《周髀算經》，從古代中國天學史或文化史而言，都是一部奇書、謎書。作為自成體系且以完備面目呈現的數理天文學專著，《周髀算經》幾乎可以說是古代中國唯一的一部；與中國歷史上其他天學書相比，它也極可能是最早的一部——即使不考慮書中所托引的遙遠年代，仍是如此。千百年來，學者們對《周髀算經》作了大量註釋、猜測、考證和研究，眾說紛紜，各有異同。直到如今，對於治古代科學史——文化史的人來說，《周髀算經》仍是一部難讀之書，然而同時又是一部不可不讀之書。
1．全書結構、成書年代及版本源流
A．全書結構
《周髀算經》全書可分為17節（本書譯文與原文每節開始都在括號中標明序數，節與節之間空一行排印），這17節又可分為兩大部分。
第一部分篇幅甚短，僅為捲上開首的第（1）節。內容為周公與商高的對話，商高向周公介紹了勾股定理在勾三、股四、弦五時的特例，以及這一定理在實際測量中的廣泛應用。這一部分是全書以下部分所涉及的各種測量的理論依據，同時也是相對而言較為獨立的部分。
第二大部分包括了全書其餘的16節，形式上是榮方與陳子的對話，陳子向榮方敘述整個蓋天學說。這又可以被分成一些節群，依順序略述如次：
第（2）節，陳子開始講述蓋天學說之前的序幕或開場白，這一節裡陳子反覆向榮方強調類推的重要意義。
第（3）、（4）節，建立蓋天數理宇宙模型，包括天地形狀、總尺度等。並表明這一模型可以根據用周髀（八尺之表）所進行的一些基本測量而建立起來。
第（5）、（6）節，講述七衡六間體系及其結構與數據。
至此捲上終了，卷下接著講述下去。上、下卷之間並無什麼內容或結構上的分卷依據，大體上只是考慮到全書篇幅而分的。
第（7）節，用蓋天模型說明晝夜成因。
第（8）節，專論通過夜間觀測北極星而確定「北極璇璣」的尺度。
第（9）節，用蓋天模型說明季節成因及大地上南北寒暑之異。
第（10）節，通過測量二十八宿建立天球上的地平坐標系統。
第（11）、（12）、（13）節，在蓋天模型中討論太陽的週年視運動。包括利用地平坐標描述太陽升落方位的週年變化、通過七衡六間體系計算兩分兩至點距北極的距離，以及二十四節氣的周髀晷影變化。
第（14）節，專論月球運動。
第（15）節，用八卦方位描述太陽升落方位的週年變化。
第（16）節，介紹一些能作為基本天文數據的公倍數的長週期。
第（17）節，講述蓋天學說中一些基本天文數據，如回歸年長度、朔望月日數等是怎樣通過觀測計算而得到的。
B．成書年代
《周髀算經》開首處的周公與商高對話，曾使許多好古崇古之人相信，此書的歷史可以追溯到商周之際（約公元前11世紀）。清代復古之風熾盛的時期，《御制數理精蘊》就將周公商高對話詡為「成週六藝之遺文」（見本書附錄II），有的現代學者也相信這種說法，比如陳遵媯（[19][1]，109頁）。但實際上周公商高與榮方陳子之類都只是托引，這種托引古人對話以陳述自己觀點的做法在戰國秦漢間著作中極常見，可以說是那個時代流行的行文方式或修辭手段。《周髀算經》的成書，則不可能早至商周之際。
托引古人對話既是戰國秦漢間著作的習慣做法，則《周髀算經》中周公商高榮方陳子諸人物的出現，反過來倒能提示其真實的成書年代線索。從文字風格上看，《周髀算經》也很像戰國秦漢間的作品，與古奧的周代遺文（如《尚書》中所見的某些篇章）相去甚遠。
錢寶琮曾考證《周髀算經》的成書年代。他的方法是，將《周髀算經》與《淮南子‧天文訓》及劉歆的《三統歷譜》（見《漢書‧律歷志》）三者進行比較；由於後兩者的成書年代是確定無疑的——《淮南子》成書於西漢初年，《三統歷》成於西漢末，就有可能通過比較有關內容的相互異同而推斷前者的成書年代。錢寶琮發現如下六條證據：
1．《周髀算經》與《淮南子‧天文訓》都論述「天圓地方」。
2．《周髀算經》與《淮南子‧天文訓》都有「日影千里差一寸」之說（關於此事詳見本書新論第2節A）。
3．《周髀算經》與《淮南子‧天文訓》都有利用表竿測量日出日入方位以確定東西南北準確方向的方案。
4．關於太陽在冬至、夏至、春分、秋分四時刻於恆星間所處的位置，《周髀算經》所載依次為牽牛、東井、婁、角四宿，與《三統歷譜》相符；而《淮南子‧天文訓》所載則不同。以歲差原理推算之，發現《淮南子‧天文訓》所載在年代上略早一些。
5．《周髀算經》與《淮南子‧天文訓》在二十四節氣及晷影推算方面，都不精確。
6．《周髀算經》分一日為12時，以地支紀之，稱時曰：「日加某支」，這種稱呼方法與《三統歷譜》相同，而在《淮南子》、《呂氏春秋》、《史記‧歷書》等書中都還未曾出現過。
據以上所述，錢寶琮得到結論：
余考《周髀》所詳天體論、測望、星象、曆法諸大端，多與《淮南子‧天文訓》相近。撰書時代當為略後，而相去不遠（[9]）。
也就是說，《周髀算經》約成書於公元前100年左右。這是目前較為可信的結論。
此外，也有將成書年代定得更早的，比如李儼、陳遵媯傾向於認為《周髀算經》「約為戰國前著作」（[19]，頁109—110），但證據不夠充分。
在談論古籍的成書年代時，有一點必須特別注意，即一部古籍的成書年代是一回事，而書中所反映的內容出於什麼年代又是另一回事——比如《周髀算經》中的天文、數學知識完全有可能來自更早以前。舉例來說，《周髀算經》中出現了勾三、股四、弦五的勾股定理特例，但我們並不能由此推斷說，中國人直到《周髀算經》成書時才剛剛認識到這一特例。這一特例完全有可能在此前很早就已被認識到了。對於《周髀算經》中的許多天文學說及測量技巧，也可作如是觀。至於《周髀算經》中的天文、數學知識究竟是什麼時代的產物，則必須依靠其他方面的史料來進行考證和推測。這牽涉到廣泛的科學和文化歷史背景，不是僅僅依靠《周髀算經》一書本身所能完成的。
C．版本源流及校勘註釋
《周髀算經》一書，在中國歷史上第一部書目《漢書‧藝文志》中並未出現。但這顯然並不足以證明當班固寫《漢書》時還沒有《周髀算經》這部書。現存年代確切可考而在班固之前的古籍，不見於《漢書‧藝文志》著錄的例子不一而足。事實上，班固當然不可能將當時天下書籍收錄到一無遺漏的地步。
現在所見關於《周髀算經》其書的最早記載，見於《宋書‧天文志》所引東漢靈帝時大學問家蔡邕的上書：
論天體者三家：宣夜絕無師法；《周髀》術數具存，考驗天狀，多所違失；惟渾天僅得其情。
可見在東漢時，《周髀算經》已作為蓋天學說的著作流行於世。
《周髀算經》原名《周髀》。它在唐代以前的流傳情形，現在只能借助於史志書目來瞭解。《隋書‧經籍志》著錄有如下三種：
《周髀》一卷（趙嬰注）
《周髀》一卷（甄鸞重述）
《周髀圖》一卷
而在《新唐書‧藝文志》中則有：
趙嬰注《周髀》一卷
甄鸞注《周髀》一卷
李淳風釋《周髀》二卷
在唐代，朝廷在國子監設立「算學」課程，所選用的教材有十部算經，即著名的「算經十書」，《周髀》作為其中之一，從此也就改名為《周髀算經》。
現在傳世的《周髀算經》文本中附有趙爽、甄鸞、李淳風三家的註釋，這顯然是上述《新唐書‧藝文志》所著錄的三種著作結合而成。關於趙嬰與趙爽是否為同一人，歷來有一些爭議。從已有各種證據來看，還是以理解為同一人較為穩妥。此外又有趙爽與趙君卿是否為同一人的問題。在傳世《周髀算經》序言中，署名「趙君卿」，而在正文的註釋中，註釋者總是自稱「爽」；然而，在序言中也曾出現過「爽以暗蔽」的話，足證趙爽與趙君卿確為同一人——姓趙，名爽，字君卿。
趙爽是什麼時代的人，也有問題。明刊本《周髀算經》卷首題「漢趙君卿注」，據此則趙爽似為漢代人；然而趙爽在注文中提到《乾象歷》，而《乾象歷》系由東漢末年時人劉洪於公元206年撰成，於223—280年間由三國東吳政權頒行使用，這樣趙爽最早也只能是東漢末至三國之際時人。此外對於趙爽的生平履歷和生卒年代等情況，學者們至今未能確切考證出來。
關於趙爽對《周髀算經》所作的註釋工作，錢寶琮有過非常確切的評述：
趙爽對於《周髀》原著作了忠實的註解，並且援引了《淮南子‧天文訓》、張衡《靈憲》、劉洪《乾象歷》，以及《易‧乾鑿度》、《河圖‧括地象》、《尚書‧考靈曜》等緯書來證實《周髀》的說法。趙爽補繪了「日高圖」和「七衡圖」，並加以說明，使《周髀》作者的蓋天說昭然若揭，這對於後世的讀者是大有裨益的。趙爽又撰「勾股圓方圖說」一篇附於《周髀》首章的注中。在這短短五百餘字的文章中，勾股定理、關於勾、股、弦的幾個關係式，以及二次方程解法都得到了幾何證明（[1]，頁5—6）。
確實，在《周髀算經》傳世之本的趙爽、甄鸞、李淳風三家注中，無疑要數趙爽注貢獻最大——趙爽注以闡明原著學說之本意為目的，而甄鸞注僅為補充算草，李淳風注則重在批評原著的錯誤不足之處（況且有些批評也並不完全正確）。
