答案出人意料的小測試
我先向大家介紹一個可以作為魔術表演素材的幾何問題，請在一張紙上完成以下步驟：
第一步：畫一個四邊形。4條邊不得交叉，並按順時針方向將4個角分別標記為A、B、C和D（參見下圖）。
3個任意的四邊形
第二步：把4條邊
的中點分別標記為E、F、G和H。
第三步：如下圖所示，連接各邊中點，構成一個新的四邊形EFGH。
四邊形各邊中點的連線一定會構成一個平行四邊形
無論你相信與否，EFGH一定是平行四邊形。換句話說，
一定平行於
，
一定與
平行。（此外，和的長度相同，與的長度也相同。）從上圖就可以看出這些特點，不過大家最好自己動手畫幾幅圖驗證一下。
這樣的意外發現在幾何學中比比皆是。做出一些非常簡單的假設，然後運用一些並不複雜的邏輯證明，往往就會得出一些非常完美的結果。我們做一個小測驗，看看大家在幾何方面的直覺能力怎麼樣。有的問題有非常直觀的答案，但有的問題卻有令人意想不到的答案（即使擁有一定的幾何知識，看到這些答案時，你也會感到驚訝）。
問題1：一位農民準備修建周長為52英尺[1]的矩形籬笆牆。這個矩形的長和寬各是多少時，它的面積最大？
A）正方形（各邊邊長均為13英尺）。
B）長寬比接近於黃金比例1.618（比如，長16英尺，寬10英尺）。
C）盡可能地長（長和寬分別接近於26英尺和0英尺）。
D）以上籬笆圍成的面積都是相同的。
問題2：觀察下圖中的兩條灰色平行線，其中X和Y在下面那條直線上。要求在上方的那條直線上選擇一點，使該點與X、Y構成的三角形周長最小。應選擇哪個點？
A）點A（位於X和Y中點的正上方）。
B）點B（使B、X和Y構成直角三角形）。
C）盡可能地遠離X和Y（如點C）。
D）位置無所謂，因為所有三角形的周長都相同。
上方直線上的哪個點（與點X、Y一起）構成的三角形周長最小？哪個點構成的三角形面積最大？
問題3：上圖中，要使三個點構成的三角形面積最大，應選擇哪個點？
A）點A。
B）點B。
C）盡可能地遠離X和Y。
D）位置無所謂，因為所有三角形的面積都相同。
問題4：橄欖球場上兩個球門之間的距離是360英尺。一條長為360英尺的繩子兩端分別繫在兩個球門柱根部。如果繩子增加1英尺，那麼球場正中間處的繩子可以抬到多高？
A）離地面的高度不到1英吋[2]。
B）其高度正好可以讓人從下面爬過去。
C）其高度正好可以讓人從下面走過去。
D）其高度足以通過一輛卡車。
長為361英尺的繩子兩端分別繫在相距360英尺的兩個球門柱根部，球場中間的繩子可以抬到多高？
下面給出了這4個問題的答案。我認為前兩個問題的答案十分直觀，而後兩個則會讓大多數人大吃一驚。在本章的後半部分，我會對這些答案一一做出解釋。
問題1答案：A。周長一定時，要使矩形面積最大，各條邊的長度應該相等。因此，最佳選擇是正方形。
問題2答案：A。選擇位於X和Y中點正上方的點A，三點構成的三角形XAY的周長最小。
問題3答案：D。所有三角形的面積都相同。
問題4答案：D。球場正中間的繩子可以抬至離地面13英尺處，足夠大多數卡車從下方通過。
借助簡單的代數運算，就可以解釋問題1的答案。如果矩形上下兩條邊的長度為b，左右兩條邊的長度為h，它的周長就是2b + 2h，也就是4條邊的邊長之和。面積表示由4條邊圍成的圖形大小，為bh。（我們在後文中將詳細討論圖形的面積。）由於周長必須是52英尺，因此2b + 2h = 52，也就是說：
b + h = 26
既然 h = 26 – b，那麼我們希望得到的最大面積bh等於：
b (26 – h) = 26b – b2
b取何值才能使上面這個等式的值最大呢？利用本書第11章介紹的微積分知識，我們很容易就能找到答案。但是，利用第2章介紹的完全平方數，也能算出b的值。b的值有了之後，就可以算出矩形的面積是：
26b – b2 = 169 – ( b2 – 26b + 169) = 169 – (b – 13)2
當b = 13時，矩形的面積是169 – 02 = 169。當b≠13時，矩形的面積為：
169 – (某個不為0的數)2
