一個與代數有關的魔術
小時候，我第一次接觸代數是通過我父親。他說：「孩子，代數與算術沒有多大區別，不過是用字母來代替數字。例如，2x + 3x = 5x，3y + 6y = 9y。明白了嗎？」我回答說：「好像明白了。」他接著說：「好的，那麼5Q + 5Q是多少？」我信心滿滿地答道：「10Q。」他說：「聲音太小了，大點兒聲！」於是，我高聲答道：「10Q！」結果，父親回說：「不用謝！」[1]（父親對雙關語、開玩笑和講故事的興趣一直都比對數學教學的興趣大，因此我從一開始就不應該完全相信他說的話！）
我第二次接觸代數，是因為我想弄明白下面這個魔術的原理：
第一步：在1到10中選擇一個數字（你也可以選擇一個大於10的數字）。
第二步：把這個數字加倍。
第三步：加上10。
第四步：除以2。
第五步：減去你一開始選擇的那個數字。
我猜你得到的數字一定是5，對嗎？
這個魔術背後的奧秘是什麼？是代數。我們從第一步開始，把這個魔術再回想一遍。我不知道你一開始時選擇的是哪個數字，因此我們用N來表示它。當我們用一個字母來表示未知數時，這個字母就被稱為「變量」（variable）。
第二步，你把這個數字加倍，它就變成了2N。（由於字母x經常被用作變量，因此我們通常會省略乘號，以免混淆。）第三步，這個數字變成了2N + 10。第四步，在除以2之後，這個數字變成了N + 5。第五步，減去你一開始選擇的那個數字，也就是N。從N + 5中減去N，得數是5。我們可以如下簡要地表示這個魔術：
代數的黃金法則
我們先思考一個問題：某個數字加上5之後，和是這個數字的3倍，請找出這個數字。
為了解答這道題，我們把這個未知數設為x。它加上5之後，就是x + 5；最初的3倍，就是3x。這兩個量相等，因此我們需要解下面這個方程式：
3x = x + 5
從左右兩邊各減去x，方程式就變成：
2x = 5
左右兩邊同時除以2：
x = 5 / 2 = 2.5
由於2.5 + 5 = 7.5，與2.5的3倍正好相等，因此可以證明這個答案是正確的。
延伸閱讀
再為大家介紹一個可以利用代數知識來解釋個中道理的魔術。寫下一個三位數，要求三個數位上的數字逐步減小，例如842或951。然後，徹底顛倒這個三位數的數位次序，並用最初的三位數減去顛倒順序後得到的三位數。之後，徹底顛倒得數的數位順序，並與得數相加。我們以853這個數字為例，通過下列算式描述上述步驟：
現在，大家重新選擇一個三位數。想好了嗎？神奇的事情就要發生了。只要你嚴格按照上述步驟做，最後的得數一定是1 089！為什麼？
代數可以揭開其中的秘密！假設我們選擇的三位數是abc，其中a > b > c。我們知道，853 = (8×100) + (5×10) + 3。同理，數字abc=100a + 10b + c。數位完全顛倒之後，數字變成cba，可表示為100c + 10b + a。兩個三位數相減之後，就會得到：
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)
= (100a – a) + (10b – 10b) + (c – 100c)
= 99a – 99c = 99 (a – c)
換句話說，兩個三位數的差必然是99的倍數。由於三個數位上的數字最初是逐步減小的，因此a – c至少等於2，或者說可能是2、3、4、5、6、7、8或9。那麼，兩個三位數之差只能是下面這些數字中的一個：
198、297、396、495、594、693、792或891
無論這個差到底是哪個數字，與數位顛倒之後的數字之和都是：
198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1 089
由此可以看出，最後的結果必然是1 089。
通過這個例子，我們可以看出代數的一個特點：進行代數運算時，必須對等式左右兩邊一視同仁。我把這條規則稱為代數黃金法則。
例如，假設我們想求解下列方程式：
3 (2x + 10) = 90
我們的目標是解出x。先將方程式兩邊同時除以3，把方程式簡化成：
2x + 10 = 30
再在兩邊同時減去10，把左邊的10消掉。這樣，方程式就會變成：
2x = 20
接下來兩邊同時除以2，結果就一目瞭然了：
x = 10
每次解完方程式，都要驗證答案的準確性。在這個例子中，我們發現當x = 10時，3 (2x + 10) = 3×30=90，方程式成立。這個方程式還有其他解嗎？沒有了。如果還有其他解，這個x也需要滿足方程式，因此我們可以確定x = 10是唯一解。
