一條能繞地球一周的繩子
在上一章的開頭，為了測試大家在矩形及三角形等方面的幾何直覺能力，我提出了4個問題，最後一個問題是用繩子連接橄欖球場兩端的球門柱。本章將專門討論圓這種幾何圖形，請大家拿出一條繩子，用它環繞地球一周！
問題1：假設我們有一條剛好可以繞地球一周的長繩子（約為25 000英里[1]長）。在打結時，我們把繩子的長度增加10英尺。如果要求繩子距赤道的高度全部相同，這個高度應該是多少？
A）離地面不到1英吋。
B）正好可以讓人從下面爬過去。
C）正好可以讓人從下面走過去。
D）足夠一輛卡車從下方通過。
問題2：如下圖所示，X和Y是圓上的兩個固定點，Z是「優弧」（major arc，指X和Y之間的那條長弧，而不是短弧）上的一個點。要使∠XZY最小，點Z的位置如何確定？
A）點A（與X、Y的中點相對）。
B）點B（點X通過圓心的映射）。
C）點C（與點X盡可能接近）。
D）無所謂。無論點Z在什麼位置上，∠XZY都相同。
如何在X和Y之間的優弧上選取一點，使構成的角度數最大？∠XAY、∠XBY、∠XCY，還是所有角的度數都相同？
要解答這兩個問題，我們需要進一步瞭解圓的相關屬性。（即使沒有圓的相關知識，你也能找出這兩道題的正確答案，分別是B和D。但是，要弄清楚為什麼它們是正確答案，就需要對圓的知識有所瞭解。）如下圖所示，點O和正數r就可以定義一個圓：圓上的所有點與O的距離都是r。點O是「圓心」，r是圓的「半徑」。為方便起見，數學界把從點O至點P的線段
也稱作半徑。
圓心為O、半徑為r、直徑D = 2r的圓
冰激凌和比薩餅中的π
對於任意圓而言，直徑D是半徑的兩倍：
D = 2r
繞圓一周的長度叫作圓周，記作C。從上圖可以看出，由P沿圓周至Q的距離大於D，由Q沿圓周回到P的距離同樣大於D，因此C大於2D。仔細觀察的話，你甚至可以確定C比3D還要大一點兒。（不過，我們可能需要戴上三維眼鏡，才能看得清楚。太遺憾了！）
如果想比較圓形物體的周長與直徑之間的關係，我們可以用繩子繞物體一周，然後測量繩子的長度，再除以直徑就可以了。無論這個圓形物體是硬幣、玻璃杯的杯底、餐盤還是呼啦圈，我們最後都會得到：
C / D ≒ 3.14
我們把這個常量定義為π（讀作「pie」），表示圓的周長與直徑的比值：
π = C / D
對於任意圓，π的值都是相同的！當然，你也可以把上式變成任意圓的周長公式。對於周長為D（或半徑為r）的任意圓，都有：
C = πD或C = 2πr
π的值為：
π = 3.141 59…
在後文中，我們將給出π的更多位數的小數值，還將討論它的數字屬性。
延伸閱讀
有趣的是，人的眼睛在估算圓的周長時往往不太準確。比如，大家隨便找一個喝水用的大玻璃杯試一試。憑肉眼觀察，你能判斷出玻璃杯的高度和周長哪個更大嗎？大多數人覺得高度大於周長，但真實情況是周長大於高度。不信的話，大家可以伸出拇指和中指，測量一下杯子的直徑，就會發現杯子的高度不到直徑的3倍。
現在，我們可以回答本章開頭提出的問題1了。如果我們把地球的赤道看作一個標準的圓，周長C = 25 000英里，它的半徑就是：
不過，要回答這個問題，地球的半徑是多少並不重要，我們需要知道的是在周長增加10英尺的情況下，半徑會增加多少。如果周長增加10英尺，圓的大小會略有增加，半徑增加的量是10/(2π) = 1.59英尺。因此，繩子的高度只夠你從下方爬過去（除非你是凌波舞高手，否則你無法從繩子下方走過去）。令人驚訝的是，這個問題的答案竟然與地球的實際周長沒有任何關係。把地球換成其他星球或者任何尺寸的球體，答案都不會有變化！例如，如果圓的周長 C = 50英尺，它的半徑就是50/(2π) ≒ 7.96英尺。周長增加10英尺後，圓的半徑就會變成60/(2π) ≒ 9.55英尺，約增加1.59英尺。
延伸閱讀
下面，再向大家介紹圓的另一個重要特性。
定理：令X和Y為圓上完全相對的兩個點，那麼對於圓上的任意一點P，都有∠XPY = 90°。
例如，下圖中的∠XAY、∠XBY和∠XCY都是直角。
