科學界和數學界湧現出的偉大女性屈指可數，這不是因為她們在這兩個領域的成就比不上男性，而是因為長期以來人們一直認為這兩個領域極具挑戰性，不適合女性。在這種奇怪觀念的影響下，女性被科學和數學拒之門外。如果問20世紀上半葉及之前有哪些女性在數學或科學領域取得過偉大的成就，任何人都有可能提到瑪麗·居裡、埃達·洛夫萊斯。如果繼續追問，他們可能還會提到卡羅琳·赫捨爾，但是他們不大可能說出艾米·諾特。然而，這位德國女數學家僅憑一己之力，就創立了抽像代數理論。具體來講，諾特明確了對稱的重要性。她發現，不僅自然界有大量的對稱結構，在很多物理法則的背後也有數學對稱的身影。
如今，在數學的指引下，尋找現實中的匹配對象的研究並不少見。諾特發現對稱可以推導出能量守恆定律，她的發現使這個由麥克斯韋開創的方法趨於完美。我們借助模型研究構成宇宙萬物的基本粒子，但是這些標準模型並非源於那些別出心裁的實驗，例如大型強子對撞機，而是得益於諾特及其追隨者的數學推演。事實證明，這種方法在很多方面都取得了顯著的成績，但是有時候你又會覺得整個推演過程似乎走得太遠了。
如果說導致艾米·諾特名聲不那麼顯赫的唯一原因在於她是一位女性，也許會顯得有些偏激。但是，如果你請公眾隨便說出幾個20世紀的數學家，他們說出的人可能都是科學家，而不是數學家。實際上，從諾特近期的受關注程度來看，人們很有可能會提到她的名字。但是，鑒於她的研究對物理學的發展具有非常重要的意義，我們有理由相信她的名氣應該不亞於薛定諤與海森堡。
1882年，諾特出生於巴伐利亞，她的父親是受人尊敬的數學家馬克斯·諾特。父母給她起的名字是艾米莉，但是年幼的諾特喜歡稱呼自己艾米，並很快讓大家接受了她的這個新名字。與很多大數學家、大科學家不同的是，諾特上學時對數學並不感興趣。她先是取得了語言教師資格，1903年她考入埃爾朗根大學，並於1907年成為德國有史以來第二位女數學博士。
1909年，諾特在愛因斯坦的挑戰者希爾伯特的建議下，來到哥廷根大學。1915年，希爾伯特提議學校授予諾特特許任教資格（在德國申請任教資格需要滿足一個獨特的條件，即寫一篇類似於博士後論文的文章）。但是這個資格只對男性開放，因此希爾伯特及其支持者向政府請願，希望他們特事特辦。最初的請願遭到了拒絕，直到1919年諾特才獲得了特許任教資格，但她始終沒有成為一名教授。同眾多數學家一樣，她最重要的研究成果都是在年輕時完成的。諾特定理（我們馬上就會討論）是她剛到哥廷根大學的時候提出來的。諾特還有一些非常重要的數學發現，但是一旦超出純粹的數學圈子，這些發現的影響力就比不上諾特定理了。
1933年，剛剛掌權的納粹剝奪了諾特的任教資格，終結了她相對平靜的教學生活。人們通常認為這件事主要歸因於她的猶太血統，但這可能只是其中一個原因。諾特與幾名不是猶太人卻同樣遭到驅逐的同事有一個共同點，那就是她也同情共產黨，並且於1928年接受了莫斯科一所大學的客座教授稱號。同莫斯科的這種聯繫更有可能起到導火索的作用，因為她的命運很快就變得坎坷起來。諾特試圖回到莫斯科，但是事實證明，在那個動盪不安的年代，她的這個想法很難實現。於是，諾特搬到了美國。1935年，她在美國去世，年僅53歲。
要理解諾特定理及其對理論物理學家的重要性，我們就必須知道什麼是對稱，對稱為什麼會產生這些重要的結果，這種方法對數學和現實之間的關係有哪些拓展作用。在日常英語中，我們所說的對稱是指反射對稱，也就是鏡像對稱。很多生物身上都存在這種對稱。如果有機體有「左」、「右」兩側，我們就知道它們是鏡像對稱。實際上，這種對稱性在人類對美的理解中佔十分重要的地位。
對美的判斷標準可能因人而異，但是我們通常都會根據某些特點來判斷一個人的外表是否美麗，對稱是其中最重要的標準之一。多次測試的結果表明，人類通常覺得對稱的臉比不對稱的臉更吸引人（奇怪的是，雞也有同樣的特點）。人們認為，這可能是因為顯著的不對稱往往是疾病導致的。如果美的主要作用是幫助吸引潛在配偶，缺失對稱性就可能意味著生殖能力的降低。對對稱美的追求因此成為一種進化特徵。
