上一章探討了有關有效學習環境設計的一般問題研究以及意義。現在，我們轉人具體的學科：歷史、數學、科學，來進一步深入地探討教和學。我們選擇這三門學科,目的是突出不同探索和分析方法的學科的異同。討論的主要目的是探討不同學科有效教學所需要的知識。
我們在第二章曾指出，特殊領域的專業知識遠遠超過一組一般性問題解決技能；它還需要組織有序的概念知識和探究過程。不同學科的知識有不同的組織方式，也有不同的探究方法。比如，支持一些歷史主張的證據和證明一個數學猜測的證據就不同，這兩種又都不同於檢驗一項科學理論的證據。第二章還區分了學科的專業知識與幫助其他人學習這門學科的能力。用舒爾曼(Shulman，1987)的話就是，稱職的教師需要切實的教學內容知識(即有關如何教好某一特定學科的知識），而不是只有特定的學科知識。
學科知識不同於一般的教學方法知識，專家型教師知道所教學科的結構，這幫助他們獲得認知地圖，知道如何佈置作業，評價學生的進步以及在班級的交流中提出問題。簡言之，他們的學科知識與教學法知識互相作用，可學科結構知識本身不能引導教師。比如專家型教師對學科知識的難易十分敏感。這意味著新教師必須具備這樣的能力，即「對教學進行反思，他們不僅要熟悉本學科，而且還必須知道妨礙他人學習的『概念障礙』之所在」(McDonald and Naso，1986:8)，這些概念障礙因學科而異。
強調學科知識與教學法知識之間相互影響，這會直接與一般的錯誤概念，即有關教師為了給學生設計有效學習環境需要知道什麼的概念相矛盾。這些錯誤概念是：教學是由一系列普通方法構成；一個好的教師能夠教任何學科；只有學科知識教學就足夠了。
有些老師能夠用多學科進行教學，這並非具備一般教學技能的教師所能勝任的。考慮以下巴布‧約翰遜（Barb Johnson)的案例，她在門羅（Monroe)中學教了 12年的六年級。以傳統的標準，門羅中學是個好學校：標準化考試分數中等、班級規模很小、學校硬件維護得很好、學校領導是一個強有力的教學領導、學校員工變動不大。每年家長們把他們的5年級學生從當地的小學送到門羅中學，托關係進人巴布‧約翰遜的班級。她做了什麼使她聲名鵲起呢？
學校開學的第一周，巴布‧約翰遜向這些6年級的學生問兩個問題：「你們對自己都有些什麼問題弄不懂？對這個世界有哪些問題弄不懂呢?」學生們開始列舉他們的問題，「我可以提一些傻傻的小問題嗎？」一名學生怯生生地問道。「如果這些問題是你的問題，你確實想得到答案，那麼它們既不是傻問題也不是小問題。」老師這樣答道。學生們列出他們的問題之後，巴布把學生們按相同問題分成小組，要他們為這些問題尋求答案。在做了充分討論之後，每個小組就有關自己的和有關世界的問題按輕重緩急進行排序。
接著全班匯總，巴布‧約翰遜根據各小組的排序達成統一。這些問題成為巴布班級課程的基礎。「我會活到100歲嗎?」這一問題，激起學生從遺傳學、家庭、口述歷史、精算科學、統計學、概率論、心臟病、癌症、高血壓等角度進行廣泛的調查研究。學生們有機會從家庭成員、朋友、不同專業領域的專家、互聯網、書籍、老師那裡索取信息。她描述了作為「學習共同體」一員的學生該做什麼。巴布‧約翰遜說:「我們決定什麼是最迫切的智力問題，設計調查研究這些問題的方法，這樣我們就開始了學習的旅程。有時候，我們未達到目標，有時我們達到了目標，但大多數時候我們超過了目標——我們學到的比我們最初期望的還多。」(個人交流）
調查研究結束時，巴布‧約翰遜和學生們一起幫助學生弄清楚他們的調查研究和傳統的學科知識領域之間的聯繫。他們發明出一張圖表，在這張表上，他們記錄下自己的經驗：包括語言文字、數學、科學、社會研究、歷史、音樂、藝術等方面。學生常常感到驚訝的是，他們竟然學了那麼多，學得那麼與眾不同。一名學生說:「我僅僅感覺我們在玩耍，我沒意識到我們同時是在學習！」
巴布‧約翰遜的教學是非凡的，這需要非常廣博的學科知識，因為它開始於學生們的問題而不是一個固定的課程。由於巴布‧約翰遜具有豐富的知識，她能夠把學生們的問題編織在相關學科的重要原理之中。用反映在她的教學中的一般性策略來武裝新教師，鼓勵新教師運用她的方法是不會奏效的。除非新教師們具備相應的學科知識，否則師生很快就會迷失方向。與此同時，只有學科知識沒有學生如何學的知識（即發展心理學和學習心理學相一致的原理)和怎樣引導學習過程的知識（即教育教學知識），是不會有我們在巴布‧約翰遜班裡所看到的那種學習的(Anderson and Smith，1987)。
在本章接下來的部分裡，我們介紹並討論歷史、數學、科學的教學示例。給出這三門課的目的是揭示構成專家教學的教學法知識和學科知識的基礎（Shuiman，1987)。這能幫助我們澄清為什麼有效教學需要比一組「一般性教學技能」更多的知識。
歷史
大多數人都有差不多相同的學習歷史的經歷：他們學習老師和教科書認為相關聯的歷史事件和時間。對歷史的這種看法和歷史學家們的看法完全不同，持有歷史就是事件和時間看法的學生失去了一些令人激動的機會，即理解歷史作為一門學科有其內在的特別規律的機會，和理解特別的分析能力與理解他們生活中的事件是怎樣聯繫的機會(參見Ravitch and Finn，1987)。不幸的是，很多老師不能用令人激動的方法教歷史，也許，他們的老師就是用這種日期—事件的方法教他們的。
超越事實
在第二章，我們討論了歷史學科領域中專家們的研究，瞭解到他們把已有的證據看作是超越事實羅列之上的材料(Wineburg，1991)。他們將一組天才高中生與一組職業歷史學家進行對比研究。兩個組都接受一次測驗，題目是有關美國獨立戰爭的事實，材料來自一本非常暢銷的美國歷史課本中章節的回顧部分。有美國歷史背景知識的歷史學家們能夠回答出大多數的題目，而其專業領域不在美國歷史的歷史學家們只能回答三分之一的題目，好幾個學生在有關歷史事實的預先測試中的得分超過有些歷史學家。但是，除了測試歷史事實，還有一個題目，給出一篇歷史文獻，要求梳理出不同的觀點主張，並且給出合理的解釋。這道題歷史學家們勝出。相反，大多數學生感到難以回答。儘管學生們擁有大量的歷史信息，他們不知道怎樣富有成效地運用這些知識信息，形成自己對事件的解釋，得出結論。
不同教師對歷史的不同看法
對歷史的不同看法影響教師教歷史的方法。比如，威爾遜和維尼博格(Wilson and
Wineburg，1993)請兩位美國史教師讀一些由學生所寫的有關美國獨立戰爭原因分析的小論文，他們不需要對人物和事件做出不偏不倚的、完美無缺的或明確無誤的評述，而是要為學生提供繼續「修改或豐富」的意見。首先為教師們提供題為「評價美國獨立戰爭的原因」的論文，這些論文是由11年級學生在45分鐘內完成的。考慮一下背景材料7. 1中巴恩斯先生(Mr. Bames)和凱爾西女士（Ms. Kelsey)這兩位老師對同一個學生論文的不同反饋。
背景資料7.1對美國革命文章的評述
7號學生論文
When the French and Indian war ended, British expected Americans to help them pay back there war delts. That would be a reasonable request if the war was fought for the colonies, but it is was fought for English imperialism so you can』t blame them for not wanting to pay. The taxes were just the start of the slow turn toward rebellion another factor was when parliament decided to forbid the colonial government to make any more money, Specie became scarcer than ever, and a lot of merchants were pushed into a 「two way squeeze」and faced bankruptcy. If I had the choice between being loyal, or rebelling and having something to eat, I know what my choice would be. The colonist who were really loyal never did rebel, and 1/3 support the revolution.
The main thing that turned most people was the amount of propaganda, speeches from people like Patrick Henry，and organizations like the 「Association」. After the Boston Massacre and the issuing of the Intolerable acts, people were convinced there was a conspiracy in the royal government to extinguish America，sliberties. I think a lot of people also just were going with the flow, or were being pressure by the Sons of Liberty. Merchants who didn』t go along with boycotts often became the victims of mob violence. Overall though, people were sick of getting overtaxed and walked on and decided let's do something about it.
