數字的美妙規律
數學學習始於數字。在我們學會數數，以及利用文字、數字和實物來表示數的概念之後，學校老師就會教我們通過加、減、乘、除等運算程序擺弄這些數字，而且這個過程會持續多年。但是，我們往往不會注意到這些數字本身就具有某些神奇的魔力，稍加研究，便會給我們帶來無窮的樂趣。
以數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯（Karl Friedrich Gauss）小時候遇到的一個問題為例。一天，為了在自己處理其他事務時也讓學生們有事可做，高斯的老師給全班同學佈置了一個繁重的計算任務，要求他們求出從1至100的所有數字的和。結果，高斯很快就寫出了答案——5 050，讓老師和其他同學大為震驚。他是怎麼得出這個答案的呢？高斯默想著把從1至100的所有數字分成兩行，1至50按從小到大的順序位於第一行，51至100按從大到小的順序位於下面一行，如下圖所示。高斯發現，每一列的兩個數字的和都等於101，因此所有數字的總和就是50×101，等於5 050。
將1~100的數字分為兩行，每一列的兩個數字的和都為101
後來，高斯成了19世紀最偉大的數學家，這並不是因為他善於心算，而是因為他可以讓數字展現出優美的舞姿。我們將在本章探討很多有趣的數字規律，以瞭解數字是如何跳出美麗的舞蹈的。其中，有的規律可以幫助我們提高心算的速度，有的則會給我們帶來美的享受。
我們在前文中用高斯的方法計算了前100個數字的和，如果我們需要計算前17個、1 000個或者100萬個數字的和，該怎麼辦呢？事實上，我們可以利用高斯的方法，計算前n個數字的和，n可以取任意值。有人可能會覺得數字過於抽像，那麼我們可以結合圖形來表示這個過程。如下圖所示，由於1、3、6、10和15等數字可以用相應個數的小圓圈表示，這些小圓圈又可以排列成三角形，因此我們把這些數字稱作「三角形數」（triangular number）。（也許你認為一個圓圈無法構成一個三角形，但1還是被視為三角形數。）根據三角形數的定義，第n個三角形數為1 + 2 + 3 + … + n。
前5個三角形數是1、3、6、10和15
請注意觀察，如果把兩個三角形並排放置，如下圖所示，會出現什麼樣的結果呢？
在這個矩形中，一共有多少個小圓圈？
這個由兩個三角形構成的矩形共包含5行和6列小圓圈，總數為30個。因此，每個三角形所包含的小圓圈數應該是矩形的1/2，也就是15個。當然，這個結果我們早已知道。但是，上述方法表明，如果我們把包含n行小圓圈的兩個三角形放到一起，那麼所得到的矩形包含n行和n + 1列小圓圈，也就是n×(n+1)個〔通常簡寫為n（n+1）個〕。於是，前n個數字的求和公式就這樣被推導出來了：
請大家回想一下這個推導過程。通過求前100個數字的和，我們找出一個規律，然後加以推廣，就可以處理同一類型的所有問題。如果要求從1至100萬的所有數字的和，只需兩步就可完成：1 000 000乘以1 000 001，再除以2！
一旦你找到了一個數學公式，其他公式常常會自動地出現在你的眼前。例如，如果我們把上述方程式的兩邊同時乘以2，就會得出前n個偶數的求和公式：
2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)
那麼，前n個奇數的和是多少呢？讓我們看看數字會給我們哪些提示。
前n個奇數的和是多少？
等號右邊的數字都是「完全平方數」（perfect squares）：1 × 1，2 × 2，3 × 3，等等。不難看出，前n個奇數的和似乎是n × n，記作n2。但是，如何確定這個結果不是一種暫時性的巧合呢？我們將在第6章通過幾種方法來推導出這個公式。不過，我們應該可以找到一個非常簡單的方法，解釋這個並不複雜的規律。我最喜歡使用的證明方法仍然是計算小圓圈的個數，這個方法還會告訴我們像25這樣的數字為什麼又叫完全平方數。前5個奇數的和為什麼是52呢？看看下圖中邊長為5的正方形，你就知道了。
正方形中共包含多少個小圓圈？
這個正方形共包含5×5=25個小圓圈。接下來，我們換一種方法來數上圖中的小圓圈的個數。我們從左上角的第一個小圓圈開始數，它依次被3個、5個、7個和9個小圓圈包圍，即：