甄鸞字叔遵，仕於北周，官至司隸校尉、漢中太守。原為道教徒，後來叛道而皈依佛門，捲入當時佛、道兩教的激烈爭論中，作有著名的《笑道論》，攻擊道教甚力。但其人同時又是具有相當造詣的天算學家，曾撰《七曜本起》三卷，已佚失；又曾編製《天和歷》（又名《甲寅元歷》），於後周天和元年（566年）頒行。他對《周髀算經》）所作的注，幾乎全是對原書中數學計算補充運算過程。《周髀算經》原書中所涉及的數學運算，不外加減乘除四則運算（多用分數形式），這些如改用現代的數學表達方式，並無深奧複雜之處。但甄鸞的注文純用文字表達，極為繁瑣冗長，令人難以卒讀。而且還弄出不少錯誤來，更與他的天算家的名聲不大相稱。故甄鸞的注文到今天已經沒有多少價值了。
李淳風（602—670），為中國歷史上最著名的天文學家和星占學家之一。他曾於貞觀七年（633年）造成新的渾儀，有許多革新與創造，並撰《法象志》七篇評論前代渾儀得失。貞觀十五年（641年）李淳風任太史丞，七年後升為太史令，在此期間他為《晉書》和《隋書》撰寫了《天文志》和《律歷志》，並會同梁述、王真儒等人註釋《算經十書》——對《周髀算經》的註釋就是這項工作的一部分。李淳風又造《麟德歷》，於麟德二年（665年）頒行。此外他的《乙巳占》一書是中國古代最重要的星占學專著之一。李淳風對《周髀算經》的註釋主要是試圖對原書及趙爽注中的錯誤之處進行糾正，他的意見大部分是正確的，有些局限不足之處儘管以現代眼光來看不可取，但對於古人來說卻也不宜苛責過甚（參見新論第2節A）。
《周髀算經》自唐代歸入《算經十書》之後，流傳漸廣。至北宋元豐七年（1084年），秘書省刊刻《算經十書》。這個刻本又在南宋嘉定六年（1213年）由鮑澣之翻刻（參見本書附錄I）。
明代刻印叢書成為風氣。萬曆年間胡震亨刻《秘冊匯函》，收入《周髀算經》，在趙爽、甄鸞和李淳風三家注外又加入唐寅注。但唐寅注量既很少，質也不高，沒有什麼價值。這個版本卷首題有「明趙開美校」，但趙開美當時用什麼版本作工作底本，校勘了哪些內容，現在都已不得而知。《秘冊匯函》本《周髀算經》現在仍有傳世之冊，近年且有新的影印本（上海古籍出版社，1990），但據錢寶琮的意見，這個版本中的錯誤文字比南宋翻刻本更多（[1]，頁7），因而算不上善本。
《秘冊匯函》本雖非善本，卻衍生出傳世《周髀算經》版本中最大的系統。此本問世之後不久，著名的汲古閣主人毛晉又刻一部叢書名《津逮秘書》，其中也收《周髀算經》，只是《秘冊匯函》的翻刻本，但將卷首的「明趙開美校」字樣改作「明毛晉校」。此後清人所刻的幾部叢書，如《古今圖書集成》、嘉慶年間張海鵬刻《學津討原》、光緒年間朱記榮刻《槐廬叢書》，以及近代商務印書館的《四部叢刊》、中華書局的《四部備要》等，其中收入的《周髀算經》都以趙開美校本為藍本。
清代乾隆年間編《四庫全書》，《周髀算經》也在收納之列，由此產生了一個較好版本。《四庫全書總目》在《周髀算經》的提要（見本書附錄II）標題下注云：「《永樂大典》本」。《永樂大典》為明代初年所編的巨型類書，其中許多古籍都是全書收入，因而保存了宋元版本的古籍甚多。其中的《周髀算經》是什麼來源，因《永樂大典》的散佚已無法考知。但當年四庫館臣們還能來得及見到頗為完整的《永樂大典》，因此由四庫全書館的纂修官之一、著名學者戴震參據《永樂大典》本以校訂明代刻本，並將明刻本中的唐寅注刪除，完成了一個《周髀算經》的新版本，即後來習稱的《四庫全書》本，或戴震校本。稍後的《武英殿聚珍版叢書》，亦收有《周髀算經》，即據《四庫全書》本排印（木活字）。武英殿本後來又有浙江、江西、福建等地的翻印本，以及商務印書館《叢書集成》中的鉛字排印本（1937）。
清乾隆三十八年（1773）曲阜孔繼涵又刊行一種《算經十書》。他自序中稱「今得毛氏汲古閣所藏宋元豐京監本七種」，而《周髀算經》為其中之一，似乎他的《周髀算經》直接來自北宋刻本。但實際上這是孔氏欺人之談，他所依據的其實還是戴震校本（[1]，頁8；[9]，頁121）。孔繼涵所刊世稱微波榭本，名聲頗大，後來翻刻、翻印它的有同治年間梅啟照重刻本、光緒年間上海鴻寶齋石印本、劉鐸《古今算學叢書》本和商務印書館《萬有文庫》本。這仍可歸入《四庫全書》戴震校本的系統之內。
《周髀算經》的版本，除上述明趙開美校本、清戴震校本兩大系統外，南宋翻刻本一脈也不絕如縷。南宋鮑澣之翻刻本到明代晚期僅著名戲曲家李開先家中藏有一部，至清代康熙年間，此本又歸於汲古閣主人毛晉之子毛扆。歲月滄桑，幾經易主，這部南宋刻本竟至今仍保存於世——現藏上海圖書館。當年毛扆因見此本古雅精美，乃「求善書者刻畫影摹，不爽毫末」，複製成一影抄本。這一影抄本後來流入清宮內府，成為「天祿琳琅閣」藏書之一，也有幸保存至今——現藏故宮博物院。故宮博物院曾於1931年影印《天祿琳琅叢書》，其中的《周髀算經》底本即毛扆的影抄宋本。
在所有各種古代版本的基礎上博采眾長而成的現代《周髀算經》版本，為錢寶琮校點《算經十書》本，1963年由中華書局出版。錢寶琮為著名數學史專家，對《周髀算經》一書及書中的蓋天學說有過長期而深入的研究。他的校點本中還特別吸收了晚清兩位名家在《周髀算經》校勘方面的成果：一是道光年間顧觀光所撰《〈周髀算經〉校勘記》，其中對原書中文義難通之處的字句校正了28條；二是光緒年間著名經學家、文字學家孫詒讓的學術筆記《札迻》卷十一中，對《周髀算經》原文、趙爽注和李淳風注中的16條校勘。再加上錢寶琮自己的研究、考證所得，以及早先趙開美、戴震所校，共校勘140餘處；再將傳本插圖中與原文及趙爽注不相配合者重新繪製，形成了《周髀算經》迄今最完善的版本。
2．《周髀》宇宙模式及今人的重大誤解
A．認為《周髀》「自相矛盾」
在《周髀算經》所述蓋天宇宙模式中，天與地的形狀如何，現代學者們有著普遍一致的看法，這裡舉敘述最為簡潔易懂的一種為例，作為這種看法的代表：
《周髀》又認為，「天象蓋笠，地法覆盤」，天和地是兩個互相平行的穹形曲面。天北極比冬至日道所在的天高60000里，冬至日道又比天北極下的地面高20000里。同樣，極下地面也比冬至日道下的地面高60000里（[20]。在[16]和[19]，頁136中，都持完全相同的看法）。
然而，同樣普遍一致地，這種看法的論述者總是同時指出：上述天地形狀與《周髀算經》中有關計算所暗含的假設相互矛盾。仍舉一例為代表：
天高於地八萬里，在《周髀》捲上之二，陳子已經說過，他假定地面是平的；這和極下地面高於四旁地面六萬里，顯然是矛盾的。……它不以地是平的，而說地如覆盤（[19]，頁136）。
其實這種認為《周髀算經》在宇宙模式中天地形狀問題上自相矛盾的說法，早在李淳風為《周髀算經》所作的注文中就已發端。李淳風認為《周髀算經》在這一問題上「語術相違，是為大失」（[1]，頁28）。
但是，所有持上述說法的論著，事實上都在無意中犯了一系列不太容易發現的疏忽。從問題的表層來看，這些疏忽似乎只是誤解了《周髀算經》原文語句，以及過於輕信前賢成說而遞相因襲，未加深究。然而再往深一層看，何以會誤解原文語句？則原因很可能是對《周髀算經》體系中兩個要點的意義認識不足，這兩個要點是：「日影千里差一寸」和「北極璇璣」。以下先依次討論這兩個要點，再分析對原文語句的誤解問題。
B．「日影千里差一寸」及其意義
在《周髀算經》中，陳子向榮方陳述蓋天學說，劈頭第一段就是討論「日影千里差一寸」這一公式，見捲上第（3）節：
夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。此一者天道之數。周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。
這裡一上來就指出了日影千里差一寸。參看本書第三部分的圖3：日影，指正午時刻八尺之表（即「周髀」——注意這種情況下不是指書名）在陽光下投於地上的影長，即圖3中的l，8尺之表即h，當
h＝8尺
l＝1尺6寸
時，向南16000里處「日中立竿無影」，即太陽恰位於此處天頂中央，這意味著
L＝16000里，或H＝80000里
這顯然就有
即日影千里差一寸。接著又明確指出，這一關係式是普適的——從夏至日正午時l＝1尺6寸之處（即周地），向南移1000里，日影變為1尺5寸；向北移1000里，則日影增為1尺7寸。這可以從圖3中看得很清楚。此外，由圖3中的相似三角形，顯然還有
在上式中代入h＝8尺，即可得
H＝80000里
