我們對數學與現實之間關係的探討已經接近尾聲，現在，我們不可避免地要提到一個現象。有人認為，至少物理學領域目前正處於本末倒置的狀態——數學佔據了主導地位，長此以往，很容易導致令人不安的後果，即科學家的研究將越來越難以被普通人理解。
物理學家尤金·維格納講過一個故事。兩名昔日中學好友在一起聊天，其中一個人是統計學家，正在自豪地介紹自己的工作。他拿出一篇介紹人口變化規律的論文，然後告訴他的朋友，根據某種分佈類型（高斯分佈）可以預測人口將發生哪些變化。在這個過程中，他不可避免地要解釋這篇論文裡出現的大量晦澀難懂的數學符號。
朋友認為統計學家在論文裡描繪的那幅圖其實是一堆抽像數字的直觀表示，對此他產生了懷疑：怎麼能用這幅圖來預測一群人，一群活生生的、有自己想法的個體的行為呢？但是，他發現這些數學符號中還隱藏著更加令人難以置信的東西。他指著論文中的一個符號，詢問它的含義。統計學家說：「這是π。你應該知道π的含義，就是圓的周長與直徑之比。」朋友搖了搖頭：「原來你真的在捉弄我。人口怎麼可能與圓的周長有關呢？」
維格納是在一個講座的開場部分講述了這個故事的，目的是解釋「數學在自然科學中不可思議的有效性」。他認為，這種不可思議的有效性表現在兩個方面。第一，數學可以出人意料地應用於某些看似不相關的領域（例如，在研究人類行為時，π的出現就會令人感到奇怪）。第二，我們不能因為這些數學概念具有相同的規律，就斷言這些數學概念與現實之間存在某種聯繫。這可能只是一種巧合，而我們在實驗時正好碰上，因此效果不錯。但是等到明天，或者當我們將它應用於另一種情況時，它也許就不適用了。
現在，我們可以回過頭來看看數學的誕生過程。在本書前幾章裡我告訴大家，數字在剛開始的時候是用來表示實物的。最初，數字可能與計算山羊數量的手指相匹配，然後又與計算其他事物數量的手指相匹配，這可能是數字的第一個抽像化過程。接著，數字進一步抽像化，變成了表示手指的符號。然而，在這個階段，數字與實物之間的關係仍然非常清楚、直接。隨著數學的發展，負數使數學與現實之間的關係漸漸疏遠（負數就相當於從整體中取走的物體的數量），隨後數學領域又引入了虛數、
等數字。維格納說：
大多數更高層次的數學概念……被精心設計出來，這是因為這些數學概念是數學家展示自己的創造力和對形式美的品鑒能力的理想平台。
我們看到數學家正在不斷突破可能性的限制，盡可能地拓展數學的應用領域，提出了一系列在邏輯上不會產生衝突的概念。即使搭建而成的完整結構在現實世界中沒有實用價值，也找不到與之匹配的對象，他們也樂此不疲。與此同時，他們還為自己的所作所為感到震驚、困惑。之所以有這種感覺，是因為這些數學家（他們也是凡人）在創造一個個小世界，並取得數量眾多而且和諧統一的成果（儘管有時候需要修改規則，例如將1從素數集中剔除）。與此同時，這個過程也會讓外行人感到困惑，因為他們認為有的成果除了可以用來炫耀自己的智商以外毫無意義，卻仍然有人願意耗費時間和精力，從事這方面的研究。
但是，純粹以實用性來引領研究方向是不切實際的，科學研究如此，數學也如此。我們必須賦予數學家做實驗的自由，因為我們不知道數學上含混不清的辯解之詞何時會變成實用的工具。這個特點讓那些政客以及負責為科學和數學撥付研究資金的其他局外人感到特別為難，他們覺得自己劃撥的那些錢款似乎是供人「玩樂」的。如果撥款對像從事的是純粹的數學研究，就等於為他們研究那些不切實際的抽像概念買單。但是，我們根本不知道這些概念什麼時候會發揮作用。