巴恩斯先生的最終評語
——你的主題句不明確。
——你的文章最好能補充更多的詳細事實。
——注意拼寫和語法錯誤。
成績：C-
凱爾西女士的最終評語
——文章的最大特點是盡董把握問題的本質：為什麼殖民地人民要反抗?請繼續思考這個問題，就從「假如我在那裡，會是什麼呢?」起步。
——可是，要使這篇文章能說明問題，你還需要加大文章組織策略的改進力度。請記住你的讀者基本上對這場革命不瞭解，所以，你需要盡可能地把你的觀點闡述清楚。試試把你的觀點由開頭到中間再到結尾重新組織。
開頭，說出你站在哪一端：是什麼使殖民地人民起來反抗——錢、宣傳、順從？
中間，提出論據證明你的觀點：什麼樣的事實因素支持你的觀點，也能說服你的讀者？
結尾，再次向讀者展示你的觀點。
請修改後再交上來！
資料來源：威爾遜和維尼博格(1993:圖：1)。經許可使用。
註：學生的論文沒有翻譯，目的是為了保持學生論文的原貌，以便讀者能夠對比兩位教師的不同評價——譯者注。
巴恩斯先生對論文實際內容的評述主要集中在事實層面。而凱爾西女士的評述針對美國獨立戰爭的性質，其視野更加廣闊，同時也沒有忽視論文中出現的重大事實錯誤。總體來說，巴恩斯先生把這些論文當作以正態曲線區分學生能力的標示，而凱爾西女士把這些論文看成為歷史是記住和列舉一大堆歷史事件和信息的錯誤概念的代表。這兩位老師對學習歷史的本質有十分不同的見解。這些見解又影響了他們的教學方法以及要求學生學習的內容。
對優秀歷史教師的研究
對於那些專家型的歷史教師而言，他們的學科知識和有關學科知識結構的理念與他們的教學策略相互作用。他們不是僅僅教給學生們要學的事實，而是幫助學生理解基於史實的解釋和所分析的問題本質，幫助他們懂得歷史與現實生活的重要關係。
有一位非常優秀的歷史老師鮑勃‧貝恩（Bob Bain)，他是俄亥俄州比奇伍德(Beechwood)—所公立學校的教師。他說，歷史學家們受大量資料之苦——追溯歷史軌跡使他們淹沒其中，除非他們能找到區分輕重的方法。歷史學家認為重要與否決定他們怎樣寫他們認為的歷史、選擇什麼樣的資料、編寫什麼樣的故事、組織和年代劃分的更大的計劃。這些關於歷史重要與否的設想在課堂教學中常常無法講清楚。對學生們來說，他們相信他們的教科書就是歷史而不是一種歷史。
鮑勃‧貝恩開始教授九年級中學課時，要求所有學生都設計一個年代表，把他們認為最重要的各個時期的手工藝品放置其中。接下來學生的任務是在紙上寫下他們挑選這些物品的理由。以這種方法，學生們清楚地表達了他們的基本假設，即什麼才稱得上具有重要歷史價值。為了把學生們的反應集中起來，他把這些見解寫在一張大展板上，然後掛在教室的牆上。鮑勃?貝恩把這個展板叫做「決定歷史重要與否的準則」，這塊展板成為本年度課堂討論中的標桿，經過不斷的修改和提煉，學生漸漸地能更好地表達他們的觀點。
起先，學生們按部就班地應用這些準則，他們很少意識到，他們既然能創造準則，也就能改變準則。但是，當他們能夠熟練地對重要性做出判斷時，他們發現準則就像工具一樣，用於分析、檢驗不同歷史學家的論點，這使他們開始理解為什麼歷史學家們彼此有分歧。在這個例子中，由於教師對歷史的理解深刻透徹，有助於提高學生理解歷史本質的能力。
萊因哈特和格林諾(Leinhardt and Greeno，1991，1994)花了兩年時間研究一位造詣很深的高年級歷史教師。這位教師在匹茲堡（Pittsburgh)市的一所中學任教，她就是斯特林夫人(M& Sterling)，從教20多年，經驗豐富。開學第一節課，她要學生思考一句話的意思:「任何真實的歷史都是當代史。」開學第一周，斯特林硬要學生探索一些在研究生討論會上才會出現的認識論問題:「什麼是歷史? 」「我們是怎樣知道過去的?」「作為經驗的一部分，坐下來『寫歷史』的人與由普通人製造手工物品之間有什麼區別？」實際上，這些問題是需要經過一系列的研討之後才可能弄清楚的。這些拓展性練習的目標是幫助學生理解歷史是一種證據知識，而不是一大堆固定不變的姓名和日期。
可能有人會問，花5天時間「給歷史下定義」而學科內容又那麼多，值得嗎？但這就是斯特林關於學科知識的具體框架——她把歷史作為整體理解的中心——允許學生進人歷史知識建構的高級境界。課程結束時學生從被動的對過去的旁觀者轉而成為積極參與思維、推理的自由行動者，這種參與具有熟練的歷史認知的特點。比如，在她從教早期，斯特林夫人就問學生這樣一個有關憲法公約的問題「人能夠做些什麼？」保羅把這個問題按照字面來理解：「哦，我認為他們所做的最大的事就是昨天我們討論過的，建立西北地區第一個殖民地。」然而，經過兩個月教學生歷史的思維方式後，保羅開始跟上了。到了 1月份，在回答南方棉花經濟衰退的原因時，他能聯繫到英國的貿易政策、殖民地國家在亞洲的投機以及南方領導人沒有領會民眾對有關大英帝國的意見等。斯特林夫人對歷史的理解使她能夠創造出這樣的課堂氛圍，學生可以在其中既掌握歷史概念和事實，又能夠運用這些概念和事實對歷史做出權威的解釋。
對證據的辯論
伊麗莎白‧詹森(Elizabeth Jensen)讓11年級學生就以下決議進行辯論：
決議：英國政府擁有對美國殖民地徵稅的合法權利。
學生們進人教室後將書桌擺放成三組——教室左邊是「反抗」組，右邊是「擁護」組，前邊是「法官」組。詹森坐在外側，膝上放著一本活頁筆記本，看上去30歲左右，個子不高，聲音低沉有力。但是，今天這個聲音保持沉默，因為她的學生要討論英國對美國殖民地徵稅的合法性問題。
反方的第一位發言人，一位16歲女孩，穿著一件印有「Grateful Dead樂隊組合」字樣的T恤衫，帶著一隻耳環，從筆記本中拿出一張紙，開始發言：
英國人說他們為了保護我們需要在這裡駐紮軍隊。表面看來，這似乎很合理，實際上缺乏理據。首先，他們要對付誰來保護我們？對付法國嗎？引用我們的朋友貝利先生（Mr. Bailey)在54頁上的一段話，「在1763年解決了巴黎以後，法國的勢力被完全逐出北美洲」。所以，顯然，他們並不是衝著法國而來的。也許，他們需要對付西班牙人？然而，那場戰爭也征服了西班牙人。因此，他們並沒有真正的隱患。事實上，對我們安全構成唯一威脅的是印第安人……但是……我們有一支不錯的國民自衛隊 因此，為什麼他們要在這裡駐紮軍隊？唯一可能的原因是要控制我們。隨著越來越多的軍隊進駐，我們所擁有的任何寶貴的自由就會被剝奪。具有諷刺意義的是英國居然期望我們為這些劣跡斑斑的軍隊，這些國殖民鎮壓者納稅。
一個擁護者反擊：
我們搬到這裡，我們現在所交的稅比起上兩代人在英國所交的少多了，你還在抱怨嗎？讓我們來看看為什麼要交稅吧——主要的原因是因為英國有14億英鎊的債務……這看上去有點貪婪。我的意思是他們有什麼權利從我們身上拿錢僅僅因為他們有權控制我們。但是你知道嗎？ 一半以上的英國戰爭債務來自於為保護我們而與法國和印第安人交戰的費用……收稅沒有理由是不公平的，的確，這是專制。實際的原因使你的牢騷話站不住腳。每一位英國公民，無論他有沒有選舉權都受國會的保護，為什麼這種保護就不能延伸到美國？
一位反抗者就這位擁護者的發言提出質疑：
反抗者：我們給皇家納稅能得到什麼好處？
擁護者：我們得到保護。
反抗者：（打斷）這是你所說的我們得到的唯一好處，保護嗎？