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
如果正方形的邊長是n，我們就可以把它分成n個大小分別是1，3，5，…，(2n – 1)的L形區域（開口朝向左上角）。於是，我們得出前n個奇數的求和公式：
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2
延伸閱讀
我們將在本書後面的章節中看到，高等數學可以利用這種統計小圓圈個數的方法（以及通過兩種不同方法回答一個問題的常規做法），得出一些非常有意思的結果。不過，我們也可以借助這種方法去理解初等數學，例如，為什麼3 × 5 = 5 × 3。小時候，老師告訴我們，因數的先後次序不會影響乘積的大小（這在數學領域被稱為乘法交換律）。我相信，你們當時根本沒有懷疑它的準確性。但是，每袋裝5枚彈珠、共3袋，和每袋裝3枚彈珠、共5袋，彈珠的總數為什麼一樣多呢？數一數3 × 5的矩形中小圓圈的個數，就能理解其中的道理了。按行統計，我們看到一共有3行，每行有5個小圓圈，所以小圓圈的個數是3 × 5。但是，如果按列計算，那麼一共有5列，每列3個小圓圈，因此小圓圈的個數是5 × 3。
為什麼3 × 5 = 5 × 3？
利用奇數和的規律，我們還可以發現一個更加優美的規律。如果我們的目標是讓這些數字跳舞，那麼它們應該跳的是「方塊舞」（square dancing）。
你發現其中的規律了嗎？每行數字的個數很容易數清楚，分別是3、5、7、9、11，等等。然而，下面這個規律卻可能是大家想不到的。每行的第一個數字是多少？從前5行看，分別是1、4、9、16、25，它們都是完全平方數。為什麼呢？我們以第5行為例。在第5行之前，一共出現了多少個數字？數一數前4行的數字，共有3 + 5 + 7 + 9個。在這個和的基礎上加1，就可以得到第5行的第一個數字，所以，這個數字就是前5個奇數的和，即52。
接下來，我們不用求和的方法，證明第5個等式成立。如果高斯遇到這種情況，他會怎麼做呢？我們先不看這行的第一個數，也就是25，那麼等號左邊只剩下5個數，而且它們分別比等號右邊的5個數小5。
第5個等式左右兩邊數字的比較
因此，等式右邊5個數的和比等式左邊除25之外的5個數的和大25。但是，兩者之間的差正好被等式左邊的第一個數字25彌補了，因此等式成立。利用同樣的方法完成一些代數運算就可以證明，即使行數無限增加，這個規律也依然存在。
延伸閱讀
下面，我把這些代數運算介紹給大家，如果你不感興趣，可以略過不看。在第n行之前，有3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2– 1個數字，因此第n行的第一個數字是n2，後面有n個連續的數字，從n2 + 1至n2 + n。等式右邊有n個連續的數字，從n2 + n + 1至n2 + 2n。如果先不考慮等式左邊的第一個數字n2，就會發現等式右邊的n個數字分別比等式左邊對應的n個數字大n，因此兩者的差是n × n，即n2。如果加上左邊第一個數字n2，等式就成立了。
我們再討論另外一個規律。我們已經知道，可以利用奇數得到平方數。現在，我們把下圖大三角形中的所有奇數相加，看看得數有什麼規律。
奇數三角形
我們發現3 + 5 = 8，7 + 9 + 11 = 27，13 + 15 + 17 + 19 = 64。數字1、8、27和64有什麼共同點呢？它們都是「完全立方數」（perfect cubes）！例如，將第5行的5個數字相加，就會得到
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5×5×5 = 53
這個規律似乎表明，第n行所有數字的和是n3。這是一個永恆的規律，還是一個奇特的巧合呢？為了理解這個規律，我們觀察第1、3、5行，看看每行正中間的那個數字有什麼特點。可以看到，這三個數字分別是完全平方數1、9和25。第2行和第4行的正中間不是數字，但是加號左右兩邊的兩個數字分別是3、5和15、17，它們的平均數分別是4和16。這個規律如何加以利用呢？