數學家和科學家就像收藏家一樣，他們如饑似渴地把那些看似無用的東西收藏起來，希望有一天這些東西會變成無價之寶。一旦如此，它們就會產生深遠的影響。20世紀初，數學界以外的人幾乎都不清楚非歐幾何的發展前景——當然，愛因斯坦不在此列。除了可以在地球的彎曲表面上確定航行方向以外，非歐幾何似乎與現實沒有任何聯繫。但是，愛因斯坦創立的廣義相對論卻離不開它。
數學家在研究數學時無拘無束，根本不需要考慮其是否與現實有關。實用價值不應該成為評判數學研究的基本標準，就像我們不能根據載人飛船太空探索的副產品（為把人類送入太空所投入的智力和財力給社會帶來的額外好處）的多少來評判這項活動一樣。在這些副產品中，有的是實實在在的好處，但影響力通常比較小，有的則是不合邏輯的建議。人們常常羅列出GPS（全球定位系統）、氣象衛星、空間望遠鏡等，作為支持載人航天活動的理由。但是，實際上，無須花費大量財力，以及執行各種危險的太空任務，人們也可以得到這些副產品。
不僅如此，根據副產品多少進行評判有時候還會得出徹頭徹尾的錯誤結論。我曾經看過，有人認為廣泛用於煎鍋、水管、尼龍搭扣、個人計算機等方面的不粘材料聚四氟乙烯要歸功於美國國家航空航天局。事實上，前兩項應用完全是普通研發工作的成果，只不過在幾十年之後，美國國家航空航天局碰巧應用了這兩項成果。美國國家航空航天局的確想減小計算機的體積，以便將它裝進太空艙中，但是個人計算機發展的最大動力絕對不是美國國家航空航天局的需要，而是潛在的大規模市場。就效果而言，大規模市場的推動力遠遠大於小規模的專業應用。因此，我們必須忘掉這些副產品帶來的「好處」，專心致志地考慮載人航天飛行的真正目的：它既是一項光榮的冒險活動，又有可能為人類帶來生機。
與之類似，在評判數學家的抽像數學研究時，我們也可以列舉出純粹數學在應用方面的諸多「副產品」，但是大多數數學家從事相關研究卻另有目的。過於關注實用價值，可能不利於取得重大突破。數學家希望迎接挑戰，樂於享受在精神世界建功立業的樂趣。但是，物理學家通常會受到現實的羈絆，無法在夢想的國度里長時間地遨遊。理論上，我們好像也可以創立一門專門研究純理論的「異種物理學」（或許真的有這樣的物理學，但是我電腦上的拼寫檢查程序卻認為這個單詞不存在）。事實上，物理學使用的很多模型都非常簡單，與現實之間幾乎沒有多少相似之處，但是物理學研究的目的是預測並解釋自然界的各種行為。在借山羊時，人們會用手指表示山羊的數量。同樣，研究自然的物理學也不能脫離與自然的聯繫。
想要更好地理解物理學的研究內容，必須先瞭解模型的概念。只要有機會，我就會講述一個在科學家群體中流傳的古老笑話，從中一方面可以清楚地看出科學模型的本質，另一方面可以看到內行人和外行人對科學的不同理解。聽到這個笑話後，外行人的反應最多是禮貌地一笑了之。笑話涉及的三個人分別是遺傳學家、營養學家和物理學家，他們正在討論賽馬的培育方法。遺傳學家說：「我們必須根據馬的特性選擇合適的馬匹開展育種工作，多代之後才能培育出最優秀的賽馬。」營養學家聽後說道：「不對，更重要的是看馬在成長過程中營養是否均衡，能否增強肌肉。」物理學家聽後搖搖頭說：「我們可以假設賽馬是一個球面。」
簡單化的模型的確可能引人發笑，但其中並不是沒有道理可言。上學期間，我一看到物理題目中出現「假設沒有摩擦力和空氣阻力」就感到十分生氣，覺得他們在騙我，因為摩擦力和空氣阻力肯定存在。既然可以這樣假設，那麼我們也可以「假設我知道正確答案」啊！然而，這也說明了一個事實：數學家在數學世界中擁有至高無上的控制權，而物理學家必須更注重實際。我們以身體為例。物理學在研究這個我們都非常熟悉的對象時，必須使它簡單化，而不是研究一個個原子。原子是量子，具有概率特性，而且原子的數量非常龐大，我們身體裡大約有1027個原子。任何人都不可能合理地預測每個原子的行為，因此我們只能將所有原子視為一個整體，並在此基礎上建立模型。