擁護者：是的——得到了英國人所擁有的所有權利。
反抗者：好的，那麼，你怎麼看待無法容忍的條款……否定我們作為英國臣民的權利？你怎麼看待我們被否定了的權利？
擁護者：自由之子懲罰人民，在其身上塗上焦油再蓋上羽毛，搶劫家庭財產——他們的確應該受到一些懲罰。
反抗者：那是不是所有殖民地人民都要為了少數人的行為而受到懲罰呢？
有一陣，教室裡充滿了指責和反擊的不和諧音。「這和在伯明翰的情況相同。」一位擁護者大聲說。一位反抗者輕蔑地嘲笑道:「實際原因是空話。」32個學生幾乎在同時說話，而主持法官，一位帶著金屬框眼鏡的學生，徒勞地猛敲他的鎮石。老師，仍然在角落處，仍然膝上攤著活頁筆記本，發出了這天她唯一的命令「保持安靜! 」她的聲音如雷，秩序得到恢復，擁護者們繼續他們的開題爭論（來自於Wineburg and Wilson，1991)。
伊麗莎白‧詹森教學的另一個例子是她努力地幫助中學生理解聯邦制度的擁護者與反對者之間的爭論。她知道十五六歲的學生不可能一開始就理解兩派之間錯綜複雜的爭論，應先讓學生瞭解這些分歧源自於完全不同的人性觀——這一點被教科書中的兩段文字掩蓋了。她沒有像教科書那樣從歐洲的地理大發現和探險開始學年的教學，而是以主題為人性的研討會開始。在11年級的歷史課上，學生們閱讀一些哲學家（休謨、洛克、柏拉圖、亞里士多德）、國家領導人和革命者（傑弗遜、列寧、甘地）還有獨裁者（希特勒、墨索里尼）的作品摘錄，把不同的觀點呈現給學生而且支持這些觀點。6周以後，該是學習憲法批准書的時候了，現在——這些熟悉的名字——柏拉圖、亞里士多德以及其他人——都被這些充滿激情的聯邦主義者小組和非聯邦主義者小組重新傳喚到庭。這就是伊麗莎白‧詹森對她想要教的內容和青少年學生已清楚的內容的理解，在這個基礎上，她精心地組織一次活動幫助學生體驗將要學習的領域——抗議、憲法、聯邦主義、奴隸制、政府的性質。
小結
這些例子為我們提供了歷史學科優秀教學的一些亮點。它們並不是那些一開始就知道怎樣教學的「天才教師」所為，相反，這些例子為我們展示了專家教師對他們所教學科的結構、對學科認識論的深刻理解。結合精心組織的教學活動，這些教師幫助學生自己理解學科內容。正像我們前面已指出的，這一點與普遍持有的——而且是危險的——有關教學的神話：教學是一般的技能，一個好教師能夠教任何學科是矛盾的。大量的研究顯示：任何課程——包括一本教科書——都由教師根據她/他對該學科領域的理解做出修改（歷史方面的請看：Wineburg and Wilson，1988; 數學方面的請看BalM993;英語方面的請看Grossman etaL，1989)。教歷史需要獨一無二的學科知識和教學法知識，這一點在我們探索其他學科的教學時已越來越清楚地顯示出來。
數學
像歷史學科一樣，大多數人都認為他們懂得數學是幹什麼的——計算。大多數人只熟悉數學的計算方面，所以就爭論數學在學校課程中的地位以及傳統的教學生學計算的方法。對比而言，數學家們把計算僅僅看作是數學的一種工具，而數學的真諦是問題解決、描述和理解結構與范型。目前的爭論集中在學生應該學什麼樣的數學，似乎存在著兩種不同的主張：主張教計箅技能和主張培養概念理解，這反映了人們對數學內容的權重方面存在著很大的分歧。越來越多的研究為人們提供了具有說服力的證據，證明數學老師對數學的瞭解和信念與他們的教學決策與教學行動緊密相連(Brown，1985;全美數學教師學會，1989; Wilson，1990a，b; Brophy，1990;Thompson，1992)。
數學老師對數學、數學教學、數學學習的看法直接影響他們教什麼、怎麼教的觀念——學科知識和教學法知識之間相互依存(如Gamoran, 1994; Stein et al.，1990)。這說明教師的教學目標，從廣義來說，是他們關於什麼是數學的重要問題和他們認為學生該怎樣學才是最好的觀念的折射。因此，當我們考察數學教學時，我們需要既關注教師的數學學科知識，又要關注教師的教學法知識(一般與具體），還要關注他們對學生作為數學學習者的知識。注意到教師的這些知識反過來使我們能夠考察教師的教學目標。
如果學生們在數學課上用理解的方式學習數學——這是目前有關數學課的計算技能的作用的爭論中幾乎人人都接受的目標——那麼很重要的一點是要檢驗理解性數學教學的實例，分析教師的各種角色以及主導這些角色扮演的知識。這一部分，我們考察數學教學的三個案例，這些案例證明了我們目前對模範教學的看法，討論一下這些教師教學的知識基礎，以及導致他們做出教學決策的理念和目標。
乘法的意義
為了教多位數乘法，教師研究者馬格德蕾‧蘭珀特(Magdelene Lampert)創造了一系列的課堂教學，其教學對象是計算技能參差不齊的28名4年級學生。有的學生剛開始學一位數乘法，有的學生則能夠準確地計算n位數與n位數的乘法。教學意圖是讓學生體驗重要的數學原理，包括加法和乘法的混合運算、結合率、交換率、分配率等，一步步地引導學生得出答案（Lampert，1986:316)。她對自己的教學做了清楚的表述，她對乘法結構的理解和她對與乘法相關的問題情景和廣泛領域的陳述都是她在計劃和實施教學時所考慮的問題。很明顯，她的教學目標不僅包括學生對數學的理解還包括把學生培養成為獨立的、有創造性的問題解決者。蘭珀特（1986:339)對她自己的作用做了這樣的描述：
我的作用是把學生有關如何解決和分析問題的觀點擺在課堂上討論，評判他們的論點合理與否，鼓勵他們憑直覺應用數學原理。我也教給他們符號結構形式的新信息，強調數量的符號與運算之間的聯繫。但是，我讓學生們自己決定有些事情是否符合數學原理。如果有人以這種方法領悟教師的作用，就很難把學科知識教學與創造一種理解意義的課堂教學文化孤立起來。在課堂裡，老師和學生都是根據自己的觀點，參照已有的原理來確定運算步驟的合理性。在老師一方，數學原理可能作為更為規範的抽像系統，而在學生一方，他們要瞭解這些原理則依賴他們熟悉的經驗情景。但是最為重要的是教師和學生一起以一種特別的方法來看待和解決課堂數學題。
馬格德蕾‧蘭珀特開始將學生們已有的多位數乘法的知識與原理概念知識結合起來。她用三節課時間做到了這一點。第一節課用到硬幣問題，比如「只用兩種硬幣，用19個硬幣構成1美元」鼓勵學生用他們熟悉的硬幣和硬幣交易需要的數學原理。另一節課用了很簡單的故事和圖畫來舉例說明大數目可以歸類以簡化計算步驟。最後，第三節課僅僅用數字和算術符號代替問題。整個教學過程中，學生們都要面對挑戰，根據提出的證據解釋自己的答案，而不是根據老師說的或書本來檢驗答案。下面的例子強調了這種方法;參見背景資料7. 2。
蘭珀特(1986:337)的結論是：
……學生們運用原理性的知識，這些知識與小組成員用以解釋他們所看到的東西的語言相聯繫。他們能夠富有意義地談論數的位值以及運算次序，解釋運算過程的合理性，推導出結果的原因，即使他們並沒有使用技術性的術語來表達。我把他們的試驗和爭論當作證據來說明他們已意識到數學不只是一個尋找答案的過程。
背景資料7.2總共有多少?
老師一開始就提出一個基本計算問題。
老師：誰能給我講個故事，故事中包含這個乘法計算12×4=?
