2.5 家中

夜晚。

家裡人都已進入夢鄉。我獨自在書桌前思考數學。旁邊空無一人，無人與我搭話。這是我一天中非常寶貴的時間。

聽課是為了刺激自己學數學，讀書也是為了研究數學。但是如果不留出時間充分開動腦筋，動手實踐，聽課和讀書就完全沒有意義了。

今天就沉下心來思考泰朵拉的問題吧。

「存在無數個基本勾股數嗎？」

首先，試著列表總結一下基本勾股數，看看能不能發現什麼。

2.5.1　調查奇偶性

我注意到 c 肯定為奇數，於是就試著把表裡所有的奇數都圈上了圓圈。

在奇數上圈上圓圈

咦？ a 和 b 之中似乎總有一個是奇數。不過這是偶然？還是一般現象？我把心中的疑問記了下來。

問題2-3

存在 a 和 b 皆為偶數的基本勾股數（a, b, c）嗎？

我認真地思考著。

嗯，這個問題不難。絕對不存在 a, b 都是偶數的情況。因為如果假設 a, b 都為偶數，這樣由 a2 + b2 = c2 這個關係式可知，c 也會是偶數。因為 a, b 都是偶數的話，a2 和 b2 都是偶數，兩個偶數的和 a2 + b2 也是偶數。又因為 c2 就等於 a2 + b2，所以 c2 也是偶數。平方為偶數的數字只能是偶數，所以 c 是偶數。

也就是說，a, b 如果都是偶數，c 自然而然就為偶數。然而這違背了基本勾股數的定義：a, b, c 的最大公約數為 1。因為 a, b, c 全是偶數的話，a, b, c 的最大公約數就會大於等於 2。

由此可以說「a 和 b 不能皆為偶數」。雖然不知道這能否成為解開泰朵拉卡片上問題的重要線索，不過這的確是一個重要的事實。

我徘徊在數學公式的森林中，對於我而言，重要的事實猶如用來做標記的絲帶。「a 和 b 不能皆為偶數」這個事實也是一條絲帶。為了不時之需還是先綁在樹枝上吧。說不定在探尋森林出口時就能派上用場。

解答2-3

不存在 a 和 b 皆為偶數的基本勾股數(a, b, c)。

2.5.2　使用數學公式

嗯……基本勾股數中，a, b 不會皆為偶數，那麼是否存在「皆為奇數」的情況呢？

問題2-4

存在 a 和 b 皆為奇數的基本勾股數(a, b, c) 嗎？

現在假定 a 和 b 都是奇數，然後跟剛才一樣調查奇偶性。

a 是奇數，則 a2 也為奇數。b 是奇數，則 b2 也是奇數。a2 + b2 = 奇數 + 奇數 = 偶數。由 a2 + b2 = c2 可知，c2 為偶數。c2 為偶數的話，c 也是偶數。也就是說，c 是 2 的倍數。2 的倍數的平方是 4 的倍數，因此可以得知 c2 是 4 的倍數。嗯，這想法有戲。然後，然後……這之後能推斷出什麼呢？

好吧，用數學公式吧。

假定 a, b 皆為奇數，如下所示，分別用自然數 J, K 來表示 a, b。

將其代入勾股定理。

在這個式子左邊的 4(J 2 - J + K2 - K) + 2 中，因為後面的 +2 是用 4 除不盡的，所以整個式子用 4 除不盡。

另一方面，右邊的 c2 是 4 的倍數，也就是說可以被 4 整除。

左邊用 4 除不盡，右邊可以被 4 整除。這就構成了矛盾。

根據反證法，假定的「a, b 皆為奇數」不成立，因此 a, b 不能皆為奇數。

解答 2-4

不存在 a 和 b 皆為奇數的基本勾股數(a, b, c)。

結果表明，a 和 b 其中一方為奇數，另一方為偶數。換言之，a 和 b 的奇偶性不一致。也就是說，只能存在「a 為奇數，b 為偶數」或「a 為偶數，b 為奇數」的情況。在此假設「a 為奇數，b 為偶數」。因為 a 和 b 的奇偶性剛好相反，所以想求「a 為偶數，a 為奇數」的情況時，只需要交換 a 和 b 的位置即可。

好了，繼續吧！—— 話說，肚子有點餓了呢。

2.5.3　向著乘積的形式進發

我走到廚房，拿了一塊媽媽珍藏的 GODIVA 巧克力。

說起巧克力，之前還從米爾嘉那拿了一塊奇巧威化巧克力。我想起了當時她說的話。

「整數的結構，是由質因數表示的。」

確實，分解質因數就能明白整數的結構。但是怎麼把 a2 + b2 = c2 分解質因數呢？嗯……不用質因數的乘積，只用「乘積的形式」表示行不行？

嗯。這下得到了 (c + a)(c - a) 的「乘積的形式」。但是 c + a 和 c - a 都不一定是質數，所以這不能稱為分解質因數。這條路走不通嗎……

嗯……啊，我太傻了，又不是「總忘記條件的泰朵拉」，怎麼把條件給丟了呢。計算前不是已經假定 a 為奇數，b 為偶數了嗎。因為 a 為奇數，b 為偶數，所以 c 就為奇數。這樣 c 和 a 都是奇數，c + a 就是偶數， c - a 也是偶數。因為奇偶數之間普遍存在著以下關係。

