1973年秋，丹尼爾已經清楚地意識到，他和阿莫斯之間的關係恐怕永遠也不會被他人所理解。上一個學年裡，兩人在希伯來大學一起開設了研討課，這在丹尼爾眼中完全是一場災難。面對一群人時，阿莫斯曾帶給他的那份溫暖不復存在了。「和眾人在一起時，我們各行其是，格格不入。」丹尼爾說，「我們要麼打斷對方的話頭取笑對方，要麼針鋒相對。沒有人見過我們在一起共事，也沒有人知道我們之間是什麼關係。」說到這一點，若把兩性因素擱置一邊，他們之間倒很像是戀人關係。他們彼此間的交情之深超出了與其他任何人的關係。首先注意到這一點的是他們的妻子。「他們比夫妻還親密，」芭芭拉說，「我想，他們都是被對方的智慧給吸引住了。這種相互吸引就好像是命中注定的。」丹尼爾能感覺到，自己的妻子似乎對此耿耿於懷；阿莫斯則背著芭芭拉誇她頗識大體，應對得當。丹尼爾說：「和阿莫斯共處時，我有一種和別人在一起時從未有過的感覺，這是真話。你會愛上一個人，或是愛上一個物件，但是在我看來，我是被他迷住了。就是這樣一種關係。的確很讓人不可思議。」
然而，竭盡全力要維繫這份親密關係的人，卻是阿莫斯。「我是個慣於退縮不前的人，」丹尼爾說，「總在刻意保持距離，唯恐有一天離開他後會無所適從。」
埃及和敘利亞聯軍向以色列發起進攻時，正是加州時間凌晨4點。他們選擇在猶太人贖罪日這一天突襲了以色列。蘇伊士運河沿岸，一支僅有500人的以色列守備部隊被埃及方面的10萬大軍於瞬間殲滅。戈蘭高地上，177名坦克兵遭遇了2000名敘利亞坦克裝甲兵的圍攻。阿莫斯和丹尼爾當時尚在美國，正立志於成為決策分析領域的專家。聽聞開戰的消息，他們火速趕到機場，搭乘最早的一班飛機飛往巴黎，因為丹尼爾的姐姐就在駐巴黎的以色列領事館工作。一旦進入戰爭狀態，一般人就不太容易進入以色列。每一架以色列航班上搭載的都是飛行員和作戰單位指揮官，他們得去接替在頭一天遭遇襲擊時死傷的戰友。1973年的形勢就是這樣：但凡是個有作戰能力的以色列人，都會主動投身到戰爭中。埃及總統安瓦爾·薩達特深知這一點，因此宣稱要擊落所有試圖降落在以色列的商用飛機。丹尼爾和阿莫斯暫留巴黎，等待他的姐姐托人把他們送上飛機。在此期間，兩人購買了戰靴，這種帆布製成的戰靴比起以色列軍方發放的皮製戰靴要更輕便一些。
戰爭爆發時，芭芭拉·特沃斯基正帶著大兒子走在去耶路撒冷一家急診所的路上。他和弟弟比賽，看誰能用自己的鼻子把黃瓜頂起來，結果是他贏了。開車回家時，人們圍住了他們的車，大聲尖叫著讓芭芭拉把路讓開。國家已經陷入一片恐慌：戰鬥機低空盤旋在耶路撒冷上方，提醒所有儲備部隊各就各位。希伯來大學又一次停課。阿莫斯住所附近往日的寧靜被徹夜轟鳴的軍用卡車所打破。城市一片漆黑。街燈也被關閉。有車人士全都用膠帶封住了車上的剎車燈。天上的星星顯得前所未有的明亮，而局勢也讓人感到前所未有的憂慮。芭芭拉頭一回意識到，以色列政府在隱瞞實情。這場戰爭不同以往，這一次，以色列看來是在劫難逃。她不知道阿莫斯身在何方，也不知道他下一步打算怎麼做，她無計可施。國際長途電話費用太高，所以此前他們一直是靠書信保持聯繫。像芭芭拉這樣的人並不在少數：一些身居海外的以色列人回國參加戰鬥，最後卻有可能被告知他們的親人已經在行動中喪生。
為了解決這個難題，芭芭拉去圖書館查找了相關資料，寫出了一篇有關壓力以及如何應對壓力的新聞稿。幾天後，差不多是在晚上10點，孩子們都已睡下，她獨自一人在書房工作，為了不讓燈光外洩，她還將百葉窗全部拉下。就在這時，傳來了腳步聲。樓梯上的腳步聲漸漸迫近，像是有人在跑，然後，阿莫斯兀地從黑暗中走了出來。他是和丹尼爾一起搭乘以色列航空專門運送回國作戰人員的班機返回的。飛機在一片漆黑中降落在特拉維夫，就連機翼上的燈光也沒有亮起。阿莫斯又一次到閣樓裡找出了他的軍裝，如今上面掛著的已是上尉徽章。軍裝依然合身。凌晨5點時，他就整裝出發了。
阿莫斯和丹尼爾一樣，都被安排去了心理部門。自50年代丹尼爾重新設計人才選拔體系後，這個部門就逐漸壯大起來。1973年年初，受美國海軍研究處的委派，一個名叫詹姆斯·萊斯特的心理學家對以色列軍事心理進行了研究，並在報告中詳細描述了這個部門。令萊斯特感到不解的是，為什麼以色列這個國家一方面推行全世界最嚴格的駕照考試制度，一方面又有著全世界最高的交通事故發生率。但同時，他似乎也被另一個事實所觸動，那就是以色列軍方給予心理學家的那份信任。「軍官訓練課上，不及格率大約在15%到20%之間，」他在報告中寫道，「以色列軍方對心理研究的威力深信不疑，以至於他們會要求人員選拔部門在第一周的訓練中就甄別出那些有可能不合格的人員。」
根據萊斯特的描述，以色列軍方心理部門的負責人是一個極其強勢的傢伙，名叫本尼·沙利特。沙利特曾經四處呼籲，要求提高心理部門在軍中的地位，最終算是達成所願。但是，他領導的這個部門卻有些徒有虛名。他曾離譜地想將自己設計的徽章（一個由橄欖枝和劍組成的圖形）縫在制服上。萊斯特解釋說：「其上是一隻眼睛，象徵著評價、視野或者其他類似的東西。」為了將心理部門變成一個作戰單位，沙利特還曾異想天開地做過一些即便是心理學家都覺得荒唐的事。比如，他想通過催眠術，讓阿拉伯人去刺殺自己的領導人。「有一回他真的把一個阿拉伯人給催眠了，」曾在心理部門供職的丹妮拉·戈登回憶說，「他們把他帶到了約旦邊境，結果被他跑掉了。」
