最美數學公式
數學和科學雜誌經常通過讀者調查的方式，評選出最美的數學公式。結果，名列榜首的無一例外是萊昂哈德·歐拉提出的「歐拉公式」：
eiπ + 1 = 0
有人把它稱作「上帝的公式」，因為組成這個公式的可能是數學領域最重要的5個數字：0和1是算術的基礎，π是三角學中最重要的數字，e是微積分中最重要的數字，i可能是代數中最重要的數字。而且，這個概念運用了加法、乘法和冪次方等基本運算。我們對0、1和π已經不陌生了，但還需要通過本章的學習，掌握無理數e和虛數i的概念。希望大家讀完本章的內容之後，可以熟練地掌握這個公式的含義，認為它跟1 + 1 = 2一樣簡單（至少不會覺得它比cos 180°= –1更難理解）。
延伸閱讀
在這裡，我把有資格競選「最美公式」的其他數學公式介紹給大家。這些公式大多會出現在本書中，有的我們在前文中已經討論過了，有的則會出現在本書的後續章節中。下面的第一和第二個公式的提出者也是歐拉。
1．在任意多面體（由平面、直線和頂點組成的立體圖形）中，其頂點數V、稜數E和面數F滿足：
V – E + F = 2
例如，立方體有8個頂點、12條稜和6個面，滿足V – E + F = 8 –12 + 6 = 2。
2．1 + 1 / 4 + 1 / 9 + 1 / 16 + 1 / 25 + … = π2 / 6
3．1 + 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + 1 / 5 + …= ∞
4．0.999 99…= 1
5．計算n!近似值的斯特林公式：
6．確定斐波那契數列的第n個數字的比內公式：
虛數i是-1的平方根
虛數i非常神秘，原因在於：
i2 = – 1
第一次聽說這個數字的神奇屬性時，人們往往認為這是不可能的。一個數字自乘之後，積竟然為負數，這怎麼可能呢？所有人都知道，02 = 0，負數與自身的乘積必然是正數。但是，不要急於否定，想一想，你是不是也曾認為負數是不可能存在的（在幾百年的時間裡，數學界幾乎都是這樣認為的）？比0還小是什麼意思？比沒有還少，這怎麼可能呢？最後，你把數字看成實數線（real line）上的「住戶」，如下圖所示，正數居住在0的右邊，負數居住在0的左邊。在理解i的含義時，我們也要跳出思維的「盒子」（或者說擺脫實數線的束縛）。只有這樣，我們才會發現i具有實實在在的意義。
實數線上沒有虛數，虛數到底躲在哪裡呢？
我們把i稱為虛數。如果一個數字的平方是負數，我們就說這個數字是虛數。例如，虛數2i 滿足 (2i) (2i) = 4i2 = – 4。對於虛數而言，代數運算的規則不變。例如：
3i + 2i = 5i，3i – 2i = 1i = i，2i – 3i = –1i = –i，
再例如：
3i×2i = 6i2 = – 6，
= 3/2
順便告訴大家，我們要注意一個問題：–i的平方也是–1，因為 (–i) (–i) = i2 = –1。實數與虛數相乘，會得到我們預期的結果，例如，3×2i = 6i。
實數與虛數相加時，會有什麼結果呢？例如，3加4i的和是多少？答案就是：3 + 4i。這個答案沒有辦法進一步化簡（就像1 +
沒有辦法化簡一樣）。a + bi這種形式的數字（其中a、b是實數）叫作「複數」（complex numbers）。注意，實數與虛數可被視為複數的特例（分別是b = 0和a = 0時的情況）。也就是說，實數π和虛數7i都是複數。
接下來，我們舉幾個運算過程比較複雜（但不是特別複雜）的例子。先來看加減運算：
(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i
(3 + 4i) – (2 + 5i) = 1 – i
進行乘法運算時，我們可以應用本書第2章介紹的FOIL法則：
(3 + 4i) (2 + 5i) = 6 + 15i + 8i + 20i2
= (6 – 20) + (15 + 8)i