傑西卡(Jessica):有12只罈子，每一個罈子裡有4只蝴蝶。
老師：那麼如果我做了這個乘法，得出答案，我對這些罈子和蝴蝶
能瞭解些什麼呢？
傑西卡：你就知道你有了那麼多的蝴蝶。
老師和學生接下來用圖畫說明傑西卡的故事，建構計算蝴蝶的過程。
老師：好啊，這是罈子。我們用這些星星代表蝴蝶。
現在，如果我們按組來考慮罈子，我們就能很容易計算出總共有多少只蝴蝶。
通常，數學家們喜歡用哪個數字來分組？[用環狀把10只罈子圈起來。]
薩莉(Sally): 10。
這節課是這樣展開的，老師和學生先建構一幅圖畫，用以劃分以10為一組的4只蝴蝶，剩下2只罈子沒有歸組。他們認識到12X4可以考慮為10 ×4 + 2×4。蘭珀特於是讓學生們探索其他使罈子成組的方法，比如，組成每組6只罈子的兩組。
學生們確實感到吃驚6×4 + 6×4等於10×4 + 2×4。對蘭珀特來說，這一點對學生理解很重要(形成性評價——參見第六章)。這是一種跡象，表明她需要組織更多的包含不同組的活動。在隨後的課堂教學中，學生遇到的兩位數乘法中的數字更大，最大的大到——28×65。學生們繼續加深他們對乘法原理的理解並創造出基於這些原理的計算過程。她要求學生們用故事和圖畫的方法來說明他們的運算過程的理由。最終，學生們探索了更多傳統的和可供選擇的僅僅用書寫符號表達的兩位數乘法的運算規則。
很明顯，她對數學的深刻理解在她教學的過程中發揮了作用。值得指出的是她要幫助學生認識什麼是數學的合理性的目標形成了她設計課堂教學的方法，這些方法啟發了學生對兩位數乘法的理解。
理解負數
幫助3年級學生擴展對數的理解，從自然數到整數，是另一位教師研究者所做的富有挑戰性的工作。德博拉‧鮑爾(Deborah Ball)的工作為我們提供了又一個運用廣泛的學科知識和教學法知識進行教學的精彩片段。她的教學目標是(包括)「開發一種實踐使數學學科知識和兒童作為思想家整合在一起」（Ball, 1993)。也就是說，她不僅慮什麼是重要的數學觀念，還考慮兒童是如何思考她所要教的特定數學領域的。她把作為數學單位的整數(學科知識），以及她那豐厚的教學法知識運用到整數教學中。像蘭珀特一樣，鮑爾的目標超越了典型的數學教學的界線，發展成一種文化，學生們可以在這種文化中猜想、實驗、建立論據、形成並解決問題一一實際上是數學家所從事的工作。
德博拉‧鮑爾對她的工作的描述強調了構想出有效途徑把數學的關鍵概念呈現給兒童的重要性和困難(參見Ball，1993)。有關負數的可能例子很多，她複習了其中的一些一魔術花生、錢、遊戲打分、一條數字線上的青蛙、樓層的上方和下方等等。她決定先用樓層例子，後用錢的例子：她非常清楚每一種例子在表達數字的關鍵特徵，特別是數量和方向時的優勢和局限。閱讀德博拉?鮑爾深思熟慮的描述，你會感到震驚，驚歎她為了特定的數學觀點和過程而選擇的恰當例子時的複雜性。她希望用樓層例子的位置特徵幫助學生辨認出負數不等於零，而這是一個常識性的錯誤。她也意識到用樓層例子幫助學生建立負數減法的模型是很難的。
德博拉‧鮑爾和學生們一起，用樓層例子把樓層貼上標籤，學生已經給地下樓層貼上標籤而且把這些樓層看作是「零下」。他們於是探討當小紙人從某一層進人電梯然後去到另一層時會發生什麼。以這種方法來介紹規範的加法和減法算式的寫法，涉及整數4-6= -2和-2 + 5 = 3。接下來學生遇到的問題越來越難。比如，「一個人要到2樓有多少種走法?」用樓層例子允許學生做大量的觀察，比如，有個學生注意到:「任何零以下的數加上零以上的同一個數等於零1993:381)。但是樓層例子不能解決5 + (-6)這樣的問題，鮑爾想到學生還不理解-5比-2小——雖然-2在- 5之下，但並不意味著-2就小。鮑爾於是用錢的例子並且指出這同樣存在局限性。
很顯然，德博拉?鮑爾的整數可能性表述的知識（教學法知識），以及她對整數的重要數學性質的理解是她設計與教學的基礎。她的目標與培養學生的權威再度聯繫起來，共同體的意義也得到體現。像蘭珀特一樣，鮑爾要求她的學生承擔起決定結論合理性和正確性的責任，而不是依賴課本或老師的確認。
導向性討論
蘭珀特和鮑爾都強調了教師在計劃和實施數學教學時其學科知識和教學法知識的重要性。同樣重要的是教師把學生理解為學習者。認知導向教學的概念幫助教師說明有效數學教學的另一個重要特點：教師不僅要有數學領域特定內容的知識和學生怎樣看待這一特定內容的知識，還要有班級裡的個別孩子怎樣看待這一特定內容的知識（Carpenter and Fennema，1992; Carpenter et al.，1996; Fennema et al.，1996)。有人認為，老師用他們的知識做出恰當的教學決策有助於學生建構數學知識。以這種方法，教學領域的知識(Shulman，1986)擴展到了教師對課堂上每個學習者的瞭解。
安妮‧基思(Annie Keith)用認知導向的教學方法，她教威斯康星州麥迪遜小學一、二年級複式班（Hiebert et al.，1997)。她的教學實踐證明教師理解學生的思維並用這種理解進行教學的可能性。基思女士的課堂教學畫面揭示出她的數學學科知識和教學法知識是如何影響她的教學決策的。
應用題幾乎構成了安妮‧基思的教學基礎。學生花很長時間相互之間、或以小組形式或全班形式討論可選擇的策略。老師常常參與這種討論但幾乎從不向學生演示問題的結論。數學的一些重要的概念在學生探索問題答案的過程中建立起來了，而不是把他們作為教學本身的焦點。比如，數的位值的概念是在學生們使用以10為單位的材料，如以10為單位的積木以及算盤的過程中建立起來的，用以解決多位數應用題。
在安妮‧基思的班上，數學課在不同的環境中進行。每天的一年級活動和二年級活動，像分快餐、午餐統計、出勤，都是作為經常性的問題解決性任務情景來進行的。學生們經常到數學中心上數學課，在那裡學生們可以開展各種活動。在任何指定的時間裡，孩子們在這個中心可能解決老師提出的應用題，而在另一個中心，孩子寫下應用題並拿到班上展示或用於做數學遊戲。
她不斷地挑戰學生，要他們思考並試著對他們所做的活動賦予數學意義。她把這些活動當作她瞭解每個學生怎樣看待和理解數學的機會。當學生們組成小組解決問題的時候，她觀察學生們的不同結論(答案）並在心裡記下哪個學生應該在全班公佈他的結果：要把各種各樣的結論都展示出來，這樣學生們有機會互相學習。她的那些有關數學的重要概念的知識為她提供了選擇過程的框架，但是她對孩子們怎樣思考數學概念的理解也影響她決定誰應該向全班展示。她可能挑選一個實際上錯誤的答案，這樣她可以發起一次有關常見錯誤概念的討論。或者，她可以選擇一種比較複雜的答案向學生們展示這種策略的好處。無論是答案的展示還是隨後全班的討論都為她提供了這樣的信息：即她的學生們已經掌握了什麼，下一步她應該用什麼樣的問題進行教學。
安妮‧基思有強烈的信念，認為孩子們需要在他們已有的知識基礎上建構對數學概念的理解，這一點引導著她的教學決策。她對學生的理解提出假設，然後以這些假設為基礎選擇恰當的活動。當她收集到更多的有關學生的信息並把這和她要求學生學習的數學比較之後，她會修正教學。她的教學決策顯示她對每個學生目前理解狀態的清楚的診斷(判斷）。她的方法並不是一場沒有老師引導的混戰：而是一場基於學生的理解水平又由教師精心指揮的教學，老師知道什麼是重要的數學問題，什麼對學習者的進步來說更重要。
基於模型(model-based)的推理
有些使數學教學具有活力的嘗試強調了建模現象的重要性。建模方式從幼兒園到12年級(K—12)都可以運用。建模涉及建構模型的週期循環、模型評價、模型修正。這一點在很多學科領域（比如數學和科學)的專業工作中是首要的方式，但學校教學中卻很少使用。建模實踐無處不有，形式多樣，從物理模型，比如天象模型或者人的血液循環系統模型，到抽像的符號系統的建構，都有代數學、幾何學、微積分等的例證。建模在這些學科領域的普遍性和多樣性說明建模能夠幫助學生發展對廣泛的重要概念的理解。我們能夠也應該在任何年齡和水平鼓勵學生開展建模實踐（Clement，1989; Hestenes，1992; Lehrer and Romberg，1996a，b; Schauble et al.，1995;參見背景資料7. 3)。