下面是一個與現實生活密切相關的代數問題，來自2014年某一期的《紐約時報》。該報稱，索尼影視娛樂有限公司出品的一部電影投入市場之後，前4天的在線銷售與出租的總金額是1 500萬美元。索尼沒有說明在線銷售（單價15美元）與出租（單價6美元）分別貢獻了多少銷售額，但該公司宣佈他們一共完成了200萬單交易。為了幫助記者解決這個難題，我們用S代表在線銷售交易量，用R代表在線出租交易量。由於總交易量是200萬單，因此：
S + R = 2 000 000
我們還知道在線銷售的單價是15美元，在線出租的單價是6美元，因此總銷售額滿足下列方程式：
15S + 6R = 15 000 000
根據第一個方程式，我們知道R = 2 000 000 – S。因此，第二個方程式可以改寫成：
15S + 6 (2 000 000 – S) = 15 000 000
現在，方程式中只包含一個變量S，整理後就會得到：
9S + 12 000 000 = 15 000 000
兩邊同時減去12 000 000：
9S = 3 000 000
因此，S大約是100萬的1/3，即S ≒333 333；R = 2 000 000 – S ≒1 666 667。（驗證答案：總銷售額為15×333 333+ 6×1 666 667≒15 000 000美元。）
本書一直在利用某個規則，它被稱為「分配律」（the distributive law）。現在，我們需要對這個規則加以討論。因為有了分配律之後，乘法和加法就可以密切合作了。分配律指出，對於任意數字a、b、c，都有：
a (b + c) = ab + ac
我們在計算一個兩位數與一個一位數的乘積時，就會用到分配律。例如：
7×28 = 7×(20 + 8) =7×20 + 7×8 = 140 + 56 = 196
用統計學方法來思考，我們就會明白其中的道理。假設我有7袋硬幣，每袋分別裝有20枚金幣和8枚銀幣，那麼硬幣的總數量是多少呢？從一個方面看，每袋裝有28枚硬幣，因此硬幣總是7×28。從另一個方面看，我們有7×20枚金幣和7×8枚銀幣，因此共有7×20 + 7×8枚硬幣。也就是說，7×28 =7×20 +7×8。
我們也可以利用幾何圖形來理解分配律。如下圖所示，請從兩個不同的角度觀察長方形的面積。
用長方形面積證明分配律：a (b + c) = ab + ac
從一個角度看，長方形的面積是a (b + c)。從另一個角度看，長方形左邊部分的面積是ab，右邊部分的面積是ac，總面積是ab + ac。這可以證明，只要a、b、c是正數，分配律就是成立的。
順便告訴大家，我們有時候會在數字與字母並存的情況下應用分配律。例如：
3 (2x + 7) = 6x + 21
從左至右看，這個方程式可以看作2x + 7的3倍。從右至左看，它又可以看作通過從6x和21中提取3的方式對6x + 21進行因式分解。
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負數與負數的乘積是正數，這是為什麼？例如，為什麼 (–5)×(–7)= 35？針對這個問題，老師們給出了各種各樣的解釋。有的以抵銷債務打比方，有的乾脆說「就是這樣的，沒有什麼道理可講」。但是，真正的原因在於，我們希望分配律不僅適用於正數，而且適用於所有的數字。如果分配律對負數（和零）同樣有效，就必須符合上述規則。下面，我來解釋其中的道理。
假設我們承認 –5×0 = 0，–5×7 = –35。（我們也可以證明這兩個等式是成立的，但是大多數人寧願把它們作為一種事實來接受。）現在，觀察下面這個算式：
–5×(–7 + 7)
它的得數是多少呢？從一個方面看，它等於 –5×0，而且我們已經知道 –5×0=0。從另一個方面看，我們可以利用分配律將它變形為〔(–5)×(–7)〕+ (–5×7)。因此：
〔(–5)×(–7)〕+(–5×7) =〔(–5)×(–7)〕–35 = 0
而且，由於〔(–5)×(–7)〕–35 = 0，由此可推導出(–5)× (–7)= 35。總之，無論a、b的值是多少，分配律都可以確保 (–a)×(–b) = ab成立。
奇妙的FOIL法則
代數中的FOIL法則是分配律產生的一個重要結果。對於任意變量a、b、c、d，都有：