除了簡單的鏡像對稱，數學家還發現了各種各樣的對稱。一般而言，如果某個物體發生某種變化之後沒有出現可以辨別的不同，我們就說這個物體是對稱的。比如，對於左右鏡像對稱，我們可以將鏡像的左右兩邊對調，得到的鏡像沒有任何變化。借助簡單圖形，我們可以更方便地理解對稱。將矩形或正方形的左半邊與右半邊對調，將會得到無法區分的鏡像結果。
旋轉對稱是另外一種簡單的對稱。將正方形旋轉90度後得到的圖形與原來的正方形一模一樣，沒有任何不同（矩形則不適合這個操作）。但是，如果將正方形旋轉45度，情況就不一樣了。我們可以看出發生了某種變化，因為旋轉後的圖形與之前不同了。圓與正方形不同。圓的旋轉對稱性是最強的。將圓旋轉任意角度，哪怕是不到一度，得到的圓都與原來一模一樣。
除了這些簡單的對稱，其他對稱需要稍微拓寬對稱性的應用範圍。例如，我們可以考慮時間上的對稱。如果經過一段時間之後，我們看到的情景沒有發生變化，我們就可以認為在那段時間裡該情景關於時間對稱。靜止物體看起來總是不變，因此它們在時間上的對稱性最強。發生週期性變化的物體（例如鐘錶的分針）在時間上具有有限的對稱性，這一點與正方形的旋轉對稱性比較相似。
在研究時間上的對稱性時，我們從某些非常明顯的例子中看出相對性會影響對稱。我們可以說完全靜止的物體對稱性最強，但是「靜止」是一個相對概念，而不是絕對概念。例如，我們考慮一下宇宙飛船在時間上的對稱性。從飛船乘客的視角來看，飛船是靜止的，因此它的對稱性最強。在他們看來，飛船的外表（僅考慮飛船的外殼，而不考慮任何磨損情況）沒有發生任何變化。但是，飛船外面的人看到飛船一掠而過，時間上的對稱性就遭到破壞。
另外一種對稱——平移對稱，只有數學家才會覺得它理所當然。在研究平移對稱時，我們不會考慮時間，而是比較兩張「照片」，看看它們有沒有不同之處。例如，如果將正方形向右方移動一個邊長的距離，那麼在現實世界中，我能看出這個正方形的位置發生了變化，因此這個操作顯然不具有對稱性。但數學家卻在腦海中想像這個正方形通過不斷重複的方式形成一個無限延伸的表面，正方形本身就是這個表面的一部分。然後，他們問道：在這種情況下，發生這種移動後你能看出它有任何不同嗎？答案是「不能」。也就是說，純粹的數學世界中存在平移對稱。然而，如果正方形移動的距離不等於邊長，而是小於邊長，最後得到的圖形就有了變化，對稱將不復存在。
毫無疑問，自然界中近似對稱的現象比比皆是。很多物理結構都近似對稱，這並不是因為對稱有某種魔力，而是因為它是一種效率很高的發展方式，或者因為形成這種結構的作用力在各個方向上都相同。大多數動物都具有某種對稱性，例如，我們已經討論過的左右對稱，或者像海星那樣更加吸引人的旋轉對稱。雨滴、雞蛋、草的葉子、星體都表現出對稱性。這些事物在現實世界中的對稱性可能並不完美，但至少它們投射在柏拉圖的山洞中的影子是對稱的。在對稱性上能達到這種程度的唯一「實物」可能就是黑洞的事件視界吧（假設黑洞真實存在）？
此外，物理學中也有很多對稱，除了牛頓第三定律的反射對稱——「每個作用力都有一個大小相等、方向相反的反作用力」，我們還發現某些法則在時間、空間上發生位移或者旋轉後仍然適用。如果我們轉過身，面朝另一個方向時，力與加速度之間的關係就會發生變化，我們這個世界將十分精彩，但是這種不一致性會導致我們很難有效地開展科學研究。
同理，我們必須假設物理定律不會因為時間或位置的變化而改變，否則物理研究就無法進行下去。值得慶幸的是，迄今為止的經驗告訴我們這個假設可能是正確的，儘管我們可能永遠無法給出證明。如果重力不斷變化，那麼所有涉及重力的物理學都將失去意義。幾乎所有科學模型的出發點都是一條公理：物理定律和常數都具有對稱性。但是，這條公理純粹是一種基於實用主義的判斷，也幾乎是所有科學模型的出發點。比如，如果光速不斷變化，宇宙學和天文學就會手忙腳亂，因為在觀察遠處的天體時，我們需要在光速恆定的基礎上推算我們看到的是多久之前的情景。
