典型案例
某次，日本新日鐵公司寄送我國寶山鋼鐵公司一箱材料，清單上寫明是六份，但開箱清點只有五份，其中一份不知去向。日方堅稱：「我方提供給貴方的材料，裝箱時需要經過仔細檢查，不會漏裝。」寶鋼則說：「我們開箱時有很多人在場，開箱後又經過幾次清點，是在確實判定材料缺少一份後才向你們提出交涉的。」雙方各執一詞，相持不下。
檢方經過認真聽取雙方意見後，列舉了三種可能：（1）日方漏裝；（2）運輸途中散失；（3）我方開箱後丟失。然後逐一分析，排除了後面的兩種可能。即：如果是在運輸途中散失的，那麼木箱肯定有破損；但現在木箱完好無損，所以，運輸途中散失的可能性沒有。如果材料是我方開箱後丟失的，那麼木箱上所印的淨重量就會大於現有五份材料的重量，而木箱上現在所印淨重量正好與五份材料的淨重量相等，所以，材料也不是我方開箱後丟失的。檢方最終確認，材料一定是日方漏裝了。
邏輯辨析
上述案例中，檢方總體上運用了排除法來進行論證。首先，圍繞材料丟失情況列舉出所有邏輯上的可能性，即日方漏裝、運輸途中散失和我方開箱後丟失。然後，通過人們的知識，排除其他的可能情況，最終得到需要確認的可能情況。其中運用了否定肯定式的選言推理，即：
或者A或者B或者C；非B；非C；所以，A。
檢方在排除其他的可能情況的過程中，還使用了兩個充分條件否定後件到否定前件的假言推理。一個是：如果是在運輸途中散失的，那麼木箱肯定有破損；但現在木箱完好無損；所以，運輸途中散失的可能性沒有。
另一個是：如果材料是我方開箱後丟失的，那麼木箱上所印的淨重量就會大於現有五份材料的重量；而木箱上現在所印淨重量正好與五份材料的淨重量相等；所以，材料也不是我方開箱後丟失的。
這兩個推理都可用公式表達為：
如果A，那麼B；非B；所以，非A。
知識鏈接
根據論證過程不同，可以把論證分為直接論證和間接論證。直接論證是用論據從正面直接論證論題的真實性的論證方法。一般進行的論證都是直接論證。中學裡的數學定理證明大多數採用的都是直接論證或者直接證明。
間接論證不是直接用論據從正面論證論題為真，而是通過論證與論題相矛盾或者相關的其他論斷不能成立，從而間接確定原論題為真。間接論證主要包括反證法（假言證法）和排除法（選言證法）。
反證法是一種間接論證方法，它是通過論證與原論題相矛盾的論斷為假，然後根據排中律確定原論題為真的論證方法。由於反證法需要運用到假言推理，所以，反證法又可以稱為假言證法。
排除法是另外一種間接證明方法。它是通過論證與原論題相關的所有其他可能的論斷都不成立，從而確定原論題為真的論證方法。由於運用排除法需要運用到選言推理，通常也將這種方法稱為選言證法。
擴展延伸
直接證明可以根據其中所運用的推理形式，區分為演繹的、歸納的或者類比的直接證明。作為歸納的直接證明，可以包括典型案例分析證明法、完全或者不完全歸納證明法、對比分析因果論證法。
典型案例分析法是用真實的事例來進行分析說明的直接論證方法。比如：
信念的力量是非常巨大的。兩千年前的漢代著名史學家司馬遷，因為「李陵事件」下獄，受了宮刑。應該說，人世間沒有比這更大的恥辱了。可是他沒有消沉，忍辱負重，披肝瀝膽，專心著述整整11年，終於完成了《史記》這部52萬字的鴻篇巨製，這需要多麼大的毅力啊！假如他不是為了「究天人之際，通古今之變，成一家之言」，恐怕早就自盡身亡了。
完全或者不完全歸納證明法就是通過列舉一類事物的全部或者部分情況來證明論題。比如：
貫徹學生守則使我校學生精神面貌發生了很大的變化，調查顯示：初一各班同學貫徹學生守則之後，尊敬老師和加強團結方面有了顯著的進步，初二各班同學遲到、早退、曠課現象明顯減少，初三各班同學遵守課堂紀律的自覺性有了很大提高；高一、二、三各班同學也有同樣的變化。可見，我校自貫徹學生守則以來，各班都發生了可喜的變化。