證明：連接O和P，設∠XPO = x，∠YPO = y。根據題意，我們需要證明 x + y = 90°。
由於
和是圓的半徑，長度都是r，因此三角形XPO是等腰三角形。根據等腰三角形定理，∠OXP = ∠XPO = x。同理，
也是半徑，且∠OYP = ∠YPO = y。由於三角形XYP的內角和為180°，也就是說2x + 2y = 180°，即 x + y = 90°。證明完畢。 
這條定理是「圓心角定理」的一個特例。在幾何學中，圓心角定理是我最喜歡的定理之一，我將在下一個「延伸閱讀」中詳細介紹這個定理。
利用圓心角定理，我們可以找出本章開頭的問題2的答案。令X和Y為圓上任意兩點。以X和Y為端點的弧有兩條，長的那條叫作優弧，短的那條叫作劣弧。圓心角定理指出，在X與Y之間的優弧上任取一點P，∠XPY的度數保持不變。具體來說，∠XPY的度數是圓心角∠XOY的一半。如果Q是X與Y之間的劣弧上的一點，則∠XQY = 180°–∠XPY。
例如，如果∠XOY = 100°，那麼X、Y與優弧上的任意點P構成的∠XPY = 50°，X、Y與劣弧上的任意點Q構成的∠XQY = 130°。
知道圓的周長之後，就可以推導出圓的一個重要公式：面積計算公式。
定理：半徑為r的圓的面積為πr2。
學校老師可能會要求我們死記硬背這個公式，但是，如果瞭解這個公式成立的理由，就可能會取得更令人滿意的效果。嚴謹的證明需要使用微積分知識，但即使不用微積分，也可以給出一個令人信服的證明過程。
證明方法1：如下圖所示，把圓看成一系列同心環。按圖中所示方向，從頂部向下切割這個圓，一直切至圓心處，然後將它展開，形成一個類似三角形的圖形。這個三角形的面積是多少呢？
半徑為r的圓的面積為πr2
底為b、高為h的三角形面積是
bh。上面這個類似三角形的圖形的底是2πr（圓的周長）、高是r（從圓心至該結構底部的距離）。隨著同心環的數量不斷增加，切開的圓與三角形越來越接近，因此圓的面積是：
bh =(2πr) (r) = πr2
證明完畢。
這麼美妙的定理，一定要反覆證明才行！這個證明方法把圓看作一個洋蔥，接下來我們把圓變成比薩餅。
證明方法2：將圓分成很多個大小相等的部分，然後將上、下半圓分成的部分穿插在一起。下圖顯示的是8等分和16等分的情況。
圓的面積為πr2的另一個證明方法（比薩餅法）
隨著等分的數量不斷增加，每等分的形狀與高為r的三角形越來越接近。將下半個圓分割而成的這些「三角形」（彷彿一排石筍）與上半個圓分割而成的「三角形」（像一排鐘乳石）穿插在一起，形成的圖形與矩形十分接近。矩形的高為r，底等於周長的1/2，即πr。（為了讓最後的圖形更像矩形，而不是平行四邊形，我們將最左邊的「鐘乳石」分成兩半，將其中一半移到最右邊。）等分數越多，最後得到的圖形就越接近矩形，因此圓的面積是：
bh = (πr) (r) = πr2
證明完畢。
我們經常需要描述圓的平面坐標圖。如下圖所示，以 ( 0, 0 ) 為圓心、以r為半徑的圓可以用方程式
x2 + y2 = r2
來表示。為什麼呢？我們令 (x, y) 為圓上的任意一點，然後畫一個直角邊長為x和y、斜邊長為r的三角形。根據勾股定理，我們知道x2 + y2 = r2。
以 (0,0) 為圓心、以r為半徑的圓的方程式為x2 + y2 = r2，面積為πr2
當r = 1時，上圖這個圓被稱為「單位圓」（unit circle）。如下圖所示，我們拉伸單位圓，使它在水平方向和垂直方向上分別變為原來的a倍和b倍，就會得到橢圓。
橢圓的面積為πab
橢圓的方程式為：
+
= 1
由於單位圓的面積是π，橢圓是單位圓拉伸ab倍後的結果，因此它的面積是πab。注意，當 a = b = r時，所得到的圖形就是半徑為r的圓。根據橢圓的面積公式πab，我們可以算出圓的面積，即πr2。
下面向大家介紹橢圓的幾個有趣的屬性。利用兩枚大頭針、一個線圈和一支鉛筆，就可以畫出橢圓。首先，將兩枚大頭針釘在紙上或硬紙板上，然後將線的兩頭固定在大頭針上，不要繃得太緊。如下圖所示，將鉛筆放到線圈的某個位置上並拉緊線圈，形成一個三角形，然後讓鉛筆運動一周。在運動的過程中，鉛筆要始終拉緊線圈。最終得到的圖形就是一個橢圓。