從169中減去某個正數，得數肯定小於169。因此，當b = 13，h = 26 – b = 13時，矩形的面積最大。在問題1中，農民的籬笆周長是否為52英尺，這是一個無關緊要的條件，這也正是幾何學令人驚訝的一個方面。我們可以借助相同的方法證明這樣一個問題：要使周長為p的矩形面積最大，矩形的最佳形狀應該是正方形，其各邊邊長均為p/4。
為了解釋其他幾個問題，我們需要先思考幾個看似自相矛盾的研究成果，研究幾何學的幾個經典問題。三角形的內角和為什麼是180°？勾股定理到底指什麼？如何判斷兩個三角形的形狀是否相同？三角形的形狀是否相同，有什麼重要意義？
你不可不知的幾何學經典定理
幾何學的起源要追溯至古希臘時期。幾何學（geometry）的名稱來源於「土地」（geo）和「測量」（metria）這兩個詞語，而且幾何學最初應用於土地勘測與天文學研究。但是，古希臘人是演繹和推理大師，他們把幾何學發展成現在這種藝術形式。歐幾里得匯總了當時（大約是公元前300年）已知的所有幾何學研究成果，編寫出有史以來最成功的教科書之一——《幾何原本》（The Elements）。這本書介紹的諸多理念，包括數學嚴謹性、邏輯演繹、公理、證明方法等，在數學界沿用至今。
歐幾里得在這本書的開頭給出了五條公理（亦稱「公設」，即我們可以視作常識的命題）。一旦我們接受了這些公理，就可以根據它們推導出幾乎所有的幾何學真理。下面就是歐幾里得的五條公理。（事實上，他對第五條公理的表述略有不同，但我們在這裡給出的與之等價。）
公理1：任意兩點都可以用唯一一條線段連接。
公理2：任意線段的兩端都可以無限延長，變成直線。
公理3：以任意點O為圓心且經過任意點P的圓只有一個。
公理4：所有直角都是90°。
公理5：經過直線l外一點P，有且只有一條直線與l平行。
延伸閱讀
有必要告訴大家，我們在本章討論的是「平面幾何」（plane geometry，亦稱歐幾里得幾何），也就是說，我們假設自己身處的環境是一個平面，如x–y平面。但是，如果改變某些公理，我們仍然可以得到某些有趣又有用的數學體系，例如以球面上的點為研究對象的球面幾何。球面幾何中的「直線」是周長最大的圓（稱作大圓），因此，所有的直線都會相交，不存在平行直線。如果對公理5做出修改——至少有兩條直線經過點P且與l平行，平面幾何就會變成「雙曲幾何」（hyperbolic geometry）。雙曲幾何自成體系，有專屬的美麗定理。藝術家埃捨爾（Escher）就是利用它創作出大量的版畫傑作。下面向大家展示的是運用雙曲幾何法則繪製而成的一幅圖（該圖片作者是道格拉斯·鄧漢姆）。
事實上，還有一些歐幾里得在《幾何原本》中沒有提到的公理，我將根據需要，把它們介紹給大家。本章的目的不是取代幾何學教材，因此我不會從最基礎的幾何學內容開始一一講解。我認為大家對點、直線、角、圓、周長和面積等概念都有直觀的認識，我也盡可能地不使用術語和數學符號，以便大家把注意力集中在幾何學中最值得關注的內容上。
例如，我假設大家已經知道（或者說願意接受）圓為360°這個事實。角的度數在0°到360°之間。大家想一想時鐘的指針，時針和分針的末端在圓心處重合，1點鐘時它們呈現的是1/12個圓，因此夾角是30°；3點鐘時它們呈現的是1/4個圓，因此夾角是90°。90°的角叫作直角，此時，我們稱構成這個角的直線或線段相互垂直。6點鐘時，兩根指針形成一條直線，夾角為180°。
三個角的度數分別為30°、90°和180°
在這裡，我要向大家介紹一個有用的符號。連接點A和點B的線段通常被標記為
，而表示線段長度時則去掉上方的橫線，例如，的長度是AB。
兩條直線相交時，會形成4個角，如下圖所示。這些角有什麼特點呢？可以看出，兩個鄰角（如角a和角b）加到一起就會變成一條直線，直線的角度為180°。因此，角a與角b的和肯定是180°。這樣的兩個角叫作「互補角」。
兩條直線相交，鄰角的和為180°。不相鄰的兩個角（叫作對頂角）度數相同。圖中角a與角c、角b和角d形成兩對對頂角
其他幾對鄰角同樣具有這種屬性。也就是說：
a + b = 180°
b + c = 180°
c + d = 180°
d + a = 180°
用第一個等式去減第二個等式，得到a – c = 0。也就是說：
a = c
用第二個等式去減第三個等式，就會得到：
b = d