奇數 + 奇數 = 偶數奇數 - 奇數 = 偶數

因為 c 和 a 都是奇數，所以下述式子成立。

c + a = 偶數c - a = 偶數

c + a 和 c - a 皆為偶數，b 也是偶數……。好，用數學公式把「偶數」表現出來看看。將 A, B, C 設為自然數，可寫成如下形式。

等一下，這樣 A 會不會變成負數呢？不，不會的。因為 a, b, c 是直角三角形的三條邊，斜邊 c 肯定長於直角邊 a，也就是說 c > a。所 以 c - a > 0, 2A > 0。那麼，來研究一下 A, B, C 吧。

這下就把勾股定理中自然數 a, b, c 的「和的形式」變換成了自然數 A, B, C 的「乘積的形式」。只調查一下 a, b, c 的奇偶性，就邁出了一大步。但是，還不知道這條路走得對不對。

B2 = AC 的左邊是平方數，右邊是乘積的形式。雖然化成了乘積的形式，不過下一步應該從哪邊著手呢？

2.5.4　互質

B2 = AC 這個式子到底能說明什麼呢？

我繞著房間來回轉圈，冥思苦想，環視書架，突然腦中浮現出尤里踮著腳尖張望的背影。這時我耳邊響起自己說過的那句話。

「就算是明擺著的事，最好也要認真總結下來哦。」

那麼，總結一下明擺著的事吧。

• c - a = 2A。

• b = 2B。

• c + a = 2C。

• B2 = AC。

• a 和 c 是互質的……

等等，a 和 c 是互質的嗎？根據基本勾股數的定義可知，a, b, c 的最大公約數為 1。然而就算三個數的最大公約數為 1，其中兩個數的最大公約數也不一定為 1。比方說 3, 6, 7 這三個數的最大公約數為 1，但是把 3 和 6 單拿出來，它們的最大公約數是 3……

不，不對。因為存在 a2 + b2 = c2 這個關係式，所以在基本勾股數的情況下，可以說「a 和 c 的最大公約數是 1」。

現在假設 a 和 c 的最大公約數為 g，且 g 大於 1，那麼存在自然數 J, K 使得 a = gJ, c = gK。然後……

這樣 b2 就是 g2 的倍數，所以 b 是 g 的倍數。也就是說，a, b, c 這三個數都是 g 的倍數。然而這不符合 a, b, c 三個數互質這一條件， 所以 a 和 c 的最大公約數 g 大於 1 這個假設不成立，所以 a 和 c 的最大公約數是 1，a 和 c 是互質的。

同理可證 a 和 b，b 和 c 之間也是互質的。

現在已知 a 和 c 互質。嗯……話說回來，此時 A 和 C 呢？ A 和 C 也是互質的嗎？

問題2-5

a 和 c 互質，當 c - a = 2A，c + a = 2C 時，可以說 A 與 C 互質嗎？

我認為可以說 A 與 C 互質。但是說「認為」太主觀，必須證明才行。

這個命題，用反證法馬上就能證明了啊。

反證法 —— 假定原命題不成立，從而推導出矛盾的方法。

要證明的命題是「A 和 C 互質」，所以反過來假設「A 和 C 不互質」。此時 A 和 C 的最大公約數不為 1，即大於等於 2。把 A 和 C 的最大公約數設為 d (d ≥ 2)。d 是 A 和 C 的最大公約數，所以既是 A 的約數，也是 C 的約數。反過來說，A 和 C 都是 d 的倍數，因此存在滿足以下關係式的自然數 A', C' 。

另一方面，下式是成立的。

那麼就用 A' 和 C' 來表示 a 和 c。

這次我來消去 c。

由 a = d(C' - A') 可知「a 是 d 的倍數」。

因為 a 和 c 都是 d 的倍數，所以 d ≥ 2 是 a 和 c 的公約數。換言之，即「a 與 c 的最大公約數大於等於 2」。然而問題中給出的條件是 a 與 c 互質，所以「a 與 c 的最大公約數應該為 1」。好，這樣就引出了矛盾。