= –14 + 23i
有了複數之後，所有的二次多項式 ax2 + bx + c 都有兩個根（或者一個重根）。根據二次方程求根公式，在
時，二次多項式等於0。我們在第2章說過，如果二次根號下的數字為負數，那麼二次多項式沒有實根。但是現在，負數的平方根已經不再是一個問題了。例如，方程式 x2 + 2x + 5的根為：
順便說一句，當a、b或c為複數時，二次方程求根公式仍然成立。
二次多項式至少有一個根，儘管有時候它的根是復根。下面這條定理指出，幾乎所有多項式都具有這個特點。
定理（代數基本定理）：任何一次或多次多項式 p (x) 在 p (z) = 0時都有根z。
注意，一次多項式3x – 6可以分解成3 (x – 2）的形式，其中2是3x – 6的唯一根。一般地，如果 a ≠ 0，多項式 ax – b 就可以分解成 a [ x – ( b / a)] 的形式，其中 b / a 是ax – b 的根。
同樣，所有的二次多項式ax2 + bx + c 都可以分解成 a (x – z1 ) (x – z2) 的形式，其中 z1和z2是二次多項式的根（可能是復根，也可能是重根）。代數基本定理描述的這個規律適用於任意次的多項式。
推論：所有n H 1的多項式都可以分解成 n 個部分。具體來說，如果 p(x) 是 n 次多項式，且a ≠ 0，那麼必然存在 n 個數 z1，z2，… ，zn，滿足 p(x) = a (x – z1) (x – z2) …(x – zn)。數字zi是 p(zi) = 0時多項式的根。
這條推論的意思是，所有n H 1的多項式都至少有一個、至多有n個不同的根。例如，多項式 x4 – 16是四次多項式，可以分解成：
x4 – 16 = (x2 –4) (x2 + 4) = (x – 2) (x + 2) (x – 2i) (x + 2i)
它有4個不同的根，即2、–2、2i和–2i。多項式3x3 + 9x2 –12的次數是3，但它的因式分解的結果為：
3x3 + 9x2 – 12 = 3 (x2 + 4x + 4) (x – 1) = 3 (x + 2)2 (x – 1)
因此，它只有兩個不同的根，即 –2和1。
複數的加減乘除運算
利用「復平面」（complex plane），可以將複數表示成圖像的形式。復平面與代數中的 (x, y) 平面非常相似，不過y軸被虛軸代替，上面有0、±i、±2i等數字，如下圖所示。
復平面上的點
我在前文中說過，複數的加法、減法和乘法運算都非常簡單。我們還可以把複數看作復平面上的點，然後進行幾何運算。
例如，我們以下面這道加法題為例：
( 3 + 2i ) + (–1 + i ) = 2 + 3i
從下圖可以看出，以點0、3 + 2i、2 + 3i和–1 + i為頂點的四邊形是一個平行四邊形。
通常，我們在用幾何方法進行複數z、w的加法運算時，可以如上圖所示，通過畫平行四邊形的方式達到我們的目的。在進行 z – w 的減法運算時，可以如下圖所示先畫出點 – w，再進行點z與點–w 的加法運算。
用畫平行四邊形的方式完成複數的加法與減法運算
在用幾何方法進行複數的乘法和除法運算時，首先需要確定它們的大小。我們把原點與點z之間線段的長度定義為複數 z 的「模」，記作| z |。具體來說，如果 z = a + bi，那麼根據勾股定理：
| z | = 
如下圖所示，點3 + 2i的模為
。注意，3 + 2i對應的角θ滿足tanθ = 2/3。也就是說，θ = tan–1 2/3 ≒ 33.7°，約為0.588弧度。
複數 z = 3 + 2i 的模為 |z| = 
，角θ的正切函數tanθ = 2/3
如果在復平面上畫出模為1的所有點，如下圖所示，就會得到一個單位圓。圓上的複數與角θ之間有什麼關係呢？我們在第9章討論過，笛卡兒平面上的這個點被記作 (cosθ, sinθ)。在復平面上，這個點變成cosθ + isinθ。同理，所有模為R的複數都可以寫成：