這就是下文將要談到的天與地相距八萬里。見於原文第（3）節：
候勾六尺，……從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日則八萬里。
即在圖3中令
l＝6尺
L＝60000里
h＝8尺
仍由上式即可得H＝80000里。日是在天上的，故從地「上至日」80000里，自然就是天地相距80000里。這個關係式其實無論l（勾、日影、晷）是否為6尺都能成立，《周髀算經》之所以要「候勾六尺」，是因為它只掌握勾股定理在「勾三股四弦五」時的特例，所以需要湊數據以便套用這一特例——勾6尺即表至日下60000里，天地相距80000里，從表「邪至日」100000里，正是3、4、5的倍數。
《周髀算經》明確建立日影千里差一寸關係式之後，馬上將其應用範圍加以拓展，其第（4）節云：
周髀長八尺，勾之損益寸千里。……今立表高八尺，以望極，其勾一丈三寸，由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。
在這裡日影已經不再是必要的了。這只需將圖3中的S點（原為太陽所在位置）想像為北極位置，就可一目瞭然，現在
h＝8尺
l＝1丈3寸
L＝103000里
「勾之損益寸千里」的關係式仍可照用不誤。在《周髀算經》下文對各種問題的討論中，這一關係式多次被當成已經得到證明的公式加以使用（注意始終必須在「正南北」方向上）。
但是有一點必須特別注意，就是：無論上引第（3）節還是第（4）節中所述千里差一寸的關係式，若要成立，還必須有一個暗含前提——天與地為平行平面。這在圖3中是顯而易見的，如果沒有這一前提，上述各種關係式及比例、相似三角形等全都會無從談起。
將天地為平行平面這一點視為不證自明的當然前提，要理解這一狀況，對於現代人來說會比古人困難得多。因為現代人已有現代教育灌輸給他的先入之見：大地為球形，所以現代人見到古人的這一前提，首先想到的是它的謬誤。但古人對此卻並無成見，他們很容易相信天與地是平行平面。這也就是《周髀算經》中「勾之損益寸千里」的說法在古代曾廣泛被接受的原因——古人認為推出這一結論是顯而易見、不容置疑的，下面舉一些例：
欲知天之高，樹表高一丈，正南北相去千里，同日度其陰，北表二尺，南表尺九寸，是南千里陰短寸，南二萬里則無影，則直日下也（《淮南子‧天文訓》）。
日正南千里而（影）減一寸（《尚書緯‧考靈曜》）。
懸天之景，薄地之儀，皆移千里而差一寸（張衡《靈憲》）。
這些說法都只要看圖3即可瞭然。當然，古人後來已知道「勾之損益寸千里」不符合觀測事實，但這已是很晚的事了（參見本書附錄VII）。在《周髀算經》成書以及此後相當長的時間裡，古人對這一關係式看來並不懷疑。
不少現代論著也已經注意到《周髀算經》中「勾之損益寸千里」是以天地為平行平面作為前提的，但他們首先想到的是這個前提的謬誤。這個前提當然是謬誤的。而著作家們在指出這「自然都是錯誤的」（[16]）之後，也就不再深究，轉而別顧了。
其實應該討論的是：「勾之損益寸千里」這一關係式及其前提「天地為平行平面」在《周髀算經》所述蓋天學說中的意義和地位。從前面對《周髀算經》全書結構的分析（新論第1節A）已可看出，書中所述蓋天學說是自成一個系統的。在這一系統中，「天地為平行平面」的前提佔有什麼樣的位置？
在西方歷史上，建立科學學說有所謂「公理化方法」（axiomatic method），意指將所持學說構造成一個「演繹體系」（deductive system），這種體系的理想境界，按照科學哲學家J．洛西（Losee）的概括，有如下三要點：[2]
a．公理與定理有演繹關係；
b．公理本身為不證自明之真理；
c．定理與觀察結果一致。
其中b是亞里士多德（Aristotle）特別強調的。而歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》被認為是公理化方法確立的標誌——儘管尚未達到理想境界。但由於天文學這一學科的特殊性，應用公理化方法時會有所變通，J．洛西又說：
在理論天文學中，那些遵循著「說明現象」傳統的人採取了不同態度。他們擯棄了亞里士多德的要求——為了能說明現象，只要由公理演繹出來的結論與觀測相符即可，這樣，公理本身即使看起來是悖謬的，甚至是假的，也無關緊要。[3]
也就是說，只需前述三要點中的a、c兩點即可。這個說法是可信的，在西方天文學發展的歷史上，亞里士多德所主張的水晶球，托勒密（Ptolemy）所設想的地心幾何體系，以及中世紀阿拉伯天文學家種種奇情異想的宇宙幾何模型，都曾被當時的天文學家當作「公理」（類似於現代科學家所謂的「工作假說」）來使用而不問其真假。
再回過頭來看《周髀算經》中的蓋天學說，就不難發現，「天地為平行平面」和「勾之損益寸千里」兩者，正是公理和定理的關係，兩者之間的演繹關係前面已詳細討論過，是顯而易見的。而且，仔細體味《周髀算經》全書，「天地為平行平面」這一前提是被視為「不證自明之真理」的，或者說，是作為蓋天學說系統的公理（亦即基本假設）之一。
至於「天地為平行平面」並不符合事實這一點，也要從幾方面去分析。第一，如上所述，從公理化方法的角度來看，即使它不符合事實也不會妨礙它作為公理的地位。當然我們不能先驗地斷定《周髀算經》的作者一定會有與古希臘同行一模一樣的思路，因此前者心目中「天地為平行平面」究竟真實與否、他想不想追究其真實性，我們都無從得知。我們所能確切知道的只是：他把「天地為平行平面」當作公理在《周髀算經》這一體系中使用了。第二，符合事實與否，也是一個歷史性的概念。我們今天知道這個前提不符合事實，當然不等於《周髀算經》時代的人們也知道它不符合事實，這是很容易理解的。
剩下的問題是「定理與觀察結果一致」的要求。我們現在當然知道，由公理「天地為平行平面」演繹出來的定理「勾之損益寸千里」與事實是不一致的。演繹方法和過程是無懈可擊的，但因為引入的公理錯了，所以演繹的結果與事實不符。但對於這一問題，也要從兩方面來分析。第一，演繹結果與事實一致仍是一個歷史性概念，我們今天確知「勾之損益寸千里」與事實不一致，但在古人測量精度很差的情況下（比如無法準確測量「正南北」千里這一數量，等等），或許看起來在相當程度上還能與事實相合呢。第二，也是更重要的，「天地為平行平面」不符合事實並不妨礙它在蓋天學說體系中作為公理的地位；同樣，演繹出的結果與事實不符，說明《周髀算經》所構造的演繹體繫在描述事實方面是不成功的，但這並不妨礙它在結構上確實是一個演繹體系。
於是我們知道，「勾之損益寸千里」是《周髀算經》所述蓋天學說體系中的一條重要定理，這條定理的背後是蓋天學說體系中的基本公理（axiom）之一「天地為平行平面」——這一點對於我們後面討論蓋天宇宙模型究竟是什麼形狀，具有極其重要的意義。
C．「北極璇璣」究竟是什麼
解決《周髀算經》中蓋天宇宙模型天地形狀問題的另一關鍵是所謂「北極璇璣」。這個「北極璇璣」究竟是什麼？在現有的幾種論著中，對此莫衷一是。錢寶琮贊同顧觀光之說，認為「北極璇璣也不是一顆實際的星」，而是「假想的星」（[16]）。陳遵媯則明確表示：
「北極璇璣」是指當時觀測的北極星；……《周髀》所謂「北極璇璣」，即指北極中的大星，從歷史上的考據和天文學方面的推算，大星應該是帝星即小熊座β星（[19]，頁137—138）。
但是，《周髀算經》談到「北極璇璣」或「璇璣」至少有三處，而上述論述都只是針對其中一處所作。對於其餘幾處，論著者們通常都完全避而不談——不得不如此，因為在「蓋天宇宙模型中天地為雙重球冠形」的先入之見框架中，對於《周髀算經》中其餘幾處關於「璇璣」的論述，根本不可能作出解釋。如果又將思路局限在「北極璇璣」是不是實際的星這樣的方向上，那就更加無從入手了。
《周髀算經》中直接明確談到「璇璣」的共三處，依次見於卷下第（8）、（9）、（12）節，先依順序錄出如下：
欲知北極樞、璇璣四極，常以夏至夜半時北極南遊所極，冬至夜半時北遊所極，冬至日加酉之時西遊所極，日加卯之時東遊所極，此北極璇璣四游。正北極樞璇璣之中，正北天之中。正極之所游：……（以下為具體觀測方案）
璇璣徑二萬三千里，週六萬九千里。此陽絕陰彰，故不生萬物。
牽牛去北極……術曰：置外衡去北極樞二十三萬八千里，除璇璣萬一千五百里，……東井去北極……術曰：置內衡去北極樞十一萬九千里，加璇璣萬一千五百里，……