偶爾也有一些習慣於反傳統的人會對這條公理指手畫腳。比如，物理學家安德裡斯·阿爾佈雷切特與若奧·馬奎荷就曾指出，自宇宙誕生以來，光速已經發生了顯著變化，因此不需要引入宇宙膨脹這個概念。（宇宙膨脹說認為，宇宙肯定在一段時間裡發生過突如其來且原因不明的大幅度膨脹，從人們推斷的誕生之日起就因為距離過遠而彼此從無接觸的宇宙的各個部分，通過這個膨脹過程達到了均衡狀態。）但是，在大多數時間裡，沒有人會質疑這條公理，因為如果沒有這個假設，我們幾乎不可能進行物理研究。
這個方法與科學家們口中流傳的那個關於找鑰匙的古老笑話有點兒相似。丟鑰匙的那個人知道在他走到家門口的那條大街之前，鑰匙就已經丟了。但是，他卻一直在那條大街上尋覓。朋友問他：「你為什麼要這麼做呢？你肯定找不到鑰匙的。」答案很簡單，因為在他回家的路上，只有這條大街上有路燈。其他地方都是黑漆漆的，即使去那些地方尋找也毫無意義。同樣道理，儘管假設物理定律與常數不會隨著時間、空間的變化而改變的做法可能大錯特錯，但是離開這條公理的「燈光」，試圖從事科學研究的努力也將毫無意義。
雖然如此，我們還是找到了一些證據，至少可以證明某些物理定律與常數在時間上具有對稱性，從而增加了這個假設的可信度。證據之一就是電荷的大小。借助1972年在西非加蓬奧克勞發現的一些引人注目的天然核反應堆，我們可以證明至少20億年以來，電荷大小在時間上具有對稱性。當這些天然反應堆形成的時候，鈾238的含量遠遠多於裂變反應堆所需要的量。由於含量充足，所以當這些同位素在奧克勞聚集起來之後，核鏈式反應就開始了，並產生了大量的熱和輻射。
實際上，如果釤的原子核質量稍有不同，這些核反應堆就不會形成釤這種產物。但是，我們知道，由於質能等效，所以原子核的質量取決於原子核中的質子攜帶的電荷。根據在這些年代遙遠的反應堆中發現的釤，我們可以推斷現在測量的質子電荷與當時的質子電荷相比，相差不到千萬分之一，否則，這些釤根本就不會存在。諸如此類的測量結果至少可以確定某些常用的物理定律與常數在幾十億年時間裡幾乎不會發生變化。有必要指出，即使存在差異，也可能只發生在宇宙剛剛形成的時候，也就是說，在130多億年（其實這個數字也是在相關假設的基礎上推算出來的）前，而不是20億年前。
諾特定理具有突破性意義，證明了在對稱與能量守恆定律之間存在一種不可分割的聯繫。比如，如果實踐證明某些物理定律不會隨著時間的推移而發生改變，能量就必然在一個封閉系統中守恆。反之，如果我們發現能量是守恆的，這些物理定律就必然在時間上具有對稱性。這個特點同樣適用於其他對稱性。如果旋轉之後，系統的表現沒有任何變化，那麼角動量必然是守恆的。如果空間位移不會導致變化，就說明線動量守恆。
在此之前，能量守恆定律在某種程度上一直是以假設的形式存在的。對稱不僅可以幫助我們理解其中的原因，在量子電動力學等量子場論顯著改變了微觀物理學之後，對稱還為我們選擇新的研究方向創造了條件。此外，在對稱性的幫助下，構成宇宙萬物的粒子的複雜本質進一步展現在我們眼前。
對稱與量子層級出現的那些令人困惑、變化不定、隨機的混亂局面到底有什麼關係呢？物理學家需要化繁為簡，才能理解現實，進而構建出現實世界的模型。對稱為物理學家指了一條明路，儘管走上這條道路必然會遇到難以處理的數學問題。人們在原子核中發現中子的存在後，就踏上了這條道路。歐內斯特·盧瑟福曾預言，大多數的原子核中都存在一種不帶電的粒子，即中子。之後不久，英國物理學家詹姆斯·查德威克證明這種粒子確實存在，並指出使質子結合在一起的那種未知作用力（現在叫作強核力）也會作用在中子身上。
質子帶正電荷，當它們聚集在一起時，就會因為攜帶同種電荷而相互排斥。它們在原子核中結合得非常緊密，相互之間的排斥力肯定非常大，這說明將它們結合到一起的力更大。根據查德威克的發現，這種作用力似乎還會吸引不帶電荷的中子。在中子被發現之前，人們並沒有發現這個問題。如果原子核中只包含質子，就表明還存在電量相等的異性電荷，而且同性電荷被吸附在一起。但是，這種力還對中子有效，情況就大不相同了。這時候，有一個人站了出來，將對稱引入原子核行為研究，並賦予了它核心地位。這個人就是沃納·海森堡。