查看第5行我們就會發現，這5個數字關於25左右對稱。因此無須相加，我們就可以知道它們的和是53。這是因為這5個數的平均值是52，它們的和是52 + 52 + 52 + 52 + 52 = 5 ×52，即53。同理，第4行中4個數字的平均值是42，因此它們的和必然是43。通過一些代數運算（這裡不再贅述），我們就能證明第n行中n個數字的平均值是n2，它們的和是我們預期的n3。
關於立方數和平方數，我再給大家介紹一個規律吧。從13開始，將所有數字的立方數相加，這個和有什麼特點呢？
自然數的立方和肯定是一個完全平方數
自然數的立方和分別是1、9、36、100、225，等等，它們都是完全平方數。而且，這些完全平方數還具有某種特點：它們是1、3、6、10、15…的平方數，而這些數字又都是三角形數！前文中已經討論過，這些三角形數都是整數的和，因此
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 =(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
換句話說，前n個自然數的立方和等於前n個自然數的和的平方。現在，我們還不能證明這個結論是正確的，在第6章中我將為大家介紹兩種相關的證明方法。
又快又準的心算法
看著數字的這些規律，有人禁不住會問：「這些規律確實很有意思，但是它們有什麼用處呢？」對於這樣的問題，任何藝術家都會嗤之以鼻，因為在他們眼中，這些優美的規律本身就是一種美！大多數數學家也會有同樣的反應。而且，對這些規律的理解越深入，就越能體會其中蘊藏的美。有的規律不僅優美，還可以用來解決某些實際問題。
下面以一個我年輕時發現的簡單規律為例。這個發現讓我非常開心，儘管我並不是發現這個規律的第一人。當時，我正在求解和為20的兩個數字（例如10和10，9和11）的最大乘積。我發現，當這兩個數字都是10時，它們的乘積可能是最大的。結果，下圖揭示的規律證實了我的猜想。
和為20的兩個數字的乘積
這個規律沒有任何錯誤。隨著兩個數字之間的差不斷增大，它們的乘積卻越來越小。這些乘積與100的差是多少呢？答案是1、4、9、16、25，也就是12、22、32、42、52，以此類推。這個規律是不是始終有效呢？我決定驗證一下和為26的兩個數字是否也符合這個規律。
和為26的兩個數字的乘積
同樣，當這兩個數字相等時，它們的乘積最大，而且這些乘積與169的差依次為1、4、9，等等。在驗證了幾次之後，我確信這個規律是正確的。（我會在下文中用代數方法證明它。）然後我發現，我可以用這個規律快速地完成平方運算。
假設要計算13的平方數。我們無須直接計算13 × 13，而可以進行更簡單的計算：10×16 = 160。這個得數與正確答案已經非常接近了。由於這兩個因數與13分別相差3，因此還需要在它們乘積的基礎上加上32。即
132 =(10×16) + 32 = 160 + 9 = 169
再試一次，利用這個方法計算98 × 98。一個因數加上2等於100，另一個因數減去2等於96，在100×96的乘積基礎上加上22。即
982 =(100×96) + 22 = 9 600 + 4 = 9 604
如果某個數的個位數是5，進行平方運算時就會特別簡單，因為該數字分別加、減5之後，兩個因數的個位數都是0。例如：
352 =(30×40) + 52 = 1 200 + 25 = 1 225
552 =(50×60) + 52 = 3 000 + 25 = 3 025
852 =(80×90) + 52 = 7 200 + 25 = 7 225
現在，試試看如何計算592。因數59分別加、減1之後，算式就變為：592 = (60 × 58) + 12。但是，60 × 58怎麼心算呢？答案是：由左至右。先忽略60後面的那個0，用從左至右的方法計算6 × 58：6 × 50 = 300，6 × 8 = 48。然後，把這兩個數字（從左至右）相加，得到348。因此，60 × 58 = 3 480。那麼
592 =(60×58) + 12 = 3 480 + 1 = 3 481
延伸閱讀
下面，我們通過代數運算來解釋其中的道理。（在你讀完第2章關於平方差的內容之後，再回過頭來看這部分內容，效果可能會更好。）
A2 = (A + d) (A–d) + d2