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
FOIL是「First–Outer–Inner–Last」（首—外—內—末）的英文首字母縮寫。在上式中，ac是 (a + b) (c + d)的兩個首項的乘積，ad是外側的兩項乘積，bc是內部的兩項乘積，bd是兩個末項的乘積。
下面，我們利用FOIL法則來求兩個數字的乘積：
23×45 = (20 + 3)×(40 + 5)
=20×40 + 20×5 + 3×40 + 3×5
= 800 + 100 + 120 + 15
= 1 035
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FOIL法則為什麼成立呢？根據分配律（我們把求和的部分寫到前面），可以得到：
(a + b) e = ae + be
如果用c + d 代替e，上式就會變成：
(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd
而且，在最後一步運算中再次應用了分配律。如果大家願意，也可以利用幾何證明法（在a、b、c都是整數時）。請利用兩種不同的方法計算如下長方形的面積。
一方面，長方形的面積是 (a + b) (c + d)。另一方面，我們可以將大長方形分成4個小長方形，它們的面積分別是ac、ad、bc和bd。因此，大長方形的面積又等於ac + ad + bc + bd。把這兩個面積的表達式放在一起，就得到了FOIL法則。
下面，我向大家介紹FOIL法則的一個奇妙應用。按照下列指示，拋擲兩個色子。假設你拋出這兩個色子之後，一個色子朝上的一面是6個點，另一個是3個點。它們朝下的一面分別是1個點和4個點。
在這個例子中，最終得數是49。大家隨便找兩個普通的六面體色子，重複上述步驟，最後的得數都是一樣的。這是因為，每個普通色子相對兩面的點數之和都等於7。因此，當色子朝上一面的點數是x和y時，那麼朝下一面的點數就必然是7 – x和7 – y。利用代數知識，上述步驟就會變成：
請注意，在第三步我們應用了FOIL法則（還請注意，–x乘以–y得到正的xy）。換一個代數運算較少的方法，最終也能得出49。觀察每一步，就會發現上述各個等式的左邊正好是利用FOIL法則展開〔x + (7 – x)〕〔y + (7 – y)〕後得到的4項。
在課堂上學習代數時，FOIL法則在大多數情況下都被用來計算下面這種乘法算式：
(x + 3) (x + 4) = x2 + 4x + 3x + 12 = x2 + 7x + 12
我們注意到，在最終的算式中，7〔被稱作x項的「係數」（coefficient）〕正好是數字3和4的和，12〔被稱作「常數項」（constant term）〕則是3和4的乘積。例如，由於5 + 7 = 12，5×7 = 35，因此我們立刻就可以得出：
(x + 5) (x + 7) = x2 + 12x + 35
這個規律對於負數同樣有效，下面我列舉幾例。在第一個例子中，我們使用的是6 + (–2) = 4和6×(–2) = –12這個事實。
(x + 6) (x – 2) = x2 + 4x – 12
(x + 1) (x – 8) = x2 – 7x – 8
(x – 5) (x – 7) = x2 – 12x + 35
以下是數字相同時的乘法算式實例。
(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5) = x2 + 10x + 25
(x – 5)2 = (x – 5) (x – 5) = x2 – 10x + 25
請注意，(x + 5)2 ≠ x2 + 25！代數初學者經常誤認為兩者是一回事。與此同時，當這些相同數字前面的正負號正好相反時，就會出現一個有趣的現象。例如，由於5 + (– 5) = 0，因此：
(x + 5)(x– 5) = x2 + 5x – 5x – 25 = x2 – 25
總的來說，平方差（difference of squares）公式值得我們背下來：
(x + y)(x – y) = x2 – y2
我們在第1章學習平方數的簡便運算時用過這個公式，當時依據的代數知識是：
A2 = (A + d) (A – d) + d2