z = R (cosθ + i sinθ)
我們把它稱作複數的「極坐標形式」。也許現在告訴你為時尚早，但是到了本章結尾，你就會知道它還等於 Reiθ。（這算不算歐拉公式的「劇透」呢？）
復平面上的單位圓
令人意想不到的是，複數可以進行乘法運算，模也可以進行乘法運算。
定理：如果z1、z2是複數，那麼| z1z2 | = | z1 | | z2 |。換言之，乘積的模就是模的乘積。
延伸閱讀
證明：令z1 = a + bi，z2 = c + di，則| z1 | = ，| z2 | = 
。因此：
例如：
積對應的角是多少呢？複數 z 與x軸正方向構成的角常被記作arg z。例如，我們在前面計算過arg (3 + 2i) = 0.588弧度。同理，由於1 – 3i 位於第四象限，其對應的角θ滿足tanθ = –3，因此arg (1– 3i) = arc tan (–3) = –71.56°= –1.249弧度。
請注意，(3 + 2i ) (1 – 3i ) = 9 – 7i 對應的角為arc tan (–7/9) = –37.87°= –0.661弧度，恰好等於0.588 + (–1.249)。但是，下面這條定理告訴我們，這其實並不是巧合！
定理：如果z1、z2是複數，那麼arg (z1 z2 ) = arg ( z1 ) + arg ( z2 )。換言之，積的角就是角的和。延伸閱讀中給出的證明需要用到上一章的三角恆等式。
延伸閱讀
證明：令複數z1、z2的模分別是R1和R2，對應的角分別是θ1和θ2，則z1、z2的極坐標形式分別是：
z1 = R1(cosθ1 + i sinθ1) z2 = R2 (cosθ2 + i sinθ2 )
因此：
z1z2 = R1(cosθ1 + i sinθ1 ) R2(cosθ2 + i sinθ2)
= R1R2[ cosθ1 cosθ2 – sinθ1sinθ2 + i(sinθ1cosθ2 + sinθ2 cosθ1)]
= R1R2 [cos (θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2)]
在運算過程中，我們利用了上一章的cos (A + B) 和sin (A + B) 這兩個三角恆等式。從上面的證明可以看出，z1z2的模是R1R2（前面已經證明過），角是θ1 + θ2。證明完畢。 □
總之，複數相乘時，兩數的模相乘，兩數對應的角相加。例如，如果乘數是i，則模保持不變，角增加90°。注意，如果相乘的兩個數字是實數，則正數的角為0°（或者說360°），負數的角為180°。兩個180°的角相加，和為360°，這表明兩個負數的乘積是正數。虛數的角為90°和–90°（或者270°）。因此，虛數自乘時，角必然是180°[因為90°+ 90°= 180°，或–90°+ （–90°） = –180°，–180°與180°沒有任何不同]，乘積是負數。最後，請大家注意，如果z 的角為θ，那麼1 / z的角就必然是 –θ。（為什麼呢？因為 z×1/z = 1，所以z 與 1 / z 對應的角相加必然等於0°。）因此，複數進行除法運算時，只需對模進行除法運算，對角進行減法運算。也就是說，z1/z2的模是R1 / R2，角是θ1 – θ2。
e、復利與裡氏震級
如果你有科學計算器，請做一做下面這個實驗。
1．在計算器裡輸入一個你熟悉的七位數（可以是電話號碼、證件號碼，也可以將你喜歡的某個一位數字連續輸入7次）。
2．取這個數字的倒數（按下計算器的「1 / x」鍵）。
3．將得到的結果加上1。
4．對得數進行冪運算，指數為最初的那個七位數（按下「xy」鍵，然後輸入最初的那個七位數，再按下等號鍵）。
最終得數的前幾位是不是2.718？如果得數的前幾位與無理數e = 2.718 281 828 459 045…一致，我不會感到奇怪。