沙利特的下屬中盛傳著一個久禁不止的流言：沙利特掌握著以色列軍中所有重要人物當年參軍時的人格測試記錄，並且放話說他不會吝於公開這些記錄。不管真實原因何在，本尼·沙利特的確有一種異於常人的能力，足以使他在以色列軍中如魚得水。他曾經提出的並且已被滿足的一條特殊要求就是，將心理學家安排在作戰部隊裡，以便在必要時直接給指揮官提建議。「在實地工作的心理學家可以就各種非常規狀況給出建議，」在向美國海軍研究處的上級匯報時萊斯特這樣說道，「例如，有心理學家注意到，暑天行軍過程中，當步兵中途停下喝飲料時，他們會靠彈藥匣開啟飲料瓶蓋，導致飲料庫存受損嚴重。因此，建議在裝備中配備開瓶器之類的工具。」沙利特手下的心理學家還建議取掉了衝鋒鎗上多餘的瞄準鏡，並且調整了機關鎗部隊之間的協作方式，目的是提高射擊準確率。簡而言之，以色列軍中的心理學家是可以放開手腳大幹一場的。美國海軍部門的研究員得出結論：「在以色列，軍事心理學發展得生機勃勃、勢頭強勁。以色列人的心理是否會演變為一種軍事心理，這將是個很有意思的研究課題。」
至於本尼·沙利特手下那些實地心理學家在真正的戰爭中能做些什麼，還沒人說得清楚。本尼·沙利特的副手伊萊·菲施霍夫說：「心理部門毫無頭緒，戰爭發生得太突然了。我們唯一能意識到的，就是這一次可能在劫難逃。」僅在幾天時間裡，按占總人口的百分比來看，以色列軍隊的傷亡就已超過了美軍在整個越南戰爭期間的傷亡率。以色列政府後來把這場戰爭描述為一場「人口統計學上的災難」，因為很多以色列精英人物都在此次戰爭中喪生。在心理部門，有人提議設計一套調查問卷，看看是否可以採取些什麼措施來提高軍隊的士氣。阿莫斯抓住了這個機會，幫著設計了一些問題，然後又多多少少利用這個機會更進一步地靠近了烽火圈。「我們開著一輛吉普車，顛簸在西奈的大街小巷中，想為國家助上一臂之力。」丹尼爾說。
看著丹尼爾和阿莫斯帶著槍駕著吉普車駛向戰場，他們的同事都覺得這兩個人不要命了。亞法·辛格回憶說：「阿莫斯異常興奮，像個小孩，但是，西奈太危險了，讓他們帶著問卷去西奈簡直是送死。」被敵軍的坦克和飛機發現還在其次，最危險的是遍佈四野的地雷，很容易就會沒命。「他們只身前往，沒有衛兵，只能自己保護自己。」兩人的指揮官丹妮拉·戈登說。大家更擔心的是丹尼爾。實地心理學部的負責人伊萊·菲施霍夫說：「我們最放心不下的是丹尼爾，對阿莫斯倒不太擔心，因為他是個鬥士。」
然而，在駕著吉普車穿行於西奈的途中，發揮出更大作用的卻是丹尼爾。「他從車裡跳出來，拿著問卷向戰士們發問。」菲施霍夫回憶道。阿莫斯顯得更為務實，而丹尼爾卻表現出了一種天分，能在別人注意不到的問題上發現端倪並且找出解決方案。在前往前線的途中，丹尼爾注意到了路邊堆積成山的垃圾：沒吃完的罐裝食品，都是美國軍方提供的。他仔細檢查了一下，看看哪些是士兵們吃掉的，哪些是被扔掉的（看起來他們都喜歡吃葡萄水果罐頭）。他後來撰文建議以色列軍方對垃圾進行分析，以確保給士兵提供他們真正喜歡的食物。這篇文章上了報紙的頭版頭條。
當時，以色列軍中的坦克駕駛員受損嚴重，陣亡人數達到了歷史最高點。丹尼爾走訪了坦克部隊新兵訓練營。在那裡，新兵正在以最快的速度接受著培訓，以便能第一時間去前線接替殞命的戰友。新兵被分成四人小組，每兩個小時輪換上一次崗。丹尼爾指出，人們在短時間內重複次數越多，學習成效就越好。如果讓新兵每隔半個小時輪換操作一次，就會更快地掌握坦克駕駛技巧。他把這種理念也引入到了以色列空軍。由於埃及方面擁有蘇聯提供的新型地對地導彈，以軍的戰鬥機飛行員同樣也遭受重創。其中，一支飛行中隊所遭受的損失尤為讓人震驚。空軍將領打算對此事進行徹查，必要的話，還打算處罰這個中隊。「我記得那個將軍指責某位飛行員的原話，說他駕駛的飛機『被四枚導彈而非一枚導彈擊中！』就好像以此能證明這個飛行員是多麼的無能。」丹尼爾回憶說。
丹尼爾告訴這個將軍，他犯了一個對樣本量認識不足的錯誤。這支被視為低能的飛行中隊所遭受的損失很有可能只是偶然。假如去徹查這個中隊，那他一定能找到一些足以解釋目前結果的行為模式。比如，可能是因為該中隊的飛行員探親次數太多，或者是因為他們都喜歡穿花哨的內衣。但不管他有何發現，都不過是毫無意義的錯覺。因為，飛行中隊的總人數達不到標準，不具備統計意義。更重要的是，這樣一次以責難為目的的調查會嚴重打擊士氣。調查的唯一意義，也許就是讓將軍展示一下居高臨下的權威吧。聽完丹尼爾的一席話後，將軍中止了調查。「我認為這是我對戰爭做出的唯一貢獻。」丹尼爾說。
丹尼爾意識到，手頭正在做的這件事——給剛從戰場上下來的士兵發放問卷——毫無意義。很多士兵都存在心理創傷。「我們想去幫助這些受到驚嚇的人，還想評估他們的創傷。」丹尼爾說，「每個士兵都被戰爭的慘烈程度給嚇壞了，但也有一些人無從作為。」受到驚嚇的以色列士兵有些像抑鬱症患者。丹尼爾深知有些事情是他無能為力的，上述問題就算其中之一。
他並不真的想待在西奈，不想以阿莫斯喜歡的方式待在那兒。「我記得自己有種虛度時光的感覺——純粹是在那兒浪費時間。」他說。當他們駕駛的吉普車再一次把丹尼爾從後座上顛起來時，他徹底和這場旅程做了了斷——只留下阿莫斯一人去發放問卷。
後來，沃爾特·裡德陸軍研究院開展了一項戰爭調研，名曰「1973年阿以戰爭中的心理創傷研究」。從事該項研究的心理學家注意到，此次戰爭的激烈程度超乎尋常——每天24小時不間斷的戰鬥，至少在初期是這樣。此外，戰爭帶來的損失極其慘重。同時，他們還發現，有史以來頭一次，以色列士兵被診斷患上了心理創傷。阿莫斯當初協助編寫的那份問卷包括一些很簡單的問題：你在哪兒？你做了什麼？看到了什麼？仗打贏了嗎？為什麼沒打贏？諸如此類。「人們開始談論自己的恐懼，」亞法·辛格回憶說，「開始談論個人的情感。自獨立戰爭以來，直到1973年，這一切都是不被允許的。我們個個兒都應該是超人，沒人敢說自己心存恐懼。如果說了，可能就會性命不保。」
