第11章 理性決策理論

11.1 對理性的正式定義

我們前面反覆提到理性選擇的過程，現在就重點談一下理性（規範）決策理論。一些學者將理性（rationality）定義為選擇和價值的兼容：理性行為是指使決策結果取得最大價值的行為。但是現在必須澄清的是，要回答價值的構成並非易事，並且我們認為選擇之理性與選擇的過程有關，而與選擇的結果無關。儘管如此，決策理論的一些重要研究還是將注意力放在了考察決策與決策者價值觀的關係上，這就是John von Neumann 和 Oskar Morgenstern（1947）的工作。相關的經典論述主要出現在《博弈論和經濟行為》（Theory of Games and Economic Behavior）一書中，他們所提出的期望效用理論（expected utility theory）是數學和行為科學中關於理性選擇最通用的解釋。本章我們會介紹這個理論，並與心理學中的決策行為聯繫起來。

本書曾多次提到，我們（以及大多數心理學家）認為理性理論至多是對個體實際行為的近似描述。儘管大部分人似乎都能意識到實際行為和理性標準是分離的，人們仍然希望做出明智決策，避免在推理和行為之間出現矛盾，使自己的行為符合期望效用理論提出的理性原則。正如我們不瞭解概率論一樣，人類這個物種也並非生來就瞭解這些理性原則，這就是為什麼我們要研討von Neumann和 Morgenstern提出的理論——它不是與生俱來的，我們必須研究它，理解其對行為的影響。因此，我們會特別介紹如何運用期望效用理論來提升決策質量。

von Neumann和Morgenstern（1947）的理論闡述是純數學化的。他們指出，如果決策者的選擇遵循特定的（理性）規則（「公理」），那麼由此可引申出效用（utility）的概念，即用實數來量化個人價值。每個選項通常都包含多個概率結果，當且僅當一個選項的期望效用（expected utility）大於另一選項時，決策者才會更偏好這個選項。下面我們分步進行分析：

1.每個選項由多個概率結果組成。首先我們假設，決策者在不同選項間進行選擇時，會遵循我們定義理性時所用的「公理」；

2.於是我們可以用一個實數來代表選項中每個結果對決策者的效用；

3.某一特定選項的期望效用指的是對這些數字的期望，即選項中每個結果對應的數字由每個結果所發生的概率加權後的總和；

4.得到結論：當且僅當選項X的期望效用（實數）大於選項Y時，決策者才會更偏好X。

上述公理化系統實現了幾個重要目標。首先，它簡明扼要闡述了理性決策的一系列原則。當然，即使在規範的哲學水平上，這些原則也僅是對理性決策本質的一個假設。儘管有哲學家和數學家也提出了一些其他理論，von Neumann 和Morgenstern的理論目前無疑是描述理性決策的最佳理論。其次，如果這些公理的條件成立，那麼一定可以建構出一種效用度量，由實數所表徵的不同結果價值可以進行排序比較，由此我們就可以建立一種類似物理學中衡量物體質量的量表，這必定會促進科學研究和實際應用的發展。（可以想像一下如果在現代物理學、化學和工程學中不存在度量的話，將會是怎樣的一種狀況。）第三，儘管我們還沒有對這些公理進行詳細的闡述，但總的說來可以根據個體對不同結果的偏好程度，對效用進行衡量。

許多研究價值和行為關係的決策理論家認為，理性是指做出的選擇符合上述公理，同時他們進一步假設，該公理也適用於個體實際選擇的情形。當且僅當選項X的期望效用大於選項Y時，理性的決策者才會選擇X。當然，這並不是說我們的決策就完全符合這些公理的描述，它只是提出了一種理想化的理性選擇假設。實際上，正如我們在前十章提到的判斷和選擇的心理學研究結果那樣，在許多決策情境下，個體實際的行為往往並不符合這些公理。

同樣，在von Neumann和Morgenstern（1947）的期望效用理論中，並沒有闡述人們決策時會考慮結果的效用。效用是一個純數學的概念，是由公理定義產生的——就像幾何學中三角形的邊和角，也是由幾何學系統下的公理定義所產生的數學概念。然而，我們會將幾何學中點和線的抽像概念與物理世界的點和線對應起來（比如在紙上或在腦中形成圖像），同樣，抽像的效用概念也會與決策者的個人價值觀對應起來。因為人類與物質世界（幾何學與之有關）不同，具有主觀能動性，因此從分析（analytic）和綜合（synthetic）這兩種視角出發對這些公理進行解釋就會出現困惑。如果從分析的角度來解釋期望效用理論（經濟學家通常持有這樣的觀點），實際的選擇可以解讀為對個體偏好的反映，而偏好又能進一步被解讀為是效用的反映。這似乎有點因果顛倒，就像心理學家Lola Lopes（1994）提到的，「根據現代的[分析性]觀點，效用並不是偏好的前因，只是因為有些決策者，有意也好無心也罷，遵循了von Neumann 和 Morgenstern提出的公理體系下的決策原則，為方便研究者總結這些決策者的偏好，就生造出這樣一個概念」（p.286）。

相反，期望效用理論也可以從綜合的角度進行解讀。首先我們要對某個選項的效用和發生概率進行判斷，然後根據公理闡述的原則，將二者結合後進行比較，預測出最終的決策。對於大多數人來說，上述順序很易理解：我們決策時，首先要清楚我們想得到什麼以及怎樣得到它，接下來才能決定要採取怎樣的行為或做出怎樣的選擇——先確定目標和價值，再有選擇和行為。而分析的視角則認為我們先觀察到自己的選擇，再推斷我們的偏好，看起來順序就反了。不過也有例外的情況，比如在心理分析領域，我們就試圖從自己的行為出發，分析性地探索出這些行為隱含了什麼期望和信念。同時，值得我們注意的是，分析的視角與綜合的視角同樣有效，並且在數學和經濟學這兩個最為關注期望效用理論的領域中分析視角比綜合視角更受青睞。

然而，Tversky 和Kahneman（1974）在一篇經典的文章中指出，甚至可以先估算概率，再「用來」指導決策。他們的敘述如下：

值得注意的是，在打賭下注時，雖然有時可以從偏好來推斷主觀概率，但通常並非如此。一個人在A隊和B隊的比賽中買了A隊贏，是因為他認為A隊獲勝的可能性更大，而他的結論並不是從他買A隊贏的這個下注傾向中得到的。因此，實際上，是主觀概率決定了下注偏好，而不是理性決策的公理性理論所說的那樣，偏好決定了概率。（p.1130）

經濟學早期關於效用的定義（比如Jeremy Bentham[1789/1948]的觀點）帶有心理學涵義，但現代效用理論則捨棄了絕大多數的心理學成分，只保留了「個體所選即所好」這一行為原則。然而，在過去的十幾年間已經發生了重大的變化，一些行為學家，比如Daniel Kahneman、Colin Camerer、George Loewenstein和David Laibson等，關注到了價值判斷的認知和情緒來源，他們用這些心理學內容豐富了經濟學的概念體系。

我們通常說的「個人價值觀」（personal values）這一概念比von NeumannMorgenstern理論中提到的「效用」概念具有更豐富的內涵。比如，我們認為某些個人價值觀或價值體系可以用語言來表達，而未必要通過實際行為來推測，否則，在我們的語言體系中就不會出現「偽善」這個概念，偽善指個體所聲稱的個人價值和特定行為存在不一致。同時，我們還認為價值觀是獨立於語言和行為而存在的。在平常的語言中，我們認為價值是一種重要的存在維度，在這個維度上可以有客體、行為或者是其他的現象。比如，我們說「他看重自由」就和說「他昨天去上班了」一樣稀鬆平常。事實上，我們陳述價值觀時常常就像在陳述一個一般事實，即便很多哲學家在事實和價值這兩類陳述之間做了明確的區分。而只有在學習過哲學之後，大多數人才開始對自己和他人所看重某些事物或行為產生困惑。（一些邏輯實證主義者曾指出，關於價值觀的陳述都是主觀任意的，或者說至少這些陳述是沒有實證證據支持的。）或許我們在平常說話和思考時應該更謹慎一些。（這是另一種價值觀！）在第9、10章提到的一些研究提醒我們，關於個人價值觀的許多直覺性判斷是值得懷疑的。