這個神秘數字e到底有什麼特殊之處？它為什麼非常重要？在上面的小實驗裡，你實際上是在計算(1 + 1 / n ) n的值，且n是一個比較大的數字。如果n不斷增大，得數又會發生什麼變化呢？一方面，隨著n不斷增大，數字 (1 + 1 / n) 將會越來越接近1。當1為底數時，無論指數是多少，冪運算的結果都是1。因此，有理由相信，對於大數n，(1 + 1 /n)n的值約等於1。例如，(1.001)100 ≒ 1.105。
另一方面，即使n非常大，(1 + 1 / n ) 仍然略大於1。如果底數是一個大於1的值，隨著指數不斷增大，得數將變成一個任意大的值。例如，(1.001)10 000 的結果就大於20 000。
問題是，在指數n增大的同時，底數 (1 + 1 / n) 正在減小。在1與無窮大的相持過程中，答案會逐漸接近於e = 2.718 28…。例如，(1.001)1 000 ≒ 2.717。下表列出了函數 (1 + 1 / n )n在n取較大值時的結果。
我們把e定義為(1 + 1 / n)n在n不斷增大時逐漸接近的數字。數學界把它稱作當n趨於無窮大時(1 + 1 / n)n的極限值，記作：
e = 
(1 + 1/ n)n
如果用x / n 替代1 / n，其中x為任意實數，那麼隨著 n / x不斷增大，(1 + x / n)n/x這個數字將會不斷接近e。兩邊同時求x次冪[你還記得這個公式吧：(ab )c = abc ]，就會得到所謂的「指數公式」（exponential formula）：
(1 + x / n)n = ex
指數公式有很多非常「有利可圖」的應用。假設你的儲蓄賬戶裡有10 000美元，年利率為0.06。如果每年結算一次利息，那麼截至第一年年底，你的賬戶裡將會有10 000 ×1.06 = 10 600美元。截至第二年年底，你賬戶裡的錢又會變成10 000 ×(1.06)2 = 11 236美元。截至第三年年底，你的賬戶裡有10 000 ×(1.06)3 = 11 910.16美元。以此類推，到第t年年底，你的存款將會變成10 000 ×(1.06)t美元。一般來說，如果我們用利率r來替代6%，一開始時的本金是P美元，那麼截至第t年年底，你的存款將會變成P(1 + r ) t美元。
現在，我們假設6%的利率是按半年復利的形式計算的，也就是說每6個月可得到3%的利息。那麼，到第一年年底，你的存款為10 000× (1.03)2 = 10 609美元，比年復利時的10 600美元多一點兒。如果是季度復利，那麼每年可以結算4次利息，利率為1.5%，一年後的賬戶金額為10 000 ×(1.015)4 = 10 613.63美元。一般而言，如果每年結算利息n次，那麼一年後的金額是：
10 000美元×（1+
）n美元
當n取非常大的值時，就叫作連續復利。如下表所示，根據指數公式，一年後的金額就會變成：
10 000 （1+）n =10 000e0.06 = 10 618.36美元
一般而言，如果你最初的本金是P美元，利率為r，以連續復利的方式結算利息，那麼t年後，你的存款金額A就可以用下面這個美麗的公式計算出來：
A = Pert
從下圖可以看出，函數 y = ex 增長得非常快。同時，我還給出了e2x 和e0.06x 的圖像。我們說，這些函數呈「指數增長」。函數 y = e–x 的圖像趨近0的速度非常快，呈「指數衰減」。
一些指數函數
5x的圖像有什麼特點呢？由於e < 5 < e2，因此5x 的圖像肯定位於ex 和e2x 的圖像之間。事實的確如此，因為e1.609…= 5，因此5x ≒ e1.609x。一般情況下，只要我們找到指數k，使 a = ek，函數 ax 就可以表示成指數函數ekx 的形式。我們如何才能找到k呢？答案是利用「對數」（logarithms）。
就像平方根是平方的反函數（這兩個函數相互抵消），對數是指數函數的反函數。最常見的對數是以10為底的對數，記作log x。我們說,如果10y = x，那麼 y = log x，或者10log x = x。