戰爭結束後，阿莫斯和辛格，還有從事實地心理學研究的兩個同事，用幾天的時間看完了戰士們提供的問卷反饋。他們在其中談到了自己的作戰動機。「人們有意隱瞞的信息竟然讓人如此震驚。」辛格說。事後看來，士兵們透露給心理學家的信息實則反映的是再明顯不過的情感。「我們想知道，人們因何為以色列而戰？」辛格說。「此前，我們一直認為是出於對國家的熱愛。但是當看到士兵們的反饋時，一切都清楚了：他們為朋友而戰，為家人而戰。不是為國家，也不是為猶太復國主義。在當時，這不啻為一個重大發現。」在目睹自己親愛的戰友被炮彈炸成碎片，在看到最好的朋友因為走錯方向而橫屍街頭後，這些以色列士兵頭一次大膽說出了自己的情感。「讀來真讓人心碎。」辛格說。
就在硝煙即將散盡之時，阿莫斯卻做了一個令人意想不到的決定，一個眾人眼中愚蠢的決定。「他要去蘇伊士沿岸親眼見證戰爭的終結，」芭芭拉回憶道，「雖然他很清楚，停戰後炮火依然在繼續。」阿莫斯對待個人安危的態度有時候連他的妻子也無法接受。他又一次宣稱自己要從飛機上跳下去，僅僅因為這樣會比較有趣。芭芭拉說：「我告訴他別忘了自己是孩子的父親，這才讓他打消了念頭。」客觀地說，阿莫斯不是一個追求刺激的人，但是他有一種強烈的、孩子般的熱情，以至於偶爾會讓他不由自主地想去那些無人願意前往的地方冒一把險。
最終，他橫跨西奈來到了蘇伊士運河。當時風傳以色列軍隊將直接奔赴開羅，而蘇聯人打算將核武器運往埃及，以鉗制以色列的進攻。到達蘇伊士後，阿莫斯才發現，炮火不僅沒有停止，反而日益激烈了。阿拉伯人和以色列人打仗時有一個沿襲已久的傳統，那就是在簽訂正式停火協議前，抓緊最後一絲機會盡可能多地消滅對方。其核心思想是：在條件允許的情況下，盡量多地幹掉敵人。在蘇伊士運河附近晃悠時，為了躲避炮彈，阿莫斯跳進了一個戰壕，正好壓在一個以色列士兵的身上：
「你是炸彈嗎？」驚魂未定的士兵問道。
「不是，我是阿莫斯。」他答道。
「這麼說我沒死？」士兵又問。
「你沒死。」他說。
以上是阿莫斯的敘述。除此之外，他極少再提起這場戰爭。
1973年年末，也可能是1974年年初，丹尼爾做了一場學術報告，之後他又多次做過，題為「認知局限與公共決策判斷」。開場時他說：「想到一個兼具情感系統和生理系統的有機體與一個被賦予超能力的、僅憑按動幾個按鈕就能毀滅一切生物的叢林鼠並無太大差異，這不免讓人心憂。」他與阿莫斯剛剛完成有關人類判斷的研究，如今他又發現了更令人擔憂的問題。「古往今來，有多少重大決策不是在少數幾個當權者的一念之間做出的？」決策者如果未曾正視自己的思考過程，未曾控制自己的感情用事，則「極有可能使整個社會的命運都因其領導人所犯的一些可被避免的錯誤而改寫」。
在戰爭爆發前，丹尼爾和阿莫斯有一個共同的願望，那就是，將他們在人類決策問題上的研究發現應用到一些高風險決策領域。在這個所謂的「決策分析」的新領域，他們可以將高風險的決策問題轉變為一種工程問題。他們將設計一套決策系統。決策分析專家將與企業負責人、軍隊領導人以及政府首腦坐在一起，幫助他們分析每一項決定，計算這種情況或者那種情況的發生概率，並且給每一種可能的後果賦予相應的權重。假如我們想控制颶風，有50%的可能我們會降低颶風的風速，但亦有5%的可能會誤導那些真正需要撤離的人產生錯誤的安全感：我們該如何做？談判時，決策分析師會提醒即將做出重大決定的那些人，別被他們的本能感覺欺騙了。「我們的文化將會朝著以數字公式為引領的方向發展，這一總體上的變化會使不確定性研究獲得一席之地。」阿莫斯在自己的講座筆記裡這樣寫道。阿莫斯和丹尼爾都認為，那些受高風險決策影響最大的群體，諸如選民和持股人，可能會逐漸對決策判斷的實質有一個更清醒的認識。他們將學會通過過程而非結果來評價一項決定。決策者的任務將不再是保證絕對正確，而是要去弄清楚每一種決定有可能帶來的後果，然後妥善應對。正如丹尼爾在以色列做講座時所言，真正需要的是「從文化上轉變對不確定性的態度，並且大膽嘗試」。
至於某些決策分析師究竟是如何說服商界、軍方、政壇等領域的領導者接受他的引導，還無人清楚。你如何才能說服一個重量級的決策者用數字來定義他的「貢獻」呢？大人物不會願意讓別人去挖掘他的本能情感，就算他們自己，也不願意正視這種本能。困難正在於此。
後來，丹尼爾回顧了他和阿莫斯對決策分析喪失信心的那個時刻。以色列情報人員未能預料到贖罪日這一天遭遇的突襲，這在以色列政府內部引發了一場地震，以至後來的一段時間所有人員都在反省。他們的確贏了這場戰爭，但結局倒好像是他們輸了。損失更為慘重的埃及人在街上敲鑼打鼓地慶祝，彷彿他們是勝利者。在以色列，所有人都在試圖弄明白是哪個環節出了錯。戰爭爆發前，儘管有大量證據表明埃及人窺伺已久，但以色列情報部門的人員仍然認為，只要自己的空中優勢保持不變，埃及人就不會輕舉妄動。然而，埃及人還是主動出擊了。戰爭結束後，抱著可以做得更好的態度，以色列外交部成立了自己的情報部門。該部門負責人茲維·拉尼爾找到了丹尼爾，想讓他出手相助。最終，兩人開展了一項精心設計的決策分析行動。其基本理念是，在應對事關國家安全的問題時，用新的標準來衡量其嚴謹性。丹尼爾說：「我們最先想到的，就是要廢除常規的軍情報告。情報部門遞交的報告都是以論文形式寫成的，而論文的最大特點就是無法在你閱讀時帶給你愉悅感。」作為替代，丹尼爾想要以數字的形式將各種可能性呈現給以色列領導人。