兩條直線相交，不相鄰的兩個角叫作「對頂角」。我們剛剛證明的就是「對頂角定理」：對頂角度數相等。
我們接下來的任務是證明任意三角形的內角和為180°。在開始證明之前，我先介紹平行線的幾條屬性。如果兩條直線永遠不會相交，我們就說它們相互平行。（記住，直線的兩端可以無限延伸。）下圖所示的是兩條平行線l1和l2，第三條直線l3不與它們平行，而與它們分別交於點P和點Q。仔細觀察就會發現，直線l3與直線l1、l2形成的角的度數相同。也就是說，我們認為 a = e。我們把角a與角e稱作「同位角」。（角b和角f、角c和角g、角d和角h也互為同位角。）同位角看起來顯然度數相等，但根據歐幾里得的五大公理，我們卻無法加以證明。因此，我們需要一條新公理。
同位角的度數相等。在圖中，a = e，b = f，c = g，d = h
同位角公理：同位角的度數相等。
結合同位角公理和對頂角定理，我們知道在上圖中：
a = c = g = e
b = d = h = f
很多書都為相等的兩個角賦予了特殊的名稱，例如，形成Z字形的角a與角g被稱為「內錯角」。至此，我們已經證明任意角都與它的對頂角、同位角和內錯角的度數相等。接下來，我們利用這個結果證明幾何學的一個基本定理。
定理：任意三角形的內角和都是180°。
證明：觀察下圖所示三角形ABC，它的三個內角分別是角a、角b和角c。過點B畫一條直線，並使它與經過點A、點C的直線平行。
為什麼 a + b + c =180°呢？
角d、角b和角e形成一條直線，因此 d + b + e = 180°。角a與角d是內錯角，角c與角e也是內錯角，因此 d = a，e = c，a + b + c =180°。證明完畢。 □
延伸閱讀
「三角形內角和為180°」是平面幾何的一個重要定理，但在其他幾何學中未必成立。例如，假設我們在地球上畫一個三角形。從北極開始，沿著任意經線到達赤道，然後向右，跨越1/4個地球後再向右轉，最終回到北極。這個三角形其實包含三個直角，內角和為270°。在球面幾何中，三角形的內角和不是固定值，而與三角形的面積直接相關。
在幾何教學活動中，學生們經常需要證明兩個不同的圖形是全等的。如果一個幾何圖形經過平移、旋轉或翻轉後可以得到另一個圖形，我們就說這兩個圖形是全等的。例如，下圖中的三角形ABC和三角形DEF就是全等三角形，因為通過平移，三角形DEF恰好可以與三角形ABC完全重合。本書中的圖形，如果兩條邊（或兩個角）上有同等數量的短線標記，就表明它們的長度（或角度）相同。
全等三角形
我們用符號
表示全等，例如，△ABC △DEF的意思是，這兩個三角形的邊長和角度完全相同。具體來說，AB、BC、CA分別等於DE、EF、FD，角A、角B、角C的度數分別與角D、角E、角F相等。我們在上圖中相等的角上標記了相同的符號，相等的邊也做了同樣的處理。
一旦知道某些邊和角相等之後，我們就會知道其餘的邊和角肯定也相等。例如，如果你知道兩個三角形的三對邊都相等，有兩對角也相等（比如，∠A = ∠D，∠B = ∠E），那麼第三對角必然相等，它們是全等三角形。如果知道有兩對邊的邊長相等，比如AB = DE，AC =DF，而且這兩條邊的夾角也相等，在這個例子中就是∠A = ∠D，就必然存在以下關係：BC = EF，∠B = ∠E，∠C = ∠F。我們把它稱作SAS公理，SAS代表「邊—角—邊」。
SAS公理不是定理，因為我們不能用已有的公理對其進行證明。但是，一旦我們接受這條公理，我們就可以對SSS（邊—邊—邊）、ASA（角—邊—角）、AAS（角—角—邊）等重要定理做出嚴謹的證明。要確保全等，相等的那個角就必須是兩對相等的邊的夾角，因此我們不能推導出所謂的「SSA定理」。SSS定理非常有意思：如果兩個三角形的三條邊相等，那麼它們的三個角也相等。
接下來，我們用SAS公理來證明非常重要的等腰三角形定理。如果某個三角形有兩條邊相等，我們就說它是一個「等腰三角形」。既然說到等腰三角形，我再向大家介紹其他幾種三角形。三條邊都相等的三角形叫作「等邊三角形」。有一個角為90°的三角形叫作「直角三角形」。如果三個內角都小於90°，這個三角形就是「銳角三角形」。如果有一個內角大於90°，我們就稱它為「鈍角三角形」。