鑒於我們周圍的世界無比繁複，物理學竟然可以做出各種預測，這實在是一件匪夷所思的事。但是物理學真的做到了，其主要手段就是建立簡單化的數學模型。在理論上，這些模型不一定真的有用。但是，我們發現宇宙萬物之間具有某種協調性，從而為物理學家提供了某種幫助。如果被我們視為基本常數的值（例如光速）不斷變化，物理學就會遭受滅頂之災。所有的物理系統都會受到災難性的打擊，我們甚至也無法預測任何事物的發展趨勢，因為事物發展將表現出一種茫然無序的情況。
我們通常認為，地球上的規律同樣適用於其他地方，但現實似乎並非如此。比如，我們知道物體在月球上比在地球上輕得多。因此，機器在月球上的性能也會大不相同。但是，牛頓的一個偉大創新就是大膽地假設引力是一個普遍現象，他認為月球上的引力作用與地球上的一模一樣。截至目前，除了幾個可能的例外情況，這個假設似乎並無不妥之處。我們無法證明這是一個事實，但是，如果我們不做出這樣的假設，科學研究的所有努力都將毫無意義。
值得慶幸的是，很長時間以來，這種假設經受住了考驗，這就意味著我們可以利用數學模型來研究現實，並且有可能取得令人吃驚的成功。在這個過程中，我們常使用不變性原理（簡而言之，不變性原理認為我們建立的物理「定律」適用於所有時空）。
儘管科學的不變性不受實驗操作者的影響（實驗者的性別、年齡或種族不會影響實驗結果），但並不是所有「實驗」在完成質量上都是相同的，因為實驗者採取的控制措施各不相同。然而，其中的道理並不十分明顯。那些熱衷於順勢療法，或者認為自己對電磁輻射敏感，或者相信自己能看見鬼魂的人有時迷惑不解，原因就在於此。科研人員通常會花大力氣將某個現象分離出來，以便從這個現象中提取數據時不會受到外界因素的影響。這在實驗室環境中是可以做到的，但是一旦離開實驗室，效果就會大打折扣。
比如，2014—2015年第二代宇宙泛星系偏振背景成像微波望遠鏡的發現，一度被視為引力波，但是後來人們發現那些數據其實受到了銀河系中塵埃的影響。任何天文學和宇宙學觀測都有可能受到意料之外的干擾，我們的日常體驗亦如此。科學界有一句老話：「傳聞再多，也不是數據。」即使我們有某種親身經歷，也不意味著大腦對這些經歷的解讀就是有效的科學模型。即使我採取順勢療法之後感覺很好，我也無法判定自己是在這個療法的幫助下恢復健康的，因為我沒有合適的比較標準。我感覺不錯的原因可能有很多種。最有可能的原因是我的健康狀況真的有所好轉，也有可能只是我的感覺很好，但身體狀況並沒有真正得到改善。也就是說，我們必須清醒地認識到，不變性假設並不意味著我們可以把道聽途說當作科學證據。
尤金·維格納指出：「自然律只在特殊條件下，即世界現狀的所有相關決定因素均為已知時，才能用於預測未來。」一般而言，這個條件永遠無法實現。我們無從瞭解我們所面對的所有條件，因此我們只能依賴假設和簡單化處理。這樣一來，我們使用的模型與現實越來越脫節，得出不正確結果的可能性也越來越高。
即便如此，我們仍然可以看到，在某些領域，研究人員沒有依靠與現實相匹配的模型，而是借助抽像數學做出了與現實吻合的預測，從而證明數學是一個效果驚人的工具。維格納以蘭姆移位（原子中兩個電子能級之間的微小差別，這一發現推動了量子電動力學的發展）為例，說明了這個問題：「由貝特提出、施溫格創建的蘭姆移位量子理論是一個純粹的數學理論，它唯一的直接貢獻就是證明存在某種可測量的效應。事實表明，實驗結果與理論計算的吻合程度超過千分之一。」