橢圓的焦點，即兩枚大頭針所在的兩個點，具有非常神奇的特性。如果你將一個彈珠或檯球放在其中一個焦點上，然後朝任意方向擊打它。這個彈珠或檯球在橢圓上反彈一次之後，運動方向就會朝向橢圓的另一個焦點。
行星、彗星等天體的運行軌道都是橢圓形的。
延伸閱讀
有意思的是，橢圓的周長沒有一個簡單的計算公式。但是，數學界的天才人物拉馬努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920）找到了下面這個美妙的計算公式。以前文中描述的橢圓為例，它的周長約為：
注意，當 a = b = r時，上式就會變成π( 6r –
) =2πr，與圓的周長計算公式不謀而合。
在三維物體中也能發現π的身影。以圓柱體（例如，一盒罐頭）為例。半徑為r、高為h的圓柱體體積（即該物體所佔空間大小）是：
V圓柱體 = πr2h
這個公式顯然是成立的，因為我們可以把圓柱體看作由面積為πr2的圓不停疊加（就像飯店經常把圓形杯墊疊放成一摞）形成的高為h的物體。
那麼，圓柱體的表面積怎麼計算呢？換句話說，把圓柱體的表面（包括頂面和底面）刷上油漆，需要多少呢？這個答案無須記憶，因為把圓柱體分成三個部分，就可以輕鬆地找到答案。頂面和底面的面積都是πr2，加起來就是2πr2。在求剩下部分的面積之前，我們將圓柱體從上向下切開，展開後就會得到一個底為2πr、高為h的矩形。也就是說，圓柱體的側面面積就是這個矩形的面積，即2πrh。因此，圓柱體的表面積為：
A圓柱體 = 2πr2 + 2πrh
球體是一個三維物體，球面上的所有點到球心的距離都相等。半徑為r的球體體積是多少呢？這樣的球體可以被裝進半徑為r、高為2r的圓柱體之中，因此它的體積必然小於πr2(2r) = 2πr3。運氣好的話，你會發現它正好是圓柱體體積的2/3（當然，微積分也可以幫你找到這個答案）。換句話說，球體的體積是：
V球體 =
πr3
球體的表面積計算公式非常簡單，不過推導過程卻非常複雜：
A球體 = 4πr2
接下來，我要告訴你們，在冰激凌和比薩餅中也能找到π。想像你的手裡正拿著一個圓筒冰激凌，它的高是h，頂部的那個圓的半徑是r。如下圖所示，令圓筒的尖頭到該圓上任意一點的「斜高」（slant height）為s。（根據勾股定理，可以算出s的值，因為 h2 + r2 = s2。）
圓錐體的體積是πr2h/3，表面積是πrs
這樣的圓錐體可以被放到半徑為r、高為h的圓柱體裡面，因此，它的體積小於πr2h並不是一件奇怪的事。但是，如果我說它的體積正好是圓柱體體積的1/3，大家肯定會感到吃驚（不借助微積分的話，我們憑直覺無法發現這個秘密）。換句話說：
V圓錐體 =
πr2h
儘管不使用微積分也可以推導出圓錐體的表面積計算公式，但我還是直接把這個公式介紹給大家，讓大家盡情領略其簡約之美吧：
A圓錐體 = πrs
最後，我送給大家一個美味的比薩餅。如圖所示，它的半徑是z，厚度是a，請問它的體積是多少？
半徑是z、厚度是a的比薩餅體積是多少？
這個比薩餅可以被視為一個比較少見的圓柱體，半徑為z，高度為a，因此它的體積是：
V = πz2a
大家看出這個答案中暗藏的玄機了嗎？如果沒有，我再寫一遍：
V = pi z z a
π的身影隨處可見
我們前文中介紹的這些面積、周長和體積公式之中都有π的身影，對此我們不會感到奇怪。但是，在很多我們意想不到的數學領域，竟然也可以看到這個神奇的數字。例如，我們在本書第4章討論的 n!。n!的主要作用是統計某些離散量，與圓沒有任何特殊關係。我們知道這個數字的增長速度非常快，而且還沒有一個有效捷徑可以快速算出它的具體數值。例如，我們仍然需要進行數千個乘法運算才能算出100 000!的數值。但是，我們可以利用「斯特林公式」（Stirling』s approximation），估計 n! 的近似值：