價值觀的另外一個特點是不依賴於特定的情境。當我們提到自己看重某些東西的時候，並不是特指與某個特定情境相關聯的行為、感受和信念。比如，「他看重自由」這個說法，能夠整體概括性情、行為和信念，並且如前所述，我們用語言至少可以模糊地將這種概括陳述出來。有一個流行的人格測驗——羅基奇價值觀量表（the Rokeach Values Inventory）就是以語言概括的方式來測量個體的價值觀，這個量表要求受訪者對一組抽像的價值條目進行排序，如平等、自由、家庭安全、智慧、宗教救贖等，然後根據排序的結果預測個體的行為。舉例來說，如果受訪者將平等排在前面，那麼他們很可能支持在學校中取消種族隔離、開展反歧視行動、優待少數民族等政策；將宗教救贖排在前面的受訪者很可能常常會去做禮拜。（我們可以推測，羅基奇測驗的預測力源於信念抽樣模型的一些原則。我們在章節9.5中討論過，信念抽樣模型主要用來建構總體價值觀，一些相互關聯、具有評價含義的信念形成一個價值觀總體，當我們處於相關的情境[如剛剛有人懇請你在平權請願書上簽名]中時，總體中的某些價值觀標籤[如「平等」]就被抽樣出來。因此，測驗對行為的預測力就取決於經由價值線索提取出來的各種記憶的重合度。）

11.2 使理論更容易理解——公理法

據我們所知，希臘數學家歐幾里德是第一個將理論（對於他來說主要是關於幾何和數字的理論）總結為一種簡潔優美的公理體系的科學家。這種方法的核心思想是，某種理論的重要假設可以抽取出來並以精確的符號體系進行表述，然後從這些公理出發可以推導出核心理論的一些推論（如定理）。使用這種方法對理論進行表述的優點很多：理論家們可以對初始理論的完整性和一致性進行檢驗；科學家在應用、檢驗或修正理論的時候能夠聚焦於核心內容；對於不符合理論假設或理論推導的情況可以以一種系統有效的方法加以解決。但是，公理法的運用僅局限於數學領域，在科學界並不普及。在行為科學理論中，效用理論是使用此方法的範例，這一點使它優於其他表述混亂的理論。

作為公理系統的von Neumann-Morgenstern理論衍生出了數字效用。該理論受到了行為科學家們的特別關注，因為其結論對於決策和價值觀具有重大意義，特別是要在日常生活和語境中理解這些術語時。正如歐幾里德幾何理論的結論可以應用於現實世界的物體，我們推測期望效用理論的結論也可以描述或對比實際的決策行為——如若不然，它們就會變成純粹的規則系統，玩弄數字和符號，絲毫引不起我們的興趣。

為了探討該公理體系的性質及其與實際的聯繫，我們將引入另外一種更簡單清晰、同時可以類比von Neumann和Morgenstern理論的體系。在此，我們選擇的是物理學中物體的質量。表徵質量的一般都是正實數，數值可以相加，比如將一個137克的質量和一個786克的質量一起放在天平上，就會得到923克的質量。同時，這樣的實數也具有其他一些重要的性質，下面將一一陳述：

性質1：可比性。任意兩個正實數之間都可以進行大小比較。若用x和y分別代表不同的正實數，則兩者的關係只有三種：x 〉y，y〉x，或x=y。為了簡化描述，不再分別描述相等和不相等的關係，我們可以使用一種「弱強度」的形式來描述可比性，即「大於等於」（≥）。於是可比性可以表述為：對於任意兩個正實數x和y，要麼x ≥ y，要麼y ≥ x，要麼前述兩種關係同時成立（即相等）。

性質2：順序性。「大於等於」的關係決定了數值之間大小順序的可傳遞性，即如果 x≥y且y≥z時，那麼x≥z。

性質3：加法運算的封閉性。兩個正數相加會得到一個新的正數，即x和y都是正數，那麼它們相加的和z = x+y也是正實數。

性質4：加法的結合律。多個實數相加，相加的順序不重要，即x +（y+z）=（x + y）+ z。

性質5：加法的交換律。兩個實數相加，它們位於加號前後的順序對結果沒有影響，即x+y = y+x。

性質6：可化簡性。兩個實數同時加上第三個實數後，其大小順序不變，即當且僅當x ≥ y時，x+z ≥ y+z成立。

以下兩條性質的提出更多是出於數學上的考慮。其中阿基米德性質（但它是由歐幾里德提出的）指出，不存在一個絕對大或絕對小的正實數，即不管一個數比另一個數小多少，總會存在一種情況使得小數乘以某一正整數後大於另一個數。

性質7：阿基米德性質。對於兩個任意的實數來說，它們之間總會存在一種大小關係，但是這種大小關係並不是絕對的，當較小的數與某個正整數相乘後就可能大於較大的數，即如果x ≥ y，那麼就會存在整數n，使得ny＞x。其中，ny代表的是n個y相加；同時，這條性質與一般意義上的乘法運算聯繫不是很緊密，因為當我們將兩個數結合在一起的時候，並不一定需要/必須通過乘法的方式實現。（由此，我們可以得出結論說並不存在絕對大或絕對小的正實數：任意選擇兩個實數x和y，其中x ≥ y，但x並不是最大的數，因為存在整數n，使得ny〉x，同理，y也不會是最小的數，因為存在同樣的n，使y〉x/n。）

性質8：可分解性。如果x ≥ y，那麼存在另一實數z，使得x〈y+z。

德國物理學家和數學家Holder認為物體在天平上的狀態完全符合上述8條性質，其中x R y表示物體x比物體y重（R就相當於數學上「〉」的關係），操作O表示的是將兩個物體放在天平的同一端（將它們串聯在一起）。讀者必須牢記Holder的觀點以及R和O代表的含義。（當然，這種類比只是概念上的，因為天平是有一定量程和測量誤差的。）鑒於此，Holder僅在數學層面上將自己的公理體系與實數的性質進行類比，並找到了二者的相似之處。他最後得出結論，認為可以用某種度量單位來表徵天平上的物體，在這裡，這種量度就叫做質量。

Holder於1901年的發現意義更為重大。他借鑒數學的分支之一計量理論中的觀點指出，如果某一體系具有上述8條性質（「符合公理所述」），那麼就可以將體系中的元素與實數聯繫在一起，同時，這些實數除了可以乘以正的常數外，還是很特別的。（具有上述屬性的量表稱為等比量表。）也就是說，他在自己的公理體系中重述上述8條性質，同時指出R和O分別代表的是數學中「≥」的關係和相加的操作。他又進一步指出，如果某一體系中的各元素之間的關係和相加操作符合上述8條性質，同時（1）可以用x R y表示x ≥ y，（2）用z = x O y表示z = x+y的話，就可以賦予各元素不同的實數。而且，對於同一體系中的兩個不同的度量單位來說，它們之間存在一種正乘數的關係，比如，1千克=1000克。這些數字被稱為度量，度量與實體x聯繫在一起用m（x）表示。正如實數的單位是1，在質量中，我們用標準克或標準盎司作為基本單位（克與盎司之間有一定的乘數關係），這符合先前得到的結論，即對於同一體系中的兩個不同的度量單位來說，它們之間存在一種正乘數的關係。