我們在上一章已經討論過，海森堡用來研究量子相互作用的數學模型在宏觀世界找不到對應物，我們也無法借助現實世界的類比來理解這個模型的作用原理，但這個模型沒有導致任何問題，而且矩陣中的數字與現實世界的觀察結果很吻合。海森堡認為，這個模型已經非常完美，不需要添加任何內容了。接下來，海森堡做出了一個非常大膽的舉動：通過一種其實並不存在的對稱性來研究原子核。但是，他使用的是「類似對稱」的說法，似乎在暗示有某種重要事物隱藏在背後，但是他沒有說明。
海森堡發現質子和中子的質量非常接近，兩者之間只存在大約0.14%的差別。此外，原子核中質子和中子的數量往往相仿。不可否認，質子和中子數量不等的原子核也非常多。例如，最簡單的原子——氫原子只有一個質子、沒有中子，而簡單元素鋰的主要同位素鋰–7有3個質子和4個中子。但是，一般而言，在最穩定的原子核中，質子和中子的數量幾乎相等。
在對稱思想（而不是實際數據）的啟發下，海森堡似乎很自然地認為，將原子核中的粒子結合到一起的力，對於質子和中子應該具有相同的效果。海森堡還認為，如果將原子（包含相同數量的質子和中子）中的中子換成質子，或者將質子換成中子，原子核的狀況應該也不會發生任何變化。也就是說，原子核似乎表現出某種對稱性。海森堡把這種對稱性稱作同位旋。除了容易導致混淆以外，我們看不出這個命名方法有什麼明顯的原因，因為這個概念與旋轉沒有任何關係。海森堡假設質子和中子的同位旋大小相等，性質相反（質子的同位旋為+1/2，中子的同位旋為–1/2），結果發現根據這個假設得出的預測與現實正好吻合。
隨著各種各樣的其他粒子被人們發現，美國人默裡·蓋爾曼提出了粒子在另一個方面表現出的對稱性，並稱之為奇異數，從而拓展了同位旋的概念。根據他的研究結果，這些粒子按照奇異數和同位旋的不同形成了整齊的排列。如果繪製成圖，就會發現每8個粒子結合在一起，表現出一種引人注目的對稱性。這種對稱性表明，有某種根本原因促使它們形成這種結構。也就是說，它們之所以表現出這種對稱，是因為它們的結合具有某些特點。
然而，儘管按照假設的同位旋與奇異數，可以看出這些粒子表現出明顯的對稱性，但仍然存在一個問題：所有這些都建立在越來越瘋狂的推理的基礎上。它們的對稱不是很完美，比如，中子和質子的質量並不相等。等到其他粒子（例如「級聯粒子」）被引入之後，情況就更糟糕了。級聯粒子同中子和質子屬於同一類別，質量比其他粒子大40%。即使真的有對稱性，也會被這些粒子破壞殆盡。然而，對稱這個數學概念似乎有極強的誘惑力，讓人難以放手。
蓋爾曼努力尋找可以讓粒子友好共處並且形成這種對稱性的基本結構。他發現，最明顯的原因就是質子、中子等假定的基本粒子是由更小的成分構成的，而且同位旋與奇異性就是由這種結構造成的。質子、中子以及從宇宙射線和粒子加速器中發現的大量新粒子似乎與原子一樣，也是由更小的粒子構成的。這些粒子齊心協力，創造出我們觀察到的或者假設的大小不等的電荷、同位旋和奇異數。
現在，我們把那些更小的組成部分叫作夸克。這個名字是蓋爾曼取的，人們通常認為他是從詹姆斯·喬伊斯的「小說」《芬尼根守靈夜》中獲得的靈感，因為書中有「對麥克老大三呼夸克」這樣的詩句。但是，蓋爾曼卻說他起名時首先想到的是「quork」（郭克）這個詞，然後才聯想到那句詩，並且接受了人們普遍把這個名稱錯拼寫成「quark」（夸克）的事實。不管怎麼說，這個名字也比「埃斯」（ace）強。埃斯是歐洲核子研究中心的喬治·茨威格為他獨立提出的一個類似概念取的名字。最終，「夸克」這個名字沿用下來。
光子最初是普朗克為滿足數學工具的需要而提出的一個理論概念，與之相似，蓋爾曼提出夸克這個概念時，也是為了簡化數學結構，他並不認為真的存在這種粒子。但是現在，人們不僅認為這種粒子確實存在，而且認為它們（可能）是一種基本粒子。按照蓋爾曼最初的設想，夸克有三種「味」，即上夸克、下夸克和奇夸克（由此可以看出它與喬伊斯的那句詩的確是有關係的）。將兩個或三個夸克結合在一起，就能構成我們觀察到的所有粒子。此外，如果構成質子和中子的上夸克和下夸克在質量上略有不同，而且奇夸克的質量略大一些，就可以解釋為什麼粒子間的對稱性會遭到破壞了。可觀察粒子的對稱性確實存在，但這不是說它們的質量具有對稱性，而是說構成這些粒子的基本粒子具有對稱性。