其中，e = 2.718 28…（也是一個非常重要的無理數，我們將在本書第10章對它進行詳細討論）。例如，用電腦計算64!，可以得出：64! = 1.269×1089。根據斯特林公式，
。（計算某個數的64次冪，是否有簡便方法呢？有的！因為64 = 26，因此我們只需要對64 / e進行6次平方運算就可以了。）
著名的「鍾形曲線」（bell curve），如下圖所示，在統計學以及所有的實驗科學中都可見到。它的高是
，關於它的其他特性，我們將在本書第10章再做具體討論。
鍾形曲線的高是
一些無窮級數求和問題中也常常可以看到π。萊昂哈德·歐拉第一個找到了正整數倒數的平方求和公式：
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + … = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6
如果上式各項再進行一次平方運算，就可以得到正整數倒數的4次冪的求和公式：
1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 + … = π4/90
事實上，人們已經找到了正整數倒數的偶數次冪（2k）的求和公式，即π2k與某個有理數的乘積。
正整數倒數的奇數次冪的求和公式呢？我們將在本書第12章證明正整數倒數的和是無窮大的，但是它們高於1次的奇數次冪之和，例如3次冪：
1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + … = ?
這個結果並非無窮大。不過，至今還沒有人找到一個簡便的求和公式。
奇怪的是，π還出現在一些與概率有關的問題中。例如，如果你隨機選擇兩個非常大的數字，它們沒有公共的質因數的概率比60%大一點兒。具體來說，這個概率是6/π2 =0 .607 9…，正好是某個無窮級數和的倒數。
π的近似值
如果仔細測量，我們也可以通過實驗的方式得出π的值比3大一點兒的結論。但是，我們難免會想到兩個問題：如果沒有實際測量數據，我們可以證明π的值與3比較接近嗎？是否可以用某個分數或者簡單的公式來表示π的值呢？
第一個問題的答案是肯定的。畫一個半徑為1的圓，我們知道這個圓的面積是π×12 = π。在下圖中，我們畫了一個邊長為2的正方形，並把圓完全包圍起來。圓的面積肯定小於正方形的面積，由此可證π< 4。
3 < π < 4的幾何證明
與此同時，這個圓還包含一個六邊形，且六邊形的頂點均勻地分佈在圓周上。這個內接六邊形的周長是多少呢？我們可以將該六邊形分割成6個三角形，分別包含一個圓心角360°/6 = 60°，且有兩條邊是圓的半徑（長度為1），因此這些三角形都是等腰三角形。根據等腰三角形定理，另外兩個角相等，也都是60°。因此，這些三角形都是等邊三角形，且邊長為1。六邊形的周長是6，小於圓的周長2π。也就是說，6 < 2π，即π > 3。綜合前面的幾何證明，就有：
3 < π < 4
延伸閱讀
我們可以增加多邊形的邊數，從而把π的值限定在更小的範圍之內。例如，如果把包圍圓的正方形改成六邊形，就可以得出 π < 2
= 3.46…
同樣，這個六邊形可以分割成6個等邊三角形，每個等邊三角形又可以分割成兩個全等的直角三角形。如果這些直角三角形較短的直角邊長為x，那麼它的斜邊長就是2x。根據勾股定理，x2 + 1 = (2x)2。解方程式就可以求出x的值：x = 1/。也就是說，六邊形的周長是12 / = 4。由於六邊形的周長大於圓的周長2π，因此π < 2。（有趣的是，如果比較圓與六邊形的面積，也會得出相同的結果。）
偉大的古希臘數學家阿基米德（公元前287~公元前212）利用這個結果，把內接和外切多邊形的邊數增加至12、24、48和96，最終證明3.141 03 < π < 3.142 71。這個不等式也可以寫成下面這種更加清楚明瞭的形式：
3
< π < 3
很多分數都可以用來近似表示π的值。例如：
我最欣賞的是最後一個分數，它不僅正確地給出了π的小數點後的6位小數，而且整個分數重複使用了前三個奇數（1、3、5各出現兩次），這三個奇數還是按先後次序排列的！