11.3 對理性的定義：期望效用理論

公理法是一項偉大創舉，因為它將某種理論的本質簡化為一些假定，這些假定只包含有該理論得以衍生的全部必需的定義和假設。儘管這一方法在科學領域還未得到普及，但是我們有理由相信使用此方法來闡述理論是我們應該追求的最高境界。即便我們已經使用等式、計算機程序模擬或語言等對某一理論進行了精確描述，但為了更好地理解和評估理論，對核心原則的總結是絕對必要的（參見Hastie & Stasser, 2000）。通常，我們可以提出各種不同但邏輯等價的公理法，並不存在一種具有普適性的公理法。如前所述，我們提出實數的8條性質及由此引申出的有關重量的一些原理，主要為了方便讀者的理解。也有學者使用另外的體系，其中大部分更為簡練，但是可能只有相關領域的專家才能理解。以von Neumann 和 Morgenstern的效用理論為例，不同的人會使用不同的公理法對其進行解讀，但是我們採用這種方法，即使讀者對數學邏輯知之甚少，也能夠理解。

von Neumann-Morgenstern理論的基本元素（entities）可以概念化為一些可進行評估和選擇的選項（alternatives），這些選項由一些以不同概率出現的結果組成，通常被稱為賭博（gambles）。基本的關係用偏好（preference）來表示，依據偏好可以對選項排序；弱排序（weak ordering）（≥）在這裡代表的是行為上的「無所謂或更偏好」。（這種表達方式比較粗略，將≥解釋為「不是更偏好」更加準確，因為A≥B和B≥A可以同時存在，即A~B，但是這種表示方法比較尷尬，強偏好[〉]和弱偏好[≥]的區分在技術上更精確，讀者們可以根據自己的習慣選擇區分或不區分。）

將不同選項組合起來的基本操作（operation）（相當於將不同的物體放在天平的同一端，即串聯[concatenation]）可以概念化為不同選項出現的概率混合（probability mixture）。因此，如果A和B是兩個不同的選項，ApB表示的是選項A出現的概率是p，選項B出現的概率是（1-p）。可以看出，B的概率是隱含的，我們僅僅考察只存在兩個選項的選擇，因此，當賦予A出現的概率為p時，那麼B出現的概率就是1-p，或者是餘數（complement）。

為了對公理進行詳細闡述，我們現在假設一種複雜的、多步驟的賭博情境。對於出現的結果，我們將分別在每一個公理下進行詳細描述（尤其是公理3「封閉性」和公理4「概率的分佈」。）因為不同的選項包含有不同的結果，而這些不同的結果又具有特定的出現概率，所以選項的概率混合與結果的概率混合是等價的；也就是說，如果選項A包含兩種結果x和y，它們出現的概率分別是r和（1 - r），選項B由結果z和w組成，出現的概率分別是s和（1-s），那麼ApB包括概率是rp的結果x，概率是（1-r）p的結果y，概率是s（1-p）的結果z和概率是（1-s）（1-p）的結果w。只包含有一個結果的選項的意思是該結果出現的概率是1。

我們發現，如圖11.1所示用決策樹圖解模式來表示選項、結果和概率混合非常有助於理解。當需要對理論上的賭博情境進行比較（比如，通過比較來掌握某種公理的實際意義或不同實驗條件下賭博情境的結構），尤其是要將理論體系應用於實際決策時，這種方法非常有效。

von Neumann和Morgenstern（1947）證明了公理條件成立時，就可以對不同結果進行賦值，這個數值就是效用（類似於用重量對物體進行數值表示），同時可以依據期望效用值的大小對選項進行排序。換言之，我們對選項的偏好強弱可以用它們的期望效用排序表示。（因為當選項中只存在一種結果時，該結果發生的概率是1，此時結果和選項是等價的，反之亦然，所以我們既可以使用結果，也可以使用選項來對公理進行闡述。但為了便於理解，我們還是選擇用選項對公理進行闡述。）

圖11.1　用決策樹簡化的賭博情境範例（對von Neumann和Morgenstern理論的簡化）

我們可以將von Neumann和Morgenstern的理論和Holder關於質量的理論作如下類比：將選擇中的不同選項類比為質量未知的不同物體；將強度較弱的偏好比作天平上一種質量「大於或等於」的相對狀態；「概率混合」這種串聯性的操作（即在一個只存在兩種結果的賭博情境中將兩個選項聯合在一起）就相當於將不同的物體放在天平的同一端。在上述兩種理論體系中，如果理論假設成立的話，結果就產生了一個可以測量效用或質量的實數量表。

最後，我們對von Neumann和Morgenstern期望效用理論的內容進行介紹：

公理1.可比性：如果A和B同時存在於選項集S中，那麼它們之間的關係是AB，BA或上述兩種關係情況同時成立，即A~B。

公理2.傳遞性：如果AB且BC，那麼AC。

公理3.閉合性：如果A和B同時存在於選項集S中，那麼ApB也存在於其中。

公理4.選項間概率的分佈：如果A和B同時存在於選項集S中，那麼[（ApB）qB] ~（ApqB）。

公理5.獨立性：如果A、B和C同時存在於選項集S中，那麼當且僅當（ApC）（BpC）時，AB。

公理6.一致性：對於選項集S中的所有結果來說，用A和B代表兩個不同的結果，則有當且僅當A（ApB）B時，AB。

公理7.可分解性：對於選項集S中的所有結果來說，用A、B和C代表三個不同的結果，則有當ABC時，存在一個p值，使得B ~（ApC）。（這條公理對於編製測量效用的量表非常關鍵。）

如果用實數來代表不同的選項及其概率值，那麼只有當代表選項的實數值大小等於期望時，才滿足公理。但是von Neumann 和Morgenstern（1947）卻是從相反的邏輯進行證明，如果上述公理成立，就能構建一個量度，每個選項等於期望，就可按期望值大小對選項進行排序。同時，我們可以任意確定該量表的原點和單位（就像確定我們熟悉的溫度計的原點和單位）。代表選項的實數值稱為期望效用，代表結果的實數值稱為結果的效用，如果一個選項只包含一個概率為1的結果，那麼代表結果效用的這個數字就等價於選項的期望效用。因為只有測量效用的量表的原點和單位是任意的，所以任何不同的測量都是有線性聯繫的，也就是說，任意兩種不同的測量系統得到的結果在二維直角坐標系中都會呈線性關係。這種量表稱為等距量表，它的原點和單位都是不確定的（質量量表是等比量表，因為它的原點不是任意的，而單位[如，克、盎司]則是任意給定的。）

原點和單位的不確定性使得我們可以根據兩個選項已知的效用值計算出第三個選項的效用值，這主要利用的是公理7「可分解性」。假設ABC，同時A的效用值為100，C的效用值為0，根據可分解性的公理描述，存在一個概率值p，使得B等於ApC，其中ApC表示的是p個A的效用值加上（1–p）個C的效用值，即p100 +（1–p）0。因此，如前所述，可分解性公理對於得到具體的效用值非常重要。因為所有量表的效用及度量之間是線性的關係，所以我們可以假定100代表最為偏好的選項的效用值，0代表最不偏好的選項的效用值，那麼在此前提下，就可得到其他選項的效用值，這些值位於0到100之間。我們注意到對於概率的測量有助於我們得到具體的效用值。（如果「滿足公理」，概率的規則和度量將會在決策者的偏好中有所體現——但是，假如我們在前十章中提到的實證結果有效的話，這一點在行為上很難實現。）

從構念上來說，von Neumann 和Morgenstern的理論體系是完美的。雖然可能會顯得很囉嗦，但我們還是要再次強調，通過分析公理衍生出的「效用」與我們直覺上或言語中提到的「個人價值」是不吻合的，這不同於對於物體重量的判斷，通過客觀標準（天平的傾斜）和主觀標準（直覺）得到的結果相差無幾。不過，如果我們說質量這樣的概念與日常生活中重量的直覺毫無關聯，人們一定會覺得奇怪，同樣，效用的概念看起來和主觀價值理應存在關聯。實際上，正因為從von Neumann 和Morgenstern的理論中衍生出的效用與主觀的價值判斷之間確實存在關係，所以它才吸引了心理學家的關注。也是基於這一點，我們試著在本章結尾提出一些可能提高決策質量的方法。也許初步思考後，大部分人會意識到每一條公理的內容都能反映理性的某一側面，甚至能對個體如何選擇進行描述。我們接下來要對每個公理進行詳細分析：