對比分析因果論證法，就是根據兩個或者兩類事物屬性的直接對照來證明論題的直接證明方法。前述《孟子》中《生於憂患，死於安樂》一文就採用了這種論證方法。
反證法的第一步是設反論題真，然後由反論題為真推出荒謬的結論，所以假設反論題為真是不能成立的，最後通過排中律確定原論題為真。
反證法可以用公式表示如下：
求證：p。
證明：
令非p（非p是與p相矛盾的論題）成立；
如果非p，那麼q；
非q；
所以，並非非p（充分條件假言推理否定後件式）；
所以，p（排中律）。
比如，下面的例子採取了反證法來進行論證：
（1）任何一個正整數，除了可以被1和它自身除盡外，再不能被其他整數除盡的數叫作素數。那麼，素數一共有多少個？歐幾里得回答說：「有無窮多個。」如果素數不是無窮多個，而是有窮多個，那麼，就可以把它們都寫出來：P1，P2，P3，…，Pn，除此再無更大的素數了。然而，P1×P2×P3×…×Pn+1也是一個素數啊，它比P1，P2，P3，…，Pn都大，這就與前提發生了矛盾，因此，認為素數是有窮多個的假設是錯誤的。所以，「素數有無窮多個」是正確的。
（2）中國在收回香港的過程中，進行了非常艱難的談判。為了對付具有「鐵娘子」之稱的撒切爾夫人，鄧小平拿出了他那「鋼鐵公司」的談判方法。其中，他用了大量的反證法來進行論證。他說，如果我們到1997年還不能收回香港，我們就是李鴻章，我們就得下台，所以，香港是我們必須按時收回來的。鄧小平的談判手法和嚴密論證，迫使撒切爾夫人最終不得不讓步。
排除法的第一步是要構造一個包括原論題在內的選言論題，然後論證除了原論題外其他論斷均不成立，從而根據選言推理的否定肯定式確定原論題為真。
選言證法可以用公式表示如下：
求證：p。
證明：
令p或q或r成立；
非q；
非r；
所以，p（選言推理否定肯定式）。
例如，下面的例子採取了排除法來進行論證：
對待歷史文化遺產應採取批判繼承的態度。對待歷史文化遺產的態度，要麼是全盤繼承，要麼是虛無主義，要麼是批判繼承。全盤繼承，不分精華和糟粕，不能推陳出新，不利於文化的發展。這種態度是不可取的。虛無主義，割斷了歷史，違背了文化發展的規律，同樣不利於文化的發展。所以，只有批判繼承，去其糟粕，取其精華，才能促進文化繁榮。
1.試分析下列論證中所運用的方法，並指出這些方法運用得是否正確。
（1）問：「有一個三角形，它的三邊分別是：3、4、5，這是個什麼三角形？」答：「這個三角形是直角三角形。因為從畢達哥拉斯定理中得知，凡直角三角形都是斜邊的平方等於其他兩邊平方之和，這個三角形的斜邊平方等於其他兩邊平方之和。」
（2）文學藝術也要實行民主。如果沒有不同意見的爭論，沒有自由的批評，任何科學既不能發展，也不能進步，文學藝術也不例外。
2.單項選擇題。
（1）雌性斑馬和它們的幼小子女離散後，可以在相貌體形相近的成群斑馬中很快又聚集到一起。研究表明，斑馬身上的黑白條紋是它們互相辨認的標誌，而幼小斑馬不能將自己母親的條紋與其他成年斑馬的條紋區分開來，顯而易見，每匹母斑馬都可以辨別出自己後代的條紋。
上述論證採用了以下哪種論證方法？
A.通過對發生機制的適當描述，支持關於某個可能發生的現象的假說。
B.在對某種現象的兩種可供選擇的解釋中，通過排除其中的一種，來確定另一種。
C.論證一個普遍規律，並用來說明某一特殊情況。
D.根據兩組對像有某些類似的特性，得出它們具有另一個相同特性。
（2）相對論的創立者愛因斯坦是左撇子，發明家富蘭克林和科學家牛頓是左撇子，達·芬奇、米開朗基羅、畢加索和貝多芬也都是左撇子。這表明，創造性研究是左撇子獨特的天然稟賦。
以下哪項陳述是上述論證所依賴的假設？
A.自福特以來的美國總統，除少數幾位外都是左撇子。
B.左撇子突出的創新研究能力並不是由教育和環境等後天因素決定的。
C.20世紀初，中國的父母還在煞費苦心地矯正孩子慣用左手的「壞毛病」。
D.左撇子具有一定的遺傳性，例如，英國女王伊麗莎白和她的母親都是左撇子。