典型案例
我們知道，集合是由一些元素構成的，例如，｛1，2，3｝、｛黃山，長江，黑龍江｝、｛x｜x是偶數｝等都是集合。其中，1∈｛1，2，3｝，2∈｛1，2，3｝，3∈｛1，2，3｝，但是｛1，2，3｝∉｛1，2，3｝；黃山∈｛黃山，長江，黑龍江｝，長江∈｛黃山，長江，黑龍江｝，黑龍江∈｛黃山，長江，黑龍江｝，但是｛黃山，長江，黑龍江｝∉｛黃山，長江，黑龍江｝。集合｛1，2，3｝、｛黃山，長江，黑龍江｝和｛x｜x是偶數｝都不是自身的元素。但是也有一些集合，它是自身的元素，例如集合A=｛x｜x是集合，並且x中的元素不少於3個｝，顯然集合｛1，2，3｝、｛黃山，長江，黑龍江｝和｛x｜x是偶數｝都是集合A的元素，因為它們3個都是集合，並且其中的元素都不少於3個。同時，A也是其自身的一個元素，因為A是集合，並且它的元素也不少於3個，所以A∈A。
構造一個集合S=｛x｜x是集合，並且x不是自身的元素｝，即S=｛x｜x是集合，並且x∉x｝，顯然上述集合｛1，2，3｝、｛黃山，長江，黑龍江｝、｛x｜x是偶數｝都是集合S的元素，但是集合A不是S的元素。現在問：S是否是其自身的元素呢？假定S是自身的一個元素，那麼根據S的定義，作為其元素的S是集合，並且S不是自身的元素；假定S不是自身的一個元素，那麼又因為S是一個集合，根據S的定義，S又是集合S的元素。這樣，導致矛盾。
這就是著名的羅素悖論。
邏輯辨析
所謂悖論指的是從一些大家公認的前提出發，經過嚴格的邏輯推理，最後得出了不能接受的結論。一個完整的悖論包含三個要素：
（1）公認的前提。在上述羅素悖論中，就包含這樣一些前提：集合的基本概念、概括原則（即由具有一些特定性質的個體可以構成一個集合）、一些基本的推理原則等。這些在提出羅素悖論的時代都是為大家認可的一些基本概念或者原則。
（2）嚴格的推理。在上述羅素悖論中，其推理是一個典型的二難推理。
（3）錯誤的結論。在上述羅素悖論中，最後推出了一個矛盾。在一個悖論中，其錯誤的結論，可以是一個矛盾，也可以是一個已經被證明的錯誤結論。
知識鏈接
悖論的起源，最早可以追溯到古希臘時期。這個時期最有代表性的要算芝諾悖論了：
芝諾悖論的其中一個形式是說：如果讓烏龜先爬一段路程後，那麼跑步健將阿喀琉斯將永遠追不上烏龜。他是這樣論證的：假定烏龜先爬出一段路程達到A1點後，阿喀琉斯開始追趕，當他到達A1點的時候，烏龜已經爬到前面的A2點去了；當阿喀琉斯追趕到A2點的時候，烏龜已經爬到前面的A3點去了；當阿喀琉斯追趕到A3點的時候，烏龜已經爬到前面的A4點去了。這樣的過程可以無限地進行下去，雖然阿喀琉斯跑得很快，可能不斷地逼近烏龜，但是他卻永遠追不上它，他與烏龜之間總有一段距離需要跑。可是，根據常識，阿喀琉斯可以很快地追上烏龜。這樣，導致矛盾。
這就是著名的芝諾悖論。
公元前4世紀，人們又提出了著名的「說謊者悖論」。所謂「說謊者悖論」的大意是：
這句話是假話。
問：上述這個語句是真的還是假的？如果上面這句話是假的，那麼這句話已經說了它是假話，所以它是真的；如果上面這句話是真的，那麼根據這句話所說的，它又是假的。
後來人們還據此提出了另一個悖論，即「卡片悖論」：
一張卡片的正面寫道：「這張卡片背面的句子是真的。」這張卡片的背面寫道：「這張卡片正面的句子是假的。」
問：這張卡片正面的句子是真的還是假的？
假設這張卡片正面的句子是真的，那麼根據這張卡片正面句子的內容可知，這張卡片背面的句子是真的，再根據這張卡片背面句子的內容可得出：這張卡片正面的句子是假的。
假設這張卡片正面的句子是假的，那麼根據這張卡片正面句子的內容可知，這張卡片背面的句子是假的，再根據這張卡片背面句子的內容可得出：這張卡片正面的句子是真的。