利用分數準確地表示π的值，自然是一個令人感興趣的課題（當然，這個分數的分子和分母都必須是整數，否則這個問題就太簡單了，比如π =
）。1768年，約翰·海因裡希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）證明這個任務是無法完成的，因為他發現π是一個無理數。那麼，它是否可以寫成某個數的平方根或者立方根的形式呢？例如，
= 3.162…就與π的值非常接近。但是，1882年，費迪南德·馮·林得曼（Ferdinand von Lindemann）證明π不僅是一個無理數，還是一個「超越數」（transcendental number），也就是說，它不是任何整數係數多項式的根。例如，
是無理數，但它不是超越數，因為它是多項式x2 – 2的一個根。
儘管π不能表示成分數的形式，但它可以表示成分數的和或者乘積，前提是需要使用無窮多個分數！例如，我將在本書第12章告訴大家：
π = 4 (1 – +
– +
–
+ …)
上述公式非常美觀，但在計算π的值時卻沒有多大的實際價值，因為即使在300項之後，計算結果與π的接近程度還不如22/7。下面，我再向大家介紹一個令人吃驚的公式——「沃利斯公式」（Wallis』s formula）。這個公式將π表示為無窮乘積的形式，儘管它也是在很多項之後才趨近於π的值。
π = 4 (
× ×
×
×
×
×
…)
=4 ( 1 – ) ( 1 –
) ( 1 –
) ( 1 –
)…
關於圓周率的超級記憶法
很多年來，π牽動著無數人的心（它還是檢測超級計算機的計算速度與準確率的一個手段）。截至目前，π的值已經被精確到小數點後好幾萬億位了。當然，我們不需要這麼高的精確程度。只要將π的值精確到小數點後第40位，就可以將已知宇宙空間的周長精確到氫原子半徑的程度。
人們對π的追逐幾乎已經達到了狂熱的程度。3月14日被許多人視為「圓周率日」（因為這一天可以寫成3.14的形式），還正好是艾爾伯特·愛因斯坦的生日。每年的這一天，很多人都會以π的名義舉行慶祝活動。通常，在圓周率晚會上，人們會展示、品嚐以數學為主題的餡餅，裝扮成愛因斯坦的模樣，當然，少不了背誦圓周率比賽。學生們通常會記住π的小數點後的幾十位數字，但是比賽的獲勝者卻能背出上百位。順便告訴大家，目前背誦圓周率的世界紀錄保持者是中國的呂超，他在2005年背誦圓周率至小數點後67 890位！據《吉尼斯世界紀錄大全》稱，呂超為此準備了4年時間，背出這些數字所花的時間超過24個小時。
下面我為大家列出圓周率的前100位數字：
π = 3. 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067…
長期以來，為了記憶圓周率，人們發揮創造力，想出了各種各樣的辦法。有的人使用造句的方法，借助句子中每個單詞的字母數來記憶圓周率。其中廣為人知的句子有：「How I wish I could calculate pi（這句話對應圓周率的前7位數字3.141 592）」[2] 「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum machanics（這句話對應圓周率的前15位數字）」。
最令人難忘的是邁克·基斯（Mike Keith）於1995年提出的一個方法:一首以埃德加·愛倫·坡的《烏鴉》（The Raven）為原型寫作的詩歌。通過它，人們可以輕鬆記住圓周率的前740位數字。詩的標題加上第一節，對應42個數字，其中「disturbing」這個單詞包含10個字母，對應數字0。
Poe, E. Near a Raven
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap—the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber』s antedoor.