從上列第一條論述可以清楚地看到，「北極」、「北極樞」、「璇璣」是三個有明確區別的概念。那個「四游」而畫出圓圈的天體，陳遵媯認為就是當時的北極星，這個看法是正確的；但是必須注意，在原文中分明將這一天體稱為「北極」，而不是如上引陳遵媯論述中所說的「北極璇璣」。而「璇璣」則是天地之間的一個柱形空間，這個圓柱的截面就是「北極」——當時的北極星（究竟是今天的哪一顆星還有爭議）——作拱極運動在天上所畫出的圓。至於「北極樞」，則顯然就是這個圓的圓心，它才能真正對應於天文學意義上的北極。
在上面所作分析的基礎上，我們完全不必再迴避上引《周髀算經》第（9）、第（12）節中的論述了。由這兩處論述我們可以知道，「璇璣」並非假想的空間，而是實際存在於大地之上的，正處在天上北極的下方，它的截面直徑為23000里，這個數值對應於第（8）節中所述在周地地上測得的北極東、西遊所極相差2尺3寸（參見本書圖9），仍是由「勾之損益寸千里」推導而得。北極之下大地上的這個直徑為23000里的特殊區域在《周髀算經》中又被稱為「極下」，這和「璇璣」的含意一樣。
如果僅僅到此為止，我們對「璇璣」的瞭解仍是不完備的，所幸，《周髀算經》還有幾處對這一問題的論述，可以幫助我們解破疑團。這些論述見於卷下第（7）和第（9）節：
極下者，其地高人所居六萬里，滂沲四
而下。極下不生萬物，何以知之？……
於是又可知：「璇璣」又指一個實體，它高達60000里，上端是尖的，以弧線向下逐漸增粗，至地面時，這一柱形物的底為直徑23000里；而在此69000里圓周（《周髀算經》始終取π＝3）範圍內，如前所述，是「此陽絕陰彰，故不生萬物」。
這裡必須特別討論一下「滂沲四而下」這句話。所有主張《周髀算經》宇宙模型中天地形狀為雙重球冠形的論著，幾乎都援引「滂沲四而下」一語作為證據，卻沒注意到前面「極下者，其地高人所居六萬里」這句話早已完全排除了天地為雙重球冠形的任何可能性。其實這只需稍作分析就可發現。按照天地為雙重球冠形的理解，大地的中央（北極之下）比這一球冠的邊緣——亦即整個大地的邊界——高六萬里；但這樣一來，「極下者，其地高人所居六萬里」這句話就絕對無法成立了，因為在球冠形的模式中，大地上比極下低六萬里的面積實際上為零——只有球冠邊緣這一線圓周是如此，而「人所居」的任何有效面積所在，都不可能低於極下達六萬里。比如，按照天地為雙重球冠形模式，周地作為《周髀算經》作者心目中最典型的「人所居」之處，就絕對不可能低於極下六萬里。
此外，如果接受雙重球冠模式，則極下之地就與整個大地合為一體，沒有任何實際的邊界可以將兩者加以區分，這也是明顯違背《周髀算經》原意的。如前所述，這本是一個直徑23000里，其中「陽絕陰彰，不生萬物」的特殊圓形區域。
至此，我們已可獲得明確結論如下：在《周髀算經》中，「北極」、「北極樞」、「璇璣」分別指三個不同的對象：
「北極」，指現代天文學意義上的北極星，它繞著真正的北極旋轉，每晝夜在天上畫出一圓。
「北極樞」，「北極」在天上所畫之圓的圓心，對應於現代天文學意義上的北極。
「璇璣」，在天上是指「北極」在天上所畫出的圓；但這個圓又垂直對應到大地之上，故「璇璣」又指矗立於「北極樞」正下方、垂直於平面大地的柱形體，此柱上尖下粗，其底面為一個直徑23000里的圓，其高為60000里。在「璇璣」範圍內，是「陽絕陰彰，不生萬物」的陰寒死寂之地。
D．《周髀》蓋天宇宙模型的正確形狀
據本節B、C的討論，我們其實已經知道，《周髀算經》中所述蓋天宇宙模型的基本格局是：天與地為平行平面，在北極下的大地上矗立著高60000里、底面直徑為23000里的上尖下粗的「璇璣」。這裡需要補充的細節只剩下兩點：
一是天在北極處的形狀。地在北極之下處有矗立的「璇璣」，天在北極也並非平面，《周髀算經》卷下第（7）節對此敘述得很明白：
極下者，其地高人所居六萬里，滂沲四而下，天之中央亦高四旁六萬里。
也就是說，天在北極處也是有柱形向上聳起的，其形狀也與地上的「璇璣」一樣。這一結構已表示於本書圖6中。圖6為《周髀算經》蓋天宇宙模型的側視剖面圖，由於以北極為中心，這圖形是軸對稱的，故只繪出其一半即可。圖中左端即「璇璣」的側視半剖面。
二是天、地兩平面之間的距離。在天地為平行平面的基本假設之下，從數學上來說，這一距離很容易利用表影和勾股定理推算而得。《周髀算經》捲上第（3）節中說：
從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日則八萬里。
推算之法參看本書圖3及圖5。日在天上，而天與地又為平行平面，故日與地的距離也就是天與地的距離。而《周髀算經》卷下第（7）節則說得更明白：
天離地八萬里。冬至之日雖在外衡，常出極下地上二萬里。
「極下地」即「璇璣」，它高出地面六萬里。
圖6所示的蓋天宇宙模型既然處處與《周髀算經》原文文意吻合，在《周髀算經》的數理結構中也完全自洽可通，為何前賢卻一直誤認為是雙重球冠形的天地呢？從問題的表層看，主要是誤解了《周髀算經》卷下第（7）節中的八個字：
天象蓋笠，地法覆槃。
「槃」即「盤」。這八個字是雙重球冠說最主要的依據。而實際上，根據這八個字就將蓋天宇宙模型設想為雙重球冠形，顯然是站不住腳的。首先，笠和盤在古時是否為球冠形？這一點並無證據。相反我們倒可以看見有些現代的笠是一個平面而在中心聳起一圓錐形；日常生活中的盤也以平的形狀居多。然而更重要的是，「天象蓋笠，地法覆盤」八字，只是文學性的比喻，正如趙爽在此處的注文所說：
見乃謂之象，形乃謂之法。在上故准蓋，在下故擬盤。像法義同，蓋盤形等。互文異器，以別尊卑；仰象俯法，名號殊矣。
趙爽強調蓋、盤只是比擬。特別注意，「蓋」指古時的車蓋，這在留存至今的大量漢代畫像磚上經常可見——它們幾乎無一例外都是平面形狀，卻從未見到過球冠形的！
再退一步說，即使「天象蓋笠，地法覆盤」八字真可理解為球冠形（事實上毫無根據），這樣一句文學性的比喻之詞，至多也只是表示大致的形狀，其重要性根本無法和《周髀算經》整個體系及它的數理結構相提並論。前面的討論已經表明：天地為平行平面是《周髀算經》整個體系的基本假設，在全書的數理結構之中，這是一個必不可少的前提。
再回到本節開頭所提到的那種認為《周髀算經》中天地形狀與其數學計算假設「自相矛盾」的說法。我們現在已經充分表明，這種所謂的「自相矛盾」事實上並不存在，它只是人們對原書文句的誤解和分析時的疏忽所造成的。關於蓋天宇宙模型中的天地形狀，《周髀算經》全書是前後一致而且自洽的——天與地為圓形平行平面（直徑810000里），在中心處聳起著高60000里、直徑23000里的「璇璣」，其側視半剖面如本書圖6所示。
3．《周髀》中若干天文學問題
A．周髀晷影
《周髀算經》全書中講到的各種天文觀測，竟然都是依靠同一種儀器來完成的，而且這種儀器簡單之至——只是一根長八尺的竿，垂直立於地面而已。這儀器在《周髀算經》中有時就稱為「竿」，有時又稱為「周髀」，但大多數情況下稱為「表」。由於測量時要看它在陽光下投在地面上的影長（也可利用繫在它頂端的細繩，對太陽以外的天體如恆星等進行觀測，由人目、表頂、天體的三點一線，也能獲得地面上的「影長」，參看本書圖9、圖10），而影與表身正成直角，於是可以利用勾股定理，將地面之影稱為勾，將表本身視作股。「周髀」之名即由此而來：髀就是股，而股代表八尺之表，故「周髀」意即「周地之表」；因為全書中的測量，都是假定在周地（絕大部分情況下可以理解為雒邑）進行的。地面之影在書中有時稱為「影」，有時又稱「晷影」，但最全面的稱呼是「勾」，如「候勾六尺」、「勾之損益寸千里」等，因為這包含了被測天體為太陽和為恆星等的各種情況，而「晷」或「晷影」是專指太陽投下的表影而言的。
《周髀算經》中所用的這種八尺之表，後世長期沿用。考慮到地面上的影長需要精確讀取，後來就將一把水平的尺（上有刻度）與表製作成一體，這水平尺稱為「圭」，整個儀器就稱為「圭表」。這樣，使用起來就更方便，只要將圭放在正南北方向，在圭面上直接讀取表影長度即可。這種圭表實物，目前尚有遺存。比較著名的有江蘇儀征東漢墓出土的小型銅圭表，以及現仍保存在南京紫金山天文台上的明代大型青銅圭表。前者因形制甚小，有學者認為可能是隨葬明器，並非實際使用之物。後者在清代曾被改造，加高了原表使之成為10尺，又在圭的北端加了「立圭」，但仍不失古代中國圭表的典型代表。
《周髀算經》中的八尺之表雖然簡單，卻有許多妙用，書中至少論述了如下七種：
測太陽遠近及天高。見第（3）節。
測北極遠近。見第（4）節。
測「璇璣四游」。見第（8）節。
測二十八宿。見第（10）節。