等邊三角形，銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形
等腰三角形定理：如果等腰三角形ABC的邊長AB = AC，那麼這兩條邊所對的角一定相等。
等腰三角形定理：如果AB = AC，那麼 ∠B = ∠C
證明：如圖所示，從A處畫一條直線平分 ∠A（這條直線叫作「角平分線」），與
交於點X。
證明等腰三角形定理時，先畫出角平分線，然後利用SAS公理證明兩個小三角形全等
我們認為BAX與CAX是全等三角形，這是因為BA = CA（ABC是等腰三角形），∠BAX = ∠CAX （AX是角平分線），且AX = AX（這不是輸入錯誤。
是兩個小三角形的公共邊，長度必然相同）。因此，根據SAS公理，這兩個小三角形是全等的。由於△BAX △CAX，因此其餘的邊和角也必然相等，即∠B = ∠C。證明完畢。 □
延伸閱讀
利用SSS定理也可以證明等腰三角形定理。先取的中點M，令BM = MC，再畫出線段
。由於 BA = CA （等腰三角形），AM = AM，MB = MC （M為中點），因此，根據SSS定理，△BAM △CAM，它們的角也都相等，即∠B = ∠C。
兩個三角形全等，說明 ∠BAM = ∠CAM，因此也是角平分線。此外，由於∠BMA = ∠CMA，而且它們的和是180°，因此它們都等於90°。也就是說，在等腰三角形中，A的角平分線也是的「垂直平分線」。
順便告訴大家，等腰三角形定理的逆命題也是正確的：如果 ∠B = ∠C，那麼AB = AC。證明過程是：從A畫一條角平分線至點X。由於∠B = ∠C（條件），∠BAX = ∠CAX （角平分線），AX = AX，因此根據AAS定理，我們斷定 △BAX △CAX。由此可知，AB = AC，ABC是等腰三角形。
等邊三角形的所有邊都相等，因此等腰三角形定理適用於等邊三角形，從而證明等邊三角形的三個內角都相等。由於三角形的內角和是180°，因此我們可以得出下面的推論。
推論：等邊三角形的三個內角都是60°。
根據SSS定理，如果兩個三角形ABC和DEF的三對邊都相等（AB =DE，BC = EF，CA = FD），那麼它們的內角肯定也相等（∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F）。它的逆命題也成立嗎？如果三角形ABC和DEF的三對角都相等，那麼它們的三對邊也都相等嗎？如下圖所示，答案顯然是否定的。
相似三角形的內角相等，邊長成比例關係
內角度數對應相等的三角形叫作「相似三角形」。如果三角形ABC和DEF相似（記作△ABC
△DEF，或者是 ABCDEF），那麼∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。從本質上看，如果兩個三角形相似，那麼一個三角形是另一個三角形的縮小版。因此，如果△ABC△DEF，那麼其對應邊長成比例關係，比例因子為正數k。也就是說，DE = kAB，EF = kBC，FD = kCA。
接下來，我們用這些知識來解答本章開頭小測試中的問題2。假設有兩條平行線，下方那條直線上有一個線段
。我們需要完成的任務是在上方那條直線上找到點P，使三角形XYP的周長最小。
定理：上方直線上的點P位於中點正上方時，三角形XYP的周長最小。
儘管微積分可以幫助我們解決這個問題，但是過程比較複雜，若利用「映像」原理，我們就可以輕輕鬆鬆地找出正確答案。（後面的證明非常有意思，但是過程比較長，大家閱讀時可以瀏覽一下，也可以跳過不讀。）
證明：假設P是上方直線上的任意一點，Z為上方直線上的一個固定點，且點Z位於點Y的正上方。（更精確的說法是：
垂直於上下兩條直線且與上方直線交於點Z，如下圖所示。）Y'位於的延長線上，且Y'Z = ZY。換句話說，上方那條直線就像一面大鏡子，Y'是Y經過點Z形成的映像。
我斷定PZY和PZY'是全等三角形，因為 PZ = PZ，∠PZY = 90°= ∠PZY'，ZY = ZY '，因此，根據SAS定理，兩個三角形全等，PY = PY'。