背景資料7.3物理模型
類似太陽系模型或肘的模型，物理模型屬於微觀世界體系，尤其能吸引孩子們的直覺——關注模型所指向的真實世界和模型本身之間的相似性。下面的照片是一個孩子所建的肘的模型，用橡皮筋模擬韌帶的連接功能，模型上木榫的作用是使肘在垂直面彎曲時不超過180度。雖然兒童在尋找功能時是以原始相似性為基準的，但當兒童修改其模型時作為相似性的東西已經明顯地發生了變化。比如，試圖使模型模擬肘的動作常常導致對肌肉可能的作用的興趣(摘自Lehrer和Schauble，1996a，b)。
孩子所做的肘的模型。
用建模的方法解決問題需要發明（或選擇）一個模型，探索這個模型的質M，然後用這個模型回答感興趣的問題。舉例來說，三角幾何有內在邏輯意義，它也具有對現象的預見能力，這些現象範圍廣泛，從光學到尋找航線（就像導航系統），到鋪設地板。建模強凋需要利用數學形式，但是課程標準中並沒有充分的表述出來，比如空間可視化、幾何、數據結構、測量以及不確定性等。舉個例子，對動物行為的科學研究，像鳥搜尋食物，是有嚴格限制的，除非你能用像變化性和不確定性這樣一些數學概念。因此，建模的實踐為我們探討學科中那些「大概念」(big ideas)提供了可能。
小結
漸漸地，早期數學教學的方法中結合了這樣的假設：所有的學習都涉及把理解擴展到新的情景中;青少年學生來到學校時對數學已有很多種看法；和新環境相關的知識並不是同時進入這個環境的;學生在得到尊重、受到鼓勵的前提下更能夠把他們的觀點和策略付諸實施，學習因此可以得到提高。所以，數學教學在開始時就應將注意力放在鼓勵學生發明自己的問題解決方法上，並鼓勵學生討論為什麼這些策略有用，而不是僅僅教計算規則，比如加法、減法。老師們還可以明確地提示學生思考日常生活中與他們的學習有潛在關係的問題。比如說，日常走路的經驗和有關方位與方向的相關概念可以作為發展有關更大範圍空間、方位和方向結構的相關數學知識的出發點( Lehrer and Romberg，1996b)。
隨著研究不斷提供的能夠幫助學生學習有意義數學的優秀教學案例，對教師知識、信念、目標在實施他們的教學思維和行動時的作用也會有更好的理解。我們這裡給出的這些例子已經清楚地說明，教師對教學任務的選擇、對學生完成任務時思維的引導都與教師的數學知識、教學法知識和學生知識高度相關。
科學
最近在物理學領域的兩個例子說明了研究發現能夠用於教學策略設計，以促進專家具有的那類問題解決行為。研究人員要求那些已完成物理人門課程學習的大學生花整整10個小時，在一個星期之內用計算機解決物理問題，這迫使他們用系統原理和對應用這些原理解決問題的過程做概念分析(Dufrenseetal.，1996)。這種方法得益於對專家的研究（在第二章已做討論）。讀者能夠回憶起當要求陳述解決問題的方法時，物理學家們一般總是討論原理和過程。相反，新手們趨向於談論所給問題中的變量控制的具體公式(Chi et al.，1981)。把這個與沒有用計算機而解決相同問題的一組學生相比，用計算機完成層級分析，在隨後專家的測量中，成績要好的多。舉個例子，在解決問題時，無論是檢驗整個問題解決的過程，還是檢驗得出正確答案的能力，或是檢驗運用恰當的原理解決問題的能力，那些做層級分析的學生遠遠超過那些沒有做層級分析的學生（參見圖7. 1)。此外，在問題分類時也出現了相同的差別：做層級分析的學生在決定兩個問題是否用相同方法解決時經常考慮原理而不是表面特徵，參見圖7. 2(參見第六章，一個在圖7. 2中的分類任務中所使用的項目分類例子）。值得注意的是，圖7.1和7.2說明了我們在這本書中已經討論過的另外兩個問題，那就是：時間是衡量學習的一個重要指標；經過周密安排的練習是提高專業知識的有效途徑。這兩個方面都表明，控制組所取得的顯著進步僅僅是練習的結果(在任務上所花的時間），但是實驗組用了相同的訓練時間卻獲得更大的進步（周密安排的練習）。
圖7. 1 兩種培訓方法在問題解決、最後答案、
原理理解方面的結果。
資料來源：Dufresneetal. (1992)。
用問題解決的方法來教物理導論課已獲得成功，這個問題解決的方法開始於對問題的定性層級分析（Leonard et al.，1996)。老師在教工科大學生物課時，要求他們在解決問題之前寫出解決問題的定性策略（在Chi et al.，1981的基礎上）。這些策略包括用連貫的語詞描寫出問題怎樣能夠得到解決，它有三個組成部分：應用的主要原理;說明為什麼要運用這些原理;運用這些原理的過程，即清楚地描述是什麼問題(what)、為什麼是這個問題（why)、怎麼解決這個問題（how)。參見背景資料7. 4。和那些學習傳統課程的學生相比較，這些學習基於策略的課程（strategy-based course)的學生形成了非常好的能應用相關的解題原理對問題進行分類的能力，參見圖 7. 3。
圖7. 2運用原理對問題進行分類的兩種培訓方法的結果。
資料來源：Dufresneetal. (1992)。
背景資料7. 4學生完成的定性解題策略書面作業
要求選修物理人門課程的學生寫出考試題的解法。
考試題：
一塊質量（M）為2千克，半徑（R)為0. 4 m的滑輪，輪沿上繞著繩子，滑輪可繞其中心的軸自由轉動。一質量(M)為1千克的木塊，繫在繩子的另一端。保持繩子緊張狀態並將系統從靜止開始釋放。問木塊下落(d)0.5m後的速度是多大？請寫出解法和答案來。
解法一：應用能量守恆定律求解，因為系統中唯一的非保守力就是連接木塊和滑輪的繩子中的張力(假設軸和滑輪之間，以及滑輪和空氣之間的摩擦均不計），該張力對滑輪和木塊所做的功相互抵消。首先，選取一個坐標系，以便可以確定出系統的初始勢能，開始時，因系統處於靜止狀態，故系統開始時沒有動能。因此，系統的勢能就是系統的初始總能量。令系統的初始能量等於系統末態的能量(系統末態能量由滑輪的動能，木塊的動能以及此時系統相對於所選坐標系的勢能組成）。
解法二：我會用機械能守恆定律來求解。木塊M懸於空中時有一定的勢能，在木塊M開始向下加速的過程中，它的勢能轉化為滑輪的動能和木塊的動能。根據機械能守恆，令系統初態的總機械能等於末態的總機械能，並利用滑輪角速度w與木塊線速度I；之間的關係，M的速度就可得出。雖然仍有非保守力，即張力，機械能仍然守恆。這是因為張力是系統內部的力（即滑輪、木塊和繩子組成的系統）。
解法三：為求出木塊的速度，我用木塊的重力先求出滑輪的角動能。在求解過程中，我會用到轉動運動學以及滑輪繞其軸心轉動慣量。
解法四：由於木塊的重力使滑輪受到一個相對於其轉軸的力矩的作用，木塊對滑輪輪緣產生向下的拉力為mg，滑輪相對於其轉軸的轉動慣量為1/2 MR，將轉動慣童與角加速度相乘，令其等於上述力矩，將各量的值代人運動學表達式，就可計算出角速度。然後，用角速度乘以滑輪半徑，就可以算出木塊的速度。
前兩種解法表明學生已經熟練掌握原理、判斷和應用過程，能夠用來解決這類問題(是什麼、為什麼以及如何解決問題）。後兩種策略就像是購物單似的物理術語或者是這門課術語的清單，可是學生沒有清楚地把他們所考慮的為什麼和怎樣應用的問題表達出來。
讓學生(在建模策略之後提供適當的支架以保證學生進步)寫出解法，是一項非常有用的形成性評價工具，用以檢查學生是否在問題情景與原理和過程之間建立恰當的聯繫，以便能夠用來解決這些問題(參見Leonard et al.，1996)。
層級結構是一種有用的策略，它能幫助新手們既回憶知識又解決問題。比如說，對大學物理人門課得高分的物理新手，教他們形成一種叫做理論問題描述的問題分析方法（Heller and Reif，1984)。分析包括用概念、原理和啟發程序描述力學問題。即使這種理論問題描述的形式對新手們來說從沒做過，用這種方法，新手們解決問題的能力顯著提高。沒有受過這種培訓的新手們一般都不能夠自己做恰當的描述，即使是對常見的問題。在嘗試解決問題前詳細描述問題的能力、決定應該用什麼樣的信息分析一個問題的能力、還有決定哪些過程能夠用來做問題分析和描述的能力是專家們經常運用的，但物理課程中卻極少教授。
