字結構也就容易了許多……
泰朵拉突然開了口。
「米爾嘉……我感覺……有點明白了。用復平面來將數字和點對應。數字的計算對應點的移動。這樣同時加深了對數字和點的理解……對吧？」
「說的沒錯，泰朵拉。將數字和點對應，代數和幾何對應。」米爾嘉說。
「復平面是代數和幾何邂逅的舞台。」
米爾嘉說著，將食指輕輕貼在自己的雙唇上。
「在復平面這個舞台上，代數和幾何接吻了。」
米爾嘉的一句話，惹得泰朵拉麵紅耳赤地低下了頭。