其中A是平方運算的底數，d是A與離其最近的簡便數字的差（當然，d取任意值時，上述公式都成立）。例如，計算59的平方數時，A = 59，d = 1。根據公式，計算(59 + 1)×(59–1) + 12就可以得出答案。
在你對兩位數的平方運算感到得心應手之後，還可以利用這個方法完成三位數的平方運算。例如，如果我們知道122 = 144，那麼
1122 = (100×124) + 122 = 12 400 + 144 = 12 544
如果乘法運算中的兩個因數都與100接近，就可以利用類似方法完成計算。第一次看到這個方法時，大家都會覺得它很神奇。以104×109為例。如下圖所示，我們在每個數字旁邊寫上該數字與100的差。然後，將第一個數字與第二個差相加，即104 + 9 = 113。再將兩個差相乘，即4×9 = 36。最後，將這兩個運算步驟的得數寫到一起，答案就會神奇地出現在你的眼前。
計算兩個接近100的數字乘積的神奇算法（以104×109 = 11 336為例）
第2章將進一步介紹類似的例子，並利用代數方法討論其中的道理。不過，既然提到心算，我就多說幾句。我們花了大量時間學習紙筆計算，但在心算方面投入的時間卻很少。然而，在大多數現實情況下，我們需要的可能不是紙筆運算能力，而是心算能力。對於數額較大的運算，我們大多會用計算器得到確切答案，但在看營養成分表或者聽演講、銷售報告時，我們通常不會掏出計算器，而是在心裡對某些重要數字進行大致的估算。學校教給我們的那些方法往往只適用於紙筆運算，而心算效果通常不是很好。
各種快速心算的方法可以寫成一本書，但我在這裡僅介紹一些最基本的策略。我覺得需要再三強調的一個做法是從左至右計算。心算是一個不斷追求簡便化的運算過程。遇到一個難題時，我們應該把它轉化成多個比較簡單的問題，直到最後得出答案。
加法心算
請思考下面這道題：
314 + 159
（我用橫式給出這道題，目的是不讓你進入紙筆運算模式。）先在314的基礎上加上100，以降低題目的難度：
414 + 59
在414的基礎上加上50，以進一步降低難度，使它變成我們可以輕鬆解決的問題：
464 + 9 = 473
以上就是加法心算的本質所在。除此之外，我們偶爾還會採用的一個有效方法，就是把較難的加法問題變成較簡單的減法問題。在計算零售商品的價格時，我們經常需要採用這個方法。例如，請計算：
23.58美元 + 8.95美元
8.95美元比9美元少5美分，因此我們可以先在23.58美元的基礎上加上9美元，再減去5美分。通過這個方法，這道難題就變簡單了：
32.58美元 – 0.05美元=32.53美元
減法心算
做減法心算時，最常用的重要策略是增大減數。例如，當減數是9時，更簡單的方法是先減去10，再加上1。例如：
83 – 9 = 73 + 1 = 74
再例如，當減數是39時，先減去40，再加上1的計算方法可能會更簡便。
83 – 39 = 43 + 1 = 44
如果減數是兩位以上的多位數，心算時就需要使用一個非常重要的概念——「補數」（complements）。某個數的補數是這個數與它最近的「約整數」（round number）之間的差。一位數的補數就是該數與10之間的差，例如，9的補數是1。兩位數的補數是該數與100的差。下面是幾組和為100的數字，能看出其中有什麼特點嗎？
互補的兩位數相加，和為100
我們說87的補數是13，75的補數是25，以此類推。反之，13的補數是87，25的補數是75。從左至右仔細研究這5道題，就會發現所有題目（最後一道題除外）中最左邊的數字相加等於9，最右邊的數字相加等於10。只在兩個數字的個位數都是0（例如，最後一道題）時，才會出現例外結果。例如，80的補數是20。
請利用上述方法計算1 234 – 567的得數。在進行紙筆運算時，這道題不會讓人覺得多有意思。但是，如果利用補數來計算，就會把比較難的減法問題變成比較容易的加法問題！當減數是567時，我們先減去600。這個運算不難，如果從左至右思考，就更簡單了：1 234 – 600 = 634。但是，你把減數變大了，大了多少呢？想一想，567與600相差多少？這與67和100的差是一樣的，都是33。