我們先驗證這個公式是否成立。根據平方差公式，我們發現[ (A + d) (A – d )] + d2 =（A2 – d2） + d2 = A2。因此，無論A和d的值是多少，該公式都成立。在實際應用中，A是平方運算的底數，d是該數與其最接近的簡便數字之差。例如，在求97的平方數時，我們取d = 3，於是：
972 = (97 + 3)(97 – 3) + 32
= (100×94) + 9
= 9 409
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下面，我們通過圖形來驗證平方差公式是否成立。從下圖可以看出，面積為x2 – y2的幾何圖形經過切割、拼接之後，可以變成一個面積為(x + y)(x – y)的長方形。
我們在第1章學過計算彼此接近的兩個數字乘積的簡便方法。當時，我們強調這兩個數字都接近100，或者首位數相同。一旦理解了這個算法背後的代數原理，我們就可以進一步擴大它的應用範圍。下面，我們討論就近取整法的代數原理。
(z + a) (z + b) = z (z + a + b) + ab
這個公式之所以成立，是因為(z + a) (z + b) = z2 + zb + za + ab，從前三項中提取z，即可得到上述公式。儘管這些變量取任何值時,該公式都成立，但我們通常會為z選擇個位數是0的值。例如，在解43×48這道題時，令z = 40，a = 3，b = 8。於是：
43×48 = (40 + 3) (40 + 8)
= 40 (40 + 3 + 8)+ (3×8)
= 40×51 +3×8
= 2 040 + 24
= 2 064
注意，原題中的兩個乘數之和為43 + 48 = 91，而簡便計算中的兩個乘數之和也是40 + 51 = 91。這並不是巧合，因為根據代數運算的結果，原來的兩個乘數之和為(z + a) + (z + b) = 2z + a + b，簡便運算中兩個乘數z與z + a + b的和也是2z + a + b。根據這個代數原理，我們發現向上取整也可以降低運算的難度。例如，在解43×48這道題時，也可以令z = 50，a = –7，b = –2，把其變成50×41。（只要知道43 + 48 = 91 = 50 + 41，就可以方便地確定41這個數值。）於是：
43×48 = (50 – 7) (50 – 2)
= (50×41) + (–7)×(–2)
= 2 050 + 14
= 2 064
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在第1章中，我們利用這個方法計算兩個略大於100的數字的乘積。其實，計算兩個略小於100的數字的乘積時，這個方法同樣有效。例如：
96×97 = (100 – 4) (100 – 3)
= (100×93) + ( – 4)×( – 3)
= 9 300 + 12
= 9 312
請注意，96 + 97 = 193 = 100 + 93。（在實際應用時，我只看兩個數字的末位數，在這個例子中是6 + 7，這表明與100相乘的那個數字的末位數是3，因此我知道這個數字必然是93。）而且，在熟練掌握這個方法之後，我們就無須計算兩個負數的乘積，而是直接取它們的正值，再求它們的乘積。例如：
97×87 = (100 – 3) (100 – 13)
= 100×84 + 3×13
= 8 400 + 39
= 8 439
在一個乘數略大於100，而另一個乘數略小於100時，也可以應用這個方法。但在這種情況下，最後一步是減法運算。例如：
109×93 = (100 + 9) (100 – 7)
= 100×102 – 9×7
= 10 200 – 63
= 10 137
同樣，其中的102可以通過109 – 7或93 + 9或109 + 93 – 100等方法得到（還可以通過對原來兩個乘數的末位數進行加法運算的方式得到：9 + 3告訴我們這個數字的末位數應該是2，有了這個信息，我們就可以做出判斷了）。在實踐中，我們可以利用這個方法完成任意兩個比較接近的數字的乘法運算。下面，我再舉兩個有一定難度的三位數乘法的例子。注意，在這兩個例子中，數字a和b都不是一位數。
218×211 = (200 + 18) (200 + 11)
= 200×229 + 18×11
= 45 800 + 198
= 45 998