公理1.可比性：如果A和B同時存在於選項集S中，那麼它們之間的關係是AB，BA或A~B。

公理1主要描述人們面臨兩個選項時，相比較而言，決策者至少應該對某一選項表現出較弱的偏好。最極端的情況是決策者必須二選一。但是這條公理也能說明由於對兩個選項都無所謂，所以無法做出選擇。現實中是否存在這種情況呢？我們可以回想一下第10章提到的教授選擇工作的例子，如果她難以抉擇，是否就說明她對不同工作的態度是無所謂的呢？Jay Kadane，Mark Schervish和Teddy Seidenfeld（1999）的研究表明偏好不明顯並不代表無所謂。在某些情境中，「保護性機制」發揮了作用，人們拒絕做出選擇，這實際上也是種選擇。Jonathan Baron 和 Mark Spranca（1997）引用了一些人們拒絕做選擇的情形。比如，在一些涉及需對金錢和生命進行權衡的決策情境中，人們傾向於避免深入思考，「選擇不做選擇」。但是如果要人們在限速90公里下駕駛廉價汽車與交通事故造成 50 000人死亡之間進行選擇，而最終的結果是「不做選擇」，真的能說明人們無所謂嗎？

蘋果和桔子都是水果，如果必須在兩種水果中挑選一種，最終的選擇要麼是蘋果，要麼是桔子。從分析的角度來說，選擇本身是否不能定義偏好？經濟學家將這種選擇稱為顯示性偏好，同時假設從效用理論可以推導出來。比如，我們對於高速路上安全的偏好相當於認為每個人生命的價值為三百萬美元。如果我們不知道為什麼會做出這樣的選擇，其實在選擇的時候就暗含有偏好的成分在裡面。比如，我們在第10章提到選擇工作的教授，她一時難以抉擇，但是最終還是選擇了離自己親朋好友較近（或較遠）的一份工作，與親朋好友的距離不就是她最看重的因素嗎？或許她並不能意識到或羞於承認此種原因，因為她覺得這樣做理由並不充分。除了極個別的情況，比如拋擲硬幣，我們認為在大部分情況下，人們都是有偏好的。但是，我們通常不太能接受顯示性偏好的說法，即選擇已經包含了偏好的成分，這一點在前幾章已有闡述。具體來說，選擇可能確實是非理性的，具有矛盾性。因此可以認為在特定情境中的選擇和個體在此情境中的偏好可能是不相符的。

由於選擇存在認知困難，顯示性偏好也易受到批駁，但從外顯證據推斷偏好的最常見原因是：人們有時會做他們不想做的事，即我們選擇了自己並不偏好的選項，比如，心理學家和哲學家威廉·詹姆士發現牙痛患者喜歡用舌頭去舔疼痛部位，即使他們知道這樣做會加重疼痛感。

但是，支持顯示性偏好的理論家們認為舔牙痛部位的行為帶給患者更多的是一種積極體驗，而牙痛本身帶來的則多是消極體驗。當然，這種積極的體驗看起來很「愚蠢」，因為患者只有通過治療才能緩解疼痛，而舔只會使疼痛加劇。同時，他們認為「不同個體愛好不同，這一點是毫無爭議的」，舔後帶來的更強烈的疼痛感要比牙痛本身更被患者偏好。

因為我們不清楚構成個體高興和痛苦的成分有哪些，所以用「個體有時會選擇自己不喜歡的選項」這一事實來反駁顯示性偏好理論是不充分的。但是，從認知的角度入手，指出選擇的矛盾性，就能推翻這一觀點。

公理2.傳遞性：如果AB且BC，那麼AC。

捍衛公理2最首要的工作就是排除「錢泵」情形的產生。假設約翰在選項A、B之間，更偏好A；在B、C之間，更偏好B，但是在A、C之間，又更偏好C，進一步假設在任何兩個選項之間他都不是無所謂的。結果就是他應該自願地拿出一些錢，用偏好較弱的選項去交換得到偏好較強的選項。現在假定我們將選項C作為禮物送給約翰，由於在B、C之間，他更喜歡B，所以為了得到B，他就會拿出一些錢；然後用B去換A，也要拿出一些錢，同樣用A換C，也需要錢。如果就此打住，約翰就得通過三次支付行為來得到一開始被當做禮物送給他的選項C。實際上，這是個無限循環的過程，約翰最終會花費很多的錢，但卻得不到自己最想要的東西（當然這只是種假設）。

回應「錢泵說」的證據就是，具有傳遞性偏好的個體通常會拒絕玩這種遊戲。除非在某些特殊條件下，選擇並不會無限次重複。我們對兩個選項中某一個的偏好並不是固定不變的。某人引用過一位著名經濟學家的觀點，在特定的決策情境中，大多數人「既會滿足自己的偏好，又會讓公理自證」（保羅·薩繆爾森，引自Daniel Ellsberg，1961）。比如，現在某公司需要招聘一位新秘書，對能力的要求有三點，（1）文職技能，（2）組織協調能力，（3）願意承擔職位描述中未涉及的其他任務。假設有三個應聘者符合條件，分別是A、B和C。其中在能力（1）上，優秀等級排序是A，B，C；同理，能力（2）：B，C，A；能力（3）：C，A，B。由此我們看出A在能力（1）和（3）上優於B，B在能力（1）和（2）上優於C，C在能力（2）和（3）上優於A。如果我們要兩兩比較做出選擇的話，就會陷入無限循環中，且不符合可傳遞性的公理描述。（這就是我們在第10章提到的定性附加差異或投票法選擇策略。）在這裡，最關鍵的是三名應聘者被考察的順序，最後被考察的人將會被錄取。

這種結果必然是糟糕的嗎？儘管理論上，人事經理會陷入「錢泵」的循環怪圈中，但是實際上並非如此，沒有人會先隨便指派給她一位秘書，然後根據上述排序，通過索要回報無數次地為她更換人選。當然，我們的親身經歷又告訴我們，當需要做出重要決定同時又極其困惑的時候，這種「錢泵」的現象還是存在的：「好了，我將選擇那份薪水高的工作；但是第二份工作又比較的輕鬆，有很多靈活的假期；再等一下，我不想住在中西部，但是第三份工作能提供很好晉陞的機會……」諸如此類的情形會使我們感到不適，難以抉擇。

我們的觀點是：選擇應當具有可傳遞性。這主要源自某一著名論斷，即從宏觀全局的角度上做出的選擇是最佳的。這一論斷出自康德，他認為應該把做選擇當成為所有人制定永久性的政策。實證證據表明如果判斷選擇質量的標準存在的話，依據康德所言做出的選擇，確實要優於僅僅將眼光局限在當前選項之上而做出的選擇。

公理3.閉合性：如果A和B同時存在於選項集S中，那麼ApB也存在於其中。

公理3僅僅要求決策者將不同選項的概率混合當作一個選項來考察。如果做不到這一點，建構有關決策的理論將變得毫無意義。

公理4.選項間概率的分佈：如果A和B同時存在於選項集S中，那麼[（ApB）qB] ~（ApqB）。

從根本上說，公理4要求我們遵循概率論（見附錄）。這條公理在圖11.2和11.3有關決策樹模型中已有所展示；為了使該公理成立，左邊的二階段賭博必須與右邊的一階段賭博是等價的。

當然，我們一般不會質疑該公理，但是實際行為卻並非如此。比如，某人在兩種不同的賭博情境中的表現是不同的，但是公理成立的前提是他應該具有不變的行為模式，這兩種賭博情境分別是：（1）以0.20的概率贏得45美元，（2）在第一階段有0.75的可能性未得到任何獎勵，但是在第二階段以0.80的概率贏得45美元。（因為[1.00–0.75]× 0.80 = 0.20，公理4要求我們在這兩種賭博情境中的行為表現是相同的。）