「This,」 I whispered quietly, 「I ignore.」
基斯再接再厲，把他的詩作升級為可以輔助記憶圓周率的前3 835位數字的「Cadaeic Cadenza」。（注意，如果把c換成3，a換成1，d換成4，諸如此類，「cadaeic」就會變成3.141 593。）它的開頭是《烏鴉》的仿寫詩歌，後面還有其他詩歌[例如劉易斯·卡羅爾的《廢話》（Jabberwocky）]的仿寫詩。最近，基斯又完成了他的新作：Not a Wake: A Dream Embodying π』s Digits Fully for 10 000 Decimals（注意各單詞的長度）。
用單詞的長度來幫助記憶圓周率的方法有一個非常明顯的問題：即使你能記住這些句子、詩歌或者故事，但要立即說出每個單詞包含多少個字母，並不是一件輕而易舉的事。我想要告訴大家：「How I wish I could elucidate to others. There are often superior mnemonics!」（我希望大家明白：巧妙出色的記憶方法比比皆是。）
我最喜歡的記憶數字的方法名叫「基本記憶系統」（major system）。這種記憶法將每個數字與一個或多個輔音對應起來，具體如下：
1 = t或d
2 = n
3 = m
4 = r
5 = l
6 = j、ch或sh
7 = k或g
8 = f或v
9 = p或b
10 = s或z
人們甚至想出了一些辦法，幫助我們記住這種記憶法。我的朋友托尼·馬洛什科維普斯（Tony Marloshkovips）給出了這樣一些建議：字母t（或者與之發音比較接近的字母d）向下的筆畫只有1筆；n有2筆向下；m有3筆向下；「four」（4）最後一個字母是r；伸出5根手指，大拇指和食指就會構成一個l；反寫的「6」看上去像j；兩個「7」湊到一起可以形成一個k；溜冰時經常會留下一個數字（figure）「8」；將「9」翻過來倒過去就會得到p或者b；「zero（0）」的首字母是z。如果你不喜歡這些方法，你也可以將上面這些輔音字母按次序串起來，就會得到我的（虛擬）好友托尼·馬洛什科維普斯的英文名字。
利用這個編碼系統，我們可以在輔音中插入元音，從而把數字變成單詞。例如，數字31對應的輔音是m和t（或者m和d），它可以變成下面這些英語單詞：
31 = mate，mute，mud，mad，maid，mitt，might，omit，muddy
注意，像「muddy」「mitt」這樣的單詞是可以接受的，因為d或t這兩個發音只出現一次，所以拼寫時有幾個字母出現並不重要。由於h、w和y等輔音沒有出現在編碼表中，因此它們可以像元音一樣自由使用。也就是說，我們還可以把31變成「humid」「midway」等單詞。注意，儘管一個數字經常可以變成不同的單詞，但每個單詞只代表一個數字。
圓周率π的前三位數對應的輔音是m、t和r，它可以變成以下單詞：
314 = meter，motor，metro，mutter，meteor，midyear，amateur
圓周率的前5位數314 15可以變成「my turtle」。同理，我們可以把π的前24位數314 159 265 358 979 323 846 264變成：
My Turtle Pancho will, my love, pick up my new mover Ginger
之後的17位數338 327 950 288 419 71則變成：
My movie monkey plays in a favorite bucket
我很喜歡再接下來的19位數，即693 993 751 058 209 749 4，因為這些數字可以變成一些比較長的單詞：
Ship my puppy Michael to Sullivan』s backrubber
隨後的18位數，即459 230 781 640 628 620，可以變成：
A really open music video cheers Jerry F. Jones
之後的24位數，即899 862 803 482 534 211 706 7，可以變成：
Have a baby fish knife so Marvin will marinate the goose chick!