1974年，美國國務卿亨利·基辛格作為中間人，竭力促成著以色列與埃及以及以色列與敘利亞之間的和平談判。為了使行動取得成功，基辛格曾將中央情報局的評估結果提交給以色列政府，其中提到，假如和談努力以失敗告終，則很有可能引發災難性的後果。丹尼爾和拉尼爾給以色列外交部部長伊加爾·阿隆提供了一些準確的數字，用於反映某些惡果出現的概率。他們總結了一系列可能導致的「嚴重後果」，例如，約旦政權的更迭，美國承認巴勒斯坦解放組織的合法地位，以色列和敘利亞再度爆發全面戰爭，等等。接著，他們訪談了一些專家和資深觀察家，以進一步確認這些事件發生的可能性。專家們的觀點極其一致：他們對於種種可能性沒有太大分歧。比如，當丹尼爾問他們，如果基辛格斡旋失敗，那會對爆發敘以戰爭的可能性產生多大影響？他們的回答基本都是「可能性會增加10%」。
丹尼爾和拉尼爾於是將他們的評估報告呈交給了以色列外交部（他們給這份報告取名「國家的賭注」）。外交部部長阿隆看著這些數字說：「可能性增加10%？差別不大嘛。」
這讓丹尼爾大為震驚。若因基辛格的和談斡旋失敗而導致以色列和敘利亞展開全面戰爭的可能性增加10%，那後果將不可想像。如果這樣一個增幅都無法引起阿隆的興趣，那多大增幅才能讓他感興趣？10%是他們預估出的最準確的概率，但是很顯然，外交部部長不打算接受這個概率。他更願意依賴自己的直覺。丹尼爾說：「正是在那一刻，我決定放棄決策分析，沒人會根據數字來做決定。人們需要的是對整件事的瞭解。」時隔幾十年，當中央情報局要求他們描述一下自己在決策分析領域的經歷時，丹尼爾和拉尼爾是這樣寫的：「以色列外交部對具體的概率並不關心。」如果參與賭局的人既不相信概率分析，也不願意知道自己勝出的概率，那麼把這個概率擺在桌面上又有什麼意義？丹尼爾懷疑，之所以這樣，可能是因為「人們對數字的瞭解太少，所以不相信數字也能反映問題。所有人都認為概率是虛無的，只存在於某些人的思維中」。
在丹尼爾和阿莫斯的人生中，他們對於思想火花的熱情有時候很難和他們對彼此的熱情分割開來。事後看來，贖罪日戰爭之前和之後的那段日子裡，他們之間的合作並不像是在圍繞一個又一個命題展開討論，倒更像是墜入愛河的兩個人為了能在一起而想方設法找出的借口。人們在不確定狀況下憑借直覺做判斷時會犯錯誤——關於這個問題的研究，二人覺得可以告一段落了。至於決策分析，他們曾經寄予厚望，但最終卻發現它毫無用處。他們想就人類思維在應對不確定狀況時的各種現象寫一部著作，但是不知為什麼，他們始終停留在擬定提綱的階段，即便寫下幾個章節的開篇，後來也都不了了之。贖罪日戰爭之後，以色列政府官員的判斷能力遭到了民眾的質疑。丹尼爾和阿莫斯意識到，他們真正應該做的，是改良現有的教育體系，以便給下一代領導人灌輸一些有關科學思考的知識。「我們已經教會人們要提防那些在推理過程中易於進入的誤區，」他們在那本始終沒有成稿的書裡這樣寫道，「我們已經嘗試將這些觀點分享給政界和軍方各個階層的人，但收效甚微。」
成年人的思維極易陷入自欺欺人的誤區，而孩童則不同。丹尼爾針對小學生開設了一門有關判斷力的課程，阿莫斯也在高中生中開設了類似的課程，之後兩人一同擬定了出版計劃。「這段經歷讓我們備受鼓舞。」他們寫道。假如他們能把科學的思考方式教給以色列孩子，讓他們學會辨別那些來自直覺但錯誤的想法，並進一步去糾正這些想法，那未來會如何？也許有朝一日，待這些孩子長大成人後，他們會認識到邀請亨利·基辛格再次促成以色列和敘利亞之間的和平是多麼明智。只可惜，他們沒有將這項工作推進下去。看來，在喚起公眾注意力的過程中，他們總是更容易被對方的思想給吸引到一邊去。
阿莫斯邀請丹尼爾做的，是去解決他本人在心理學領域產生的一個困惑：人們是如何做決定的？「有一天，阿莫斯對我說，『關於判斷的研究已經告終，我們來研究一下決策制定』。」丹尼爾回憶道。
判斷與決策就像判斷與預測一樣，其間的差異是模糊不清的。但是，對於阿莫斯以及其他數學心理學家而言，這二者是完全不同的兩個領域。做判斷時人們會估算概率。那傢伙有多大可能會成為一名出色的NBA球員？那只3A等級次級抵押貸款的風險是多大？X光片上的陰影是不是腫瘤？判斷之後不一定能做出決定，但做決定之前一定會進行判斷。決策領域探究的是人們在形成某種判斷之後做了些什麼——也就是說，在知道了概率，或者說自以為知道了概率或判斷出概率之後，做了些什麼。該不該選那個球員？要不要買那只債券？做手術還是進行化療？這個領域就是致力於瞭解人們在面對風險選項時會做何反應。
研究決策制定的學生們或多或少地放棄了對現實世界的考量，而把範圍局限在那些人為構想出來的、由被試配合完成的、概率被清楚界定的實驗上。人為構想出的情境在決策研究領域的作用，可以和遺傳學研究中果蠅的作用相提並論，二者都被用來替代那些真實生活中無法孤立存在的現象。為了幫丹尼爾入門——他在這個領域完全是個門外漢，阿莫斯特地給了他一本本科生使用的數學心理學教程。這本教程是他與自己的老師克萊德·庫姆斯及其另一名學生羅賓·道斯合寫的。羅賓·道斯曾在俄勒岡研究所配合丹尼爾完成了對湯姆W人格描述的分析，當時，他很自信地答出了「計算機科學家」，只可惜答錯了。阿莫斯告訴丹尼爾，要對「個體決策制定」這一極長的章節進行重點閱讀。