儘管這些方法取得了成功，但這並不能保證這些模型一定可以發揮作用。建立模型時，我們總會依賴自己的經驗。比如，在研究物理學的兩大支柱——始於20世紀的量子論和相對論時，人們依賴於兩種不同的數學結構，但是這兩種結構無法融合。幾乎所有的物理學家都認為肯定有辦法讓它們融為一體——要麼修改其中一個理論，使其適合另一個理論的數學結構，要麼設計出同時適用於兩大理論的新結構。但是，現有模型很有可能就是效果最好的可行模型，而且它們永遠無法實現融合，「萬能理論」也永遠不會出現。
我們並不一定非得建立一個可身兼數職的普適型數學系統。儘管有人會提出相反的觀點，但我仍然認為宇宙的本質不是數學。只不過，某些（並不是大多數）數學內容的基礎是現實世界的觀察結果。實際上，數學是一個功能強大的工具，可以幫助我們建立宇宙模型，而模型一定有其局限性。在這裡，我要再次引用維格納的話：「我們根本不知道我們的理論為什麼如此有效，因此，它們的精確性並不能證明它們的真實性與一致性。」維格納有力地指出，即使基於數學的理論可以做出有效的預測，也不一定意味著它具有某種價值。
這個觀點似乎非常奇怪。既然數學可以有效地預測未來，為什麼否認它是現實世界的精確表達呢？原因在於我們已經發現的一個事實：幾乎所有的物理學內容都離不開大量的簡單化處理與假設。在我們建立模型時，宇宙黑箱裡真實存在的很多元素都有可能被我們忽略。舉一個非常簡單的例子，下面是一個預測明天早晨太陽是否會升起的計算機程序：
如果年份<3000
輸出「太陽將會升起」
否則
輸出「太陽不會升起」
結束
這其實是一個數學模型，但大多數人更熟悉計算機程序的邏輯結構，而不熟悉數學的符號結構。我可以告訴大家，在公元3000年之前，這個模型的預測結果都不會有任何錯誤，但是到了公元3000年，它就會出錯（我希望如此）。你也許會說，我輸入的具體日期與現實之間沒有任何聯繫。但是，從一定意義上說，這就是我舉這個例子的目的所在。我們也不知道自己輸入科學模型中的那些常數、公式是否與現實有關聯，我們只知道其預測結果與我們觀察到的現實非常吻合。但是，這些模型的內容與現實之間的聯繫，不一定比我編寫的那個高度精確但是毫無價值的計算機程序與現實之間的聯繫更緊密。
本書談到了很多了不起的數學家所提出的嶄新的、有影響力的數學概念，其中一些概念是作為純粹數學的推論被提出來的。例如，16世紀，吉羅拉莫·卡爾達諾提出了虛數的設想，當時他並沒有考慮虛數會有什麼實用價值。但是，在科學家和工程師的手裡，虛數變成了一個功能強大的工具。數學家抱著開發一個新的實用方法的目的，有意識地開發出一種數學方法的情況並不多見，其中最顯而易見的例子就是微積分的前身——牛頓的流數術。
為了揭示數學的本質，瞭解數字是否真實存在，我們可以把數學家視為古時候的鐵匠。鐵匠的任務是為社會提供工具，為其他行業製造必需的設備。但是，他們也是藝術家，有時還會別出心裁，用金屬打造一些用途不太明確的物件。與鐵匠相似，數學家也為科學研究提供了大量工具，儘管他們可能對由純粹數學構成的抽像世界更感興趣。
借助數學，科學已經取得了一系列成功，但是我們有理由相信人們在考慮數學的應用性時步子可能邁得太大了。美國物理學家理查德·費曼曾經把那些偽科學家徒有其表的科研活動稱作「草包族科學」。但我認為用這個詞表達另外一種意義，效果可能更好。據稱，20世紀上半葉，美拉尼西亞群島上的居民由於貨機崇拜而將飛機模型與真正的飛機混為一談（對於貨機崇拜這個現象，歷史學沒有確定的結論，反而是神話傳說表現出一副言之鑿鑿的樣子）。我認為，有些科學家同樣把他們的模型與現實混為一談了。