由於三角形PZY和PZY '全等（SAS定理），因此必然有PY = PY'
三角形YXP的周長是三個邊長之和：
YX + XP + PY
我們已經證明PY = PY'，因此三角形周長也等於：
YX + XP + PY'
因為邊長YX與點P的位置無關，因此我們只需考慮XP + PY'的值最小時點P所在的位置。
仔細觀察就可以發現，線段
和
構成了由X至Y'的一條彎曲路徑。由於兩點之間直線距離最短，因此，從X至Y'畫一條直線就可以確定點P的最佳位置點P*，即這條直線與上面那條直線的交點，如下圖所示。但是，我們的任務還沒有全部完成，因為我們還需要證明點P*位於中點的正上方。
三角形MXP*和YXY'相似，二者的比例因子為2
把P*正下方的那個點記作M，就有
垂直於）。由於上下兩條直線平行，因此P*M=ZY。（憑直覺可以得出這個結論，因為平行線之間的距離是一定的。也可以這樣證明：畫出線段
，根據AAS定理可知三角形MYZ與ZP*M全等。）
要證明M是的中點，我們先要證明三角形MXP*與YXY'相似。∠MXP*與∠YXY'是同一個角，∠P*MX與∠Y'YX都是直角，因此這兩個角也是相等的。由於三角形內角和為180°，其中有兩對角相等，那麼第三對角也必然相等。這兩個相似三角形的比例因子是多少呢？通過構造性證明法，可以得出：
YY' = YZ + ZY' = 2YZ = 2MP*
因此，比例因子為2。也就是說，XM是XY的1/2，M是的中點。
所以，位於上方直線上且使三角形XYP的周長最小的點P*正好在中點的正上方。證明完畢。 □
有時，我們也可以利用代數知識來解決幾何問題。例如，假設平面上有線段，其中A的坐標是 (a1，a2)，B的坐標是(b1，b2)，M是的中點，如下圖所示。那麼，M的坐標為：
例如，如果 A = (1，2)，B = (3，4)，那麼的中點M = [(1 + 3)/2,(2 + 4)/2] = ( 2, 3 )。
取線段兩個端點坐標的平均值，即可找到線段中點的坐標
我們利用這個事實來證明三角形的一個重要屬性。畫一個三角形，然後用線段連接各邊中點，其中有什麼特點？下面這條定理給出了答案。
三角形中點定理：對於任意三角形ABC，用線段連接的中點和的中點，該線段與三角形的第三條邊
平行。此外，如果的長度為b，連接中點的那條線段的長度就為b/2。
證明：如下圖所示，以點A為原點(0, 0)、邊所在直線為橫軸畫出坐標系，點C的坐標是(b, 0)。假設點B的坐標為(x, y)，那麼的中點坐標為(x/2 , y/2)，的中點坐標為 [(x + b)/2 , y/2]。由於這兩個中點的縱坐標相同，連接它們的線段必然是水平的，與邊平行。此外，這條線段的長度為 (x + b)/2 – x/2 = b/2。證明完畢。 □
三角形兩邊中點的連線與第三邊平行，且長度是第三邊的1/2
三角形中點定理揭示了本章開頭的那個魔術的奧秘：連接四邊形ABCD各邊的中點，所形成的四邊形EFGH一定是平行四邊形。為什麼？我們從四邊形的頂點A至頂點C畫一條對角線，如下圖所示，這條對角線會把四邊形分成三角形ABC和三角形ADC。
根據三角形中點定理，和都與平行
觀察三角形ABC和ADC。根據三角形中點定理，我們發現與平行，與平行，因此與平行。（而且，與都是的一半，因此它們的長度相等。）同理，如果從B向D畫一條對角線，就會發現與平行，且長度相等。因此，EFGH是平行四邊形。
上面這些定理大多都是關於三角形的，實際上，幾何學的很多內容都以三角形為研究對象。三角形是最簡單的多邊形，其次是四邊形、五邊形等。有n條邊的多邊形有時被稱作「n邊形」（n–gon）。我們已經證明三角形的內角和是180°，那麼超過三條邊的多邊形的內角和是多少呢？正方形、矩形、平行四邊形等四邊形有4條邊。矩形的4個內角都是90°，因此它的內角和必然是360°。下面這條定理對任意一個四邊形來說都是正確的，你也可以說它是一條結論。
定理：任意四邊形的內角和為360°。
證明：如圖所示，取任意四邊形，頂點分別為A、B、C、D。連接A、C兩個頂點，該四邊形就會被分割成兩個三角形。這兩個三角形的內角和均為180°，因此，該四邊形的內角和為2×180°= 360°。 □