書中提到，決策理論始於18世紀早期。當時，熱衷於擲骰子遊戲的法國貴族要求宮廷數學家幫他們計算如何投擲才能贏。在一輪賭局中，期望值就是所有結果的總和，反映的是某種結果出現的概率。扔硬幣時，如果有人告訴你硬幣若正面朝上落下，你將得到100美元，而反面朝上落下，你將輸掉50美元，那麼該輪賭局的期望值就是$100×0.5+(–)$50×0.5，即，要麼是75美元，要麼是25美元。可能玩此類遊戲時你的原則是期望值必須為正，否則你不參與。但是，任何明眼人都能看出，人們在下賭注時，似乎並不總是在追求期望值的最大化。他們也會接受期望值為負的那些賭局。若非如此，賭場存在的意義何在？人們購買保險時，支付的保險金往往會高出他們的預期損失，若非如此，保險公司如何盈利？在力圖解釋一個理性的人為什麼會甘冒風險時，任何理論都應該至少考慮到人類的一些常規需要，比如購買保險；並且，在很多情況下，人們無法將期望值最大化。
阿莫斯的這本教程指出，決策理論的主要思想最早是由瑞士數學家丹尼爾·貝爾努利在18世紀30年代提出的。貝爾努利試圖在單純估算期望值的基礎之上，對人類行為做更進一步的註解。他說：「假設有個窮人，他碰巧得到一張彩票，這張彩票要麼一分錢不中，要麼中得20000金幣，其概率是一半對一半，他是會將這張彩票的價值等同於10000金幣？還是會用彩票去兌換9000金幣？」答案是後者。為了解釋為什麼這個窮人寧願要9000金幣也不願冒險賭一把去贏得20000金幣，貝爾努利認為其中存在隱蔽的假象。人們不是追求價值最大化，他說，人們追求的是「效用」最大化。
對人們而言信謂「效用」？（這個奇怪的、讓人厭惡的字眼兒在此主要指「人給金錢賦予的價值」。）當然了，這取決於一個人原本的經濟實力。當一個窮人手持期望值為10000金幣的彩票時，他當然會認為把彩票兌換成到手的9000個金幣更有「效用」。
預測人類行為時，僅憑「人們會選擇最想要的」這一標準是遠遠不夠的。後人口中的「期望效用理論」之所以有其存在價值，是因為它將人性納入了考慮。貝爾努利在「人會追求效用最大化」的基礎之上，進一步提出人所具有的「風險規避」的心理。教科書上是這樣定義「風險規避」的：「一個人擁有的財富越多，每一筆新增財富在他眼中的價值就越低。同樣，每一筆新增財富的效用也會隨著財富總量的增長而減少。」你掙到的第二筆1000美元不如第一筆那麼有份量，而掙到的第三筆1000美元又不如第二筆那麼有價值。你用來購買火災保險的這筆錢，其臨界價值低於房子一旦失火後遭受的經濟損失。正因為如此，購買保險雖然從嚴格意義上來說是筆賠錢的交易，你還是會買。投擲硬幣時，你有機會贏1000美元，但在你眼中，這1000美元的價值比不上你銀行賬戶裡已經存在但可能會失去的另1000美元，所以你拒絕了這場遊戲。一個窮人會更在乎手頭真實擁有的9000金幣，因而即便冒險一賭有可能帶來更大收益，他也會拒絕。
這並不是說，因為具有貝爾努利所指出的上述特點，現實生活中的人們就一定會這樣行事。只能說他的理論似乎能夠反映人們在真實世界是如何對待金錢的。它能很好地解釋人們購買保險的動機，但顯然解釋不了人們為何會去買彩票。凡是與下賭注有關的事項都被它成功地忽視了。有意思的是，法國人原意是要從理論上解釋人們是如何做出有風險的決定的，但最後卻也順便讓法國人學會了如何當一個精明的賭徒。
阿莫斯的這本教程在介紹完貝爾努利的思想之後，省略了效用理論發展演變的漫長過程，直接來到了1944年。這一年，一個名叫約翰·馮·諾依曼的匈牙利猶太人和一個叫作奧斯卡·莫根施特恩的奧地利反猶分子不知何故聯手發表了關於「理性原則」的文章。據他們所言，一個理性的人在從兩個命題中二選一時，不應該違背「傳遞性法則」：假如在A和B之間他傾向於A，在B和C之間他傾向於B，那麼按道理他應該在A和C之間選擇A。若是有人在A和B之間選擇了A，在B和C之間選擇了B，但最終又在A和C之間選擇了C，那他就與「期望效用理論」背道而馳了。在馮·諾依曼和莫根施特恩的其他學說中，最重要的——鑒於其可能造成的後果——是「獨立性法則」。根據該法則，在進行二選一的選擇時，你不該受到新介入的無關選項的干擾。舉例來說：你走進一家熟食店，想買一份三明治，掌櫃說只能配烤牛排或烤火雞。你選擇了火雞。就在為你準備這份三明治時，他抬頭對你說：「噢，對了，我這兒還有火腿。」然後你說：「好吧，那替我換成烤牛排。」馮·諾依曼和莫根施特恩的「獨立性法則」其實是說，如果因為店老闆的後廚裡還有一些火腿，你就把原來點的火雞換成了牛肉，那你的做法是不合常理的。
說真的，誰會在這種時候改變決定？「獨立性法則」與其他涉及理性的法則一樣，看起來都很合理，而且與人們在生活中的真實表現之間並不存在明顯的衝突。
「期望效用理論」僅僅是個理論學說，它並不具備解釋和預測的能力，無法讓我們知道人們在面臨風險選擇時會怎樣做。從阿莫斯提供的教程中，丹尼爾並沒有看出它的重要性，但是阿莫斯提起它時的那個樣子，倒是引起了丹尼爾的重視。「在阿莫斯眼中，這是一件很神聖的事。」丹尼爾說。儘管這條理論沒有將自己標榜為了不起的心理學真理，但阿莫斯與別人合著的教材卻很明確地認可了它在心理學領域的地位。差不多每一個對此問題感興趣的人，包括所有從事經濟相關工作的人，似乎都認為這條理論恰如其分地描述了普通人在面臨風險選擇時會如何做決定。這一認識上的跨越對於經濟學家至少產生了一個積極影響：在給政界領導人提供的經濟建議中，一切都以賦予人們更多選擇自由為原則，市場被撂在了一邊。不管怎麼說，假如我們要指望人類從根本上保持理性，那市場也應保持理性。
