我最近連續從幾本書中看到同樣的概率典故，不得不把它寫下來。人的直覺是一個非常強大的武器，在很多情況下可以幫我們不需要精密計算就能做出正確的判斷。但是在人的眾多直覺能力之中，不包括概率。下面我說說這個典故。
現代技術檢測 HIV 病毒的準確度已經到了驚人的程度。如果一個人真是 HIV 陽性，血液檢測的手段有 99.9% 的準確率，也就是說有 99.9% 的可能性把他這個陽性給檢查出來而不漏網。如果一個人不攜帶 HIV，那麼檢測手段的精度更高，達到99.99% – 也就是說有 99.99% 的可能性不會冤枉他。
現在假設我們隨便在街頭找一個人給他做檢查，發現檢測結果是 HIV 陽性，那麼請問這個人真有 HIV 的可能性是多大呢？
在你回答之前，我要提供一點背景資料。德國馬普研究所的心理學家曾經拿這道題考了好幾百人，包括學生，數學家和醫生。結果 95% 的大學生和 40% 的醫生（這些醫生實際上都受過這方面的專門訓練）都給出了錯誤的答案。
如果你真懂概率，你會想到要使用貝葉斯定理，然後你會發現這道題還缺少一個關鍵信息：那就是一般人感染 HIV 的概率。現在已知一般人感染 HIV 的概率是 0.01%，也就是說一萬個人中才有一個人感染這種病毒。根據以上信息，這位不幸被檢測為 HIV 感染者的朋友真有 HIV 的可能性是多少呢？
正確答案是 50%。
我先說貝葉斯定理的算法，然後再給一個更直觀的解釋。貝葉斯定理說的就是條件概率。如果我們用 A 表示 「真有 HIV」，B 表示 「檢測出 HIV」，那麼我們要計算的是 P(A|B)。 已知 P(A) = 0.01%, P(B|A)=99.9%。
P(B) 需要計算一下，它等於 0.01% x 99.9% [也就是有 HIV 而被查出來的]+ 99.99% x 0.01% [也就是沒有 HIV 但被冤枉的]。
貝葉斯定理說，P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)，計算結果等於 0.5.
直觀的解釋是這樣的。假設我們隨機地找一萬個人來做實驗。根據 HIV 病毒的分佈，這一萬人中應該只有一個人是真有 HIV 的。而由於我們的檢測手段很強，這個人會被檢測出來。但剩下的9999人都沒有 HIV，可是我們對沒有 HIV 的人的檢測精度是 99.99%，也就是說有萬分之一的可能性會冤枉好人。這樣一來，我們的檢測手段還會在9999人中冤枉一個人。
本來只有一人有 HIV，可是我們卻檢測出來兩人。所以如果一個人被檢測出 HIV 來，他真有 HIV 的可能性其實只有 50%。
從根本上說，造成這種局面的原因在於 HIV 其實是一種罕見的病毒，只有萬分之一的感染者。在這種情況下即使你的檢測手段再高，也很有可能會冤枉人。下面再給一道例題：
1%的婦女有乳房癌（簡稱為C）；80% 的有乳房癌的婦女會在乳房 x 射線照相檢驗 （mammographies， 簡稱M）中成陽性；10%的沒有乳房癌的婦女也會檢測到M陽性。現在有一個婦女檢測到了M陽性，請問她患有乳房癌的概率是多少？
答案：P(C)=0.01; P(M|C)=0.8; P(M)=0.8*0.01+0.1*0.99=0.107,所以
P(C|M)=P(M|C) P(C)/P(M)=8/107.
這是一個出乎意料的小數。
如果一個疾病比較罕見，那麼你就不應該對陽性診斷特別有信心。
由此我聯想到當初文革期間的「抓特務」行動。「特務」這個工作的要求，其實貴在精而不在多，再說國民黨也沒那麼多錢養，真正的特務其實是很少的。如果我們看到一個人長得像特務，說話走路也像特務，我們有多大把握說他就是特務呢？上面的兩個概率例題告訴我們，「誤診率」可以相當高。「抓特務」，最好的辦法是冒出來一個抓一個，最可怕的辦法是搞「人人過關」。如果你搞「人人過關」，必然是一大堆冤假錯案！
這就是概率。哪怕你的初衷再好，你也會犯錯！
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本文第一個例子來自 The Social Atom 一書。
第二個例子來自 Super Crunchers 一書。
另外好像 The Drunkard』s Walk 這本書裡也有一個類似的例子。
別人一而再，再而三地強調，我們豈可不知呼。