測算二十四節氣。見第（13）節。
測回歸年長度。見第（17）節。
測定東西南北方向。見第（8）、（9）節。
上列七種測量中，後三種很容易理解，可不必多論；第四種將於本節C中討論；前三種則都與「勾之損益寸千里」的定理有關。對於這一定理的由來及其意義，已在新論第2節中詳細討論過，下面就該定理與實際情況之間的矛盾再作一些補充。
「勾之損益寸千里」是在天地為平行平面的前提下導出的，而天與地實際上並非平行平面，所以這個公式是錯誤的。但古代中國人並未發展出古希臘人那樣的球面天文學（直到今天仍被全世界天文學家普遍使用著），也未掌握球面三角學的有關公式，因此難以很快發現「勾之損益寸千里」的錯誤。新論第2節B中所列幾種文獻的說法，都贊同並使用著這一公式，而那幾種文獻是被公認為其年代在《周髀算經》之後的。
在中國歷史上，蓋天說與渾天說兩家有過競爭，結果是渾天家大佔上風，成為佔絕對統治地位的天文學說。但是這並不是說渾天學說沒有從它的競爭對手那裡借鑒或繼承過任何東西，例如，錯誤的「勾之損益寸千里」公式就被渾天家接受過去了。按照當代流行的說法，這一公式作為渾天學說中最後一條蓋天說「痕跡」，直到唐代開元十二年（724年）才被清除。這一年在一行領導下，南宮說等人在河南省的滑縣、浚儀（今開封）、扶溝、上蔡四處測量了夏至日正午的表影，並用繩丈量了上述四處相互間的距離，結果發現「勾之損益寸千里」的公式與實測結果相去頗遠。例如，從上蔡向北至滑縣（兩城在同一經度上，這就恰好符合「正南北」的要求），距離為526.9里，而日影已差2.1寸，足見「勾之損益寸千里」公式之錯誤。
其實，在進行這種大規模實地測量之前，也早已有條件檢驗上述公式了。因為古代中國的天文觀測記錄素稱完備，早在南宮說等人進行測量之前，歷代王朝都曾在不同地點測過夏至日（或冬至日）晷影之長，並記錄在案。將這些記錄進行排比、分析，已足以看出「勾之損益寸千里」公式與實際測量結果明顯不符。李淳風在《周髀算經》注文中已經做了這項工作，時代在南宮說等人測量之前約一個世紀。李淳風的注文見本書附錄VII。
B．《周髀》對日高、日徑的測算
《周髀算經》捲上第（3）節中論述了對太陽遠近（距周地的直線距離）和太陽直徑的測量及計算。前者也是在天地為平行平面的基本前提之下進行的，參照本書圖3，很容易理解。這裡值得一提的是，趙爽在此節注文中又提出了一個新的測定太陽遠近的方案，具體作法是在不同地點立兩個表，在同一時刻觀測日影，結果也能求得同樣數據。這個方案詳見本書圖5及注（24）。這兩個方案都需要以大地為平面作假設，但圖3的方案還必須設定H和L中的某一個值（比如設定H＝80000里，又，接受「日影千里差一寸」公式，也可起到同樣作用）；而圖5方案只需知道表影之長G1和G2，以及兩表之間的距離L，而這三個值都可由實測獲得，無需設定。故圖5的方案顯然更先進一些。但《周髀算經》原文中並未出現此方案。當然，這兩個方案所測得的太陽遠近（距周地距離為100000里），都與真實情況相去甚遠。畢竟太陽距離我們太遙遠了，上述測量方案施之於測山高之類固然可行，但施之於太陽系這樣古人根本無法想像的巨大尺度，就完全無能為力了（首先地平假設就根本不可取，其次觀測精度也遠遠不夠）。
然而，《周髀算經》對太陽視直徑的測算，卻與實際情況相比竟差不多。這一測算方案詳見本書圖4，利用一根長8尺而孔徑恰為1寸的竹管，從管中窺測日面，日輪恰好佔滿全孔，於是推得
因前面已求得太陽遠近為100000里，由此求得
這當然與實際情況相去甚遠——太陽遠近之值太小了。但值得注意的是，《周髀算經》在上述一系列比率關係中，實際上已無意中求得了太陽視直徑之值。根據圖5，設太陽視直徑為ds，則有
注意這個數值與太陽平均角直徑的實際值（用現代天文學方法測定）
ds＝31′59〞
相比，只大了11′，確實可算作古代一個很精確的值了。例如，與古希臘的類似工作相比，薩摩斯的阿里斯塔克（Aristarchus of Samos，約公元前320—前250年）採用的值是：
ds＝2°，
到阿基米德（Archimedes，約公元前286—前212年）乃採用
27′＜ds＜33′
之值。將《周髀算經》之值置於其間，也可以無多愧色。《周髀算經》以如此粗陋的測算方案，竟能獲得這樣一個不太差的值，原因在於，這一方案中，一部分誤差可以相互抵消，從而使精度不致太差（[21]）。
不過我們也應該特別指出，在《周髀算經》作者心目中，看來並沒有ds這一數值的概念，他只是無意中獲得（嚴格地說，甚至不一定能使用「獲得」這個字眼）此值的，這一點與古希臘天文學家的數值相比，其意義有很大差距。
C．《周髀》的恆星天球坐標
《周髀算經》卷下第（10）節專門論述一種恆星天球坐標系統及其測定之法。也是利用表竿來進行，以求測定二十八宿各宿距星之間的距度。這個方案從操作上說是可行的，儘管精確度絕不會高。但這裡有兩個問題需要特別加以注意。
首先，《周髀算經》方案所依據的基準面是地平面，因此這樣獲得的恆星坐標，從天文學上來說屬於地平坐標系，而不是古代中國傳統的赤道坐標系。由於地平坐標的基準面是觀測者當地的地平面，隨著地理緯度的變化，其基準面也隨之變化，因而此坐標系中的天體坐標也要變化。地平坐標系的這一性質，決定了各種記錄天體位置的星表是不能採用這一坐標系的。然而成問題的是，《周髀算經》中試圖測定的二十八宿各宿距星之間的距度，恰恰正是一份記錄天體位置的星表，故從現代天文學常識來看，《周髀算經》中上述測定方案是失敗的。
其次，進一步的研究表明，《周髀算經》上述在地平坐標系中測定二十八宿距度的方案雖然是不可取的，但在書中提供的唯一一個數據實例——牽牛之宿距星的距度（亦即牽牛距星與女宿距星之間的距度）為8°，卻是一個有正確意義的數值。按照《周髀算經》的方案，用現代方法推算，牽牛距度應該只有6°；而8°則是在赤道坐標系中牽牛距度應有之值。按《周髀算經》的方案，不可能測量出赤道坐標值，那麼這個8°從何而來呢？對此薄樹人有一個很好的解釋：
無法測量赤經差，卻又說出了一個測量的結果，而且是和實際赤經差相符合的結果，這個奇妙的情況說明，在《周髀》的作者面前，這個結果早就已經有了，所欠缺的只是方法。因此，他只能在自己的理論體系下設想出一個地平測量的方法來頂替（[20]）。
這個推測是有道理的。後面還要談到一些例子，都表明《周髀算經》的作者在構造他的天文學體系（包括觀測方案在內）時，早已有一些現成的數據，作者竭力將這些數據容納進他的體系之中，有時候不免出現破綻和矛盾。但我們決不能想當然地對《周髀算經》作者的這種努力一味貶斥——從科學史—科學哲學的角度來看，這種努力有其積極意義（參見新論第6節）。
D．七衡六間圖
《周髀算經》捲上第（6）節專論七衡六間圖及其繪製時的尺寸、比例等。七衡六間圖，或簡稱七衡圖，圖形可參見本書圖8。各種版本中的七衡圖多出於後人補繪，最原初的圖形究竟如何，現在已經難以確知。但從《周髀算經》原文文字的敘述看，圖8的圖形還是大體與原意吻合的。所謂七衡六間，指圖形中的七道同心圓，它們之間等距離地形成六條間隔。《周髀算經》用七衡六間圖來定量地描述太陽的週年視運動：日道每年從夏至時的內衡出發，逐漸向外移動，至秋分時到達中衡，至冬至時到達外衡；再從外衡向內回歸，至次年春分時又至中衡，至夏至時回到內衡。每年都如此循環往復。
用七衡圖描述太陽週年視運動，在相當程度上是成功的。當然也有不合理之處，比如，由本書圖6可知，內衡的直徑為238000里，外衡的直徑為此值的兩倍，即476000里，這樣，外衡的周長就是內衡的兩倍，也就是說，冬至時太陽的速度（線速度）必須是夏至時的兩倍，這當然不符合事實。不過這個問題從理論上來說並不至於像有些論著中所指責的那樣嚴重，因為如站在極下的立場來看，太陽在任何一衡上的角速度都是一樣的。況且，我們不能忘記，即使在現代的行星橢圓運動模式中，依據面積定律，地球繞太陽的週年運動（在《周髀算經》的作者看來也就是太陽在七衡上的週年運動）中，線速度也是變化的，而且也是在冬至前後速度快、夏至前後速度慢。總之，對古人之說，重要的是將其置於歷史發展的背景中去加以評價，而不宜苛責過甚。
從圖8看，七衡圖的結構義理並不複雜，《周髀算經》原文中所述也很簡單明白。然而在原書第（6）節開頭「七衡圖」三字之下，卻有趙爽的一段長注，其中所述要複雜得多，這段注文如下：
