5.3.1 卡片
第二天放學後，我獨自走出校門。
今天我一直在圖書室算題。米爾嘉先回去了，泰朵拉卻沒有出現。自己雖然計算得很順利，但總覺得有些無聊。
我順著住宅區曲曲折折的小路前行，卻被背後一聲「學 —— 長 ——」叫住了。泰朵拉向我跑了過來。
「學長，哈啊，哈啊……追，追上你了。」
「我以為你已經回家了呢。」
「哈啊……我，我只是晚去了圖書室，一，一會兒。」泰朵拉上氣不接下氣地說著，深深地吸了一口氣，「那什麼，今天早上我去老師辦公室了哦。」
「嗯？」
「我跟村木老師聊了聊復平面，他就拿給了我新的問題。」
泰朵拉取出卡片。
問題5-2 （五個格點）
假設 a, b 為整數，把在復平面上與複數 a + b i 對應的點稱為格點。現在給出五個格點，這五個格點的位置是隨意的，請證明我們可以從中選出某兩個合適的點 P 和 Q，使得線段 PQ 的中點 M 也是格點。中點 M 可與給出的五個格點位置不同。
「學長，這個你能解嗎？」
這語調似乎有什麼深意。
「嗯？只給出了『格點』這一個條件，感覺有點難吧。」
我邊走邊看卡片，思考著。泰朵拉一邊偷瞄著我的神情，一邊在我身旁不停地打轉。小動物泰朵拉。
線段 PQ 的中點 M 指的是將線段 PQ 二等分的點。中點是圖形……不，是幾何表示。使用坐標思考的時候，就需要用數學公式體現中點這個具有幾何性質的說法。把兩點的坐標記作 (x, y) 和 (x\', y\' )，中點的坐標就可以寫成
嗯……
「嗯，花一天去想肯定能解開。不過要是用一整天都沒解開，那麼即使花上一星期肯定也解不開了。」我說。
「嘿嘿嘿……學長的意思是說，這題很難嘍？」
「喂泰朵拉，你幹嗎一副深不可測的樣子？」
「因為解開了！」
「解開什麼？」
「這個問題啊！難道還有別的嗎？」
「誰解開的？」
「就是本姑娘，泰朵拉！」泰朵拉舉起右手示意。
「解開什麼？」
「這個問題啊！—— 學長，不要開玩笑嘛。我從村木老師那接到問題以後就一直在想。因為總感覺能解開，所以上課也在一直研究。」
「嗯嗯。」
「然後，我只花了幾個小時就解開了！」
「上課時間……」
「學長，你想聽不？想聽嗎？我的答案！」
泰朵拉把手交握在胸前，從下方望著我。
「好好，請講。」既然她都使出了最終武器，我也就沒辦法了。
「那麼，我們去『豆子』吧！」
5.3.2 「豆子」咖啡店
我們走進了車站前那家名叫「豆子」的咖啡店，隨便點了些東西之後，泰朵拉就翻開了筆記本。研究數學的時候我們總是並排坐，這樣方便看筆記，而且……嗯，因為方便看筆記。
「首先，按照原理，用實際例子來驗證自己的理解。因為『示例是理解的試金石』嘛。我們就隨便設五個格點吧。」
A(4, 1), B(7, 3), C(4, 6), D(2, 5), E(1, 2)
「我們一計算中點，就發現確實出現了格點。就這個例子來說，我們把點 A, D 當成點 P, Q。這樣線段 PQ 的中點就是格點 M(3, 3)。」
線段 AB 的中點 
線段 AC 的中點 
線段 AD 的中點 
（格點）
線段 AE 的中點 
線段 BC 的中點 
線段 BD 的中點 
線段 BE 的中點 
線段 CD 的中點 
線段 CE 的中點 
線段 DE 的中點 
泰朵拉高高舉起握緊的拳頭揚言道：「那麼，我要在此拿出『秘密 具』了！」