例如，由於102 = 100，因此log 100 = 2。下面是常用對數表。
對數的用途很多，其中之一是可以將大數轉化成我們容易理解的小數。例如，裡氏震級利用對數將地震的大小分為1~10級。對數還可以用來測量聲音的強度（分貝）、化學溶液的酸鹼度（pH值），以及通過谷歌的PageRank算法來評估網頁的受歡迎程度。
Log 512是多少呢？利用科學計算器就可以算出log 512 = 2.709…（大多數的搜索引擎也可以勝任這項工作）。這個得數很容易理解，因為512位於102 和103之間，它的對數肯定在2和3之間。對數的目的就是將乘法問題轉化為簡單的加法問題，它依據的是下面這條定理。
定理：對於任意正數x和y，都有：
log xy = log x + log y
換句話說，積的對數就是對數的和。
證明：利用指數法則，很容易就能證明這條定理。因為：
10log x + log y = 10log x 10log y = xy = 10log xy
所以，10的log x + log y 次冪等於xy。證明完畢。 □
「指數規則」是另一個有用的特性。
定理：對於任意正數x和y，都有：
log xn = n log x
證明：根據指數法則，abc = ( a b )c。因此：
10n logx = (10log x)n = xn
也就是說，xn的對數等於n log x。 □
儘管以10為底的對數在化學和物理科學（如地質學）中的應用非常廣泛，但是它本身並沒有什麼特別之處。在計算機科學與離散數學中，以2為底的對數受歡迎的程度更高。對於任意 b > 0，以b為底的對數logb 都要遵循下面這條規則：
如果 by = x，那麼y = logb x
例如，log2 32 = 5，因為25 = 32。底為任意數字b時，前面討論的對數屬性都成立。例如：
blogbx = x logbxy = logb x + logb y logbxn = n logb x
不過，在數學、物理學和工程學的大多數領域裡，應用最廣泛的還是以e為底的對數。這種對數叫作「自然對數」（natural logarithm），記作ln x。也就是說：
如果ey = x，那麼 y = ln x
或者說，對於任意實數x：
ln ex = x
例如，利用計算器就可以算出ln 5 = 1.609…，我們在前文中也算出e1.609 ≒ 5。在本書第11章，我們將更深入地討論自然對數。
延伸閱讀
所有科學計算器都可以計算自然對數和以10為底的對數值，但是大多數計算器對其他對數卻無能為力。不過，大家不用著急，因為我們可以很輕鬆地改變對數的底。如果知道某個對數的值，基本上也就知道了所有不同底的對數的值。具體來說，我們可以利用下面這個規則，依據以10為底的對數值得出以b為底的對數值。
定理：對於任意正數x和y，都有：
logbx = 
證明：令 y = logb x，則 by = x。兩邊取對數，即log by = log x。根據指數規則，我們可以得出 y log b = log x。也就是說，y =(log x) / (log b)。證明完畢。 □
例如，對於任意x > 0，都有：
ln x = (log x) / (log e) = (log x) / (0.434…) ≒ 2.30 log x
log2 x = (log x) / (log 2) = (log x) / (0.301…) ≒ 3.32 log x
e與彩票的中獎概率
同數字π一樣，數字e在數學領域的應用也極其廣泛，經常會出現在我們意料不到的地方。例如，我們在第8章見過的鍾形曲線，它的公式為：
y =
它的圖像（如下圖所示）可能是統計學中最重要的圖像。
鍾形曲線的公式為
在第8章，我們還發現n!的斯特林公式中也有e的身影：
在第11章，我們將發現e與階乘之間有著極為重要的聯繫，我們也將證明ex是無窮級數：