985×978 = (1 000 – 15) (1 000 – 22)
= 1 000×963 + 15×12
= 963 000 + 330
= 963 330
求解未知數x
在本章前面部分給出的幾個例子裡，我們在解某些方程式時應用了代數的黃金規則。如果方程式僅包含一個變量（例如x），且方程式兩邊都是線性的（僅包含數字和x的倍數，而沒有像x2這種比較複雜的項），x的值就比較容易求解。例如，在解方程式9x – 7 = 47時，我們可以在方程式兩邊同時加上7，得到9x = 54，然後兩邊同時除以9，算出x = 6。
對於複雜程度稍高的代數問題，例如：
5x + 11 = 2x + 18
我們只需要在方程式兩邊同時減去2x，再同時減去11（如果你願意，也可以將這兩步合併，即方程式兩邊同時減去2x + 11），就會得到：
3x = 7
因此，原方程式的解是x = 7 / 3。所有線性方程式最終都可以簡化成ax = b（或者ax–b = 0）的形式，從而求解出x = b / a（假設a≠0）。
二次方程式的複雜程度有所提高（因為需要考慮變量x2的問題）。最簡單的二次方程式是如下這種：
x2 = 9
該方程式有兩個解：x = 3和x = – 3。如果方程式右邊不是完全平方數，比如x2 = 10，則該方程式有兩個解：x =
= 3.16…和x = –= –3.16…。在一般情況下，
（n > 0）被稱作n的平方根，表示某個二次冪等於n的整數。在n不是完全平方數時，我們通常可以利用計算器計算的值。
延伸閱讀
如果x2 = –9呢？迄今為止，我們認為這個方程式無解。的確，任何實數（real numbers）的平方數都不會等於–9。但是，當讀到本書第10章時，你會發現這個方程式其實有兩個解，即x = 3i和x = –3i，其中i是一個虛數（imaginary numbers），它的平方數等於 –1。如果你覺得這個說法難以理解，甚至荒謬可笑，也沒有關係。別忘了，在剛接觸負數（negative numbers）時，你也曾覺得不可思議。（怎麼可能有比0還小的數呢？）你現在需要做的就是以正確的方式看待這些數字，以後你會慢慢理解它們的含義的。
下面這個方程式：
x2 + 4x = 12
它的難度有所增加，因為多了4x這個項。不過你不用著急，對於這類方程式，我們有好幾種解法。同心算一樣，方程式也常常有多種解法。
我在遇到這類方程式時，會先嘗試因式分解法。第一步是將所有項全部移到等式左邊，等式右邊只保留一項：0。於是，上述方程式變成：
x2 + 4x – 12 = 0
然後呢？我發現我們的運氣還不錯，根據FOIL法則，x2 + 4x – 12 = (x + 6) (x – 2)。於是，這個方程式又可以變形為：
(x + 6) (x – 2)= 0
兩個數字的乘積為0，那麼這兩個數字中至少有一個是0。由此可知x + 6 = 0或x – 2 = 0，即：
x = – 6或x = 2
經檢驗，它們都是方程式的解。
根據FOIL法則，(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab。因此，二次方程式的因式分解與猜謎語有點兒相似。例如，在解上面那個方程式時，我們必須找出和為4、積為 –12的兩個數a、b。找到答案a = 6、b = – 2之後，就可以分解因式了。舉一個例子供大家做練習：請分解x2 + 11x + 24。現在的問題是：找出和為11、積為24的兩個數。由於數字3、8滿足條件，因此我們知道x2 + 11x +24 = (x + 3) (x + 8)。
假設我們遇到像x2 + 9x = –13這樣的方程式，就會發現x2 + 9x + 13不容易進行因式分解。但是，我們無須擔心！在這種情況下，我們可以求助於二次方程求根公式。這是一個非常有用的公式，它告訴我們方程式ax2 + bx + c = 0的解是：
其中，符號「±」的意思是「加或減」。我們舉一個例子，對於方程式
x2 + 4x – 12 = 0
我們知道，a = 1，b = 4，c = –12。
根據二次方程求根公式，我們知道：
所以x = – 2 + 4 = 2或x = – 2 – 4 = –6是原方程式的解。我想，對於這類問題，你肯定認為因式分解法更直觀。