事實上，僅有三種味是不夠的。隨著觀察的深入，局面似乎越發混亂。大約20年之後，量子色動力學產生。蓋爾曼受到描述光與物質相互作用的量子電動力學理論所取得的成績的啟發，選擇了這個相似的名稱。量子色動力學認為，夸克之間的力是由膠子這種粒子產生的，它不是一種簡單的力，而是會呈現出各種各樣的「顏色」（夸克的味不同於現實世界的味道，同樣，夸克的色與現實世界的顏色也沒有任何相同點），包括紅、綠、藍。事實上，夸克一共只有三種顏色，夸克的反粒子則呈現互補色，即反紅色、反綠色和反藍色。
這個系統的高明之處在於，這些夸克結合在一起之後一定會呈現白色。因此，在由三個夸克構成的粒子中，例如質子或中子，這三個夸克必須分別是紅色、綠色和藍色，而由兩個夸克構成的粒子，如介子，則必須包含某種顏色和它的互補色。要讓整個系統正常運轉，還必須有與顏色有關的膠子，一共有8種。從數學的角度看，這個方法了不起的一點是：它圍繞這種「色荷」重新形成對稱。由於質量不同，夸克的對稱性不可避免地具有不完美的特點，而沒有質量的膠子卻表現出完美的對稱性。
隨著理論物理學家和應用數學家的研究不斷深入，他們發現對稱似乎可以揭示宇宙中更多的深層次奧秘。對稱似乎是一種自然趨勢，也就是說，人們越來越傾向於用對稱這個數學工具去推導現實的本質。但是，這樣做存在一個問題。我們知道粒子的質量並不真的具有對稱性，我們還知道自然界的各種力也大相逕庭。即使真的存在某種深層次的對稱性，似乎也早已被破壞殆盡了。從人們新近用來研究宇宙起源的模型來看，宇宙在剛開始的時候是完全對稱的，但是這種對稱性早已不存在。在這個過程中，到底發生了什麼？
這裡存在一個與集合論選擇公理有幾分相似的問題。在人類干預的前提下，從集合中選擇一個元素是一件易如反掌的事情，但是在沒有人參與時，該如何選擇呢？同樣道理，如果對稱一度存在而隨後遭到破壞，那麼導致對稱破缺的原因到底是什麼？人們需要找出「對稱自發性破缺」的機理所在。人們經常舉鉛筆的例子來說明這個問題。將鉛筆的筆尖朝下，直立在桌面上。鉛筆必然會倒下，破壞直立的平衡狀態，然後筆尖指向某個方向。但是，我們無法預測鉛筆會在直立的狀態下倒向何方。
不幸的是，這個例子是有缺陷的。如果鉛筆真的處於完美的對稱狀態，就絕不會倒下，因為它必須受到某個力的作用，才會傾倒。就像電影《盜夢空間》中的那個陀螺一樣，鉛筆會一直保持明顯違背自然常識的直立狀態。只要對稱遭到一點兒破壞，例如鉛筆的平衡或筆尖的形狀有瑕疵，或者受到氣流等外力作用，鉛筆就會倒下。我們生活在一個不對稱的世界中，所以我們知道鉛筆肯定會倒。
對稱被廣泛地應用於探索宇宙奧秘的活動中，已經成為人們提出物理理論的主要手段。但是，我們必須十分小心。諾貝爾物理學獎得主利昂·萊德曼認為，如果我們假定某些對稱性真實存在，我們構建的科學模型就可能具有誤導性。他說：
對稱，即使是現實世界中的近似對稱，也可能是一個功能強大的工具。但是，我們人類經常犯錯，認為某些事物表現出完美的對稱性。實際上，這些對稱只是人們的錯覺，或者是其他事物不經意間造成的偶然結果。
儘管這個例子並不完美，但是它確實可以說明近似對稱的自發性破缺。人們認為，我們現在已經發現的各種力就是源於這種自發性破缺。當系統由高能狀態進入低能狀態時，就會發生這個過程。高能狀態更有可能具有隨機性，因此表現出更明顯的對稱性。與倒在桌子上的鉛筆相比，直立的鉛筆具有更多的勢能。與之類似，加熱傳統的磁體並使它超過某個溫度水平，它就會失去磁性。這是因為在熱動能的作用下，磁體內部的磁疇由整齊排列變成了雜亂無序的隨機排列。借助數學模型，我們可以將弱核力和電磁力統一起來。在宇宙誕生之初，弱核力和電磁力似乎是統一的，但是，隨著宇宙的溫度不斷降低，對稱自發性破缺最終導致這兩種力的分離。
儘管數學模型非常簡潔，但是它與我們觀察到的現實並不完全吻合。對稱理論要求負責傳遞作用力的玻色子（例如，傳遞電磁力的光子和傳遞強核力的膠子）必須沒有質量。光子和膠子的確沒有質量，但是負責傳遞第三種力（核裂變時出現的、可以使一種粒子變成另一種粒子的弱核力）的三種粒子都有質量。於是，對稱理論似乎被徹底顛覆了。
