5.1.1 速度題
「我來了。」泰朵拉說。
午餐時間，我剛從小賣部買了麵包回到教室。
「誒？」為什麼泰朵拉會出現在高二年級的教室裡？
「我借一下這張桌子。」
泰朵拉說著「向後 —— 轉！」把空桌子刷地掉了個頭，正好跟米爾嘉的桌子面對面。
「我叫她來的。」米爾嘉說。
兩個女生在吃午飯，泰朵拉吃盒飯，米爾嘉還是萬年不變地只吃巧克力。而我則啃著麵包看著她們倆。雖然類型不同，但她們倆都是美女啊……泰朵拉坦率而富有活力，米爾嘉則精明幹練。
「你午飯總是吃奇巧威化巧克力嗎？」泰朵拉問。
「有時候也吃松露的。」米爾嘉答道。
「那個，我不是這個意思，我的意思是不吃點米飯或者麵包什麼的？」
「這個嘛，話說沒有什麼有意思的題嗎？」
「有一道適合泰朵拉回答的速度問題。」我說。
「什麼什麼？什麼問題？」泰朵拉張大了眼睛。
「平方等於 -1 的數字是什麼呢？」
問題5-1
平方等於 -1 的數字是什麼？
「平方等於 -1 的數字……有了有了，我知道了，是 
對吧！另外一種叫法是虛數單位 i ！」泰朵拉自信滿滿地斷言道。
「嗯嗯，我就知道你會這麼回答。」我說。
米爾嘉閉上眼睛緩緩搖了搖頭。
「誒？不對……嗎？」
「米爾嘉 —— 」我把問題扔給了米爾嘉。
「±i。」米爾嘉立即回答。
「正負 i……啊，對。平方得 -1 的不是只有 +i，-i 也是……」
解答5-1
平方等於 -1 的數字是 ±i。
泰朵拉一臉不滿。
「學長，我感覺你在故意耍我……」
「才沒有，我問得很認真啊。」我反駁道。
「就是。」米爾嘉說，「平方等於 -1 的數，就是二次方程 x2 = -1 的解。因為是二次方程，所以該考慮到有兩個解。n 次方程的解有 n 個，這是代數學基本定理（但要注意重根）。這哪能說是耍你呢。」米爾嘉咬了一口巧克力。
「+i 和 -i 兩個解……這樣啊。」泰朵拉開始對她的漢堡肉餅下手。
我們沉默著吃了一會午飯。米爾嘉吃完巧克力，饒有興趣地看著泰朵拉奇特的筷子盒。不久泰朵拉又開口了。
「i 真是不可思議。總感覺不能接受它的平方等於 -1，該說是有些彆扭嗎……」
「對你而言平方等於 -1 很彆扭？」米爾嘉說。
「-1 嗎？不，也不是彆扭……」
「喔……那麼我們來想想方程式和數字的關係。首先從 x + 1 = 0 開始。」米爾嘉向我伸出了手。
看來是下令讓我把筆記本和自動鉛筆交出來。
5.1.2 用一次方程定義數字
首先從 x + 1 = 0 開始。試試解這個簡單的一次方程。
這下我們就知道了這個方程的解是 x = -1。很簡單。
那麼，我們在 x ≥ 0 的範圍內考慮這個方程式看看。
x + 1 = 0 令 x ≥ 0
現在，假設有個人只知道大於等於 0 的數，這個人覺得 x + 1 = 0 這個方程很彆扭。他會想：「因為 0 是最小的數字，所以不可能有加上 1 得 0 的數字，這樣的數字不存在。」興許，他可能要感 慨「加上 1 得 0 的數字好神秘」。
哎呀，泰朵拉笑了。不過我沒在開玩笑。大約從 18 世紀開始，人類才能自然地接受 -1 這樣的負數。事實上，帕斯卡在 17 世紀還認為 0 減去 4 等於 0。以幾千年的數學發展史來看，負數得到運用也是在不久之前的事。18 世紀最偉大的數學家，我們的老師萊昂哈德·歐拉，他第一次明確闡述了數軸向正和負兩個方向延伸的概念。
言歸正傳，對這種只知道大於等於 0 的數字的人，我們試試這麼說。
「定義一個數字 m，使得 m 滿足方程 x + 1 = 0。」
這種人一定會說「才不存在 m 這樣的數字」吧，那我們就這麼告訴他。
「m 就是能將等式 m + 1 替換為 0 的一個形式上的數字。」
這個形式上的數字 m 指的是……用普通的話說就是 -1。我們把 m 這個數作為 x + 1 = 0 這個方程式的解「定義」了。也可以說，用方程式的形式表示了 m 應該滿足 的「公理」。當然，對我們來說這種做法確實比較繁瑣。
到這裡一次方程講完了。
我們用一次方程的解定義了 m 這個數（實際上 m 就等於 -1）。
現在開始，我們要用二次方程了。
我們用二次方程的解定義 i 這個數字。
5.1.3 用二次方程定義數字
思考以下二次方程。
x2 + 1 = 0
在實數範圍內，沒有能滿足這個二次方程式的數。因為如果 x 是實數，x2 一定大於等於 0。在大於等於 0 的數字上加上 1，不可能再等於 0。所以「只知道實數的人」會覺得這個方程式彆扭。
要感慨「平方後得 -1 的數字好神秘」嗎？不不，我們還是來用方程 x2 + 1 = 0 定義一個新的數字吧。
「定義一個數字 i，使得 i 滿足方程 x2 + 1 = 0。」
這和剛才的「定義一個數字 m，使得 m 滿足 x + 1 = 0」很像。當然，滿足方程 x2 + 1 = 0 的數字有兩個。準確地說，我們定義 i 為滿足方程 x2 + 1 = 0 的兩個數字中的一個。
只知道實數的人肯定會說「才不存在 i 這樣的數字」吧。然而，我們會這麼回答他。
「i 就是能將 i2 + 1 替換為 0 的一個形式上的數字。」
跟剛才的 m 是一樣的。我們把 i 這個數作為 x2 + 1 = 0 這個方程式的解「定義」了，即我們用方程式的形式表示了 i 應該滿足的「公理」。
儘管如此，一般人是不會習慣用方程式的解來定義數字這種獨特的想法的。因為沒法實際用肉眼看到。人類要想把握數字概念，圖形是非常重要的。在負數情況下，關鍵就是「將數軸向負的方向延伸」；而虛數情況下，關鍵就是「兩條數軸」。
第一條是實數的數軸，也就是實軸。
第二條是虛數的數軸，也就是虛軸。
依據由實軸和虛軸這兩條數軸形成的平面 —— 復平面，我們就能理解複數了。
要普及複數，就必須從一維空間飛躍到二維空間了。
◎ ◎ ◎
眼看米爾嘉的解說告一段落了，泰朵拉舉起了手，手上還拿著筷子……
「米爾嘉，我想問個問題……」
這時下午課的預備鈴響了。
「誒？！」泰朵拉遺憾地收拾起盒飯，擺出了她慣用的 1, 1, 2, 3 —— 斐波那契手勢就回自己的教室了，「剩下的放學後去圖書室說哦！」