圖11.2　用決策樹表示公理4中提到的兩種賭博情境

圖11.3　用決策樹表示由公理4引申出的具體實例

Von Neumann和Morgenstern（1947）在討論概率的時候，假設它們是客觀的。（儘管概率的準確性和客觀性很複雜且具有爭議，但是他們認為自己理論中涉及到的p和q都是通過絕對標準的測量得到的。）也有一些決策理論不符合這條公理，其中最值得一提的就是Ward Edwards的觀點，他建議從客觀概率轉向主觀概率，從而得到另一種理性決策理論。我們完全有可能得到同樣滿足概率論（在第9章和附錄中都會提及）的非客觀的概率混合。如果決策者要通過概率估計來解決未來不確定的問題，他的概率估計必須符合概率論的要求，否則，將會做出矛盾的選擇。在第12章，我們將對預期理論（在第9章已提到）進行深入分析，預期理論是一種公理化的非期望效用理論，它使用的是非客觀的、變化的「決策權重」而非「概率」的概念。預期理論在整體結構上與期望效用理論是相似的，但是，它只是對決策行為的描述，並非理性選擇模型。

公理5.獨立性：如果A、B和C同時存在於選項集S中，那麼當且僅當（ApC）（BpC）時，AB。

公理5非常重要。實際上，許多決策理論家都曾詳細地研究違背或刪除公理5的影響有多大。乍一接觸到這條公理，我們可能會覺得它的作用甚微：如果在兩個選項中，決策者更為偏好其中的一個，那麼即便存在某一特定的概率，使得決策者最終放棄了它們兩個，而選擇了第三個選項，但是在先前的兩個選項之間，決策者的偏好是不是不應該發生變化呢？這就是公理5包含的主要內容，圖11.4對其進行了解釋。

注意：一些同學不太理解這條公理，因為他們錯誤地認為存在一種同時接受的情形，即選擇者同時接受A和C或同時接受B和C，但是這裡指的是接受A或C的一種概率混合與接受B或C的概率混合，「或」的意思是排太，在A和C、B和C分別二擇一。如果公理描述的是一種同時接受的情形的話，就會說不太通：但是對於鞋子來說，我們卻不希望僅僅得到一隻鞋子，而能得到一雙則是比較完美的。

圖11.4　用決策樹模型對公理5進行解釋

下面我們考慮一種假確定性效應：在有0.20的概率得到45美元和0.25的概率得到30美元之間，大部分人都更偏好前者（如圖11.5中第一部分所示），而在100%能得到30 美元和有0.80的可能性得到45美元之間，也更偏好確定的前者（如圖中第二部分所示）。接下來用A選項代表100%能得到30 美元，B選項代表0.80的可能性得到45美元，兩者中更偏好A（如圖中第二部分所示），再用C選項代表得不到任何東西，p值是0.25，那麼，（A 0.25 C）表示的是100%得到30美元的概率是0.25，同時得不到任何東西的概率是0.75（如第三部分左半邊所示），根據概率分佈的原理，這也就相當於有0.25的概率得到30美元（如第四部分左半邊所示）。相反，（B 0.25 C）表示的是有0.25的可能性以0.80的概率得到45美元，同時有0.75的可能性得不到任何東西（如第三部分的右半邊所示），即共有0.80 × 0.25 = 0.20的概率能得到45美元（如第四部分右半邊所示）。由此看出，大多數人在第一部分的偏好與第二部分的偏好實際上是相反的，因此，在前兩部分同時出現典型偏好的個體（絕大部分人都會如此）就出現了假確定性效應，違背了獨立性公理。

假確定性效應說明我們的選擇受結果呈現方式的影響，而非結果本身的影響。這種非理性的行為是反駁獨立性公理的唯一證據嗎？答案是否定的。公理5暗示出決策者是不會受到結果偏態性（skewness）的影響的，這種偏態性主要針對的是有關個人價值觀的概率分佈。圖11.6顯示的就是兩個不同選項的偏態分佈。兩個分佈的均值相同，即個人價值的期望值是相同的，根據公理所述，最終的選擇主要依據的就是這一期望值。這兩個分佈的方差也相同。（關於概率分佈均值、方差的描述可以參考基本的統計教材，如Freedman、Pisani、Purves和 Adhikari於1991年寫的《統計學》[Statistics]。）

圖11.5　違背公理4和公理5的假確定性效應

圖11.6　均值和方差相同的兩種偏態分佈

如果圖11.6代表的是某一國家收入的分佈情況，那麼大部分人都會非常明確地偏好上面那幅圖：因為它是正偏態，曲線的每一個點都說明收入呈增加的趨勢，收入的增加又提升了工作的生產力。順便說一句，工業社會中收入的分佈情況的確如此。而且，在上方的圖中，最低收入的人和均值之間的差距沒有下方的圖那麼大。下方的圖中，許多人獲得了高收入，但負偏態左邊長尾的這部分人收入水平遠低於均值。我們如果能對國家的收入進行如上的思考，那麼為什麼不能將其遷移到決策情境中呢？實際上，我們不喜歡選項的分佈呈現很大程度的負偏態。受歡迎的彩票、賭博和競爭性比賽的結果多是正偏態（比如，贏得很多錢的概率非常的小）。不同的人在包含多種結果的賭博中對分佈形態的偏好是不同的，有關賭錢的實證研究表明，包含有輸贏的正偏態分佈（如圖11.6中第一部分所示）是最受偏好的（Lopes & Oden, 1999）。

圖11.7　用決策樹模型描述公理6的內容

公理6.一致性：對於選項集S中的所有結果來說，用A和B代表兩個不同的結果，則有當且僅當A≥（ApB）≥B時，A≥B。

公理6說明在兩個選項中，如果我們更為偏好其中一個，那麼只要這個選項有一定的概率出現，我們仍然會更偏好這個選項（如圖11.7所示）。這條公理是無可辯駁的。

公理7.可分解性：對於選項集S中的所有結果來說，用A、B和C代表三個不同的結果，則有當ALBLC時，存在一個p值，使得B ~（ApC）。

公理7類似於Holder所闡述的物體質量中的阿基米德性質。實際上是指不存在一個選項的偏好能夠絕對大或絕對小，總是存在某一種概率混合，使得兩個選項的偏好程度是相同的。現在假設存在三個選項A，B，C，我們對它們的偏好順序是ABC。依據公理描述，則存在某一個概率值將A和C混合在一起，進而使得我們對B 和AC的組合之間的偏好不存在差異（如圖11.8所示）。

圖11.8　用決策樹模型描述公理7，該公理說明存在某一概率值使得我們對確定選項B和類似於賭博的選項組合AC之間的偏好不存在差異。

對於決策者來說，如果我們假設在所有的選項中，A選項具有無與倫比的吸引力，那麼無論A以何種概率值出現，在ApC和B之間，都會更為偏好前者。如做適當變動，當選項C無可比擬地差於B時，同樣的結論仍然成立。根據公理所述，這樣的選項是不存在的。那麼如果是永恆的幸福天堂或突然死亡呢？是不是一個選項只要包含了永恆幸福，無論其概率多渺茫，和其他平凡無奇的選項相比，人們就一定更偏好前者，毫無取捨的困難呢？又或者，我們其實也不會完全排斥包含一定概率死亡的選項？（或許我們不應該在這裡談論永恆幸福的話題，因為我們無法說清楚那指的是什麼。）我們的行為明確地說明我們對死亡是恐懼的，並總是竭力地避免它發生，或者說我們對於生活和未來的態度是積極的。但是，我們能避開所有包含死亡可能性的選項嗎？答案是否定的。我們每天的生活都充斥著死亡的風險，即便是一些微不足道的行為（如穿過馬路去買報紙）。某些情況下死亡的可能性還會大於其他時候，比如坐飛機，雖然我們害怕坐飛機，但每年仍然需要依靠它飛行數千公里到外地。即使為了遠離死亡而整天躺在床上不動，也可能因為長時間臥床使軀體的機能下降，從而更快地接近死亡。另外，在生活中也存在一些雖然死亡風險很大，但卻是經過深思熟慮的選擇，比如在戰爭中採取地下抵抗行動，或選擇一份高薪但十分危險的職業，如深海潛水。