出現矛盾，是因為最初假設了「A 和 C 不互質」。因此，「A 和 C 不互質」是不正確的，根據反證法可知「A 和 C 互質」。

解答2-5

a 與 c 互質，當 c - a = 2A，c + a = 2C 時，可以說 A 與 C 互質。

至此已經求得「A 與 C 互質」，這也是個重要的事實，是第二條標記用的絲帶。

我將第二條絲帶綁在樹上，深呼吸。雖然有點累，不過還能在林中走一陣子。接下來，往哪兒走呢？

剛剛考慮的式子 B2 = AC 難不成相當於「平方數」等於「互質的兩個整數的乘積」？這難道是路標嗎？

2.5.5　分解質因數

現在舞台已經從 a, b, c 轉向了 A, B, C。

問題 2-6

• A, B, C 是自然數。

• B2 = AC 是成立的。

• A 和 C 互質。

此時，就沒有什麼有趣的東西嗎。

「有趣的東西」是指什麼啊，我忍不住吐槽自己。

好像我已經從原本的問題——「存在無數個基本勾股數嗎」跑偏到外星球去了。

我又想起了米爾嘉的歌。

「整數的結構，是由質因數表示的。」

這樣啊……將 A, B, C 分解質因數，會變成什麼形式呢？以下這種形式嗎？

把以上式子代入關係式 B2 = AC 觀察一下。

喔？將 B2 分解質因數時，質因數 bk 全變成了 這種平方的形式。

原來是這樣。將平方數分解質因數，就會發現裡面包含偶數個質因數。

例如 182 這個平方數，分解得 182 = (2 × 3 × 3)2 = 22 × 34，裡面包含質因數 2 和 3，2 和 3 的個數都是偶數。想想就覺得理應如此。

根據質因數分解的唯一分解定理 —— 分解質因數的方法是唯一的 —— 可知，B2 = AC 的左邊和右邊，質因數列是完全一致的。左邊出現的質因數應該也會在右邊的某處出現。也就是說——

啊，我明白了！

在此，第二條絲帶——「A 與 C 互質」這個條件有用了。A 與 C 互質，也就是說 A 與 C 的最大公約數為 1，換言之就是 A 和 C 沒有共同的質因數。考慮 B 的質因數 bk，則任意一個質因數 bk 不包含在 A 中，就包含在 C 中！

沿用剛才的例子 22 × 34，這個數可以表示為互質的兩個自然數 A 與 C 的乘積。如果有 1 個質因數 2 包含在 A 的質因數分解中，則所有的 22 都應該包含在 A 的質因數分解中。如果有 1 個質因數 3 包含在 A 的質因數分解中，則所有的 34 都應該包含在 A 的質因數分解中。某個質因數不能同時放在 A 和 C 中。拿 22 × 34 來說，只能出現如下四種拆分方法。

A 和 C 中不能出現相同的質因數。而且質因數的個數是偶數……這也就意味著，A 和 C 都是平方數。

解答2-6

• A, B, C 是自然數。

• B2 = AC 是成立的。

• A 和 C 互質。

此時，A 和 C 是平方數

厲害厲害，因為 A 和 C 是平方數，所以可以用自然數 m, n 來表示，如下所示。

變量太多了很頭痛，不過還可以前進。弄錯了方向的話，再回頭看看筆記就好。

因為 A 和 C 沒有共同的質因數，所以毫無疑問，m 和 n 也是互質的。到頭來 a, b, c 都可以用互質的 m 和 n 來表示了！

首先，因為 a = C - A，所以

因為 a > 0，所以 m > n。又因為 a 是奇數，所以 m 和 n 的奇偶性應該是不一致的。

接下來，因為 c = C + A，所以下式是成立的。

然後又因為 b = 2B，所以……這裡需要計算一下。

因此，可知下式是成立的。

最後，a, b, c 就可以用互質的 m 和 n 來表示。

反過來，像上面這樣用 m 和 n 的形式表示的一組數 (a, b, c) 肯定是基本勾股數。這個只要計算一下就能確定。

a, b, c 的互質關係也可以通過簡單的計算得到。

研究奇偶性，留意著互質這個條件分解質因數……我得到了基本勾股數的一般形式。

基本勾股數的一般形式

互質的一組自然數(a, b, c)，當滿足關係式 時，可全部用以下形式表示（可以交換 a, b 的位置）。

• m 和 n 互質

• 滿足條件 m > n

• m, n 有一個是偶數，另一個是奇數

這下，隱藏在基本勾股數中的結構就浮現出來了。只要明確到這一步，泰朵拉的問題自然也就迎刃而解了。

不同的質數之間是互質的，所以使用質數列，就應該可以創造出無數個基本勾股數。例如設 n = 2，m 為大於等於 3 的質數。把 m 依次定為 3, 5, 7, 11, 13 的話，從 m 和 n 的組合中可以創造出不同的 (a, b , c)。因為質數有無數個，所以可以創造出無數個基本勾股數。

路途很漫長，不過沒有行差踏錯。

解答2-1

存在無數個基本勾股數。