任意四邊形的內角和為360°
下面我再介紹一條定理，就可以揭示其中的規律。
定理：任意五邊形的內角和為540°。
證明：如下圖所示，觀察頂點為A、B、C、D、E的任意五邊形。連接A和C，五邊形就會被分割成一個三角形和一個四邊形。我們知道，三角形ABC的內角和為180°，四邊形ACDE的內角和為360°，因此，五邊形的內角和為180°+ 360°= 540°。證明完畢。 □
任意五邊形的內角和為540°
利用歸納性證明法計算n邊形的內角和，或者通過連接A與其他頂點將n邊形分割成n – 2個三角形，由此我們可以得出下面這條定理。
定理：n邊形的內角和為180(n – 2)°。
這條定理有一個神奇的應用。畫一個八邊形，在其內部任意位置標記5個點。連接頂點和這5個點，使八邊形內只包含三角形。（這項操作叫作「三角形分割」。）下面有三個八邊形，前兩個給出了不同的三角形分割方案，最後一個留給大家自己動手操作。
在我給出的兩個示例中，都包含16個三角形。你在第三個八邊形裡取5個點之後，無論這些點處於什麼位置，只要你嚴格按照要求操作，最後都會得到16個三角形。（如果你沒有得到16個三角形，那麼請你仔細檢查八邊形內部，確保所有圖形都只有三個頂點。如果某個圖形看上去像三角形，但實際上是一個四邊形，那麼你必須在其中添加一個線段，將它分割成兩個三角形。）其中的道理可用下面這條定理解釋。
定理：如果一個多邊形有n條邊，內部有p個點，利用這些邊和點對該多邊形進行三角形分割操作之後，得到的三角形數量一定是2p + n – 2個。
在上例中，n = 8，p = 5，根據這個定理，得到的三角形數量必然是10 + 8 – 2 = 16個。
證明：假設n邊形經三角形分割操作後得到T個三角形。我們通過兩種方法解答下面的統計問題，從而證明 T = 2p + n – 2。
問題：所有三角形的內角和是多少？
答案1：由於一共有T個三角形，每個三角形的內角和為180°，因此所有三角形的內角和為180T°。
答案2：分兩種情況考慮。包圍多邊形內部各點的角必然繞該點一周，因此這些角的和是360p°。與此同時，我們知道n邊形的內角和為180(n – 2)°，因此所有三角形的內角和為360p + 180(n – 2)°。
由於這兩個答案相等，因此：
180T = 360 p + 180 (n – 2)
兩邊同時除以180，就會得到：
T = 2p + n – 2
證明完畢。 
多邊形的周長和面積
多邊形的周長是所有邊長之和。例如，如果矩形的底邊長度為b，高為h，它的周長就是2b + 2h，這是因為這個矩形有兩條長度為b的邊和兩條長度為h的邊。那麼，這個矩形的面積是多少呢？我們把1×1方格的面積（平方單位）定義為1。如下圖所示，如果b和h是正整數，那麼我們可以把這個圖形分割成bh個1×1方格，因此它的面積是bh。一般來說，對於底邊為b、高為h的任意矩形（其中b和h是正數，但不一定是整數），我們將它的面積定義為bh。
底為b、高為h的矩形周長是2b + 2h，面積是bh
延伸閱讀
在本章中，我們一直在利用代數知識解釋幾何問題。不過，幾何學有時候也可以幫助我們解釋代數問題。思考一下這樣一個代數問題：如果x 可以取任意正數，那麼x + 1/x的最小值是多少？如果x = 1，上式就等於2；如果x = 1.25，上式就等於1.25 + 0.8 = 2.05；如果x = 2，得數就是2.5。這些數據似乎表明最小值是2，這個答案是正確的，但我們如何證明呢？在本書第11章中，我們可以通過微積分直截了當地解決這個問題。但是，只要動動腦筋，我們也可以借助簡單的幾何知識，輕輕鬆鬆地完成這項任務。
下圖是一個中間有空洞的正方形。整個圖形由4個長方塊拼成，每個長方塊的邊長分別為x和1/x。整個圖形（包括中間的空洞）的面積是多少？
一方面，由於該圖形是邊長為x + 1/x的正方形，因此它的面積為 (x + 1/x)2。另一方面，每個長方塊的面積是1，這個圖形的面積至少是4。也就是說：
(x + 1/x)2 H 4
從而得出 x + 1/x H 2。證明完畢。
從矩形面積的計算方法，我們幾乎可以推導出所有幾何圖形面積的計算方法。我們先來推導三角形面積的計算方法。