把在解決物理的不同任務時層級組織的方法教給（imposing)學生有助於學生組織其知識(Eylon and Reif，1984)。受過層級組織訓練的學生在接受物理論點時比起那些受過非層級組織訓練的學生在做各種各樣的回憶和組織問題解決策略時成績要好得多。同樣，接受了用層級方式組織的問題解決策略的學生比起那些接受未用層級方式組織的相同策略的學生表現更出色。所以，幫助學生組織他們的知識與知識本身同等重要，因為知識結構在很大程度上影響學生的認知行為。
圖7. 3基於策略的教學與傳統教學在多項選擇
測試中題目數置與正確率的比較。
資料來源：Dufresne et al. (1992)。
這些例子都說明，經過周密安排的練習和由「教練」提供反饋以優化學生的學習行為的重要性(參見第三章）。如果只是簡單地給學生提出問題讓學生自己解決(這是所有科學課程教學中使用的方法），很可能學生的時間花費將是低效的。學生可能會為解決一個問題困擾上幾分鐘甚至幾小時，要麼放棄，要麼浪費很長時間。在第三章，我們討論過學生通過犯錯誤而受益的方法，認為學生犯錯誤並不總是意味著浪費時間。可是，如果一個學生把大多數的問題解決時間花在對熟練操作來說不是最理想的過程演練上，比如發現和應用公式解決問題，而不是辨別其本身的原理和應用過程，緊接著建構所需的具體步驟是遠遠不夠的。在周密安排的練習中，學生在一個輔導員（具體人或基於計算機)的幫助下進行必要的練習以加強學生的學習行為。通過精心組織的練習，設計一種基於計算機的輔導環境能夠把個體的學習時間從四年減少到25個小時，效果達到在真實生活中解決問題的標準(參見第九章）。
概念變化
學生在真正學習新的科學概念之前，常常需要對根深蒂固的錯誤概念進行重組，因為這些錯誤概念會干擾學習。正如上面（參見第三、第四章）所回顧的那樣，人們花費很多時間和精力，通過經驗和觀察來建構物理世界，他們會固守這樣一些觀點——無論它們與科學概念的衝突有多大——因為這些固守的觀點幫助他們解釋一些現象，對世界做一些預測（比如，為什麼一塊岩石比一片葉子下落得更快）。
有一種教學策略叫做「搭橋」，已經成功地幫助學生克服那些頑固的錯誤概念(Brown，1992; Brown and Clement，1993)。搭橋策略試圖在學生的正確觀念(稱為拋錨概念)和錯誤觀念之間通過一系列類似情景架起一座橋。開始時運用拋錨式直覺，即彈簧上放著一本書，彈簧向上彈出，作用於書，問學生把一本書放在一個長長的類似彈簧的板塊的中間，板的兩頭被固定，書是否受到板塊向上力的作用。彎曲的板塊看上去似乎起到與彈簧一樣的作用，這一事實使很多學生同意彈簧和彎曲的板塊都對書有一個向上的作用力。對一個不同意這個觀點的學生而言，老師可以通過讓學生把手垂直放在一個彈簧的頂端，往下推，再把手放在類似彈簧的板塊中間往下推，然後問在這兩種情況下，她的手是否感到有一種向上的力阻擋她下推。通過這種對學生信念的動態探索，通過幫助學生想方設法解決相衝突的觀點，學生學會了建構前後一致的觀點，這種觀念則可以運用到更大範圍的情景中去。
另一種幫助學生克服頑固錯誤觀念的有效策略是通過互動的課堂演示（Sokoloff and Thornton，1997; Thornton and Sokoloff，1997)。這種方法在大學的物理入門課的大班教學中使用效果很好。開始時老師先對演示做一些總體介紹，比如在一條汽軌(air track)上有兩輛汽車發生碰撞，一輛是靜止的輕型車，一輛是重型的，正向靜止的汽車駛去。每一輛車上都裝有一個電子「探測器」，能把碰撞時作用於汽車的力通過大屏幕及時顯示出來。老師先讓鄰座的學生討論所給情景，並記下他們對這兩輛車相撞時是否一輛對另一輛的作用力更大或者兩輛車的作用力相等。
絕大多數學生錯誤地預言那輛馳行的重型車對那輛靜止的輕型車的作用力更大。這再一次說明，建立在經驗基礎上的預測看上去似乎很有道理——學生們知道一輛行駛中的馬克牌卡車撞向一輛靜止的大眾牌甲殼蟲小轎車，結果肯定是甲克蟲車受損更嚴重，學生把這解釋為，馬克牌卡車對大眾牌小轎車的作用力更大。然而，儘管對大眾牌小轎車的損壞更大，牛頓第三定律揭示兩個相互作用的物體彼此之間的作用力和反作用力相等。
當學生做出預測並記錄下來後，老師進行演示，學生看見屏幕上的探測針記錄的力的強度相等但是在碰撞過程中方向卻相反。學生們還討論了其他幾種情況：假如兩輛車以相同的速度駛向對方情況會是怎樣的？假如情況剛好相反，重型車靜止不動，而小轎車駛向它情況又會是怎樣的呢？學生們先做預測然後看兩車相撞時所顯示的實際力M。在所有的情況下，學生們看到的都是兩車的作用力方向相反，但大小相同。在老師的主持下，學生們進行了討論，然後，開始根據牛頓第三定律建立起與他們的觀察和經驗一致的觀點。
與提供反饋研究相一致(參見第三章)的另一項研究表明，學生目睹兩輛車相撞時所顯示的力，能幫助他們克服錯誤概念。延遲20—30分鐘的時間來顯示實時發生的事件的圖形數據會極大地影響學生對基本概念的學習（Brasell，1987)。
事實證明，不管是搭橋策略還是交互式演示策略都有助於學生永久地克服錯誤概念。這一發現是教學科學(teaching science)的一大突破，因為很多研究指出學生有時會模仿考試中的正確答案，他們錯誤地認為這可以根除錯誤概念的出現。但是，在相隔幾周或幾個月以後再來考學生時，他們常常還會犯同樣的錯誤(Mestree，1994)。
把教學看作是教練
明斯特蕾爾（Minstrell，1982,1989,1992)對高中學物理學生所進行的教學是一個將研究轉化為實踐的範例。他運用了很多基於研究性的教學技能（比如搭橋、使學生的思維可視、促進學生重構自己的知識)來教學生理解物理。他通過課堂討論做到這一點，在討論中，學生使物理概念具有意義，從而建構起自己的理解，而明斯特蕾爾卻扮演了教練的角色。下面的引語說明了他的富有創新、行之有效的教學策略(Minstrell,1989：130- 131)：
學生關於力學的初始觀念就像一簇紗線一樣，有些彼此間毫無連接，有的鬆散地編織在一起。教學的行為可以被看作是幫助學生理順個體凌亂的觀念，為其分類，把它們編織成更為完整的理解物品。很重要的一點是，後續的理解在很大程度上是建構在以前的觀念之上的。有時候，給學生介紹一些新的觀念，但是很少有早期觀念被拉出來或是被取代。老師可以做的就是幫助學生把他們當前的觀念與那些類似於科學家們的概念性的觀念加以區別和整合。
在描述一節有關力的課時，明斯特蕾爾（1989:130- 131)用一些一般的術語開始介紹主題：
今天我們將要解釋一些你們曰常生活中常常遇到的非常普通的事情。你們會發現你們已經有很好的觀點，能夠解釋這些事情。我們會發現我們的一些觀點和科學家們的觀點很相似，但是，有時候我們的觀點與他們是很不相同的。這一單元結束時，我希望我們對科學家們如何解釋這些事情有一個更加清楚的認識，我想你們會對自己的解釋感到更為滿意……今天我們要探討的一個關鍵問題是力。你們認為力是什麼呢？
很多觀點在隨後的課堂討論中湧現出來，從典型的「推或拉」到很多複雜的術語的描述，比如能量與動量等。在有些問題上，明斯特蕾爾引導學生討論具體的例子：他把一塊石頭丟向地面，問學生怎麼用自己所掌握的力的概念來解釋這一現象。他要求學生獨立地形成自己的想法，用圖表的方式、用箭頭方式表示石頭所受的主要的力，用不同的符號標誌每一種力的原因。接下來的討論時間較長，學生們把他們的觀點說出來，這些觀點裡包含很多與力不相關的觀點（比如核力)或是虛構的力（比如地球旋轉、空氣旋轉的力）。明斯特蕾爾充當教練的角色，他要求學生以提問的方式澄清自己的選擇，比如「你是怎麼知道的? 」「你怎麼決定? 」「為什麼你這樣認為?」