ex = 1 +
+
+
+
+ …
具體來說，當 x = 1時，從上述公式可以得到：
e = 1 +1 +
+
+
…
據此我們可以迅速算出e的數值。
順便告訴大家，e的小數點後的幾位數出現了循環現象：
e = 2.718 281 828…
我的中學老師說：「2.7安德魯·傑克遜，安德魯·傑克遜。」這是因為安德魯·傑克遜於1828年當選美國第7任總統。（我的記憶方法則正好相反，我是利用e的數值來記憶安德魯·傑克遜當選美國總統的年份的。）你也許認為e是一個有理數，如果1828這幾個數字一直循環，那麼e確實是有理數，但真實情況並非如此。之後的6個數字是 …459 045…。對於這幾個數字，我是借助等腰直角三角形的內角度數來記憶的。
你也許根本想不到，e還會出現在很多概率問題中。例如，假設你每週都會買彩票，中獎概率是1%。如果你連續100周買彩票，那麼至少有一次中獎的概率是多少？每週中獎的概率是1/100 = 0.01，沒中獎的概率是99/100 = 0.99。由於每週的中獎概率與之前的情況無關，因此，連續100周都沒有中獎的概率是：
(0.99)100 ≒ 0.366 0
這個數字非常接近1 / e ≒ 0.367 879 4…，這個結果並不是巧合。大家不妨回想一下我們第一次接觸ex 時談及的指數公式：
如果令 x = –1，那麼對於任意大數n，都有：
當n = 100時，(0.99)100 ≒ 1 / e，與前面的結果一致。因此，中獎概率約為1 – (1 / e) ≒ 64%。
我最喜歡的一個概率問題叫作「匹配問題」（亦稱「帽子保管問題」或「錯排問題」）。假設有n份作業要發給n個同學，但是老師比較懶惰，給每名學生隨機發了一份作業（這份作業可能是這名學生的，也可能是班上其他同學的）。所有學生都沒有拿到自己作業的概率是多少？或者說，如果數字1~n被隨機打亂，所有數字都不在它原來位置上的概率是多少？例如，如果 n = 3，那麼數字1、2、3有3! = 6種排列方式，所有數字都不在原來位置上的情況有兩種，即231和312。也就是說，當 n = 3時，錯排的概率是2 / 6 = 1 / 3。
發n份作業共有n! 種發作業方式。令 Dn 表示錯排的種數，那麼所有人都沒有拿到自己作業的概率是 pn = Dn / n!。例如，如果 n = 4，就會有9種錯排方式：
2143 2341 2413 3142 3412 3421 4123 4312 4321
如下表所示，p4 = D4 / 4! = 9 / 24 = 0.375。
隨著n不斷增大，pn 逐漸向1 / e靠攏。這個現象有一個令人吃驚的意義，即無論這個班上有10名、100名還是100萬名學生，所有人都沒有拿到自己作業的概率也不會發生太大變化，都與1 / e非常接近。
為什麼呢？因為在有n名學生時，每名學生拿回自己作業的概率是1 / n，拿到其他人作業的概率是1 – (1 / n)。也就是說，n名學生都拿不到自己作業的概率為：
這個概率是一個近似值，原因在於它不是獨立事件，與彩票的中獎概率問題不同。如果第一個學生拿到的是自己的作業，那麼第二個學生拿回自己作業的概率就會略有增加。[概率不再是1 / n，而是1 / (n –1)。]同樣，如果第一個學生拿到的不是自己的作業，那麼第二個學生拿回自己作業的概率就會略微減小。不過，由於概率變化的幅度不大，因此逼近效果很明顯。
計算概率 pn 的精確值需要使用ex 的無窮級數展開式：
把 x = –1代入方程式，就會得到：
可以證明，如果有n名學生，所有人都沒有拿到自己作業的確切概率是：
例如，如果有 n = 4名學生，那麼pn = 1 –1 + 1/2 – 1/6 + 1/24 = 9/24，這同前面的證明結果一致。pn 向1 / e逼近的速度非常快，兩者之間的距離小於1 / (n + 1)!。也就是說，p4 與1 / e的距離小於1 / 5! = 0.008 3；p10 與1 / e的前7位數字都相同；p100 與1 / e相同的數字超過150個！