1 234 – 567 = 634 + 33 = 667
請注意，這道加法題特別簡單，因為它不涉及「進位」（carries）。利用補數做減法計算時，通常都不需要進位。
三位數的補數也有類似特點。
互補的三位數相加，和為1 000
在大多數情況下（個位數不是0），兩個互補的三位數對應數位上的數相加之和是9，但最後一位數字相加之和是10。以789和211為例，7 + 2 = 9，8 + 1 = 9，9 + 1 = 10。在找零錢時，運用這個方法就會非常方便。例如，我從附近熟食店買的三明治價格是6.76美元。如果我付給收銀員10.00美元，他應該找給我多少錢呢？計算過程十分簡單，就是找到676的補數，即324。因此，熟食店應該找給我3.24美元。
延伸閱讀
我每次買這種三明治時，都會情不自禁地想到它的價格與找零竟然都是完全平方數（262 = 676，182 = 324）。（給大家出一道附加題：還有兩個數字的完全平方數之和也正好是1 000，你能找到它們嗎？）
乘法心算
記住10以內的乘法表之後，就可以利用心算得出所有乘法問題的答案，至少是一個近似答案。接下來，我們需要掌握（無須死記硬背）一位數與兩位數乘法問題的解法，其中的關鍵是從左至右計算。例如，求8×24的得數時，應該先計算8×20，然後再加上8×4的乘積：
8×24 = (8×20) + (8×4) = 160 + 32 = 192
熟練掌握這個方法之後，就可以用心算解決一位數與三位數的乘法問題了。這類問題的難度有所增加，因為需要記憶的信息增加了。其關鍵是在計算過程中一步一步地完成加法運算，以免需要記憶太多的數字。例如，在求456×7的積時，如下圖所示，先求2 800 + 350的和，再加上42。
掌握了一位數與三位數的乘法心算之後，就可以著手解決兩位數與兩位數的乘法問題了。在我看來，這樣的題目才有點兒意思，因為通常來說，你可以用不同的方法解決這些問題，檢驗答案是否正確，還可以享受快速找到答案的喜悅之情！下面，我通過計算32×38，向大家介紹這些方法。
大家最熟悉的方法（與紙筆運算最接近的一種方法）是加法，該方法適用於解決所有乘法問題。首先，把其中一個因數（通常是位數較少的那個因數）分成兩個部分，然後這兩個部分分別與另一個因數相乘，最後將乘積相加。例如：
32×38 = (30 + 2)×38 = (30×38) + (2×38) = …
那麼，如何計算30×38呢？先計算3×38，然後在乘積的後面添加一個0。由於3×38 = 90 + 24 = 114，因此30×38 = 1 140。再計算2×38 = 60 + 16 = 76，因此：
32×38 = (30×38) + (2×38) = 1 140 + 76 = 1 216
計算這類問題（尤其當其中一個因數的末位是7、8或者9時）的另一種方法是減法。在這個例子中，我們要用到38 = 40 – 2，那麼：
38×32 = (40×32) – (2×32) = 1 280 – 64 = 1 216
用加法和減法求兩位數與兩位數的乘積時，我們需要記住一個較大的數字（例如，這個例子中的1 140和1 280），還要進行其他運算。這對我們來說是一個比較難的挑戰。通常，我喜歡用「因數分解法」（factoring method）來計算兩位數與兩位數的乘積。只要其中一個因數可以表示成兩個一位數乘積的形式，就可以採用這種方法。例如，我們發現32可以分解成8×4，因此：
38×32 = 38×8×4 = 304 × 4 = 1 216
如果我們把32分解成4×8，上述運算就會變成38×4×8 = 152×8 = 1 216。不過，我喜歡先用較大的因數去乘以剩下的那個兩位數，這樣一來，最後與這個乘積（常常是一個三位數）相乘的就是那個較小的因數了。
延伸閱讀
在一個因數是11的倍數時，因數分解法可以起到很好的效果。在這種情況下，有一個特別簡單的巧妙算法：在另一個因數的兩個數位中間插入這兩個數位上的數字之和，就可以得到你所求的乘積。例如，計算53×11時，因為5 + 3 = 8，因此最終的乘積就是583。27×11呢？因為2 + 7 = 9，因此答案是297。如果兩個數字之和大於9，怎麼辦？在這種情況下，我們插入和的個位數，然後在第一個位數上加1。例如，由於4 + 8 = 12，因此48×11的答案是528。同理，74×11 = 814。如果一個因數是11的倍數，就可以利用上面這個巧妙的辦法。例如：