用這種方法，明斯特蕾爾能夠辨別出影響學生概念理解的許多錯誤觀念。有一個錯誤的觀念認為只有施動者(如人)才能產生作用力，而受動者(如桌子)是不能產生作用力的。明斯特蕾爾開發出一種框架，既能幫助學生使他們的推理有意義，又能使教師設計教學策略(與對學生推理的解釋和分類相關的理論框架，參見現象學早期作品討論DiSessa，1988, 1993)，明斯特蕾爾把學生能夠區別出的一條條知識稱為「面」(facets)，一個面就是思維的一個方便的單元、一項知識或是學生在表達一個特別的情景時所使用的一種策略。面可以和概念化的知識聯繫（比如受動者不能產生力），也可以和策略性的知識聯繫（如平均速度可通過初始速度加上最終速度再除以2得到），或者和一般推理（如X越多Y就越多）相聯繫。辨別學生的知識面，在不同的情境下什麼知識面給學生提示、學生如何在推理時運用這些知識面都對教學策略設計有益。
大班互動教學
大學物理入門課教學革新的一個障礙就是班級人數太多，在同一個時間教很多學生是很難的。教師在面對100名學生時，他該怎樣做才能為學生提供一個積極學習的體驗、才能給學生做出反饋、使教學適應不同學生的學習風格、使學生的思維可視化、搭建支架、調整教學以滿足具體學生的需要？教室(班級)的溝通系統能夠實現這些目標。其中有一個溝通系統是「班級談話」，由硬件和軟件組成，4個學生共享一個輸入設備(如，一個相當便宜的書寫圖形計算器)登錄到課堂通信網絡。老師可以通過網絡給學生們發出問題，學生將答案通過輸入設備傳給老師。學生的答案以直方圖的形式不記名向全班公佈，每個學生的答案都有記錄，用來評價學生個體的進步和教學的效果。
馬薩諸塞大學已成功地運用這種方法教大班學生物理，有非理科專業的學生，也有工科和理科專業的學生（Dufresne et al.，1996; Wenk et al.，1997; Mestre et al.，1997)。這項技術為講座式的大課創造了互動學習的環境：學生們合作解決概念問題，當學生為自己用以得出答案的推理過程辯護時，由學生答案組成的直方圖就被作為全班討論的可視化的出發點。這項技術把學生的思維形象化，也促進批判性的傾聽、評價以及參與班級爭論。老師是一位教練，需要時搭建腳手架、為特定內容做小型講座、澄清混亂不清的觀點。如果學習進行得順利，教師只需主持討論的進行並允許學生自己找出差異，達成共識。這項技術也是在教學過程中支持形成性評價的一種自然機制，在教學過程中隨時做形成性評價，為學生和老師提供反饋信息，使他們能隨時知道，他們對所學概念掌握的程度如何。這種方法比講座更能適合多種不同風格的學習，也有助於造就一個有著共同目標的學習共同體。
為了所有孩子的科學
以上所呈現的教與學的有效策略是面向中學和大學的學生的。我們從這些例子中總結出一些一般的學習原理並強調這些原理表明知識結構對學習的巨大影響。這些研究還強調了班級討論的重要性，通過討論發展一種談論科學概念的語言，使教師和全班其他同學明確學生的思維過程，學會形成一種運用所學知識解決問題、解釋現象和觀察的論證方法。
那麼接著出現的問題是如何給年齡更小的孩子或者那些被認為是處於「教育困境」的孩子教科學。有一種方法教科學特別有用，這種方法是在教授少數民族語言班級孩子的過程中形成的：切克科恩法(Ch&he Konrien)，在海地克利奧爾語中（HaitianCreole)的意思是尋找知識(Rosebery etal.，1992)。這種方法強調講話是一種基本的尋找知識的途徑、科學意義的創造，它也表明了科學觀念是如何建構的，這種方式可以反映科學。用諾貝爾‧ L ‧P ‧梅達沃爵士（Nobel Laureate Sir Peter Medawar，1982:111)的話說就是：
像其他的探索過程一樣，（科學方法）可看作是事實與想像、實際與可能、什麼可能是真的與什麼實際上是真的之間的對話。科學探究的目的不是編撰一套事實信息的詳細目錄，也不是建立一個世界自然法則大全，在這個法則之下任何事件如果不是強制的就要被禁止。我們應該把它看作是無可非議的信念邏輯結構。這些信念是有關可能世界的——隨著我們的進步，我們不斷發明、批判、修改的故事。
切克科恩教學法始於創造「科學實踐共同體」的需要，在幾所波士頓和劍橋的MA公立學校的少數民族語言班級中實行。「課程」由學生的問題和觀念以及學生與老師之間的互動形成。學生探索他們自己的問題，很像我們前面描述過的巴布‧約翰遜的課。此外，學生設計研究、收集信息、分析數據、建構證據，然後討論他們從證據中得出的結論。事實上，學生們建立並爭論理論問題，參見背景資料7. 3。
學生通過反覆地建立理論、提出批評、就自己的問題形成假設、分析數據等活動建構科學理解。問題的提出、理論的建立、圍繞問題的辯論等形成了學生科學活動的結構。在這個結構框架內，學生探索其擁有的理論含義、檢驗隱含的設想、形成並檢驗假m設、尋找事實依據、在信念與事實的衝突之間尋求協商、對不同的解釋進行爭論、為結論提供證據，等等。整個過程比起傳統的以教科書、實驗演示為中心的教學更豐富多彩，科學性更強。
強調建立科學實踐共同體是基於這樣的事實：即堅實的知識和理解是通過談話、活動以及圍繞有意義的問題和工具之間的互動等社會交往過程建構的(Vygotsky，1978)。當學生們在探索問題，定義他們感興趣的問題的時候，老師引導並支持他們。實踐共同體還要為團體裡的個體提供直接認知的和社會支持。學生們共同分擔思考和動手的責任：他們把智力活動分配給每個成員，這樣就不至於將組織整個活動過程的負擔落在任何一個成員的肩上。此外，實踐共同體還是一個建構科學意義的強有力的環境（powerful context)。面對成員相互之間思想和觀念的挑戰，學生們必須清楚地表達自己的意思，他們必須用事實、證據來支持自己的觀點，他們必須分享並綜合知識以達到理解（Brown and Palincsar，1989; Inagaki and Hatano，1987)。
學生參加科學意義創造共同體（scientific sense~making community)能夠學到什麼東西呢？在水味道檢測（參見背景資料7. 5)研究前和後對學生做了個別訪談，第一次在9月份，第二次在來年的6月份，對比顯示學生們的知識和推理產生了怎樣的改變。在訪談中（用海地克利奧爾語訪談），要求學生們大聲說出他們對兩個沒有現成答案的真實生活（real-world)問題——波士頓灣的污染和一所小學校的突然爆發的疾病是怎麼想的。研究者對學生在水生態系統的概念知識，學生運用假說、實驗、組織推理進行解釋等方面的變化特別感興趣（完整討論參見Roseberyet al.，1992)。
背景資料7. 5哪個龍頭的水更好喝？
在海地克利奧爾（Haitian Creole)，接受雙語教學實驗的7年級和8年級學生要發現這個班上大多數學生所持有的一個觀點的「真理」：三樓——初中高年級所在地——龍頭的飲用水比起他們學校其他龍頭的飲用水更好喝。老師對學生們提出挑戰，學生們著手檢驗三樓的水是事實上更好，還是僅僅是他們認為它更好。
第一步，學生們設計好實驗，對三個樓層龍頭的水進行採樣，並在不標明水源的情況下要求學生們品嚐。使他們感到吃驚的是，即使所有人都說他們更喜歡喝三樓的水，但實際上他們中三分之二的人選擇了一樓的水。學生們不相信這個數據。他們堅定地認為，一樓的水是最難喝的因為「所有小孩子的口水都粘在上面」（一樓水龍頭靠近幼兒園和一年級教室）。老師也感到吃驚，因為她所期望的結果是三個樓層的水無區別。他們的這些想法和疑慮激發起學生做第二次檢測的願望。他們於是將品嚐者的人數擴大，把初中高年級剩下的同學都拉進來。
學生對什麼時候、什麼地點、怎麼樣做實驗都做了仔細的設計，討論了實驗方法問題：怎麼采水、怎樣隱藏水源標記，關鍵的是總共要檢測多少個水龍頭的水。他們決定仍然檢測原來的三個水源，這樣他們可以把結果拿來比較。他們擔心檢測過程中會有偏見：假如有些同學品嚐兩次怎麼辦？每個同學都自願只做一次。大約40名學生參加了這次品嚐測試，在分析檢測數據時，他們發現結果支持第一次的檢測結果：88%的初中高年級學生認為他們更喜歡三樓的水，但是55%的人實際上選擇了一樓的水(「33%的選擇帶有偶然性」)。
面對這個事實，學生的懷疑變為好奇，為什麼學生們更喜歡一樓的水呢?他們怎樣測定喜歡的根源？他們決定從幾個方面來分析學校的水：酸性、鹼性、溫度、細菌。他們發現所有的水龍頭都帶有令人不能接受的大量細菌。事實上，學生們喜歡的一樓的水細菌含量最高。他們還發現一樓的水溫比其他樓層的水溫低20華氏度。在這個基礎上，他們得出結論：溫度可能是決定喜歡與否的一個決定因素。他們做出假設：冬季在地下水管中儲存的水自然是涼的(這個實驗研究是2月份做的），當水從地下流向三樓時，水溫慢慢升高。