青圖畫者，天地合際，人目所遠者也。天至高，地至卑，非合也，人目極觀而天地合也。日入青圖畫內謂之日出，出青圖畫外謂之日入。青圖畫之內外皆天也。北辰正居天之中央。人所謂東、西、南、北者，非有常處，各以日出之處為東，日中為南，日入為西，日沒為北。北辰之下，六月見日，六月不見日。從春分至秋分，六月常見日；從秋分至春分，六月常不見日。見日為晝，不見日為夜。所謂一歲者，即北辰之下一晝一夜。
黃圖畫者，黃道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉。使青圖在上不動，貫其極而轉之，即交矣。我之所在，北辰之南，非天地之中也。我之卯酉，非天地之卯酉。內第一，夏至日道也。中第四，春秋分日道也。外第七，冬至日道也。皆隨黃道。日冬至在牽牛，春分在婁，夏至在東井，秋分在角。冬至從南而北，夏至從北而南，終而復始也。
這裡引人注目的是分別描述了「青圖畫」與「黃圖畫」，這顯然是兩幅不同的圖。錢寶琮認為，這說明「周髀原有的七衡圖不僅僅是一張平面圖，而是用兩幅圖畫疊合組成的」，並且推斷七衡圖「就是後世天文家參考用的蓋圖」（[16]）。又《晉書‧天文志》說：
晉侍中劉智云：「顓頊造渾儀，黃帝為蓋天」，然此二器皆古之所制，但傳說義者，失其用耳。昔者聖王正歷明時，作圓蓋以圖列宿。極在其中，回之以觀天象。分三百六十五度四分度之一，以定日數。日行於星紀，轉回右行，故圓規之，以為日行道。欲明其四時所在，故於春也，則以青為道；於夏也，則以赤為道；於秋也，則以白為道；於冬也，則以黑為道；四季之末，各十八日，則以黃為道。
這種蓋圖，又與趙爽所言者不同。由於蓋圖實物並無留存，趙爽所說的「青圖畫」與「黃圖畫」，既無實物，後人也難知其詳。不過這裡可以順便提到，設計、繪製各種能反映天象的活動圖盤，一直是現代業餘天文愛好者樂此不疲的課題之一。這些圖盤往往需要兩個以上配合使用，通過轉動而演示不同的天象。近年這種圖盤還有獲得國家專利、正式出版印製出售者。誰說這些圖盤中沒有一點古時蓋圖的遺意呢？
E．二十八宿與黃道
二十八宿系統的起源問題，一直是中外學者聚訟不決的大謎案。之所以不易獲得定論，主要的原因是留下的歷史資料太少，使問題無法獲得確定答案，而各種大膽想像也就有了競相馳騁的廣闊餘地。因此，進一步搜尋新的有關史料，顯然是將這一課題向前推進所需做的必不可少的努力。《周髀算經》中就有一條重要史料，卻似乎從未見前賢注意及此。
要論定二十八宿是起源於中國，還是起源於巴比倫、印度、波斯，需要確定其年代；要確定其起源的年代，重要的方法之一是根據星象用天文學原理推算，而這就需要知道二十八宿在初建立時是以黃道為基準還是以赤道為基準。由於中國傳統天文學在它確立之後一直採用赤道坐標系統，所以後世留下的二十八宿坐標都是赤道坐標，這使得許多人想當然地認為二十八宿從一開始就是以赤道為基準的。然而事實未必如此，例如，就二十八顆距星的分佈而言，與黃道的吻合情況明顯優於赤道：胃宿距星赤緯達27°多，尾宿距星的赤緯更達－37°有餘，而各距星的黃緯則絕無如此之大的數值。[4]而在《周髀算經》原文及趙爽注中，我們可以看到二十八宿被明確視為沿著黃道分佈的。
《周髀算經》捲上第（4）節中云：
月之道常緣宿，日道亦與宿正。
對此趙爽注云：
內衡之南，外衡之北，圓而成規，以為黃道。二十八宿列焉。月之行也，一出一入，或表或裡，五月二十三分月之二十而一道一交，謂之合朔交會及月蝕相去之數，故曰「緣宿」也。日行黃道，以宿為正，故曰「宿正」。
上面所說的「黃道」，是否與現代天文學中的黃道概念相當？從上下文來分析，無疑是相當的——黃道本來就是根據太陽週年視運動的軌跡定義的。於是可知：《周髀算經》的作者以及為之作注的趙爽，都認為二十八宿是列於黃道的，或者說，是以黃道為基準的。
上述結論，還可以在趙爽注文中發現另一處表述，即前引《周髀算經》第（6）節「七衡圖」下的趙爽注，其中也非常明確地說：「黃圖畫者，黃道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉。」日月所躔，當然是黃道（嚴格地說，月球運行的是白道，與黃道有5°左右的小傾角，但古人論述時也常不作區分）。
所以我們可以得到結論：
在漢代及此前，至少有一部分中國天文學家認為二十八宿是沿著黃道分佈，即以黃道為基準的。
F．兩分兩至點與北極的距離
《周髀算經》卷下第（12）節，迄今仍是一個未解之謎。這一節中，用了很長的篇幅依次推算牽牛、婁、角、東井四宿（應該理解為此四宿所代表的兩分兩至點，因為按《周髀算經》的說法，此四宿依次是冬至、春分、秋分、夏至時太陽所在的位置）與北極的距離，實際上也就是七衡六間圖中外衡（冬至日所在）、中衡（春、秋分日所在）、內衡（夏至日所在）與北極的距離。之所以成為謎，是因為《周髀算經》對這些數據的推算過程和出發點都是荒謬的，在天文學原理上講不通的，然而所推得數據卻又與現代天文學中兩分兩至點距北極的距離非常吻合。
《周髀算經》先將內衡周長（357000里）以周天度數
度去除，得到所謂「內衡—度數」，再用「內衡—度數」依次去除外衡半徑（要先減去「璇璣」半徑11500里）、中衡半徑、內衡半徑（要先加上「璇璣」半徑），所得即依次為牽牛、婁與角、東井距北極的度數。這樣的推算方法，從天文學原理來說，完全講不通，迄今為止也沒有人能指出這樣推算究竟依據什麼義理。
然而，按照《周髀算經》的宇宙模型，外衡、中衡、內衡分別為冬至、春秋分、夏至日道，因此牽牛、婁與角、東井距北極的度數，確實能與現代天文學中冬至、春秋分、夏至點的意義相對應。《周髀算經》用荒謬步驟推算而得的三個數據，換算成360°圓周的分劃法，可列出如次：
冬至日道距北極：114°2′52〞
春秋分日道距北極：90°
夏至日道距北極：65°58′8〞
可以從好幾個角度證明上述三個數值本身非常符合現代天文學的結論。例如，以上列第二值減第一值，或第三值減第二值，都可得到一個最基本的天文數據，稱為黃赤交角，通常用希臘字母ε表示：
ε周髀＝24°2′52〞
而《周髀算經》時代的真實黃赤交角值可以用紐康（S. Newcomb）公式逆推而得，根據我們在新論第1節B中所採納的《周髀算經》成書年代——約公元前100年，就有：
ε100B.C.＝23°27′8〞.26－46.〞845T
上式只保留了紐康公式中的一次項（高次項的精度在這裡沒有意義），T的單位是百年。由於紐康公式以1901年為起算原點，故上式中的T應取－20，代入即得：
ε100B.C.＝23°42′45〞
將ε周髀與此值相比，僅差20′7〞，可以算非常準確了。
荒謬的、錯誤的推算方法，為何竟能得出有意義的、非常準確的數值呢？結論看來只能是：《周髀算經》中這些數值是當時已有的，而推算方法則是作者胡亂編湊的。這樣推測不是沒有根據的，因為中國天文學家早已能夠獲得相當精確的ε值，比如《後漢書‧律歷志》引《石氏星經》曰：「黃道軌牽牛初值斗二十度，去極百一十五度。」從牽牛去極115度（中國古度），也即113°20′49〞，減去90°，即可推算出石氏的黃赤交角值：
ε石氏＝23°20′49〞
已經是非常好的值了。
G．日照十六萬七千里
《周髀算經》捲上第（4）節中說：
日照四旁各十六萬七千里。
又說：
人所望見，遠近宜如日光所照。
這是說，太陽光芒向四周照射的極限距離達到167000里，而人極目遠望所能達到的極限距離也是同樣數值。換言之，人看不到167000里之外的景物（注意《周髀算經》的天、地都是平面），太陽的光芒也照不到167000里之外。從結構上來看，這條原則應屬《周髀算經》中的基本假設，或即公理。因為這條原則並不是導出的，而是設定的。
以往學者們在這個問題上的研究，主要是試圖根據《周髀算經》所交代的有關數學關係式，以說明此167000里之值因何而取。儘管各家的說明方案在細節上略有差異，但主要的結論是一致的，即認為這個數值是《周髀算經》作者為構造他的蓋天宇宙模式而引入的，或者也可以說是湊出來的。但這裡應該注意，拼湊數據固然難免脫離客觀實際，然而我們不能不承認，這在同時卻也是作者採用「公理化方法」（或者至少也是「准公理化方法」）構造蓋天幾何體系的必要步驟之一。而且我們還應注意到，《周髀算經》引入167000里這個值之後，在「說明現象」上確能取得相當程度的成功，正如程貞一、席澤宗所指出的：
由這光照半徑，陳子模型（按即指《周髀算經》中的蓋天宇宙模型）大致上可解釋晝夜現象及晝夜長短隨著太陽軌道遷移的變化。……同時也可以解釋北極之下一年四季所見日光現象（[21]）。
這個結論是正確的。在那個時代的中國，能構造出這樣一個幾何模型，並能大致上解釋實測結果，已是難能可貴了。