定理：底為b、高為h的三角形的面積為
bh。
下圖中的3個三角形的底都是b，高都是h，因此它們的面積相等。從本質上講，這與本章開頭小測試中的問題3相同。對於很多人來說，這是一個讓他們吃驚的事實。
底為b、高為h的三角形的面積是bh。無論直角三角形、銳角三角形還是鈍角三角形，都遵循這個規律
根據角A與角C的大小，可以將這個問題分成3種情況考慮。如果角A或角C是直角，我們可以複製三角形ABC，並把兩個三角形放在一起（如下圖所示），構成面積為bh的矩形。由於三角形ABC的面積是矩形面積的1/2，因此三角形的面積必然等於bh。
兩個底為b、高為h的三角形可以構成一個面積為bh的矩形
如果角A和角C都是銳角，我們也可以做出巧妙的證明。如下圖所示，從點B向畫一條垂線（被稱作三角形ABC的高），交點為X，那麼垂線的長度為h。
可以分成和
兩條線段，它們的長度分別是b1和b2，因此 b1 + b2 = b。由於BXA和BXC都是直角三角形，因此從第一種情況可知，它們的面積分別是b1h和b2h。那麼，三角形ABC的面積為：
b1h +b2h = ( b1 + b2)h =bh
如果角A或角C是鈍角，情況就會如下圖所示。
如果三角形ABC是銳角三角形，我們就把它表示成兩個直角三角形的和；如果它是鈍角三角形，我們就把它表示成兩個直角三角形（ABY和CBY）的差。大直角三角形ABY的底是 b + c，它的面積為(b + c)h，小直角三角形CBY的面積為ch，所以三角形ABC的面積是：
(b + c)h –ch = bh
證明完畢。
勾股定理與想像力
勾股定理可能是最著名的幾何定理，也是最著名的數學定理之一，因此我必須用一節的篇幅對它進行專門介紹。在直角三角形中，與直角相對的邊叫作斜邊，另外兩邊叫作直角邊。下面這個直角三角形的直角邊是和，斜邊是，它的邊長分別是a、b和c。
勾股定理：如果直角三角形的直角邊長為a和b，斜邊長為c，就有：
a2 + b2 = c2
據說勾股定理的證明方法超過300種，本書將介紹其中最簡單的幾種。大家在閱讀時，可以略過某些證明方法。我希望大家在看完之後，會覺得其中至少有一種證明方法非常有意思，並且誇讚道：「這個證明方法真是太棒了！」
證明方法1：在下圖中，我們將4個直角三角形拼成一個大正方形。
問題：這個大正方形的面積是多少？
用兩種方法計算大正方形的面積。比較兩個答案，勾股定理就會浮出水面
答案1：這個大正方形的邊長是 a + b，因此它的面積是 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2。
答案2：換個角度思考，大正方形包含4個三角形，每個三角形的面積為 ab/2，中間還有一個傾斜的正方形，面積為c2。（中間的那個圖形為什麼是正方形呢？我們知道它的4條邊都相等，如果將這個圖形旋轉90°，根據對稱原理，圖形保持不變，因此這個圖形的4個內角都相等。同時，由於四邊形的內角和為360°，所以每個角都是90°。）因此，大正方形的面積是4(ab)/2 + c2 = 2ab + c2。
綜合上述兩種答案，就會得到：
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
兩邊同時減去2ab：
a2 + b2 = c2
證明完畢。
證明方法2：我們把上圖中的三角形按照下圖所示方式重新排列。在上圖中沒有被三角形覆蓋的面積是c2，而在第二幅圖中沒有被三角形覆蓋的面積是a2 + b2。因此，c2 = a2 + b2。證明完畢。
比較兩個圖中空白區域的面積，就可以得到a2 + b2 = c2
證明方法3：如下圖所示，我們再次調整三角形的位置，讓它們拼成一個面積為c2、結構更緊湊的正方形。（這之所以是一個正方形，是因為它的4個角都是角A和角B結合形成的，而且這兩個角的和是90°。）前文已經計算過，這4個三角形的面積是4(ab/2) = 2ab，位於中央位置的那個傾斜正方形的面積是 (a – b)2 = a2– 2ab + b2，兩者相加的和是2ab + (a2– 2ab + b2 ) = a2 + b2。證明完畢。
該圖形的面積既可以表示為c2，又可以表示為a2 + b2