所有的公理看起來都十分合理。事實上，如果考慮可比性，就只有獨立性公理會遭到批駁。但是，正如其他數學理論，這些公理也具有十分突出的應用價值。比如根據勾股定理，如果已知直角三角形任意兩條邊的邊長，我們就能求出第三條邊的長度。如果實際測量的結果不符合預期的話，我們通常會認為這個三角形不是直角三角形——我們幾乎或從來不會說定理不正確，即三角形是直角三角形，測量也是準確的，只是這個數學推論不適用於實際。von Neumann and Morgenstern理論最苛刻的部分就是如果我們接受了該理論，就必須從期望效用的角度對不同的選項進行評價，即認為確實存在數字能夠代表選項包含的每個結果的效用。（重申一下，這些數字是和只包含有一個結果且此結果出現的概率是1的選項結合在一起的。）根據可分解性公理，這些數字可由某些選擇所決定，同時要求其他選擇也由期望效用計算得出。而描述結果分佈的其他特徵變量，比如偏態，與此無關。

如果我們想設計一種方法對不同結果的效用值進行測量的話，就要用到可分解性原理。雖然本書的主要內容不涉及測量方法（詳見Dawes & Smith [1985]書中的簡介），但是我們可以舉個簡單的例子探討一下這一基本方法。為了簡便，我們現在假設只存在三個結果（可能與錢有關，但是我們還是選擇一種數量性不太明顯的情形）：分別在A（科羅拉多州的博爾德）、B（賓夕法尼亞州的匹茲堡）和C（德克薩斯州的拉拔克）三個地方進行為期一周的旅遊。進一步假設決策者對其的偏好從強到弱依次是A、B和C（依據可分解性原理得到的ALBLC的表現形式）。那麼在A和C效用值中間的哪一個位置才是B的效用值呢？根據「可分解性」，我們可以賦予最受歡迎和最不受歡迎的地點的效用值分別為1.0和0.0（或者100和0，因為量表的原點和單位是隨意確定的），然後向決策者展示一系列的賭博情形，直到將A和C結合起來的選項與B的效用值之間沒有差別（如圖11.8中的右半部分所示）。如果理論成立的話，我們就可以依據概率的組合計算出B的效用值。比如，如果決策者對在B遊玩一周和有0.8的可能性在A遊玩一周、0.2的可能性在C遊玩的組合的偏好無差異的話，就可以認為在0~100，兩端分別代表博爾德和拉拔克效用值的量表上，B的效用值位於80的位置上。這種方法可以用來在等距量表上測量任何一個結果的效用值（同時這種方法由於涉及有關偏好概率的問題，所以經常被用在應用性的決策分析問題上）。

有許多研究對效用函數，尤其是與金錢有關的效用函數進行過測量。對這種函數的分析經常被用來對個體表現出的行為進行解釋和預測。比如，一條凹曲線（負增長，邊際收益遞減）有時說明個體傾向於規避風險，而凸曲線說明個體傾向於尋求風險。按照相關理論，這類曲線可以系統描述和預測個體在實驗室模擬的賭博情境中表現出的行為，同時也適用於企業中管理人員對職業的選擇。員工的職業選擇在經濟波動期比在經濟緩和期更易表現出風險尋求的行為傾向（MacCrimmon & Wehrung, 1986；章節9.3中對效用曲線有更多討論）。

11.4 對公理理論的傳統反駁

上述理論僅描述了理想的選擇情境，而並未考慮實際行為，現實是怎樣的一種狀況呢？von Neumann和Morgenstern的書出版後，一些理論家指出該理論不合理地限制了實際的決策行為，因此是不成立的。其中最著名的反駁是提出了兩條悖論，最初這兩條悖論僅從概念上進行闡述，隨後得到了實證研究的證明。它們分別由諾貝爾經濟學家Maurice Allais和決策理論家Daniel Ellsberg提出的（後者因洩露了「五角大樓文件」而臭名昭著，該文件主要記載的是有關越南戰爭的秘密內容）。

Allais悖論

Maurice Allais因論述von Neumann和Morgenstern的期望效用理論對實際行

為的限制性而獲得諾貝爾經濟學獎。比如，假設現在有兩個選項A和B：

選項A：有100%的可能性得到100萬美元（確定的選項）。

選項B：有0.10的可能性得到250萬美元，0.89的可能性得到100萬美元，同時有0.01的概率得不到任何東西。

當我們需要在上述兩個選項中做出選擇的話，大部分人都會選擇A。這也就是說，如果我們遵循理論要求，就必須分別賦予100萬美元、250萬美元和得不到任何東西這三種結果不同的效用值，然後因為選項A的期望效用值大於B，所以我們選擇了A，即：

U（100萬美元）〉 0.10 U（250萬美元）+ 0.89 U（100萬美元）+ 0.01 U（得不到任何東西）。

根據可分解性公理，如果U（250萬美元）=1.0，U（得不到任何東西）=0.0，則有0.11 U（100萬美元）〉 0.10。

現在考慮另外兩個不同的選項：

選項A′：有0.11的可能性得到100萬美元，0.89的可能性得不到任何東西。

選項B′：有0.10的可能性得到250萬美元，0.90的可能性得不到任何東西。

選項A′和B′的期望效用值分別為0.11和0.10，因為我們規定得到250萬美元的效用值是1.0。因此，選擇A不選擇B，就意味著選擇A′而不選擇B′。但是，Allais認為較為合理的做法應該是在第一對選項中選擇A，在第二對選項中選擇B′，這也是大部分人在兩種選擇情形中做出的選擇。為什麼要在有百分之百的可能性得到一百萬美元的情況下，去選擇有百分之一的可能性得不到任何東西的選項呢？反之，考慮到在第二對選項中得不到任何東西的概率更大，為什麼不去冒百分之一得不到任何東西的風險，而使收益擴大到2.5倍呢？

數學家Leonard（Jimmy）Savage（1954）的分析令人信服。他將不同結果的概率比作從裝有100個籌碼的袋子裡抽出不同顏色籌碼的概率，這100個籌碼由1個黑色籌碼、10個藍色籌碼和89個紅色籌碼組成。選項A就說明無論抽到哪一種顏色的籌碼，都會得到100萬美元的獎勵；選項B說明抽到紅色籌碼，得到100萬美元獎勵，抽到藍色籌碼得到250萬美元獎勵，但是抽到黑色籌碼得不到任何獎勵。那麼對於決策者來說，無論在哪種選項中，抽到紅色籌碼的獎勵值都是一樣的，選擇A而非B就意味著我們更為偏好在選項A中得到100萬美元的概率，而不是在選項B中得到250萬美元的概率。（有時候，最終的選擇可以解釋為我們希望避免得不到任何東西的遺憾感：「好吧，我一開始可以非常確定地得到一百萬美元，但是為了使獎勵變多，我冒了個險，不幸的是事與願違啊……」）但是在A′和B′之間選擇後者，就與最初的偏好是相違背的。重申一下，在兩個選項中，抽出紅色籌碼得到的收益都一樣（不過都為0），但是現在我們更為偏好抽出藍色籌碼得到的250萬美元和抽出黑色籌碼得不到任何東西的結果，而非無論抽出藍、黑籌碼都得到100萬美元的結果。

Savage（1954）再次通過實例對獨立性公理進行了驗證，同時使得這條公理更令人信服，具體內容如圖11.9所示。從圖中我們可以很清晰地看出，無論在哪個選項中，抽出紅色籌碼的概率是不變的0.89，應當與選擇無關，因為每一組選項內部，抽出紅色籌碼的報酬相同。

Ellesberg悖論

Ellsberg（1961）主要將注意力放在賭博具有不確定性的特點上，同樣對獨立性原理進行了反駁。假設一個桶裡有90個帶顏色的球，其中紅球的個數是30，黑球和黃球的總個數是60，具體各是多少未知。下面從桶中隨機抽取出一個球，你更喜歡哪一個選項呢？