「什麼秘密工具啊，朵拉 A 夢？」
「是『調查奇偶性』啦！」今天的泰朵拉，眼中閃著不一樣的神采。
◎ ◎ ◎
是「調查奇偶性」啦！
設與格點對應的複數為 x + y i，調查 x, y 的奇偶性，這樣一來，就會變成下面四種情況中的一種。
給出了五個格點。
因為我們把五個格點分類成四種情況，所以至少有兩個點與 x, y 的奇偶性相同。
我們把這兩個與 x, y 奇偶性相同的點設為 P, Q。比如 P（偶數，奇數），Q（偶數，奇數）。因為 P, Q 的坐標和 x, y 橫縱坐標的奇偶性是相同的，所以 P, Q 的中點 M 的橫坐標 x 和縱坐標 y 就是下面這種形式。
偶數與偶數的和，奇數與奇數的和都是偶數。
所以 P, Q 的中點 M 的坐標是偶數除以 2，橫坐標 x 和縱坐標 y 都是整數。這就說明，M 是格點。
綜上所述，可證得不管五個格點放在哪裡，都可以選出兩點，使這兩點的中點為格點。
好了，這樣我們的工作就告一段落了……嘿嘿。
解答5-2 （五個格點）
不管五個格點在哪裡，都存在坐標奇偶性一致的兩個點。可以將這兩個點作為 P, Q。
◎ ◎ ◎
「嘿嘿。」泰朵拉似乎很高興地說道。
居然用了米爾嘉的標誌性台詞。泰朵拉真有一套啊。
話說回來……
「這漂亮地運用了鴿籠原理呀。」
「鴿籠原理……那是什麼？」泰朵拉笨拙地東張西望。——在學鴿子嗎？
「鴿籠原理說的是，有 n + 1 只鴿子鑽進 n 個鴿籠，那麼至少有一個鴿籠裡關著兩隻或兩隻以上的鴿子。就是這麼個原理。」
「嗯……這不是理所當然的嗎？」
「是理所當然，不過也是個方便的原理。」
「這次的問題裡有出現鴿籠嗎？」
「『奇偶的情況』就是鴿籠，格點就是鴿子。『把五個格點分類成四種情況，至少有兩個格點是同一情況』跟『在四個鴿籠裡放五隻鴿子，至少有兩隻進了同一個鴿籠』是一回事吧。」
「學長……沒錯，沒錯，確實沒錯！」
「你說了三次『沒錯』，質數。」
「鴿籠原理……真的用到了呢！」
鴿籠原理
有 n + 1 只鴿子鑽進 n 個鴿籠，那麼至少有一個鴿籠裡關著兩隻或兩隻以上的鴿子。在這裡，n 是自然數。
「這原理說起來誰都懂，沒想到居然還起了名字，得寫下來才行，鴿籠……原理。」
泰朵拉拿出筆袋，把鴿籠原理記在筆記本上。
「咦？泰朵拉，給我看看你那頁筆記。」
「這頁嗎？是我算了又算的草稿，太丟人了。」
筆記寫了大概有 5 頁，上面畫了一堆格點和格點連成的星形圖形。很明顯泰朵拉一直想著這個格點問題，試了多種多樣的情況。
「泰朵拉，你試了很多種情況啊。」
「沒錯。我把學長你經常掛在嘴邊的那句『示例是理解的試金石』拿來實踐了。為了能真正理解這個問題，就一個勁兒地舉例子，確實怎麼舉例都會出現格點。然後我就回到了格點的定義 —— 橫坐標 x 和縱坐標 y 都是整數。要想讓中點成為格點，必須讓兩點坐標的和能被 2 整除……然後我走到這一步才意識到要分奇偶情況討論。所以能解決這個問題，都是多虧了學長。」
泰朵拉說著，臉上綻開微笑。
泰朵拉很努力嘛。
兩個小掛飾垂在泰朵拉的筆袋下，一個是用細長的銀色金屬絲彎成的魚形掛飾，還有一個是發著藍色金屬光澤的字母 M。是名字的首字母嗎？不過，泰朵拉的首字母是 T 啊。
M，是誰名字的首字母呢？