延伸閱讀
定理：數字e是無理數。
證明：假設e不是無理數，而是有理數，就存在正整數m、n，滿足e = m / n。接下來，用整數 n 將e的無窮級數展開式分成兩個部分L和R，即e = L + R，其中：
注意，n! e = en (n – 1)! = m (n – 1)! 肯定是一個整數[因為 m 和 (n– 1)! 都是整數]，n! L 也是一個整數（因為只要 k G n，n! / k! 就一定是一個整數）。也就是說，n! R = n! e – n! L 是兩個整數的差，因此，它肯定是整數。但這個結果是不可能的，因為當n H1時：
由於不存在小於1的正整數，所以 n! R 不可能是整數。也就是說，假設e = m / n會導致自相矛盾的結果，從而證明e是無理數。 □
完美至極的歐拉公式
數字e的研究與推廣得益於偉大的數學家萊昂哈德·歐拉，也是由歐拉來命名的。有人認為，歐拉之所以選擇用字母e來表示這個數字，是因為這是他姓氏的首字母。儘管大多數數學史研究者都不同意這個說法，但還是有很多人把e稱為歐拉數字。
我們已經介紹了函數ex、cos x和sin x 的無窮級數展開式，並將在下一章解釋這些無窮級數的由來。在這裡，我先對這些無窮級數做一個歸總：
這些公式在x為任意實數時均成立，但是歐拉勇於打破常規：如果令x為虛數，結果會怎麼樣？一個數的虛數次冪意味著什麼？他的腦洞大開為我們帶來了完美的「歐拉定理」。
定理（歐拉定理）：對於任意角θ（單位為弧度），都有：
eiθ = cosθ + isinθ
證明：為了證明上式成立，我們將 x = iθ代入ex 的無窮級數展開式中：
請大家觀察i的不同次冪的特點：i0 = 1，i1 = i，i2 = –1，i3 = –i（因為i3 = i2 i = –i）。隨後出現了重複現象：i4 = 1，i5 = i，i6 = –1，i7 = –i，i8 = 1，以此類推。具體來說，我們可以看出在 i 的不同次冪中，實數與虛數交替出現。因此，我們可以通過下面的代數運算，消去偶數項中的i。
至此，我們就可以證明本章開頭介紹的「上帝的公式」了。令θ= π弧度（或180°），就有：
eiπ = cosπ + i sinπ = –1 + i (0) = –1
但是，歐拉定理並沒有就此止步。我們在前面已經見過cosθ+ i sinθ這個表達式，它是復平面單位圓上的一個點，與x軸正方向的夾角為θ。如下圖所示，歐拉定理指出，我們可以用一個非常簡單的方式來表示這個點。
歐拉定理指出，單位圓上的所有點都可以表示成eiθ的形式
驚喜還沒有結束！歐拉定理指出，復平面上的所有點都與單位圓上的點成比例關係。具體來說，如果複數 z 的模為R，角為θ，那麼這個點就是單位圓上對應點的R倍，即：
z = R eiθ
因此，如果復平面上有兩個點z1 = R1eiθ1和z2 = R2eiθ2，那麼根據指數法則（含有複數），我們可以得到：
z1z2 = R1eiθ1 R2eiθ2 = R1R2ei (θ1+θ2)
上述結果表示的是一個模為R1R2、角為θ1+θ2 的複數，我們再一次證明了複數的乘法運算法則：模相乘，角相加。我們在前文中證明這個定理的時候，用的是代數運算和三角恆等式，證明過程大約有一頁紙的篇幅。現在，我們在用歐拉定理證明這個法則時，證明過程只有短短的一行字，因為我們有了e這個數字！
最後，我要仿照喬伊斯·基爾默（Joyce Kilmer）的詩作《樹》，為我們擁有這個極其重要的數字賦詩一首。同時，我希望喬伊斯·基爾默不要介意我這樣做。
我想我永遠不會看到
比e更受人喜愛的數字。
這個數字永遠寫不完，
它是2.718 28…
它有如此神奇的特性，
深受人們喜愛（老師們更是額手稱慶）。
e為我們創造了諸多便利條件
整數處理起來變得非常容易，
定理可以由像我這樣的傻瓜來證明，
但e只能由歐拉來命名。