阿莫斯對此顯然有些懷疑，當他還在密歇根大學攻讀研究生時，這種懷疑就已經存在了。對於別人的思想觀點，阿莫斯總有一種想去找出其漏洞的本能。他當然知道僅靠理論預測不出人們的決定。他本人還曾專門調查過人們是如何違背「傳遞性原則」的——與理論假設恰好相反。在密歇根大學讀研時，他曾以哈佛大學的本科生和監獄中的重刑犯為被試，一遍又一遍地讓他們做選A還是選B、選B還是選C、選C還是選A的測試。測試結果證明，人們的行為並不符合期望效用理論的標準。但是，阿莫斯從來沒有把這份疑慮深究下去。他見過人們偶爾犯下的錯誤，可是在人們做決定的過程中，他並沒有看到任何始終不合理性的行為。他也尚不知道，如何才能將有關人性的洞察融合進人類決策問題的數學研究中。
截至1973年夏，阿莫斯一直都在想著挑戰當時占統領地位的決策理論，就像他和丹尼爾之前徹底顛覆人類判斷遵循統計規律的那條學說一樣。在與友人保羅·斯洛維克前往歐洲的旅途中，他向對方提到了自己的最新想法：要在決策理論領域為人性中的複雜面找到一席之地。「阿莫斯提醒說，切勿在實證研究中將『期望效用理論』與『選擇模型』對立起來。」在1973年9月寫給同事的信中，斯洛維克轉述道，「問題在於，效用理論普及面如此之廣，以至於很難去推倒它。我們的策略應該是主動出擊，搭建屬於自己的案例。不是去和效用理論唱對台戲，而是要把人類的局限性作為一個制約因素引入人們的觀念體系。」
關於人類局限性這個命題，阿莫斯身邊就有一個權威專家：丹尼爾。他把丹尼爾盛讚為「全世界尚在世的最偉大的心理學家」。之前他倒也沒有不加掩飾地恭維過丹尼爾。（丹尼爾說過：男人之間應該含蓄些。）他從未向丹尼爾解釋為什麼會邀請他加入決策理論的研究——一個丹尼爾既不關心又知之甚少的純技術領域。但如果說阿莫斯是為了兩人能在一起共事而隨便找了個由頭，又有些牽強。若是說阿莫斯很想看看丹尼爾拿到這本數學心理學教程後會有何種反應，倒還比較令人信服。這一刻有些像電影《三個臭皮匠》裡的橋段：拉裡奏起「嗨，鼴鼠跑了」，害得克利心驚膽戰。
丹尼爾用一種對待火星文的態度，閱讀了阿莫斯借給他的書，確切地說，是對書進行了解碼。很早以前他就知道，自己在應用數學上沒什麼天賦，但是他能看懂數學公式所蘊含的邏輯。他清楚自己應該尊重甚至敬仰這些東西。阿莫斯所研究的數學心理學高高在上，這個領域的心理學家反過頭來卻居高臨下地藐視著心理學的其他領域。「懂數學的心理學家好像有一種魔力，」丹尼爾說，「他們地位顯赫，因為他們被籠罩在數學的巨大光環之下，而其他人又完全不懂他們在研究些什麼。」即便身處社會科學領域，丹尼爾也還是躲不開甚囂塵上的數學的威儀，因為那樣做會對他不利。但是在內心深處，他並不真的看重決策理論，也並不在意它。他關心的是，人們為什麼會以這樣或那樣的方式行事。而且，在丹尼爾看來，決策理論的主要思想連人們如何做決定都說不清楚。
在終於快讀完阿莫斯撰寫的期望效用理論這一章，看到「然而有些人仍然不信服這些法則」這句話時，丹尼爾一定是如釋重負了。
書中接著說，所謂「有些人」，是指法國經濟學家莫雷斯·阿萊。阿萊厭惡美國心理學家那種自以為是的樣子，尤其反感在馮·諾依曼和莫根施特恩建立學說之後經濟領域日漸流行的做法：用數學模型來反映人類行為，並視之為可以精確描述人類決策過程的法寶。在1953年的一次經濟會議上，阿萊拋出了他用以打壓期望效用理論的致命武器。他要求觀眾們設想一下自己在以下兩種情境中的選擇（阿萊所說的美元總量在此處是乘過10的，用以反映通貨膨脹）：
情境1：你必須在下面兩個選項中做出選擇：
（1）穩保500萬。
（2）賭一把。89%的概率能贏得500萬。
10%的概率能贏得2500萬。
1%的概率一無所獲。
大部分觀眾，當然還包括很多美國的經濟學家，說：「我肯定會選第一個，這樣就穩得500萬了。」在肯定能獲得財富和有可能獲得更多財富這二者之間，他們選擇了前者。阿萊告訴他們：「好的，現在請看第二種情境。」
情境2：你必須在下面兩個選項中做出選擇：
（3）有11%的概率能贏得500萬，89%的概率會分文不得。
（4）有10%的概率能贏得2500萬，90%的概率會分文不得。
幾乎所有人，包括美國經濟學家，都說「我選4」。當有可能贏得更多金額時，他們選擇了概率較低的那個選項。這種選擇並沒有錯。表面看來，人們在以上兩種情境中做出的選擇都很合理。但是，阿莫斯的教程中解釋道：「問題在於貌似合理的兩個選擇並不符合效用理論。」這就是我們後來所知的阿萊悖論，它已經成為反駁期望效用理論的一個著名依據。在阿萊設計的問題面前，即便是最冷血的美國經濟學家也做出了違背理性法則的事。[1]
我們用u來代替效用
在情境1中：
賭局1中的u>賭局2中的u
因此：
1u（5）>0.1u（25）+0.89u（5）+0.01u（0）
所以
0.11u（5）>0.1u（25）+0.01u（0）
在情境2中，大部分人選擇4而非3，這也就意味著：
賭局4中的u>賭局3中的u
因此：
0.10u（25）+0.90u（0）>0.11u（5）+0.89u（0）
所以：
0.10u（25）+0.1u（0）>0.11u（5）
在對數學心理學的介紹中，阿莫斯簡要描述了阿萊悖論問世後引起的一些爭議和討論。美國方面帶頭回應的是著名統計學家兼數學家L.J.薩維奇。他對效用理論做出過重要貢獻，如今他坦言自己也中了阿萊的圈套。薩維奇稱，他找到了一種更加複雜的方式來重新設置阿萊的這個賭局，從而會讓更多人——包括他自己——選擇第三項而非第四項。據他證明，或者說他以為自己證明了，阿萊悖論壓根兒不是個「悖論」，人們的行為依然符合期望效用理論。關注這個問題的大多數人和阿莫斯一樣，對此半信半疑。