74×33 = 74×11×3 = 814 × 3 = 2 442
兩位數乘法問題的另外一個有趣的解法叫作「就近取整法」（close together method）。當相乘的兩個數字的首位數相同時，就可以使用這個方法。第一次接觸它時，你會覺得它十分神奇。比如，下面這個例子會不會讓你難以置信？
38×32 = (40×30) + (8×2) = 1 200 + 16 = 1 216
當兩個數字個位數的和為10時（例如38×32），計算起來尤為簡單。（在38×32中，兩個數的十位數都是3，個位數的和為8 + 2 = 10。）再舉一例：
83×87 = (80×90) + (3×7) = 7 200 + 21 = 7 221
即使個位數的和不等於10，計算起來也不難。例如，在計算41×44時，可以將較小的那個數減去1（得到約整數40），然後將較大的那個數加上1，於是：
41×44 = (40×45) + (1×4) = 1 800 + 4 = 1 804
計算34×37時，如果把34減去4（得到約整數30），與它相乘的數就會變成37 + 4 = 41，再加上4×7：
34×37 = (30×41) + (4×7) = 1 230 + 28 = 1 258
順便告訴大家，前面介紹的104×109這道題的神秘算法只是本方法的一個應用而已。
104×109 = (100×113) + （4×9）= 11 300 + 36 = 11 336
有的學校要求學生背誦20以內的乘法表。使用上述方法，無須背乘法表，也可以快速算出答案。例如：
17×18 = (10×25) + (7×8) = 250 + 56 = 306
這個神奇的方法為什麼有效呢？要回答這個問題，需要進行一些代數運算，我將在第2章做介紹。一旦學習了代數運算之後，我們就能找出新的計算方法。例如，17×18還可以這樣解答：
18×17=（20×15）+〔（–2）×（–3）〕=300+6=306
說到乘法表，請仔細研究下面列出的一位數乘法表。高斯年少時應該會對這個問題感興趣：這張乘法表中所有數的和是多少？請認真思考，看能不能找出一個簡便的計算方法，我將在本章結尾揭曉答案。
該乘法表中全部100個數字的和是多少？
除法心算
首先，我們看一個答案非常簡單但在學校裡不大可能學到的問題：
（1）如果兩個三位數相乘，你能立刻說出乘積是幾位數嗎？
以及相關問題：
（2）一個四位數與一個五位數相乘，乘積可能是幾位數？
我們花費了大量時間學習多位數的乘法和除法問題，但幾乎沒有考慮過答案有哪些重要特點。而且，瞭解答案的大致範圍，比知道答案的最後一位數甚至首位數都重要得多。（知道答案的首位數是3，這毫無意義，除非你還知道這個答案更接近於30 000、300 000或3 000 000。）問題（1）的答案是五位數或六位數。為什麼？因為符合條件的最小乘積是100×100 = 10 000，它是一個五位數。最大乘積999×999的答案肯定比1 000×1 000 = 1 000 000小，但只小一點兒。1 000 000是最小的七位數，因此999×999肯定是六位數。〔當然，你也可以通過心算，很便利地算出最終得數：9992 = (1 000×998) + 1 = 998 001。〕也就是說，兩個三位數的乘積肯定是五位數或六位數。
問題（2）的答案是八位數或九位數。為什麼？最小的四位數是1 000，也可以記作103（1後面有3個0）；最小的五位數是10 000= 104。因此，一個四位數與一個五位數的最小乘積是103×104 = 107，它是一個八位數。〔107是怎麼得到的？103×104 = (10×10×10)×(10×10×10×10) = 107。〕而一個四位數與一個五位數的最大乘積只比104×105 = 109這個十位數小一點兒，因此最後得數最多是九位數。
根據上述分析，我們得出一個非常簡單的規則：一個m位數與一個n位數相乘，乘積的位數為m + n或者m + n – 1。