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解二次方程式的另一個有意思的方法叫作「配方法」（completing the square）。對於方程式x2 + 4x = 12，在兩邊同時加上4，把方程式變為：
x2 + 4x + 4 = 16
這樣做的目的是讓方程式左邊變成 (x + 2) (x + 2)。因此，上述方程式變形為：
(x + 2)2 = 16
換句話說，(x + 2)2 = 42。於是：
x + 2 = 4或x + 2 = – 4
也就是說，x = 2或x = – 6。這與我們在前文中的計算結果是一致的。
但是，對於方程式
x2 + 9x + 13 = 0
最好的選擇則是採用二次方程求根公式。a = 1，b = 9，c = 13，根據二次方程求根公式，我們算出：
若用前面介紹的其他方法，就很難解出這道方程式。數學領域中需要記憶的公式並不多，但二次方程求根公式毫無疑問是其中之一。只要稍加練習，你就會發現這個公式應用起來實在是太簡單了！
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那麼，二次方程求根公式為什麼成立呢？我們把方程式ax2 + bx + c = 0改寫成：
ax2 + bx = – c
兩邊同時除以a（a不等於0），就會得到：
由於
，因此我們可以在上述方程式兩邊同時加上
，對方程式進行配方運算：
兩邊同時開平方，得到：
它就是我們要求的x的解。
方程式的圖像
17世紀的法國數學家費馬[2]和笛卡兒[3]在各自的研究中發現，代數方程式可以用圖像直觀地呈現出來；反之，幾何圖形也可以用代數方程式表示。他們的這個發現讓數學領域發生了翻天覆地的變化。
我們先來看一個簡單方程式的圖像：
y = 2x + 3
該方程式表明，對於變量x的每一個值，在把它加倍並加上3之後，就可以得到y的值。下表中列出了幾組x、y的值，據此我們繪製出這些點，本例中的點有(–3, –3)、(–2, –1)、(–1, 1)等。將這些點連接起來，所得到的就是方程式的圖像。下圖是方程式y = 2x + 3的圖像。
方程式y = 2x + 3的圖像
下面，我向大家介紹一些重要的術語。上圖中的那條水平線叫作x軸，垂直的那條線叫作y軸。本例中的圖像是一條直線，斜率是2，y軸截距是3。斜率表示這條直線的傾斜程度。斜率是2，意味著x每增加1個單位，y就會增加2個單位（從上圖可以看出這個特點）。y軸截距表示x = 0時y的值。從幾何學的角度看，它表示這條直線與y軸相交的位置。一般而言，方程式y = mx + b的圖像是斜率為m、y軸截距為b的一條直線（反之亦然）。通常，我們通過方程式來識別直線，因此我們可以直接說，上圖代表的就是直線y = 2x + 3。
下圖是直線y = 2x – 2和y = –x + 7的圖像。
y = 2x – 2和y = –x + 7的圖像在哪裡相交？
直線y = 2x – 2的斜率是2，y軸截距是 –2。（該圖像與直線 y = 2x + 3平行，將後者垂直向下平移5個單位後即可得到直線y = 2x – 2。）y = –x + 7的圖像斜率是 –1，這表示x每增加1個單位，y就會減少1個單位。接下來，我們通過代數運算，找出這兩條直線的交點 (x, y)。在這兩條直線相交的位置，這兩個方程式的x和y值是相同的。因此，我們需要找到y值相同時所對應的x值。換句話說，我們需要求解下面這個方程式：
2x – 2 = – x + 7
方程式左右兩邊同時加上x再加上2，就可以得到：
3x = 9
因此，x =3。只要知道x的值，我們就可以利用這兩個方程式中的任意一個求出y的值。由於 y = 2x – 2，x=3，所以y = 2×3 – 2 = 4。（或者因為y = –x + 7，x=3，所以y = – 3 + 7 = 4。）由此可見，這兩條直線的交點是 (3, 4)。
直線的圖像是很容易畫出來的，因為只要知道直線上的任意兩點，就可以畫出整條直線。對於二次函數（包含變量x2）而言，要畫出它的圖像就不那麼容易了。圖像最簡單的二次函數是 y = x2（如下圖所示）。二次函數的圖像被稱為「拋物線」。
y = x2的圖像
下圖是y = x2 + 4x – 12 = (x + 6) (x – 2) 的圖像。
y = x2 + 4x – 12 = (x + 6) (x – 2) 的圖像（y軸的刻度做了調整）