當丹尼爾讀到決策理論的章節時，阿莫斯給他劃出了重點和非重點。丹尼爾說：「他簡直考慮得太周到了，他知道問題何在。他也清楚如何將自己置身於更廣闊的領域。這一點我做不到。」阿莫斯說過，重要的是那些尚未解決的問題。「他說，『這是故事情節，這是賭局設置。後者用來化解阿萊悖倫』。」
在丹尼爾看來，這個悖論與其說是一個邏輯問題，倒不如說反映了人類行為的怪誕一面。「我很想知道它背後的心理過程是怎樣的。」他說。他覺得可能阿萊本人也沒有認真思考過為什麼大家會反決策論之道而行之。但是丹尼爾認為原因顯而易見：後悔。在第一種情境中，人們唯恐賭局失利後，自己會後悔最初的決定，會認為是自己把一切都搞砸了。而在第二種情境中，這種擔心沒有那麼強烈。如果拒絕了穩拿不賠的500萬，卻因為冒險最終落個兩手空空，那麼比起拒絕靠下注去贏得可能到手的500萬，前者讓人感受到的後悔和懊惱要多得多。大多數人之所以選擇第一項，是因為假如他們選了第二項卻空手而歸，那他們是會感覺到切膚之痛的。所以，當他們在心裡計算期望效用時，規避痛苦就成了一個重要因素。後悔懊惱就好比餐廳後廚裡的火腿，它會使人們做出不合常規的選擇。
決策理論是把阿萊悖倫中看似矛盾的東西當作一個技術問題來對待。丹尼爾認為這很荒唐：壓根兒不存在矛盾。完全就是心理問題。對任何一個決策的理解，都要從經濟和情感兩方面來看待。「很顯然，影響決策的並不是後悔本身，只不過是結果引發的情感反應會作用於決策罷了。」丹尼爾在寫給阿莫斯的有關這一主題的備忘錄中這樣說道。「影響決策的是預期的後悔，以及其他一些預計會出現的結果。」丹尼爾認為，人們預期到後悔並因此而調整決策，其方式有別於對待其他情感。丹尼爾寫道：「可能是受痛苦的影響，此處存在不對等。因為，人們在感到愉悅和幸福時，極少考慮到不幸的事情如果發生該怎麼辦。」
幸福的人不會像不幸的人那樣，一味地去想最初究竟該做何選擇才能收穫圓滿結局。人們從未像規避後悔那樣去規避其他的情感感受。
做決定時，人們不是在追求效用最大化，而是在追求懊悔最小化。作為一條新理論的開篇，這句話讓人看到了希望。當被問及自己在生活中是如何做重大決定時，阿莫斯往往會分享他的小策略：挑出某個選項後，想像一下將來會不會後悔，哪個選項在想像中最不令他後悔，哪個就是最終選擇。丹尼爾則將後悔擬人化了。他拒絕更改訂好的航班，即便更改會給他帶來更大的便捷。因為他擔心更改後如果發生空難，那他將不得不承受深切的懊惱。這並不是說丹尼爾預計到了預期懊惱。他最善於預計的，是那些因絕不可能發生的事件而生的懊惱，以及那些他可能永遠也不需要做出的決定。有一次，丹尼爾夫婦和阿莫斯夫婦共進晚餐，席間，丹尼爾開始滔滔不絕、信心十足地預言兒子的將來，說兒子長大後一定會加入以色列軍隊，到時一定會有戰爭爆發，兒子也一定會戰死沙場。「這一切發生的概率是多少？」芭芭拉·特沃斯基問。「非常小。但是我不能攔著他。要知道，和他說那些我自己都曾避開過的小概率事件是非常令人不快的。」丹尼爾似乎是覺得，未來的感受中注定會有痛苦，而預見這種感受有可能會減輕痛苦。
到了1973年年底，阿莫斯和丹尼爾每天在一起的時間已經達到6個小時。他們要麼待在會議室，要麼長時間地沿著耶路撒冷的大街小巷散步。阿莫斯不喜歡抽煙，也不喜歡和抽煙的人待在一起。丹尼爾每天至少要抽兩包煙，但阿莫斯從來沒有抱怨過。二人在一起時，最重要的事就是對話。不在一起時，就給對方寫備忘錄，以便對之前說過的觀點進行解釋或延伸。如果兩人碰巧出現在同一個社交場合，那他們無一例外地會在房中找一個角落單獨開始聊。「我們只不過覺得比起其他人，對面這個人更有趣。」丹尼爾說，「就算我們已經在一起工作了一整天，也還是會有這種感覺。」他們的目標已經變得很單純，就是要探究人們的行為動機，就是要設計一些稀奇古怪的試驗去驗證他們的想法。以下場景就是個例子：
你在集市上參與了一場博彩，買了一張高價彩票，希望能一次性贏得大筆獎金。彩票是從一個蒙著的大罐裡抽取的，號碼是107358。接下來結果揭曉，贏得大獎的彩票號碼是107359。
他們要求被試用數字1~20來評定他們的不開心指數。然後，他們又到另兩組被試中開展相同場景的試驗，但是做了一個小小的調整：中獎彩票的號碼。一組被試被告知的號碼是207358，另一組被告知的是618379。相較而言，第一組被試反饋的不開心指數要高於第二組。奇怪的是——但正好是丹尼爾和阿莫斯懷疑的——中獎彩票的號碼與被試手中的號碼差距越大，被試產生的懊惱心理就越小。「而當他們手中的號碼與中獎號碼近似時，他們會毫無道理地認為自己差一點就中大獎了。」丹尼爾在給阿莫斯的備忘中這樣總結道。在另一份備忘錄中，丹尼爾補充說：「總體來看，人們從同一事件中感受到的痛苦會有極大的差異。」這種差異取決於人們是否能輕易地展開與事實相反的想像。
懊悔來得那麼容易，以至於人們會在他們無法掌控的情境中去想像懊悔。但是，當人們想法兒去避免它時，它的威力才達到最大。至於人們懊悔些什麼，懊悔的強度如何，他們還沒有找出明確的答案。
戰爭與政治這兩個話題從未遠離過阿莫斯和丹尼爾的生活。在贖罪日戰爭結束後的日子裡，他們近距離地接觸過自己的以色列同胞。其中大部分人都為以色列遭到突襲而懊悔，也有些人為以色列沒有先發制人而懊悔。但極少有人出於以下原因後悔：以色列政府拒絕歸還在1967年戰爭中奪來的領土。在丹尼爾和阿莫斯看來，這才是最該後悔的事。假如以色列早一點將西奈歸還給埃及，薩達特極有可能不會發起進攻。為什麼大家沒有想到這一點？阿莫斯和丹尼爾判斷，更易讓人們後悔的不是那些該做卻沒有做的事，而是那些已經做了但人們寧願自己當初沒有做過的事。丹尼爾在給阿莫斯的備忘錄裡寫道：「為改變現狀而採取的措施一旦以失敗告終，其帶來的痛苦會比什麼都沒做卻以失敗告終造成的痛苦更強烈。當人們沒有採取原本可以避免災難的行動時，他們並不會認為自己對災難的發生負有責任。」