不過，若仔細分析起來，則《周髀算經》假定日照極限167000里之後，在其宇宙模型中仍不無捉襟見肘之處。最明顯的一個例子是春秋分日的日出方位。在這兩天，太陽從正東方升起而在正西方落下，但依據《周髀算經》的幾何模型和日照167000里的設定，則太陽將從周地的東北方升起而至西北方落下，明顯違背了觀測事實（參見本書圖7及注（34）、（35））。對於這一破綻，《周髀算經》採取緘口不言的迴避之法。而在同時，它能夠正確地推導出，冬至日那天在周地正東西方向見不到太陽（仍參見圖7及注（34）），它就明白寫道：「冬至之日正東西方不見日。」如果調整167000這一設定數值，就可以在春、秋分日日出方位上自圓其說；但這樣一來冬至日出方位就要出問題。這就是《周髀算經》在引入「日照十六萬七千里」時的捉襟見肘之處。類似的例子還有幾處（詳細情況可參見〔20〕及〔16〕）
H．《周髀》的宇宙邊界
《周髀算經》中的蓋天宇宙模型是一個有限宇宙：天、地均為圓形的平行平面，中間相距80000里；而這兩個大圓形的直徑為810000里。這個數值在《周髀算經》中屬於導出數值，而非設定者。這都是就結構形式而言的，至於在寫書之前，作者心中哪些數據是設定的，哪些數據是有待導出的，今人當然無法得知，因為任何數據都是可以編湊的，所以我們顯然只能根據書中所實際呈現出來的結構形式進行分析。新論第2節中所討論的「勾之損益寸千里」關係式，也應作如是觀。
關於宇宙直徑為810000里，《周髀算經》中有兩處相似的推導。一處見捲上第（4）節近結尾處：
冬至晝，夏至夜，差數所及，日光所遝觀之，四極徑八十一萬里，週二百四十三萬里。
另一處見捲上第（6）節中：
日冬至所照過北衡十六萬七千里，為徑八十一萬里，週二百四十三萬里。
這兩處推導，參看圖6就很容易明白：冬至日道是太陽自身走得最遠處（以北極為中心），此日道的半徑為238000里，太陽在此處又可將其光芒向四周射出167000里，兩值相加，得到405000里，這是宇宙的半徑，所以宇宙直徑為810000里。注意這裡宇宙直徑是在前面設定的日照167000里之上導出的。
宇宙為直徑810000里的圓周，那麼在此之外是什麼？《周髀算經》的作者已經慮及這一問題，捲上第（6）節中云：
過此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其難知。此言上聖不學而知之。
作者對宇宙邊界之外是什麼，表示存疑的態度，而不進行武斷，這是十分明智的作法。
上引這段《周髀算經》的論述，其語氣很容易使人聯想到漢代張衡所作《靈憲》中的一段話：
過此而往者，末之或知也。未之或知者，宇宙之謂也。宇之表無極，宙之端無窮。
注意《靈憲》「宇宙」二字的用法與我們所習慣的用法不同，它是用「宇宙」來指稱天地邊界之外的情形；但從「宇之表無極，宙之端無窮」來看，在用來指「時空」這一點上倒又與現代的用法吻合——至於宇宙究竟有限還是無限，那是另一問題。
《周髀算經》和《靈憲》對於它們各自所構建的迥然不同的天地結構之外的情形，都表示「過此而往者，未之或知」（注意連語句都一字不異！）。蓋天家和渾天家的經典著作在這一問題上採取幾乎完全相同的立場，是值得思考研究的。這裡我們只是提請注意，古人雖然用「宇宙」一詞來指時空，這一點與今天的用法相同；但古人心目中的「宇宙」，究竟是他們的天地結構，還是這結構之外的「未之或知」的情形，或者是不是現代天文學家們在浩瀚太空中不斷擴展著的視界，都還尚無定論，需要在各種具體情況下仔細辨析。
4．《周髀》中的勾股定理問題
A．特例還是普適情形
《周髀算經》原文中有兩處直接講到勾股定理。第一處即全書第（1）節中商高對周公談到矩時所說：
故析矩以為勾廣三，股修四，逕隅五。既方其外，半之一矩。環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。
矩的形狀及有關情況可參見本書圖1和注（6），由於矩的基本形狀是一個直角三角形，故上述引文無疑是陳述了勾股定理在直角三角形三邊之長分別為3、4、5時的特例：
32＋42＝52
第二處見捲上第（3）節：
候勾六尺，……從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日則八萬里。若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，並而開方除之，得邪至日，從髀所旁（即前文之邪，音、義俱同斜）至日所十萬里。
參看本書圖3，很容易明白這段論述正是勾股定理的一次具體應用。但是顯而易見，這次仍是直角三角形三邊之長為3、4、5時的特例（只是乘以係數2，成為6、8、10而已）。這樣看來，許多學者認為《周髀算經》中出現的勾股定理雖是特例，確屬有據可信。
然而，也有一些學者對此另有異議，他們認為《周髀算經》中的勾股定理不限於3、4、5的特例，而是普適的。主要理由是：書中有三處使用了能由勾股定理算出的數據，而這三處所涉及的數值不滿足3、4、5的比例。對此需要稍作討論。
這三處數值集中見於捲上第（4）節中，依次列出如下：
夏至之日正東西望，直周東西日下至週五萬九千五百九十八里半。
冬至之日正東西方不見日，以算求之，日下至週二十一萬四千五百五十七里半。
從周（至宇宙邊界——日照極限處）東西各三十九萬一千六百八十三里半。
關於這些數據的推算細節及意義，詳見本書圖7和注（33）、（34）、（37）。其中前兩個數值已於圖7中由線段表示，即
ZSx≐59598.5里
ZSD≐214557.5里
第三個數值所代表的線段在圖7中未繪出，但原理與前兩個一樣，只需將半徑為RD的外衡圓周代之以半徑為405000里的宇宙邊界圓周，再將線段ZSD延長至與此大圓周相交即可，Z與此交點之間的長度即391683.5里。
由圖7清楚可見，上述三個數值確實需要引用勾股定理才能算得，而且其中數值明顯不成3、4、5的比例。因此認為《周髀算經》中有普適的勾股定理的主張，也有道理。
但是我們必須加以辨析的是，《周髀算經》中明確陳述的勾股定理，確實只有3、4、5的特例，即見於第（1）節和第（3）節中的兩處；而另一方面，它雖在第（4）節中使用了普適情形的勾股定理，但卻根本未將之明確陳述出來。此外，我們還必須注意，無論是勾股定理的普適情形還是特例，《周髀算經》原書中都未對之作出證明——對普適情形的證明是趙爽在為《周髀算經》所作注文中完成的（詳情參見本書附錄III、IV）。
最後還可以指出，像《周髀算經》中這樣在陳述勾股定理時僅限於3、4、5的特例，並非絕無僅有的罕見現象，本書附錄VI就提供了一個古羅馬著作中的相同例證。
B．勾股定理可否稱為「商高定理」
西學東漸之後，中國人知道勾股定理在西方被稱為「畢達哥拉斯（Pythagoras）定理」。看到中國「古已有之」的定理以西人命名，使一些中國人心中感到不平。在20世紀20年代，有的中學數學教科書中就赫然將「畢達哥拉斯定理」改稱為「商高定理」，理由是商高既與周公對話，必為周公同時代人，則年代早於畢達哥拉斯數百年。到50年代，在特定的時代氛圍中，不少人更以激情談學術，紛紛舊話重提，主張將勾股定理「正名」為「商高定理」。其流風餘韻，至80年代仍可偶爾一見。
這個問題應該如何看待？其實，早在1929年，數學史專家錢寶琮就已有極好的論述：
今人撰算書稱勾股定理，不曰畢達哥拉斯定理，而曰商高定理，以尊重國學，意至善也。余則以為算學名詞宜求信達。周公同時有無商高其人，《周髀》之術，姑不具論；藉曰有之，亦不過當時知有勾三、股四、弦五之率耳，不足以言勾股通例也。中國勾股算術至西漢時《周髀算經》撰著時代始有萌芽，實較希臘諸家幾何學為晚。題曰商高，似屬未妥（[9]）。
60餘年過去，錢寶琮的上引論述仍是完全正確的。事實上，將這個定理稱為勾股定理是最為穩妥的——既簡潔明瞭，又避免了無謂的發明人之爭，而且仍不乏中國特色。當然，人們沒有任何理由強求西方人改變他們對這一定理的習慣稱法。
5．《周髀》中有無外來影響
A．蓋天宇宙與古印度宇宙驚人相似
由前面的論述，我們已經知道《周髀算經》中的蓋天宇宙有著如下特徵：
一、大地為圓形平面；
二、大地中央矗著高高的柱形物（「璇璣」）；
三、該宇宙模型的構造者為自己居息之處確定了在圓形大地上的位置，並且這位置不在中央而是偏南；
四、大地中央的柱形延伸至天處為北極；
五、日、月、星辰在天上環繞北極作圓周運動；