注意，當x = – 6或x = 2時，y = 0。我們從圖像上可以看出，拋物線正好與x軸相交於這兩個點。拋物線的最低點必然位於這兩個點的中間位置，此時x = – 2。點 (– 2, – 16)被稱為拋物線的「頂點」。
在日常生活中，我們每天都會與拋物線打交道。一個物體（無論是棒球還是噴泉）被拋出之後，其運動軌跡近似於一條拋物線（如下圖所示）。在設計汽車車頭燈、望遠鏡、圓盤式衛星電視天線時，人們也都參考了拋物線的特點。
噴泉示意圖（其對應的拋物線為y = –0.03x2 +0.08x + 70）
現在，我需要向大家介紹一些術語了。到目前為止，我們所討論的都是「多項式」（polynomials），即數字與單個變量（例如x）的組合，其中變量x可以是正整數次冪的形式。最高的冪次被稱為多項式的「次數」（degree）。例如，3x + 7是次數為1的（線性）多項式。次數為2的多項式（例如 x2 + 4x – 12）被稱為二次多項式（quadratic）。次數為3的多項式（例如5x3– 4x3 –
）被稱為三次多項式（cubic）。次數為4和5的多項式分別叫作四次多項式（quartic）和五次多項式（quintic）。（我沒聽說過有哪些專有名詞可以表示次數更高的多項式，主要原因是這樣的多項式在現實中很少見。7次多項式是不是可以用「septic」這個英文單詞來表示呢？有人認為可以，但我覺得並不好。）不含有變量的多項式（例如多項式17）的次數為0，被稱為常數多項式。最後，多項式不允許包含無窮多項。例如，1 + x + x2 + x3 + …不是多項式。〔它是一個「無窮級數」（infinite series），我將在第12章詳細介紹這個概念。〕
注意，多項式中變量的次數只能是正整數，而不能是負數或者分數。例如，如果方程式中含有1 / x或者
等項，我們就不能稱其為多項式，因為我們知道1 / x = x–1，= x1 / 2。
我們把多項式的「根」（roots）定義為當該多項式等於0時x的值。例如，3x + 7有一個根，即x = –7 / 3。x2 + 4x – 12的根是x = 2和x = – 6。有的多項式（例如x2 + 9）沒有（實）根。注意，所有的一次多項式（直線）都有且只有一個根，因為這條直線與x軸有且只有一個交點。二次多項式（拋物線）最多有兩個根。多項式x2 + 1、x2 和x2 – 1分別有0、1和2個根。
y = x2 + 1和y = x2 – 1的圖像（這兩個多項式分別有0和2個根。 y = x2 的圖像在前文中已經給出，該多項式只有1個根）
下圖是三次多項式的圖像。我們從圖中可以看出，它們最多有3個根。
y = (x3–8) / 10 =
(x–2)(x2 + 2x + 4)和y = (x3–7x + 6)/ 2 =
(x + 3) (x–1) (x–2)的圖像（這兩個多項式分別有1和3個根）
在本書第10章，我們將接觸到「代數的基本定理」。該定理告訴我們，每個n次多項式最多有n個根，經過因式分解後，可以轉變成線性多項式和二次多項式組合的形式。例如：
(x3–7x + 6) / 2 =
(x–1) (x–2) (x + 3)
它有3個根（1、2和 –3），而x3 – 8 = (x – 2) (x2 + 2x + 4)只有一個實根，即x = 2。（它還有兩個復根，但要到第10章我們才會講到這些概念。）順便告訴大家，現在只要在我們常用的搜索引擎中輸入方程式，就可以方便地得到大多數函數的圖像。例如，輸入「y = (x3 –7x + 6) / 2」，就可以得到一個與上圖類似的圖像。
我們在本章已經學習了如何方便地找到線性和二次多項式的根。事實上，三次和四次多項式也有求根公式，但都極其複雜。這些公式是在16世紀被找到的，在隨後200多年的時間裡，人們試圖找到五次多項式的一般求根公式。眾多天才數學家前赴後繼地投身於這項研究，結果都徒勞無功。19世紀初，挪威數學家尼爾斯·阿貝爾（Niels Abel）成功地證明了五次以及更高次的多項式不可能有通用的求根公式。他為世人留下了一個只有數學界才能參透其中玄機的謎題：為什麼艾薩克·牛頓沒有證明五次多項式沒有一般求根公式的不可能定理呢？答案是：他不是阿貝爾！[4]我們將在本書第6章討論如何證明不可能性。
延伸閱讀
為什麼x–1 = 1 / x呢，例如，5–1 = 1 / 5？請觀察下列數字，找出其中的規律：
53 = 125，52 = 25，51 = 5，50 = ?，5–1 = ?，5–2 =?