就這樣，我們把圓周率π的前100位數字變成了5個莫名其妙的英文句子！
基本記憶法用來記憶日期、電話號碼、信用卡賬號等非常有效。大家可以試試看，只需稍加練習，你的數字記憶能力就會大大增強。
數學界一致認為π是數學領域中最重要的數字之一。但是，仔細研究那些包含π的公式和應用，就會發現在大多數情況下，π都會被乘以2。因此，人們引入了希臘字母τ（讀作「tao-wu」），並規定:
τ = 2π
很多人認為，如果時光可以倒流，數學公式和三角學的重要概念中可能不會出現π，而代之以更簡單的τ。鮑勃·帕萊（Bob Palais）與邁克爾·哈特爾（Michael Hartl）分別寫作文章（《π是錯誤的》《τ宣言》），以簡潔巧妙又輕鬆愉快的語言闡釋了這種想法。他們認為，圓是用半徑來定義的，圓的周長與半徑之比是 C / r = 2π = τ，並以此作為「核心論點」，提出了改弦更張的要求。現在，有的教科書被加上了「允許使用τ」的說明，所以在公式中會同時出現π和τ。（很多教師和學生都認為，儘管使用新的常量可能會引起一些麻煩，但是τ使用起來確實比π更方便。）這項運動在接下來的幾十年裡會有什麼樣的進展呢，我們不妨拭目以待。τ的擁護者們（自稱「擁τ派」）堅信真理掌握在他們手中，但是他們經常自詡寬宏大量，表示可以容忍傳統的做法。
下面，我將給出τ的前100位數，為後文中出現的記憶法做準備。請注意，τ的前三個數字6和28都是完全數（參見本書第6章）。這是不是巧合呢？當然是巧合，但至少是一種很有意思的巧合。
τ= 6.283 185 307 179 586 476 925 286 766 559 005 768 394 338 798 750 211 641 949 889 184 615 632 812 572 417 997 256 069 650 684 234 135…
2012年，13歲的伊森·布朗（Ethan Brown）在一個基金項目成立活動上背誦出τ的前2 012位數，創造了一項世界紀錄。他使用的就是語音編碼記憶法，不過他沒有編寫長句子，而是創作了一幅幅視覺圖像，每個句子都包含主語、謂語（全部是進行時）和賓語。例如，τ的前7位數628 318 5，變成「An ocean vomiting a waffle」。下面是他為τ的前100位數創作的視覺圖像：
An ocean vomiting a waffle（大海嘔吐出一塊華夫餅）
A mask tugging on a bailiff（面具戴在法警臉上）
A shark chopping nylon（鯊魚正在撕咬尼龍）
Fudge coaching a cello（軟糖在指導大提琴演奏）
Elbows selling a couch（手肘在銷售長沙發）
Foam burying a mummy（泡沫在埋一具木乃伊）
Fog paving glass（霧在鋪玻璃）
A handout shredding a prop（救濟品壓垮了支柱）
FIFA beautifying the Irish（國際足聯美化愛爾蘭隊）
A doll shooing a minnow（布娃娃用噓聲趕走米諾魚）
A photon looking neurotic（光子看望神經病人）
A puppy acknowledging the sewage（小狗承認自己隨地大小便）
A peach losing its chauffeur（桃子與它的司機走散了）
Honey marrying oatmeal（蜂蜜嫁給了麥片）
為了讓這些視覺圖像更易於記憶，布朗還採用了「記憶宮殿」（memory palace）法，想像自己正在學校裡漫步，沿著走廊走進不同的教室，每個教室裡都有3~5個對象，它們正在做一些莫名其妙的事情。最終，他把這些數字變成了60個場所裡發生的272個視覺圖像。他為背誦這2 012位數字準備了4個月的時間。最終，他用時73分鐘完成了這項任務。
在本章結束之前，我們為π舉行一場音樂慶典吧。我這樣說，是為了給拉裡·萊塞的仿寫詩歌《美國派》（American Pi）增加一點兒抒情的味道。下面這首歌大家只能唱一遍，因為π不是循環小數。
很久很久以前，
我依然記得，數學課讓我昏昏欲睡，
因為我們遇到的所有數字，
要麼是有盡的，要麼是循環小數，
但是，也許有的數字會不一樣吧？
就在這時，老師說：「你能不能
計算出這個圓的面積？」
儘管我費了九牛二虎之力，
也無法用分數來表示這個數值。
我不記得自己是否流下了眼淚，
我不停地嘗試，不斷縮小範圍。
但是，某個東西觸動了我的心靈深處，
那一天，我第一次知道了！
π，π，數字π，
22/7是一個非常棒的嘗試。
你也許希望找到一個準確的分數，
但是，它的小數展開永不止步，
它的小數展開永不止步。
π，π，數字π，
3.141 592 653 589。
你也許希望找到一個準確的分數，
但是，它的小數展開永不止步！
[1] 1英里≒1.609 3千米。——編者注
[2] 這是借助句子中每個單詞的字母數來記憶圓周率的一個例子，若譯成中文則無法說明問題，所以保留英文。本章後文中出現的英文詩歌、句子、代碼也是同樣的用途。——編者注