六、太陽在這種圓周運動中有著多重同心軌道，並以半年為週期（一年往返一遍）作規律性軌道遷移；
七、太陽的上述運行模式可以在相當程度上說明晝夜成因和太陽週年視運動中的一些天象。
我們可以發現，上述七項特徵竟與古代印度的宇宙模型全都吻合！這樣的現象恐怕不是偶然的，值得加以注意與研究。
關於古代印度的宇宙模型，主要保存在一些《往世書》（Purānas）中。《往世書》是印度教的聖典，同時又是古代史籍，帶有百科全書性質。它們的確切成書年代難以判定，但其中關於宇宙模式的一套概念，學者們相信可以追溯到吠陀時代——約公元前1000年之前，因而是非常古老的。《往世書》中的宇宙模式可以概述如下：[5]
大地像平底的圓盤，在大地中央聳立著巍峨的高山，名為迷盧（Meru，也即漢譯佛經中的「須彌山」，或作Sumeru，又譯成「蘇迷盧」）。迷盧山外圍繞著環形陸地，此陸地又為環形大海所圍繞，……如此遞相環繞向外延展，共有七圈大陸和七圈海洋。印度位於迷盧山的南方。
在與大地平行的天上有著一系列天輪，這些天輪的共同軸心就是迷盧山，迷盧山的頂端就是北極星（Dhruva）所在之處，諸天輪攜帶著各種天體繞之旋轉；這些天體包括日、月、星辰，……以及五大行星，依次為水星、金星、火星、木星和土星。
利用迷盧山可以解釋黑夜與白晝的交替。攜帶太陽的天輪上有180條軌道，太陽每天遷移一軌，半年後反向重複，以此來描述日出方位角的週年變化。……
又唐代釋道宣《釋迦方志》捲上也記述了古代印度宇宙模型，細節上恰可與上引記載相互補充：
……蘇迷盧山，即經所謂須彌山也，在大海中，據金輪表，半出海上八萬由旬，日月回薄於其腰也。外有金山七重圍之，中各海水，具八功德。
據上引這些記載，古代印度宇宙模型與《周髀算經》蓋天宇宙模型確有驚人的相似之處，在細節上幾乎處處吻合：
兩者的大地與天都是圓形的；且都為平行平面；「璇璣」和迷盧山同樣扮演了大地中央的「天柱」角色；周地和印度都被置於各自宇宙中大地的南半部分；「璇璣」和迷盧山的正上方都是各種天體旋轉的樞軸——北極；如果說迷盧山外的「七山七海」在數字上使人聯想到七衡六間的話，那麼印度宇宙中太陽天輪的180條軌道無論從性質還是功能來說都與七衡六間完全一致（太陽在七衡之間的往返也是每天連續移動的）。特別值得指出，《周髀算經》中天與地的距離是八萬里，而迷盧山也是高出海上「八萬由旬」，同為八萬單位，真是巧合之至。
在人類發展史上，文化的多元自發生成是完全可能的，因此許多不同文明中的相似之處也可能是偶然巧合。但《周髀算經》中的蓋天宇宙模型與古代印度的宇宙模型之間實在太相似了，從整個格局到許多細節，都一一吻合，如果仍用「偶然巧合」去解釋，那就顯得實在太勉強了。然而我們如果因此就一頭陷入「誰來源於誰」的考證之中去，那又會遠遠超出本書的範圍。所以在這裡僅限於將這一問題提請注意。
B．寒暑五帶知識的來源
《周髀算經》中有相當於今人熟知的關於地球上寒暑五帶的知識。這是一個非常令人驚異的現象，因為這類知識是以往兩千年間中國傳統天文學說中所沒有、而且不相信的。
這些知識在《周髀算經》中主要見於卷下第（9）節：
極下不生萬物，何以知之？……北極左右，夏有不釋之冰。
中衡去周七萬五千五百里。中衡左右冬有不死之草，夏長之類。此陽彰陰微，故萬物不死，五穀一歲再熟。
凡北極之左右，物有朝生暮獲，冬生之類。
這裡需要先作一些說明。上引第二則中，所謂「中衡左右」，趙爽注認為是指「內衡之外，外衡之內」；而由本書圖6及圖8顯然可知，這一區域正好對應於地球寒暑五帶中的熱帶（南緯23°.5至北緯23°.5之間）——儘管《周髀算經》中並無地球的觀念。上引第三則中，說北極左右「物有朝生暮獲」，這必須聯繫到《周髀算經》蓋天宇宙模型對極晝、極夜現象的演繹描述能力：據前所述，「璇璣」的半徑值為11500里，而「日照四旁」的極限為167000里，這樣，由本書圖6清楚可見，每年從春分至秋分期間，在「璇璣」範圍內將出現極晝——晝夜始終在陽光之下；而從秋分至春分期間則為極夜，因為陽光在此期間的任何時刻都照射不到「璇璣」範圍之內。也就是趙爽注文中所說：「北極之下，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜。」故云「物有朝生暮獲」，因為是以半年為晝，半年為夜。
上述《周髀算經》中關於寒暑五帶的知識，其準確性是沒有疑問的。然而這些知識卻並不是兩千年間中國傳統天文學中的組成部分。對於這一奇怪現象，可從幾方面加以討論。
首先，為《周髀算經》作注的趙爽，竟然就表示不相信書中這些知識。對於北極附近「夏有不釋之冰」，趙爽注稱：「冰凍不解，是以推之，夏至之日外衡之下為冬矣，萬物當死——此日遠近為冬夏，非陰陽之氣，爽或疑焉。」對於「冬有不死之草」、「陽彰陰微」、「五穀一歲再熟」的熱帶，趙爽表示「此欲以內衡之外、外衡之內，常為夏也。然其修廣，爽未之前聞」——他從未聽說過。我們從趙爽為《周髀算經》全書所作的註釋來判斷，他毫無疑問是那個時代夠格的天文學家之一，為什麼竟從未聽說過這些寒暑五帶知識？比較合理的解釋似乎只能是，這些知識並非中國傳統天文學體系中的組成部分，它們是新奇的，格格不入的，因而也是難以置信的。
其次，在古代中國居統治地位的天文學說——渾天說中，由於沒有正確的地球概念，是不可能提出寒暑五帶之類的問題的（[20]）。因此當明朝末年來華的耶穌會傳教士在他們的中文著作中向中國讀者介紹寒暑五帶知識時，被中國人目為未之前聞的新說。這類著作中最早的當推《無極天主正教真傳實錄》，1593年刊行，其中論及大地為球形，南北半球各分為寒、溫、熱帶，並有附圖。影響最大的則當推利瑪竇（Mathew Ricci）所撰《坤輿萬國全圖》，於1602年刊刻印行。稍後有艾儒略（Jules Aleni）作《職方外紀》（1623），所述較利氏之書更詳。這些著作使明末清初的中國學者得知了地球寒暑五帶之說。當清初「西學中源」思潮甚囂塵上時，梅文鼎等人為寒暑五帶之說尋找中國源頭，找到的正是《周髀算經》——他們認為是《周髀算經》等中國學說在上古時傳入西方，才教會了希臘人、羅馬人和阿拉伯人掌握天文學知識。
現在我們的問題是，既然在渾天學說中因沒有地球概念而不可能提出寒暑五帶的問題，那麼《周髀算經》中同樣沒有地球概念，何以卻能記載這些知識？如果說《周髀算經》的作者身處北溫帶之中，只是根據越向北越冷、越往南越熱，就能推衍出北極「夏有不釋之冰」、熱帶「五穀一歲再熟」之類的現象，那渾天家何以偏就不能？況且趙爽為《周髀算經》作注，他總該是接受蓋天學說之人，何以連他都對這些知識不能相信？這樣看來，我們有必要考慮這些知識傳自異域的可能性。
大地為球形、地理經緯度、寒暑五帶等知識，早在古希臘學者那裡就已系統完備，一直沿用至今。五帶之說在亞里士多德著作中已經發端，至「地理學之父」埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前275—前195年）的《地理學概論》中，已有完整的五帶：南緯24°至北緯24°之間為熱帶，兩極處各24°的區域為南、北寒帶，南緯24°—66°和北緯24°—66°間則為南、北溫帶。從年代上來說，古希臘天文學家確立這些知識早在《周髀算經》成書之前。當然，我們尚不能由此就推斷《周髀算經》中的寒暑五帶知識必定是來自古希臘。這裡仍僅限於將此問題提請注意。
C．坐標體系問題
以渾天學說為基礎的傳統中國天文學體系，完全屬於赤道坐標系。這個體系中，首先要知道觀測地點所見的「北極出地」度數——也就是今天所說的地理緯度，由此建立起赤道坐標系。天球上的坐標系由二十八宿系統構成，在這系統中天體的位置由兩個元素決定：入宿度和去極度，前者相當於現代的赤經差（因二十八宿的距星是標準星，它們的赤經是可以確定的），後者是現代赤緯的余角（即90°—赤緯），兩者在性質和功能上與現代的赤經、赤緯完全等價。與這赤道坐標系相適應，古代中國的測角儀器——以渾儀為代表——也全是赤道式的。中國傳統天文學的赤道特徵，引起近代西方漢學家的特別注意，因為發端於古希臘的西方天文學，兩千年間一直是黃道體系，直到16世紀晚期才出現重要的赤道式天文儀器，這還被看作是丹麥天文學家第谷（Tycho Brahe，1546—1601年）的一大發明。而在現代中外學者的研究中，傳統中國天文學的赤道特徵已是公認之事。
而在《周髀算經》一書中，我們卻看不到這種赤道體系的特徵。二十八宿是沿著黃道排列的（詳見新論第3節E），而測定二十八宿距星坐標的方案又是在地平坐標系中實施的（詳見新論第3節C）。