為了保持思維的一致性，人們總是想方設法消除悖論。消除悖論的方式有多種，對於一些嚴格的理論悖論，如羅素悖論等，需要認真研究該悖論所涉及的理論細節，從中找出導致悖論的原因，從而消除悖論；而對於一些簡單的悖論，則比較容易消除，如理髮師悖論，說明了理髮師根據他的規定，不管給不給自己理髮，都將陷入窘境，他可以通過廢止這條規定來避免悖論，也可以將自己設定在服務對像之外來避免悖論。
我們在日常思維或者理論創新之中，要時刻注意避免悖論。
擴展延伸
造成悖論的原因是多種多樣的，因此歷史上出現了各種形形色色的悖論，這些悖論在不斷地啟發著人們的思維，促進人們不斷地進行更加深入的思考。下面我們再列舉一些常見的悖論，供大家思考：
（1）意外考試悖論
一位老師對所教班級的學生說：下週一至週五的某一天將舉行一次考試，但考試具體安排在哪一天將是一個意外。於是，這個班級的學生做了以下推理：考試不可能在週五舉行，因為如果考試在週五舉行，那麼考試就不可能安排在週一至週四，既然週一至週四都沒有安排考試，那麼學生在週五前就知道考試必定在週五舉行，所以這不是一個意外。但是，如果考試不能在週五舉行，那麼以同樣的理由，它也不可能在週四舉行。因為如果考試在週四舉行，那麼學生在週四就知道考試沒有在週一至週三舉行，根據前面的推理又知道考試不可能在週五舉行，所以學生在週四前就知道考試必定在週四舉行，所以這也不是一個意外。如此推理下去，最後學生斷定考試不可能在下周的某一天舉行。但是，當考試在下周的某一天真的舉行時，比如說在週二（實際上可以是週一至週五的任何一天），這對於考生來說是一個極大的意外。
（2）絞架悖論
唐·吉訶德的僕人桑丘跑到一個小島上，成了這個島的國王。他頒布了一條奇怪的法律：每一個到達這個島的人都必須回答一個問題：「你到這裡來做什麼？」
如果回答對了，就允許他在島上遊玩，而如果答錯了，就要把他絞死。
一天，有一個膽大包天的人來了，他照例被問了這個問題，而這個人的回答是：
「我到這裡來是要被絞死的。」
請問桑丘是讓這個人在島上玩，還是把他絞死呢？
如果讓他在島上遊玩，那就與他說的話不相符合，這就是說，他說的「我到這裡來是要被絞死的」是錯話。既然他說錯了，就應該把他絞死。
但如果桑丘要把他絞死，這時他說的話就與事實相符，從而他說的就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應該讓他在島上遊玩。
（3）協同攻擊悖論
A、B兩國軍隊打仗。A軍佔據兩邊山頭，B軍駐紮在兩山之間的峽谷裡。東山A軍（稱為A1）指揮想約西山A軍（稱為A2）聯合向B軍發起攻擊，但無現代化通訊工具可用，唯一的辦法是派一名通訊員穿過B軍陣地去通知A2的指揮官。於是通訊員x被派出去了。在x回來之前，A1指揮官是不會發動攻擊的，因為他不知道x是否已經把信送到。後來x順利回來了，並報告說，信已經送到。這時，A1仍然不敢發動攻擊，為什麼呢？因為A1指揮官知道A2指揮官此時尚不知道x是否已經回到東山，即「A2指揮官不知道A1是否已經知道A2指揮官已經收到信」（把引號內的判斷記為P1），因而A2指揮官不敢發起攻擊。A1指揮官知道P1，所以A1指揮官也不敢發起攻擊。於是A1指揮官必須派x再去一次西山，告訴A2方面：「A1已經知道A2指揮官已經收到信」（把引號內的判斷記為P2），此時，A2指揮官敢於發起攻擊嗎？不敢。因為他不知道A1指揮官是否知道A2指揮官已經知道P2。因此，他還得派x再回到東山。如此反覆，無論通訊員在東山和西山之間往返多少次，A1和A2指揮官都無法完成協同攻擊。但是在現實世界中，完成協同攻擊的事例不勝枚舉。
實際上，在上述協同攻擊悖論中，即使使用現代通信工具代替通訊員x，協同攻擊仍然無法完成，其道理是一樣的。
勤思多練
試對上文中提到的悖論進行分析。