對於某些人而言，數學是推動物理發展的全部動力，而對稱理論的這些瑕疵令人無法接受，因此他們決定想辦法做出補救，以便對稱可以繼續發揮推動作用。於是，他們提出了一個非常大膽的想法：有沒有可能這些攜帶弱核力的粒子真的沒有質量，但是宇宙中卻存在一個力場，就像電磁場（以及其他場）那樣充斥在宇宙中，為自然界提供另外一種作用力呢？這個力場非常特別，它的唯一作用就是拖曳粒子，使攜帶弱核力的玻色子產生具有質量的假象。人們以該理論的一個創立者的姓名將其命名為「希格斯場」。
在用希格斯場打好「補丁」之後，人們發現整個系統中可能還隱藏著一種對稱性。唯一的問題是，沒有證據可以證明希格斯場的確存在。希格斯場是人們彌補理論瑕疵的應急之舉，具有主觀隨意性，沒有得到實驗數據的支持。因此，尋找希格斯力的攜帶粒子——希格斯玻色子的工作具有非常重要的意義。2013年，歐洲核子研究中心的大型強子對撞機實驗得出的一些結果在令新聞媒體摸不著頭腦的同時，又讓這些媒體欣喜若狂，原因是這些實驗結果與希格斯玻色子存在的假設並不衝突。但有必要強調一點，所有這些實驗結果都是間接證據，而且這套理論無法預言希格斯玻色子的質量到底是多少。
目前，人們利用數學推導結果搭建而成的模型，在諸多領域取得了實實在在的成績。例如，在上述對稱理論基礎上建立的粒子物理標準模型就是一個成功的案例。儘管還有若干問題有待解決，但是它的很多預測與現實高度吻合。然而，這個模型中有很多要素都來自於直接的觀察結果，而不是根據主體結構的預測。到目前為止，該模型還無法解釋宇宙中暗物質（人們認為，暗物質的數量多於普通物質）的本質，也無法解釋對稱性和質量的存在原因。我們只知道某些事物表現出某種對稱性，或者具有質量，但是無法解釋具體的原因。此外，在物質粒子與攜力粒子之間也沒有發現明顯的相關性。
為了迴避其中的某些問題，人們再一次求助於數學工具。在成功應用對稱理論的經驗的引領下，有人提出了一種叫作超對稱的全新對稱概念，將這兩大類粒子聯繫到一起。這個理論唯一需要解決的就是「簡單化」問題。由於每種粒子都需要找到一種與之相反的超對稱粒子，以致標準模型過於複雜。光子、膠子等攜力玻色子需要與光微子、膠微子等物質粒子對稱，與此同時，電子、夸克等構成物質的費米子也需要有與之對稱的攜力粒子，即所謂的超電子、超夸克。
在我創作本書的時候，人們還沒有找到任何關於超對稱粒子存在的證據。如果這套理論是正確的（目前還沒有任何合理的理由可以證明這套理論是正確的），在完美對稱的宇宙之中，粒子和它們的超對稱粒子就應該具有相同的質量，我們也就可以輕鬆地探測到超電子的存在。由於至今還沒有探測到這些超對稱粒子，所以我們必須徹底打破這種對稱性，使這些超對稱粒子的質量增加至等於或者大於希格斯玻色子的質量。也就是說，如果用大型強子對撞機完成更高能量水平的實驗（這是未來的目標之一），就應該可以增加超對稱理論發揮作用的可能性，但更有可能會起到反作用。
然而，對於利用純粹的數學方法推導出物理理論的「魔術表演」而言，超對稱只是一道開胃菜，而在「簡單」的超對稱理論中加入大量全新內容的弦論才是精心烹製的大菜。從弦論的總體描述來看，這套理論似乎兼具簡單、美觀這兩個特點，但是一旦進行深入研究，就會發現它的複雜程度非常高，難點體現在具體內容上。總的來說，弦論就是用弦這個單一的一維實體來取代那些紛繁複雜的基本粒子。
就像電子不是小球一樣，弦論中的弦顯然也不是現實世界中的弦。但是，人們可以通過想像，讓這條看似簡單的基本實體以不同的方式（例如開弦或者閉弦）發生振動，從而發現所有可觀測的粒子（包括物質粒子和攜力粒子）。理論學家將抽像數學層層疊加到弦論之上，直到可以自圓其說，但也付出了高昂的代價。剛開始的時候，弦論存在5個主要版本，彼此之間水火不容，但是最後人們將它們統一起來，建立了M理論。