選項Ⅰ：抽到紅球，贏得100美元；其他顏色的球，沒有獎勵。

選項Ⅱ：抽到黑球，得到100美元；其他顏色的球，沒有獎勵。

大部分人都會選擇選項Ⅰ，因為我們對其描述的情形較為的確定，但是選項Ⅱ中黑球的具體個數是不確定的。

接下來給你另外一對選項，你會更喜歡哪一個呢？

圖11.9　Savage對Allais悖論的分析

選項Ⅲ：抽到紅球或黃球，會得到100美元；其他顏色的球，沒有獎勵。

選項Ⅳ：抽到黑球或黃球，會得到100美元；其他顏色的球，沒有獎勵。

現在大部分人都會選擇選項Ⅳ，同樣因為個體在具有確定性概率的風險選項（60/90）和模糊選項之間，偏好前者。（在選項Ⅲ中贏錢的概率範圍是31/90~89/90。）

這種選擇再一次對獨立性原理進行了反駁。圖11.10中的表格對上述內容進行了清晰描述。不管在哪一個選項中，抽到黃球贏得的獎勵是一樣的，所以最終獎勵結果的不同主要依賴於抽到紅球和黑球帶來的獎勵。但是在這兩對選項中，抽到黑球和紅球的獎勵是一樣的，按理說，具體的偏好應該不會有什麼不同。但是大部分人的偏好還是出現了反轉。換一種方式說，就是在第一對選項中，決策者更喜歡將賭注押在紅球而非黑球上。但是在第二對選項中，正好反過來。上述的選擇意味著紅球比黑球出現的概率更大，非紅球比非黑球出現的概率大。同時，決策者認為紅球或黃球出現的概率小於黑球或黃球出現的概率，但是又覺得紅球出現的概率大於黑球出現的概率。這種矛盾的推論，使得我們無法依據概率論為不同結果賦予確定的概率值。

圖11.10　Ellesberg悖論中涉及到的賭博情形

11.5 理論的適用條件

當然，由於某些原因，包括本書前面幾章提到的決策與評價的非理性，人們並不總是按照von Neumann和Morgenstern的公理作出決策。Daniel Ellsberg ( 1961 )的評論更為經典：

有些人宣稱自己是期望效用理論的絕對擁護者，他們的行為更多依據理論要求，而非直覺，對於運用「非充分推理的原則」充滿懷疑。反對該理論的人可以分為三類，一類是以一種高興的、幾近狂喜的狀態去批駁；一類通過分析自己的心理感受發現理論的不符之處，雖十分悲傷，但態度很堅決，拿薩繆爾森的話來說就是滿足自己的偏好，讓理論去服務理論本身吧；還有一類人是直覺地反對這個理論，但是卻因此感到愧疚，所以就發奮圖強，對該理論進行深入分析，以期有所修正。（p.655）

是不是應該做出符合公理系統的決策呢？我們的回答為帶有條件的「是」，這個條件主要體現為儘管沒必要被這些公理所束縛，但是在做決策的時候，還是應該考慮一些公理的內容。雖然判定某一決策是否滿足公理很困難，但是當且僅當我們依據期望效用來做出選擇時，公理是成立的，這提供了一種考慮其他選項的方法。比如，一對夫妻子女繞膝，選擇搭乘不同的飛機達到同一目的地。這說明（根據理論）他們認為兩人同時遇難要比一人遇難更為痛苦，這種痛苦程度的差異接近兩倍的關係。下面我們就運用von Neumann和Morgenstern的理論對這個例子進行分析。

在這個例子中，存在著三種不同的結果：兩人都遇難，其中一人遇難，兩人都未遇難。因為對選項效用的賦值是任意的（針對同一問題提出的不同效用量表之間的關係是線性的），所以我們規定兩人同時遇難的效用值為-1，都未遇難的效用值為0。每架飛機出事的概率都是p，且兩個p值是相互獨立的，所以它們同時出事的概率即為p × p或p2，這也是夫妻二人分開飛行而同時遇難的概率。但是，當他們乘坐同一架飛機，同時遇難的概率是p。接下來假設只有一人遇難的效用值為x，根據期望效用理論，則有：

p（-1）〈 2p（1-p）x+p2（-1）。

式子右半部分的第一項表示的是只有一人遇難的概率（第一架飛機失事而第二架飛機安全的概率加上第一架飛機安全而第二架飛機失事的概率）乘以x，x指的是只有一架飛機遇難的效用值，第二項表示單獨飛行時兩人同時遇難的概率乘以-1，-1指的是該結果的效用值。

對式子進行約分化簡可以得到x〉-。x〉-說明只有一人遇難的效用值小於兩人同時遇難的效用值（負數）的一半。

我們建議，應該提醒這對夫妻，他們其中一人遇難的效用值是否小於兩人同時遇難的效用值的一半。在這一例子中，這可能不會改變他們的決定；事實上，上述考慮很可能會強化他們的決策。我們在這個例子中所做的就是假設人們在特定框架下，至少可以部分提高效用值，這個框架本身並不要求這種洞察力，正如在度量物體質量的物理學框架中，本身也不要求度量到的數據與我們感受到哪一個物體更重相一致。但是，正如天平度量的質量至少部分與我們對質量的感知一致，此系統內的效用值也應該與個人價值的主觀感受相一致。在這兩種體系中，如果沒有這樣的對應關係，對它們進行研究也就變得毫無意義。

下面再舉一個醫學方面用X射線檢測腎臟囊腫或腫瘤的例子。Dennis Fryback在他的博士論文中，針對「用X射線判定腎臟病變是囊腫還是腫瘤」的問題進行了分析（具體概要見Fryback & Thornbury，1976）。標準化的程序是當病人的腎臟功能出現紊亂時，需要接受X射線檢測，如果出現異常，醫生應該根據X射線的結果，判斷這種病變屬於囊腫還是腫瘤，這種判斷是概率性的，接下來病人要接受一種侵入性的檢查。當時並不存在一項檢查可以同時診斷出這兩種可能性，而且，因為X射線結果顯示的異常也可能是一種正常變化，即使其中一項檢查得到陰性結果也還不能判斷是否出現另一項病變，必須繼續做第二項檢查。Fryback研究的主題就是如何安排這兩種檢查的順序，這一順序對於病人來說是十分重要的，因為兩種檢查的性質迥異。

對囊腫的檢測使用的是抽吸法。將針管從患者的背部插入病變部位，然後判斷腎臟中的液體是否可以被抽吸上來，如果可以，則說明是囊腫。整個過程只需要局部麻醉，術後凝血的概率較小，費用較低。

對腫瘤的檢測使用的是動脈造影術。先將一段軟管插入患者的股動脈，然後操縱它進入腎臟，在軟管末端連接的設備可以切取病變部位的組織樣本，然後對獲得的組織樣本進行活組織檢查。在Fryback的研究中，完成一次檢測需要1天的術前準備，至少1天的術後住院觀察。術後凝血的概率是抽吸法的10倍，同時患者感覺非常不舒服，費用較高。

Fryback發現，當醫生認為囊腫出現的概率是腫瘤出現的2倍時，才要先進行抽吸法，否則就要先接受動脈造影術。他還發現，無論是患者、醫生還是普通公眾都認為動脈造影術的惡劣程度是抽吸法的10倍。（有趣的是，不舒適、無法工作和術後可能出現凝血是做出此種判斷的主要決定因素，費用的影響作用很小——這可能是因為醫療保險的緣故，所以我們對上述兩種方法在費用上的差異不是太敏感。）接下來，Fryback以動脈造影術的負效用是抽吸法的10倍為假設前提，對這兩種方法進行了期望效用的分析。為了便於分析，我們先假定病人的腎臟肯定發生了病變，是囊腫或腫瘤中的一種，然後設定兩種病變的概率（不過實際上第一種檢查得到陰性結果後對第二種檢查的要求提高了，因為病人也可以沒有發生病變）。於是，我們假設在病人的異常不是正常變異的前提下，病變是腫瘤的概率是p，因此，（1-p）就是病變是囊腫的概率。同前，我們可以假設兩種檢測都不用接受的效用值是0，只接受抽吸法的效用值是-1，只接受動脈造影術的效用值是-10，需要接受兩種檢測的效用值就大約是-11。