資料來源：羅斯伯裡（Rosebery et al.，1992)。
概念知識
不出所料，學生們在第二年6月時所掌握的有關水生態系統和水污染的知識比起9月份時要多得多。他們還能創造性地運用這些知識。有一個學生闡述了她將怎樣治理波士頓灣的水污染（Rosebery et al.，1992:86)。
就像尋找東西一樣，把垃圾清理出水，安放一個隔板把紙和其他的東西隔開，然後淨化水，把化學品放進水中，還要把所有的微生物清除。再把氣和明礬放入水中。它們會把小東西集中起來，小東西會粘在化學品上，這樣就可以淨化水了。
注意，這個闡述有錯誤概念，因為把淨化飲用水和淨化海水混為一談，所以，這個學生建議用加化學品的方法把水中的所有微生物都除掉(對飲用水來說是好的，但對波士頓灣的生態系統來說就不適用）。這個例子說明知識在不同情境中遷移的困難（參見第三章）。儘管有這些缺點，很明顯的一點是，這個學生已開始了科學思維，她沒有用更為膚淺的「我要把所有的壞東西清出水」之類的解釋。另外，用使學生的思維可視化的方法，老師就處於一種比較優越的位置來精煉這個學生(也可能是全班)的理解。
科學思維
學生們的科學推理出現了巨大的變化，9月份時，學生們在三個方面表明他們不熟悉科學的推理形式。第一，他們不理解假設或實驗在科學探索中的作用。當問他們什麼會使小孩子生病時，學生們很少有例外地傾向於用簡短的、不精確的、無法檢驗的「假設」回答，這種假設僅僅是對現象的再描述:「那是一種東西……哦，我想說是一個人，有些人，給了他們什麼東西……任何東西，像給了他們有毒的東西，使他們的胃痛。」（Rosebery et al.，1992:81)
第二，學生們把事實概念化為他們已經知道的信息，要麼通過個人經驗，要麼通過二手材料，而不是通過實驗或觀察所產生的數據。當要求他們設計一項實驗來驗證一個假設——「你怎麼能發現呢?」——他們很典型地只是宣稱:「因為垃圾對它們有毒害……垃圾把魚害死了"(Rosebery et al. , 1992:78)。
第三，學生們把實驗的啟發一一「你怎麼確定呢?」——解釋為已有『『正確」答案的課文理解問題。他們常常用一種對知識的解釋或斷言作為回答，而且總是對他們的回答做出「因為」解釋:「因為魚不吃垃圾，它們吃水下的植物。」(78頁）
在6月份的訪談中，學生們表現出他們已經熟悉了假設和實驗的作用，並且熟悉了在更大的解釋性框架下作推理。埃莉諾(Elinor)已經開發出一個綜合的水系統模型，其中系統這一部分的行動和事件會影響系統的其他部分(Rosebery et al.，1992:78):
你不能把（壞東西）留在地面上。如果你留在地面上，那水，地下有水的，地下水是會被毀掉的。或者當下雨時，雨水就會把垃圾吸收，下雨時，水到處流，壞東西會留在水中到處傳播，有毒的東西，你不能想像把它們留在地面上。
6月份時，學生們不再援引無名氏，而是提出一連串的假設以解釋現象，比如為什麼小孩子會生病。（88頁）
像，你可以檢驗小孩子吃了什麼，像，你還可以檢驗水；可能是水不好，有細
菌，可能有微生物使他們生病。
6月份的訪談中，學生們還表現出他們已開始理解實驗形式的和功能的意義。他們不再把個人經驗作為依據，而是建議做實驗以檢驗具體的假設。勞雷（Laure)在回答一個有關魚病的問題時清楚地知道如何能夠找到科學答案。（91頁）
我會把一條魚放在清水中，把另一條魚放在充滿垃圾的水中，我要給清水魚餵食物，也給另外在污水中的魚餵食，我會給它東西吃，看看在清水中的魚吃了我給的食物是否會死，在髒水中的魚吃了我給的食物是否會死……我會給它們吃同樣的食物看看他們在水中吃的東西和我給它們吃的東西，哪一個對它們有益，哪一個對它們有害。
結論
科學課程的教與學非常直接地受到了專家知識研究的影響（參見第二章）。這一章中討論的例子集中在科學教育（教學）的兩個領域：物理以及初中生物。好多教學策略列舉了一些方法，幫助學生在跳人物理公式和方程式學習之前思考物理的一般原理和「大」概念。其他的策略向我們展示了幫助學生投人精心組織的實踐（參見第三章)並且監控自己的進步的方法。
學習科學思維策略的另一個目標是：為促進概念變化而培養學生的敏銳思維。通常，阻礙獲得洞察新的結論的障礙植根於對學科知識的基本的錯誤概念。幫助學生學習物理的策略之一是拋錨式(anchoring)地直覺一種現象，然後逐漸在相關現象和缺乏直覺但又包含同一物理原理現象之間搭橋。還有一種策略是用互動式講座演示，鼓勵學生做出預言、考慮反饋、最後重建概念現象。
切克科恩的例子表明意義建構方法在科學學習方面的力M，學生的科學學習建立在學生從家庭文化中脫胎的知識之上，包括他們熟悉的交流實踐。學生學會思維、交談，學會科學地對待事物，他們的第一和第二語言對其學習有巨大的中介作用。以使用海地克利奧爾語為例，他們設計自己的學習，解釋所收集的資料、數據，做理論辯論；他們用英語從大多數同伴那裡收集資料、閱讀標準、解釋科學檢驗結果、報告研究發現以及咨詢地方水處理設備專家。
小結
傑出的教學要求教師對學科知識和結構有深刻的理解，幫助學生理解學科知識的目的是要學生具有提出探究性問題的能力，為此，教師還應對自己的教學活動有徹底的理解。
大量的研究表明，需要對課程及其工具，比如教科書，做深入細緻的分析和討論，討論應在更大範圍進行，超越學科界限。為了能夠提供這樣的導向和指南作用，教師自己需要對所教學科領域有一個完全的理解並且要理解支撐這個學科的認識論基礎(比如歷史學科，請看 Wineburg and Wilson，1988;數學英語請看 Ball，1993; Grossmanet al.，1989;科學請看 Rosebery et al.，1992)。
這一章舉例說明了第六章所討論的學習環境設計的原理：他們是學習者中心、知識中心、評價中心、共同體中心。學習者中心的學習環境是指教師要以學生在進入這個學習環境前的知識為起點來進行教學;知識中心環境是指教師試圖幫助學生理解每個學科的重要概念及其知識結構;評價中心是指教師試圖使學生的思維可視化，以便他們的觀點能夠被討論，在討論中得到澄清，比如讓學生（1)在討論中提出自己的論點，（2)在定性的層面上討論他們對問題的結論，（3)對各種各樣的現象做預測等等;共同體中心是指教師建立起一些能夠體現理解學習價值的班級標準，學生能夠無拘無束地探究他們不懂的問題。
這些例子都說明了教學法知識對教師的重要性。專家教師對他們所教的學科有深刻的理解，對學生學習這門學科的概念障礙有深刻的認識，對與學生共同交往的有效策略有深刻的理解。教師的學科知識是用來引導學生學習的認知線路圖，用它來判斷學生的進步和回答學生的問題。教師能夠把注意力集中在理解上而不是記憶和機械重複上，使學生參與到學習活動中，並在活動中反思自己的學習和理解。
本章所提出並舉例說明的學科知識和教學法知識之間相互作用的觀點和通常人們所持有的有關教學的錯誤認識有些矛盾，有關教學的錯誤概念認為有一套一般的有效教學策略適合於所有學科。這種認識是錯誤的，就好像一門學科的專門知識就是一套不依賴於本學科知識的一般的問題解決技能(參見第二章）。
對新的教學方法所作的終結性的評價結果是令人鼓舞的。對學生課堂討論的研究顯示他們能夠運用系統探究的工具進行歷史的、科學的、數學的思維。在典型的標準化考試中這些方法怎樣起作用是另一個問題。有些研究已經證明，教學生理解照樣能提高學生在標準化考試中的成績(Resnick etal.，1991)，有些情況下，學生的標準化考試成績未受影響。但是在評價學生理解的敏銳而不是評價回憶方面,學生的進步是顯著的（Carpenter et aL，1996; Secules et aL，1997)。
值得注意的是，本章所談到的所有教師都認為他們還需要繼續學習。很多教師認為他們的工作需要終身不斷改進和接受挑戰才能提高。教師有什麼樣的機會提高呢？下一章我們將探討教師自身提高和進步以便成為有能力的專業人士的機會。