於是，他們開始著手創建「後悔理論」。他們揭示了——或者說以為自己在揭示——後悔理論的基本規則。其中一條規則是，後悔與「靠近程度」有著密切的關係。越是靠近目標，你就越有可能在達不到目標時感到後悔。[2] 第二條規則是，後悔與責任感有關。你越是覺得自己對結局負有責任，就越有可能在結局不如意時感到後悔。在阿萊設計的賭局中，人們的預期後悔並不是因為贏不了錢，做出放棄一筆錢這個決定才是他們後悔的根源。
這又是後悔的另一條規則。在面對確定和不確定兩種選擇時，這條規則會影響人們的決策。丹尼爾和阿莫斯認為，在生活中，「現狀」就是一個確定的東西，它是指人們在不採取任何行動時所能得到的一切。「諸如遲疑不決、不願採取積極行動等都可以從這條規則中獲得解釋。」丹尼爾寫道。他們認為，對後悔的預期可能在人類行為中扮演著重要角色。「如果人們對未採取過的行動會導致什麼樣的後果一無所知，那就不會產生難以忍受的後悔情緒。」丹尼爾寫道，「我們永遠也無法確知，假如當初選擇了另一個職業，或是另一個配偶，生活是不是會更幸福一些……因此，若是對於某些決定的利弊一無所知，我們倒也能免受後悔懊惱之苦。」
他們用了一年多的時間反覆推敲這一基本概念：要想解釋期望效用理論解釋不了的悖論，構建一套能夠預測人類行為的更完善的學說，他們必須依靠心理學。通過測試人們在各種確定結果和不確定結果之間做選擇的過程，他們尋找著後悔的發展脈絡。
以下兩個禮物你選哪一個？
A：一張彩票，有50%的概率能中1000美元。
B：確定到手的400美元。
或者：
以下兩個禮物你選哪一個？
A：一張彩票，有50%的概率能中100萬美元。
B：確定到手的40萬美元。
他們收集了堆積成山的數據，全都是被試提供的反饋。「一定要堅定地依靠數據。」這是阿莫斯的口頭禪。正是數據將心理學與哲學、物理學與玄學區別開來。通過數據他們發現，人們對於金錢的主觀感受與他們的知覺體驗有很多共性。久處黑暗中的人對第一道亮光會格外敏感，正如久在寂靜中的人對最輕微的聲響會格外警醒，身居高樓中的人對最細小的一絲晃動會格外警覺一樣。當光線變亮，聲響增大，晃動加劇時，人們對於新出現的變化就不會特別敏感。對待金錢也是如此。從身無分文的窮人變成百萬富翁，這種幸福感要遠遠高於從擁有100萬美元變為擁有200萬美元。當然，期望效用理論也曾指出，在需要承擔風險才能獲得一筆高額回報時，人們更願意接受一筆數額較小但穩賺不賠的收益。這就是「風險規避」。但是，大家一直以來都在說的「風險規避」到底是個什麼東西？它有點兒像人們為了避免後悔而自願付出的一筆費用：一筆遺憾保險金。
期望效用理論並非完全不成立，只是在某些情況下無法自圓其說。丹尼爾和阿莫斯寫道，該理論未能有效地解釋人類的決策問題，「這僅僅說明了一個興許是顯而易見的問題，那就是，在效用理論的實際應用中，我們不能忽視決策帶來的除經濟效用之外的其他後果」。至於如何在風險決策理論中融入有關情感的內容，二人尚在探索中。阿莫斯喜歡引用一句不知從什麼地方看來的話：「沿著關節去探尋自然。」他們也在沿著關節探尋人性的奧秘，但是情感的關節實在難以捕捉。這也正是讓阿莫斯不太願意涉足情感問題的原因之一，他不喜歡那些難以衡量的東西。「這真是一個艱澀的理論，」丹尼爾在備忘錄中坦言道，「事實上，它由幾個次級理論組成，而這些次級理論之間的聯繫又很鬆散。」
在閱讀期望效用理論的相關文獻時，丹尼爾發現，令這條理論受到質疑的那個悖論並不十分難懂，難懂的是這條理論遺漏了的部分。「全世界最聰明的人都在進行效用評估，」他回憶道，「讀及此處時，我不禁產生了一種非常奇怪的感覺。」理論學家似乎要以此來表示「金錢的效用」。在他們心目中，這和財富水平是直接相關的。正所謂多多益善。這在丹尼爾看來是個謬誤。他設想出了很多場景來證明這是個謬誤：
昨天，傑克有100萬，吉爾有900萬。
今天，傑克和吉爾兩人各有500萬。
他們的幸福感相同嗎？（也就是說，他們擁有相同的效用嗎？）
他們的幸福感當然不一樣。傑克喜不自勝，吉爾卻憂心忡忡。就算從傑克那裡拿走100萬，讓他的存款不如吉爾多，傑克的幸福感依然高過吉爾的。在人們對金錢的感知中，正如對待光、對待聲、對待氣候，以及對待天底下所有事一樣，最重要的不是絕對水平，而是發生了多大變化。人們在進行小額賭博時，總是從輸或贏的角度來思考並做出選擇，並沒有考慮絕對水平。丹尼爾回憶道：「我回過頭把這個問題交給了阿莫斯，期望他能做出解釋，他只說了一句，『你是對的』。」
[1] 為接下來不得不做的這件事，我首先表示歉意。數學不好的讀者可以直接略過以下步驟。阿莫斯和丹尼爾就這一悖論提供了一個更簡單的例子，稍後將為讀者介紹。但是在此我們先來看看摘自《數學心理學：入門介紹》中的一部分內容，也是阿莫斯要求丹尼爾所思索的悖論問題。
[2] 時隔20年，在1995年，曾先後和丹尼爾及阿莫斯合作過的美國心理學家托馬斯·基洛維奇與他人一起，研究了1992年夏季奧運會上銀牌得主和銅牌得主的幸福指數。觀察者從視頻片段中得出結論，銅牌得主的幸福感要高於銀牌得主。研究者認為，其原因是銀牌得主在為沒能拿上金牌而懊悔，銅牌得主則因為能登上領獎台而喜悅。