典型案例
德國著名數學家高斯，在很小的時候就表現出非凡的數學天才。他十歲那一年，還是一個小學生。有一次，上算術課，老師出了一道算術題，他叫孩子們計算一下：
1+2+3+…+98+99+100=？
老師心裡想：要加的數目這麼多，可得費些工夫呢！而且稍不留心，答案就會弄錯。可是，沒過多大會兒，就有個孩子舉起手並說出了正確的答案。
老師感到非常驚奇，這孩子是怎麼得來的答案呢？
邏輯辨析
小學生高斯為什麼會如此快地就得出了答案呢？原來他雖然還是小學生，但具有非常敏銳的洞察力。他看到了一連串要加的數目（從1到100）中，第一項和倒數第一項，第二項和倒數第二項，第三項和倒數第三項……每一對的和數都是101，而這樣的數剛好有50對，因此，101×50=5050。
高斯之所以能如此迅速、準確地求得題目的答案，是因為他正確地運用了完全歸納推理的形式，找到了一種迅速、準確的解題方法。
知識鏈接
什麼是完全歸納推理？完全歸納推理就是根據某類事物中每一個對象都具有某種屬性，推出該類事物都具有該屬性的推理。例如：
當知道太平洋產石油、印度洋產石油、北冰洋產石油、大西洋產石油，並且太平洋、印度洋、北冰洋、大西洋是世界上的全部大洋之後，就可以推出結論：世界上的全部大洋都產石油。
完全歸納推理可用公式表示為：
S1是P；
S2是P；
…………
Sn是P；
S1，S2，…，Sn是S類的全部對像；
所以，所有S是P。
完全歸納推理的特點是，前提考察的是一類事物的全體對象，結論所斷定的範圍沒有超出前提的範圍，因此，前提與結論之間的聯繫是必然的。完全歸納推理本質上是一種必然性的推理。
完全歸納推理有以下兩個要求：一是前提中需要考察一類事物的全部對象，否則就不是完全歸納推理；二是前提中對每一個別對象的斷定都必須是真實可靠的。
高斯正是在前提中完全考察了100這個數內的所有對應的兩個數字之和分別等於101，即1+100=101，2+99=101，…，50+51=101，然後得出結論：100這個數內所有各個相應的首尾兩數之和都等於101。
擴展延伸
數學中許多問題，都可以採用完全歸納推理來求解。比如，證明所有三角形的三個內角和都等於180度：
我們知道，直角三角形的三個內角和等於180度，銳角三角形的三個內角和等於180度，鈍角三角形的三個內角和等於180度。而全部的三角形都無非是直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。所以，全部三角形的三個內角和都是180度。
這一證明過程表明，有些無窮問題可以通過有窮完全方法來進行把握。
同理，可以證明全部三角形的面積都等於底乘高再乘以1/2。
上述高斯的推理，可以結合梯形面積的求解公式來求解。梯形面積的公式是：上底加下底乘高再乘以1/2。於是：
1+2+3+…+98+99+100=（1+100）×100×1/2=5050。
但是完全歸納的作用範圍畢竟是有限度的，實際思維中大量的推理問題需要通過運用不完全歸納推理來解決。
不完全歸納推理，是根據一類事物中的部分對像具有某種屬性，推出該類對象都具有某種屬性的推理。比如：
已知某市甲公司實行與利潤掛鉤的工資制度以後效益提高了，乙公司實行與利潤掛鉤的工資制度以後效益提高了，丙公司實行與利潤掛鉤的工資制度以後效益提高了……所以，該市所有實行與利潤掛鉤的工資制度的公司，在實行該制度後效益都提高了。
不完全歸納推理的特點是，前提中只是斷定了一類事物的部分對像具有某種屬性，結論卻是斷定該類事物的全部對象都具有某種屬性，結論所斷定的知識範圍超出了前提。不完全歸納推理的歸納強度不必然等於1。因此，前提與結論間的聯繫是或然的，結論也是或然的。不完全歸納推理包括簡單枚舉歸納推理和科學歸納推理。
勤思多練
1.下列結論是否可以通過完全歸納推理得到？為什麼？
（1）原子都是可分的。
（2）人人都是有思維能力的。
（3）螞蟻搬家蛇過道，老牛大叫雨就到。
（4）在24~28之間沒有質數。
（5）我們廠所有車間都實現了生產自動化。
（6）綠色植物可通過光合作用把水和二氧化碳變成糖類而放出氧氣。
（7）春夏秋冬，週而復始。
（8）天下烏鴉一般黑。
2.單項選擇題。
（1）陳華圖便宜花50元買了雙旅遊鞋，不到一個月鞋底就斷了。不久，他按市價的幾乎一半買了件皮夾克，結果發現原來是仿羊皮的。於是他得出結論：便宜無好貨。
陳華得出結論的思維方法，與下列哪項最為類似？
A.李京是語文教師，他仔細地閱改了每一篇作文，得出結論：全班同學的文字表達能力普遍有提高。
B.王江檢驗一批產品，第一件合格，第二件是次品，於是得出結論：這批產品不全合格。
C.王強鄰居的小男孩，頭髮有兩個旋，脾氣很強；王強的小侄子，頭髮也有兩個旋，脾氣也很強。王強因此得出結論：頭髮上有兩個旋的孩子，脾氣都很強。
D.李文認為頭髮上有兩個旋的孩子都很強，因此得出結論：自己的孩子脾氣不強是因為頭髮上只有一個旋。
（2）婚禮看得見，愛情看不見；情書看得見，思念看不見；花朵看得見，春天看不見；水果看得見，營養看不見；幫助看得見，關心看不見；颳風看得見，空氣看不見；文憑看得見，水平看不見。有人由此得出結論：看不見的東西比看得見的東西更有價值。
下面哪個選項使用了與題干中同樣的推理方法？
A.三角形可以分為直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形三種。直角三角形的三內角之和等於180度，鈍角三角形的三內角之和等於180度，銳角三角形的三內角之和等於180度，所以，所有三角形的三內角之和都等於180度。
B.我喜歡「偶然」勝過「必然」。你看，奧運會比賽中充滿了懸念，比賽因此激動人心；藝術家的創作大多出自「靈機一動」；科學發現與發明常常與「直覺」、「靈感」、「頓悟」、「機遇」連在一起；在茫茫人海中偶然碰到「他」或「她」，互相射出丘比特之箭，成就人生中最美好的一段姻緣。因此，我愛「偶然」，我要高呼「偶然性萬歲！」
C.外科醫生在給病人做手術時可以看X光片，律師在為被告辯護時可以查看辯護書，建築師在蓋房子時可以對照設計圖，教師在備課時可以看各種參考書，為什麼不允許學生在考試時看教科書及其他相關材料？
D.玫瑰花好看，因為所有的花都好看。