然而，弦論（或M理論）面臨著嚴峻的考驗。其中難度較小的一個考驗是，這些理論不適用於包含三個空間維和一個時間維的傳統概念，因為它們要求必須有9個（弦論）或10個（M理論）空間維。顯然，我們無法看見這些維度。因此，還需要有「補救措施」。於是，它們假設這些看不見的維度都蜷縮成非常小的一團，雖然我們看不見，但是它們依然可以發揮各自的作用。
弦論面臨的一個更大的問題是，它會產生數不清的可能結果。弦論給出的可能解甚至比宇宙中的質子數量還多。結果的數量之多超乎人們的想像，數學卻不會告訴我們如何取捨。物理學家馬丁·波喬瓦爾德指出，弦論包羅萬象，毫無疑問是一種萬能理論。而且，弦論沒有給出任何可以檢測的預言，與現實沒有任何聯繫。
英國物理學家保羅·戴維斯說：「（由於複雜程度非常高，又缺少預言，因此）研究弦論和M理論的學者們在檢驗真實性方面都有所欠缺。所有人最後得到的只是猜測。也許，他們在誤打誤撞之下，闖進了科學聖殿。果真如此的話，說不定哪一天他們就會告訴我們弦論的作用原理。又或者他們從此遠離塵世，躲入桃源秘境。」有人認為，他們過於依賴抽像數學。如果利用數學推演理論，最後得到的都是虛無縹緲的空想，那又有什麼意義呢？
數學不一定要與物質世界有相似之處，這不是它與生俱來的使命。原始社會的人費力地掰手指計算山羊或者玉米的數量時，可能會與現實世界形成直接的聯繫，但是人們很快就發現，負數及其平方根並不存在於我們周圍的世界中。然而，即使引入這些量，也沒有使數學失去意義。對於研究純粹數學的人而言，與現實世界脫節不會導致任何問題。例如，紐結理論中的繩結與我們在現實世界中看到的任何繩結都不相同。在拓撲學中，甜甜圈與茶杯並無區別，重要的是如何迎接挑戰，證明相互關係，推導出結論。只要不把茶水倒在甜甜圈上，就不會有任何問題。
在某種程度上，這種自由性可以發揮巨大的威力。在純粹的數學研究中，現實世界的所有限制條件都無須考慮。不喜歡2 + 2 = 4，是嗎？覺得有點兒厭煩？那麼，我們可以讓2 + 2 = 5，然後看看有什麼結果。這個等式在數橘子時可能不成立，但在數學世界裡卻是完全有可能成立的。與之類似，數學家早就認為三個空間維和一個時間維的限制具有主觀隨意性。他們發現，把研究工作搬到「相空間」之中，進展往往會非常順利。就像物體有很多可能的狀態一樣，相空間的維數也非常多，甚至可以達到上萬億的數量級。這些維度並不存在於現實世界，但是在數學中卻可以發揮重要作用。儘管弦論需要用到9或10個空間維度，儘管從技術角度看這些空間維度似乎根本不存在，但在數學家將物理學推向弦論這個研究方向時，這些問題似乎無關緊要。
說到這裡，該哲學家卡爾·波普爾登場了。在當今科學界的權威人士眼中，波普爾似乎已經過時了。這是因為波普爾對科學本質的看法非常極端，公開宣稱在科學研究中不應該使用歸納推理的方法。我們在根據已有的不完整觀察結果做出各種預測時，使用的工具就是歸納推理。例如，我們推斷光速是恆定的，因為根據我們的長期觀察，光的傳播速度都是恆定的。波普爾稱，這個理由並不充分，因為說不定明天光速就會發生變化。沒有歸納推理的話，科研幾乎寸步難行。因此，波普爾的這個觀點顯然不切實際。但是，這並不意味著根據他的另一個觀點總結出來的簡化理論不可靠。
波普爾認為，任何科學理論都必須可以通過觀察予以駁斥。反對波普爾的人通常認為，如果科學理論被任何觀察證偽，我們通常就會拒絕接受這些理論，因此我們在應用波普爾的這個研究成果時必須非常謹慎，知道在什麼時候、什麼情況下才可以摒棄某個理論。波普爾的證偽機制在應用時顯然要受到某些限制。在提出正式的質疑之前，我們必須認真檢查，還需要重複證偽的過程。儘管如此，我們仍然有足夠的理由斷言，我們還是需要對付所謂的「隱形惡龍」，而且很多依據純粹數學推導得出的現代物理學理論都難逃這個命運。
從隱形惡龍說可以看出科學必須接受波普爾原則的檢驗。設想某人說「我的車庫裡有隱形惡龍」，然後請科學家核實這句話。科學家肯定看不見這些惡龍，觸摸的方法也不能用，因為觸摸惡龍會有危險。此外，惡龍可以飛翔，躲開科學家的觸摸。也許科學家可以把麵粉撒到地上，以便尋找惡龍的腳印。但是，這個人說，他車庫裡的惡龍非常特殊，都沒有質量，也就是說，它們不會留下腳印。於是，科學家打算使用紅外探測儀。但是，這個人又說，惡龍有非常好的熱絕緣性。於是，科學家又打算探測惡龍移動時引起的空氣振動，但是這個人說惡龍都是通過量子隧穿移動的，根本不會擾動空氣。