證明方法4：下面給出的是一種相似性證明法，即在證明過程中會利用相似三角形。如下圖所示，從直角C向斜邊畫垂直線段
。我們觀察發現，三角形ADC包含一個直角和角A，因此它的第三個內角必然和角B相等。同理，三角形CDB包含一個直角和角B，因此它的第三個內角必然和角A相等。也就是說，這3個三角形彼此相似：
△ ACB△ADC△CDB
兩個小三角形都與大三角形相似
注意，表示這些三角形時字母次序不能出錯。我們知道，∠ACB =∠ADC = ∠CDB = 90°，它們都是直角。同理，∠A = ∠BAC = ∠CAD = ∠BCD，∠B = ∠CBA = ∠DCA = ∠DBC。比較三角形ACB和ADC的邊長，就會得到：
AC / AB = AD / AC ⇒ AC2 = AD × AB
比較三角形ACB和CDB的邊長，就會得到：
CB / BA = DB / BC ⇒ BC2 = DB × AB
兩個等式相加，就會得到：
AC2 + BC2 = AB × (AD + DB)
由於AD + DB = AB = c，因此：
b2 + a2 = c2
下面介紹的是一種純粹的幾何證明方法，不需要使用代數知識，但要求我們有圖形想像能力。
證明方法5：如下圖所示，畫出面積分別為a2和b2的兩個正方形，並將它們並排放置，因此它們的總面積是a2 + b2。我們對這個圖形進行分割處理，把它變成兩個直角三角形（直角邊長分別是a和b，斜邊長為c）和一個看上去比較奇怪的圖形。注意，這個奇怪圖形底部的那個角肯定是90°。我們想像在大正方形的左上角和小正方形的右上角分別裝上鉸鏈。
這兩個正方形的面積為a2 + b2，經過分割處理，它們可以變成……
接下來，想像左下角的那個三角形逆時針旋轉90°，停留在大正方形的上方。然後，另一個三角形順時針旋轉90°，使它的直角正好與兩個正方形構成的直角重合（如下圖所示）。這樣一來，我們就會得到一個傾斜的正方形，它的面積為c2。因此，a2 + b2 = c2。證明完畢。
……一個面積為c2 的正方形
現在，我們可以解答本章開頭小測試中的問題4了。利用勾股定理，即可算出繫在相距360英尺的兩個球門柱根部的長度為361英尺的繩子可以抬高多少。
根據勾股定理，h2 + 1802 = 180.52
球場中央到球門柱的距離是180英尺。如上圖所示，繩子抬至最高處之後，所構成的直角三角形的一條直角邊長為180英尺，斜邊長為180.5英尺。根據勾股定理，經過簡單的代數運算，就可以得出：
因此，大多數卡車都可以輕鬆地從繩子下方通過！
魔術時間到了！
在本章開頭，我為大家介紹了一個魔術，下面我再介紹一個根據幾何原理設計的魔術。勾股定理的大多數證明方法都是在保持面積不變的前提下重新排列幾何圖形的各個組成部分，從而得到一個不同的圖形。先請大家思考一個悖論。如下圖所示，把一個8×8的正方形分割成4塊（每塊的邊長都是3、5或8的斐波那契數列中的數字），然後重新排列，拼成一個5×13的矩形。（大家不妨自己動手試一試！）但是，第一個圖形的面積是8×8 = 64，第二個圖形的面積卻是5×13 = 65，這怎麼可能？問題出在哪裡呢？
一個面積為64的正方形可以重新排列成一個面積為65的矩形嗎？
奧秘就在那個5×13矩形的對角「線」上，它其實不是直線。例如，圖中三角形C的斜邊斜率為3/8 = 0.375（橫坐標增加了8，縱坐標增加了3），而圖形D（梯形）的斜邊斜率為2/5 = 0.4（橫坐標增加了5，縱坐標增加了2）。由於兩個斜邊的斜率不同，因此它們不會構成一條直線。此外，梯形A與三角形B也存在同樣的情況。仔細觀察下圖中的三角形，就會發現在兩條「近似對角線」之間，多出了一點兒面積。這些面積分佈在一個很長的區域內，大小正好是一個單位。
矩形多出來的那一個單位的面積就分佈在對角線周圍
我們在本章推導出關於三角形、正方形、矩形和其他多邊形的眾多屬性，這些屬性都建立在直線的基礎之上。如果我們研究的是圓和其他曲線類圖形，就需要借助三角學、微積分等更複雜的幾何概念，也無法迴避一個充滿吸引力的數字——π。
[1] 1英尺≒0.304 8米。——編者注
[2] 1英吋≒2.54厘米。——編者注