注意，只要我們認真思考，就會發現：指數減去1，這個數字就要被5除。要讓這個規律成立，我們就需要讓50 = 1，5–1 = 1 / 5，5–2 = 1 / 25，以此類推。不過，真正的原因是「指數法則」。指數法則指出，xaxb = xa +b。當a、b是正整數時，指數法則不難理解。例如，x2 = x·x，x3 = x·x·x。因此：
x2·x3 = (x·x) (x·x·x) = x5
既然a、b的值為0時，該法則也成立，那麼：
xa +0 = xa·x0
由於方程式左邊等於xa，因此右邊也必須等於xa，這就要求x0 = 1。
由於我們希望指數法則對於負整數同樣成立，因此我們必須接受：
x1·x–1 = x1+ (–1) = x0 = 1
方程式兩邊同時除以x，就會發現x–1 必須等於1 / x。同理，我們可以證明x–2 = 1 / x2，x–3 = 1 / x3，等等。
由於我們希望指數法則對於所有實數也成立，因此我們必須接受：
x1 / 2 ·x1 / 2 = x1 / 2 +1 / 2 = x1 = x
因此，當x1 / 2與自身相乘時就會得到x，也就是說，（當x是正數時，）x1 / 2=。
魔術背後的代數定理
在本章開頭，我為大家介紹了一個魔術。在結束本章之前，我再為大家介紹一個基於代數原理的魔術。
第一步：從1到10中選擇兩個數字。
第二步：把這兩個數字相加。
第三步：乘以10。
第四步：加上你最初選擇的兩個數字中較大的那個。
第五步：減去你最初選擇的兩個數字中較小的那個。
第六步：告訴我你現在得到的數字，我就可以說出你最初選擇的那兩個數字分別是幾！
無論你是否相信，只要你告訴我最後的數字，我就可以準確地說出你最初選擇的那兩個數字是什麼。例如，如果你告訴我的數字是126，你最初選擇的兩個數字就是9和3。這個魔術比較神秘，即使你重複表演幾次，觀眾也很難找出其中的奧秘。
下面，我來揭開其中的秘密。要找出其中較大的那個數字，你先取最後得數的末位數（在這個例子中，最後得數的末位數是6），然後與前面數位上的數（12）相加，再除以2。這樣，我們就可以找出較大的數字是 (12 + 6) / 2 = 18 / 2 = 9。接下來，你用這個較大的數字（9），減去最後得數的末位數（6），即可得到較小的那個數字。在這個例子中，就是9 – 6 = 3。
再舉兩個例子。如果最後得數是82，那麼較大的數字是 (8 + 2) / 2 = 5，較小的數字是5–2 = 3。如果最後得數是137，那麼較大的數字是 (13 + 7) / 2 = 10，較小的數字是10–7 = 3。
這是為什麼呢？假設你最初選擇的兩個數字是X和Y，其中X大於或等於Y。根據魔術的要求以及下表中的代數運算，我們會發現在完成第五步之後，你會得到10(X + Y) + (X – Y)。
知道第五步的結果，有什麼用呢？注意，10(X + Y)這個數字的末位數必然是0，而0之前數位上的數字是X + Y。既然X和Y都是從1到10之間的數字，且X大於或等於Y，那麼X – Y必然是一位數（介於0到9之間）。因此，最後得數的末位數必然是X – Y。例如，如果你最初選擇的兩個數字是9和3，那麼X = 9，Y = 3。因此，最後得數的前兩位數是X + Y = 9 + 3 = 12，末位數是X – Y = 9 – 3 = 6，也就是說，最後得數必然是126。一旦我們知道X + Y和X– Y的值，就可以算出它們的平均數 〔(X + Y) + (X – Y)〕/ 2 = X。同時，我們可以通過 〔(X + Y) –(X – Y)〕/ 2確定Y的值〔在這個例子中，Y= (12 – 6) / 2 = 6 / 2 = 3〕。不過，我發現，既然X – (X – Y) = Y，那麼我們只需用較大數字減去最後得數的末位數，就可以方便地找到較小數字。
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如果你希望在魔術表演時挑戰更大的難度（難度再大，觀眾都不怕，因為他們可以使用計算器），也可以讓觀眾從1到100中任選兩個數字。在這種情況下，你要讓他們在第三步乘以100，而不是10。除此之外，其餘步驟不變。例如，如果他們最初選擇的兩個數字是42和17，那麼在第五步，他們給出的最後數字就是5 925。你先將這個數字的最後兩位與其餘數位分開，然後求兩個部分的平均值。因此，較大數字是 (59 + 25) / 2 = 84 / 2 = 42。再從較大數字中減去最後得數的後兩位，即可得到較小數字，本例中就是42 – 25 = 17。整個過程的原理與前面介紹的大致相仿，只不過在第五步得到的數字是100(X + Y) –(X – Y)，其中X – Y是最後得數的後兩位。
再舉一例。如果最後得數是15 222（即X + Y = 152，X – Y = 22），那麼較大數字是 (152 + 22) / 2 = 174 / 2 = 87，較小數字是87 – 22 = 65。
[1] 「10 Q」（ten Q）與「謝謝」（thank you）的發音比較接近。——譯者注
[2] 皮埃爾·德·費馬（Puerre de Fermat，1601—1665），法國律師和業餘數學家，被視為17世紀最偉大的法國數學家之一。——譯者注
[3] 勒內·笛卡兒（Rene Descartes，1596—1650），法國著名哲學家、物理學家、數學家、神學家，被視為解析幾何之父。——譯者注
[4] 原文「He wasn』t Abel!」的諧音是「He wasn』t able!」（他證明不了！）——譯者注