由於沒有辦法觀測到這些隱形惡龍，所以用科學的手段不可能發現這些惡龍。但是，這並不意味著這些惡龍不存在。惡龍有可能真的存在，而且它們有能力逃避所有的偵測手段。我們既不可能通過觀察證明這些惡龍不存在，也沒有辦法對其進行科學研究。即使這個人可以創建出簡明有效的數學工具，並證明他的車庫裡應該有隱形惡龍，情況也不會改觀。
也許我們會感到奇怪，為什麼波普爾要求理論可以被駁斥呢？在上面的例子中，那個人希望證明自己家的車庫裡有惡龍。但是，只有反面證據才具有確定性。即使在車庫裡找到爪痕，也不能確定它們就是惡龍留下的。那個人可以趁科學家不在場的時候，偽造出這些爪痕。但是，如果惡龍存在說提出了一個可以驗證的預言，驗證結果表明這個預言絕對是錯誤的，我們就可以判斷惡龍存在說是不正確的。也就是說，除非結合失敗的預言對理論進行修改，否則這個理論就是不正確的。真正的科學經常會遭遇預言失敗的情況，因此，波普爾的這個方法在實際應用中有時會遭遇困難。然而，這些困難無法抹殺它的價值。
科學常常無法提供證據。「事實」不足為憑，我們需要的是「證據確鑿的理論」。黑天鵝就是人們經常援引的一個例子。在幾百年時間裡，歐洲人一直認為世界上只有白天鵝，因為人們觀察到的所有天鵝都是白色的，也就是說，所有證據都支持「所有天鵝都是白色的」這個說法。但是，這個證明並不科學。的確，我們看到的所有天鵝都是白色的，但是這個事實無法證明所有的天鵝都是白色的。如果有人從澳大利亞帶回一隻黑天鵝，就可以證明「所有天鵝都是白色的」這個說法絕對是錯誤的。（至少，我們需要換一種更加嚴謹的說法：「歐洲所有的天鵝都是白色的。」）
同樣道理，認真研究宇宙大爆炸理論，就會發現我們永遠無法證明這是宇宙起源的精準模型。但是，我們有可能輕鬆地找到證據，證明這個理論是不正確的。自20世紀50年代以來，這樣的證據就出現過好多次，宇宙學家只好結合這些新證據，修改並不斷完善大爆炸理論。（天體物理學家弗雷德·霍伊爾覺得非常委屈，他認為自己的穩恆態理論從未得到同樣的機會。此外，他還通過巧妙的證明向世人表明，他可以通過修正讓這套理論與新數據高度吻合。）目前，大爆炸理論在幾個問題上與數據的吻合程度非常高，但是，它隨時可能被證明是錯誤的。也就是說，大爆炸理論經過了波普爾簡化理論的檢驗。
對於那些通過層層疊加數學內容的方式構建而成、與現實之間聯繫不緊密的理論，情況就不一樣了。按照波普爾簡化理論的標準，弦論還不是（或許永遠也不會是）得到普遍認可的科學理論。但是，這並不意味著弦論就沒有研究價值。通過研究，人們有可能發現該理論的某些預言可以幫助我們完成證偽工作。儘管數百名科學家已經努力了幾十年，但是以弦論目前的發展狀態來看，人們仍然沒有辦法駁斥它。我們有理由認為弦論這個名稱不是很合適，至多可以稱之為「弦假設」。理論必須是可以檢驗的，而假設只是一種想法，不需要通過嚴謹的步驟來證明。
我們可以通過文字遊戲，建立一個無法用波普爾簡化理論來檢驗的科學理論。如果把上例中的天鵝理論改成「存在黑天鵝」，我們就沒有辦法證明它是錯誤的了。但是，如果我拿出一隻黑天鵝，就可以證明這條理論是正確的。這個事實說明這條理論非常簡單，只有非常簡單的概念才可以使用這種正話反說的辦法。在這種情況下，我只需要檢驗某個命題是否有效，而且通過直接觀察就可以達到這個目標。但是，進入粒子物理、宇宙學等領域之後，所有的證據都是間接證據。因為沒有辦法直接接觸、做實驗，所以我們沒有辦法證明某個事物真的存在。（例如，尋找希格斯玻色子的工作就具有這個特點。）在這種情況下，一個理論必須可以被證明有誤這個標準具有非常重要的意義。
為了應對人們懷疑弦論割裂了數學與現實之間聯繫的喋喋不休的指摘，弦論研究者辯解稱多餘的維度都蜷縮到我們看不見的程度。但是，這個說法無法解決結果過多的問題。數學是不是終於發展到了過於偏離現實的地步？科學的目的是幫助我們理解、解釋宇宙的運行規律，但科學是否已經忘記了它的「初心」呢？