通常，只需要看每個數字的首位數（最左邊的那個數），就可以判斷出乘積的位數。如果兩個數字首位數的乘積是10或者大於10，那麼它們的乘積肯定為m + n位數。（以271×828為例，它們首位數的乘積是2×8 = 16，因此答案是六位數。）如果首位數的乘積是4或者小於4，答案就是m + n – 1位數。（例如，314×159的乘積為五位數。）如果首位數的乘積是5、6、7、8或9，則需要仔細思考。（例如，222×444的乘積是五位數，但234×456的乘積是六位數。這兩個得數都非常接近100 000，這是其位數不易確定的一個重要原因。）
把上述規則反過來，可以得到一個更簡單的除法規則：一個m位數被一個n位數除，商的位數是m – n或者m – n + 1。
例如，一個九位數被一個五位數除，得數肯定是四位數或者五位數。判斷到底哪個答案正確的規則，甚至比乘法問題的相關規則還要簡單。在這裡，我們無須對首位數進行乘法或者除法運算，而是對兩個首位數進行比較即可。如果第一個數字（被除數）的首位數比第二個數字的首位數小，答案就是小的那個選項（m – n）。如果第一個數字的首位數大於第二個數字的首位數，答案就是大的那個選項（m – n + 1）。如果兩個數字的首位數相同，就需要比較第二個數位上的數字，具體過程同上。例如，314 159 265被12 358除時，商是五位數；但它被62 831除時，商則是四位數。161 803 398被14 142除時，商是五位數，因為16大於14。
除法的心算過程與紙筆運算比較相似，我在這裡就不贅述了。（利用紙筆做除法運算時，計算次序一定是從左至右，直到最後得出答案！）但是有時候，一些捷徑可以為我們提供便利。
除數是5（或者個位數是5的任何數字）時，將分子、分母同時乘以2，通常會降低計算的難度。例如：
在分子、分母同時乘以2之後，你也許會發現246和9都可以被3整除（我們將在第3章詳細討論這方面的內容），於是，將分子、分母同時除以3，可以進一步簡化計算。
延伸閱讀
看一下從1到10的數字的倒數：
1 / 2 = 0.5，1 / 3 = 0.333…，1 / 4 = 0.25，1 / 5 = 0.2，
1 / 6 = 0.166 6…，1 / 8 = 0.125，1 / 9 = 0.111…，1 / 10 = 0.1
我們發現，以上小數要麼在小數點後兩位處結束，要麼無限循環下去，只有1 / 7例外，它是在小數點後第7位處開始循環的：
1 / 7 = 0.142 857 142 857 …
（除了7以外，從2到11的所有數字的倒數都不長，這是因為這些數可以整除10、100、1 000、9、90或者99，而可以被7整除且具有這種特點的最小數字是999 999。）把1 / 7的各個小數項填到圓裡，神奇的一幕就會出現在我們眼前：
「七分之幾」圓
令人吃驚的是，從圓上的某個點開始，順時針循環下去，就可以得到分母是7的所有分數的數值，具體如下：
1 / 7 = 0.142 857 142 857…，2 / 7 = 0.285 714 285 714…，
3 / 7 = 0.428 571 428 571…，4 / 7 = 0.571 428 571 428…，
5 / 7 = 0.714 285 714 285…，6 / 7 = 0.857 142 857 142…。
在結束本章之前，我來回答一下前文提出的那個問題：把乘法表中所有的數字加到一起，和是多少？同計算前100個數的和一樣，這個問題乍一看也非常難。但是，只要我們熟悉了數字之舞呈現出來的令人驚歎的規律，就可以完美地解答這個問題。
我們先將乘法表中第一行的所有數字相加。高斯（或者我們前面見過的三角形數公式，甚至直接相加的方法）肯定會告訴我們：
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
第二行所有數字的和呢？算起來也非常簡單：
2 + 4 + 6 + … + 20 = 2 × (1 + 2 + 3 + … + 10) = 2×55
同理，第三行的和是3×55。因此，我們知道乘法表中所有數字的和是：
(1 + 2 + 3 + … + 10)×55 = 55×55 = 552
通過心算，我們知道答案是3 025！