假設放射線操作者認為放射結果是腫瘤的概率是p，如果先接受的是動脈造影術，那麼整個過程的期望效用值就是

p（-10）+（1-p）（-11）式子中的第二項表示的是，在確定不是腫瘤的情況下，接受兩種檢測的效用值。同理，先接受抽吸術後整個過程的效用值是

（1-p）（-1）+ p（-11）那麼要使先接受動脈造影術的效用值大於先接受抽吸法的效用值（即負效用會較小），即

-10p-11（1-p）〉（p-1）- 11p。

則

11p〉10或

p〉10/11

換言之，只有當病變時腫瘤的概率大於10/11，即腫瘤出現的概率是囊腫的10倍時，先接受動脈造影術才是最優的選擇。回想一下，在Fryback的研究中被調查的對象認為動脈造影術帶來的壞處至少是抽吸法的10倍，由此可見，10/11僅僅是個下限。但在實際情境中，當判斷腫瘤出現的概率大於1/2的時候，就會選擇先進行動脈造影術。

這個例子說明被調查者的個人價值與von Neumann-Morgenstern理論系統中的效用值之間至少是部分相符的。不過，人們可以對這些效用值進行評價，相信這一點看起來是相當合理的——實際上，當我們把這個結論告知醫生時，他們就對檢查程序做出了調整。有趣的是，把放射科醫生對囊腫和腫瘤出現的概率判斷與檢查後實際發現的兩種病變頻率進行比較，會發現他們的判斷非常準確，不過可惜的是，這一判斷卻與實際的決策完全無關——因為如果根據期望效用分析，在大多數的情況下他們應該先進行抽吸法，除非他們判斷腫瘤出現的概率至少是囊腫的10倍，而這種情況是極少見的。

應用性決策分析新領域（自1970年以來）主要根據von Neumann和Morgenstern提出的方法幫助決策者優化決策（Clemen，1996；Hammond，Keeney，& Raiffa，1999）。決策分析的前提是人們確實對自己的個人價值有一定的瞭解，但是在某些特殊的選擇情境中，尤其在決策變得自動化或必須通過特定程序才能做出時，個體價值是無法體現的。無論假設情境還是真實決策，應用性決策分析師先誘導決策者對不同結果的價值和出現的概率進行詳細分析，然後通過期望效用的分析，使得決策者對不同的選項有總的看法，進而做出最終的選擇。正如在醫院裡決定先接受哪種檢測一樣，這種做法意義深遠。

另外還有一個例子，講的是某小鎮上一個工廠主考慮引進自動化設備的故事。他的家族擁有這個工廠已有數年，工廠為小鎮上的很多人提供了工作的機會。在聽了引進自動化設備可以增加利潤的一個報告後，他對這一措施感到不安，但卻不知原因。然後他向一位應用性決策分析師咨詢，分析師通過深入瞭解，得出結論說他經營這家工廠的主要目的並不是賺錢，相反，他想給鎮上的居民提供就業機會，以便為自己樹立一定的威望。根據分析師對不同選擇期望效用的分析，引進自動化設備是個非常糟糕的選擇，因為這會違反這個人建立工廠的初衷。這個人聽後，恍然大悟，也終於明白自己不安的真正原因是什麼。實際上，在引進自動化設備可以增收的確鑿證據面前猶豫不決，恰是這方面的原因。分析師的分析可以使他向自己和其他不理解他這種行為的人做出合理解釋，避免決策失誤。

這樣的決策分析就像心理治療，因為它幫助人們改變行為以符合自身的價值觀。von Neumann和Morgenstern的理論並沒有告訴我們應該做出何種選擇，但卻給出了解決問題的重要工具。並且，它可以幫助我們避免做出一些基本的非理性決策，因為依據此一理論框架做出的決策都是理性的。比如個體不願放棄沉沒成本，因為期望效用分析主要針對的是將來發生的事情，所以沉沒成本不會進入分析過程。實際上，糾結於沉沒成本的個體可以因下述理由而釋懷：考慮到沉沒成本會和其他經濟理性行為的重要動機衝突，原先認為放棄沉沒成本是浪費的動機就會消失。

決策分析師最初假設客戶在特定決策情境中的態度、選擇傾向與一般情境是矛盾的。分析的目的是確認，甚至是量化這種矛盾，然後希望客戶可以依據自己的「基本目標」來解決問題。

11.6 關於決策分析的一些不合理質疑

因為決策分析主要通過數字和計算指導重要的決策，所以人們存在一種普遍的誤解，認為這種方法缺乏感情、非人性化、令人困擾。這會不會使得一些重要的決策過程過於機械化呢，有時就像用電腦挑選橄欖球四分衛、行政總裁，甚至是情人？那些「數字」在基礎學科中非常重要，但用作決策的依據，是否會變得沒有意義，甚至十分荒唐呢？當人生的重要機遇是由能力測驗的分數或面試官的評定分數決定的時候，難道我們還沒有受夠數字的奴役麼？總之，人類的精神是不是能更好地體現於直覺判斷，而非糾結在數字分析之中呢？

我們堅定不移地否定上述所有的質疑。在von Neumann 和 Morgenstern的理論和本書的討論中都絕對沒有想要磨滅人性或更輕易地評價並獲取價值。相反，效用的提出主要是讓我們掌握一種方法，在決策時判斷出什麼最重要。分析期望效用的目的就是幫助我們瞭解什麼對我們來說才最重要。正如James March（1978）的觀點，我們的人生目標就是要發現自己珍視的事物。這一目標可能要求我們遊戲人間、恣意放縱，這種行為是不是有悖理性或期望效用理論的要求呢？絕對不是這麼回事。通過觀察發現，以此為目標的個體持有的是一種存在主義的價值觀。決策分析的主要工作就是使這種價值觀外顯，使人們能清晰地知覺到自己的價值觀，並調整行為以符合價值觀。

決策分析也並非是令人困擾的或模稜兩可的的思辯活動。實際上，一些結論可以用來指導行為而非僅僅給出想法。比如，正如之前提到的von Neumann和Morgenstern的經典之作《博弈論和經濟行為》（1974），書中包含的內容要遠比本書在這裡所提到的內容豐富得多。書中一個十分有趣的章節介紹了撲克牌的完美玩法。一局比賽中有2 598 960種牌型，牌型之間彼此是相互獨立的，為某一種牌型下注就相當於從1到2 598 960這麼多數字中隨機抽出一個數字，抽到數字最高的人獲得此局的勝利。那麼如何下注才是最好的贏錢策略呢？von Neumann和Morgenstern在這裡假設只有兩個玩家的一種簡化牌型情境，兩個玩家必須輪流下注，其中一人先下注，另一個人必須跟注（下同等的賭注）或加注（提高賭注），隨後前一個人也要在此基礎上繼續跟注或加注。von Neumann和Morgenstern通過數學方法證明，根據期望效用最大化原則，玩家必須迅速加注至最大值，或者認輸。（如果玩家是第一個下注者，他或許可以先「讓牌」（check）以延遲下注，直到其他玩家有所行動。）我們想說的是，在期望效用理論的框架下，嚴格的數學論證表明，猶豫不決是一種糟糕的策略，最佳策略恰恰不是讓人糾結於決策之中。實際上，最佳策略就是在看到牌型之前先在1到2 598 960之間選擇一個數字，如果牌型的價值高於所選的數字，就賭上全部身家，否則就壓根不要下注。在這個情境中，期望效用理論強調的是一種動態性的決策過程，絕對沒有鼓勵人們患得患失、猶豫不決或是拖延遲滯。

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