數學一度被視為幫助我們瞭解、解釋物質世界的工具，但它現在已經成了一個獨立的實體。在用數學推演出結果之後，我們會絞盡腦汁地讓它們與觀察結果一致。例如，數以百計天資聰穎的人正在研究弦論，但是他們的努力很有可能會徒勞無功。物理學教授薩賓·霍森菲爾德稱：「在這個過程中，很多物理學家開始相信，僅憑純粹的（數學）邏輯和一定的美感，就有可能在沒有觀察結果的前提下提出一條理論。他們肯定認為他們的大腦和宇宙之間存在某種神秘的聯繫，僅憑思考就可以發現自然律。」
當然，物理學不是科學的全部，但是在運用數學工具這個方面，其他學科仍然不及物理學。我們已經知道，那些從事心理學等軟科學研究的人往往不能得心應手地使用統計學等工具。而且，由於這些工具看似簡單，但是常常與直覺相悖，因此他們經常會得出一些錯誤的結果。有些科學領域還需要進一步加強對數學的瞭解，以便為觀察結果建立合適的模型。但是對於物理學而言，花在「集郵」上的時間或許應該多一點兒，而躲在象牙塔裡鑽研數學的時間或許應該少一點兒。
智能手機等日常設備應用了量子技術，其背後理論所涉及的數學知識是99%的人都無法理解的。但是，我們同樣需要通過加強對實驗的倚重、減弱對數學理論的依賴，建立一些不同的、更容易解釋的模型。歸根結底，現實世界的科學模型並不全是數學層面的，有的模型還需要反映我們對周圍世界的觀察結果，以便幫助我們更好地理解現實。建立模型絕對不止一種方法。
統計學家早就警告我們，相關性不等於因果關係。兩個數據集在一段時間裡同時發生變化，並不代表它們之間存在因果關係，也不代表未來它們會繼續保持這種相關性（要確保相關性持續存在，兩者之間就必須存在因果關係）。「二戰」之後，英國香蕉進口貿易與婦女懷孕就是有相關性但是沒有因果關係的一個經典例子。當時，香蕉進口量增加，英國懷孕婦女的數量也會增加，反之亦然。但是，任何頭腦清醒的人都不會認為婦女懷孕的原因是香蕉進口貿易（事實上，這兩件事可能都與第三個因素相關）。一般而言，我們遇到的相關性都遠沒有這個案例那麼荒誕不經，因此我們更有可能受到表象的迷惑，誤以為存在因果關係。
不存在因果關係的相關性案例不勝枚舉，有一個網站甚至還將這些相關性案例列舉出來。這個網站告訴我們，在10年時間裡，美國上吊自殺的人數與美國政府撥付給科學研究、空間探索和技術發展等方面的經費之間存在顯著的相關性；同一時期，美國緬因州的人造奶油人均消費量與離婚率之間存在顯著的相關性。事實上，這些相關性顯然毫無意義。然而，如果新聞節目主持人告訴我們政府的新政策導致股市下跌，我們可能根本不會感到驚訝，儘管這種因果關係也只是一個假設而已。
科學家喜歡在實驗室條件下做實驗，原因之一就是他們在實驗室裡可以控制很多在「自然環境中」無法控制的可能變量。在實驗室中，因果關係比較容易確定，但是在現實中，發現因果關係的難度要大得多，因為諸多干擾因素會把某個現象的真正原因隱藏起來。
正因為因果關係難以確定，所以人們很難判斷不同的飲食方法到底會對人類健康產生什麼影響。例如，科學家可能會注意到大量食用西紅柿的人患心臟病的概率低於普通人，但是我們不能就此認為只要多吃西紅柿就一定能改善我們的健康狀況。我們長期生活在一個異常複雜的世界裡，這與控制措施嚴密的實驗室不同。我們將發現，大量食用西紅柿的人與那些常吃垃圾食品的人還存在很多其他不同點，其中最重要的不同點或許與西紅柿根本沒有關係。
如果我們可以對幾千人做實驗，控制他們的飲食，那麼幾個月之後，我們或許可以進行嚴謹的科學分析。但是，事實上，大多數飲食結構研究都需要綜合考慮一系列的差異，操作起來難度很大（往往還需要依賴實驗對像極不準確的自我報告），因此很難保證實驗結果的精確性。
在實驗室裡工作的物理學家無須面臨如此惡劣的條件，但是在難以實施控制的科學領域（例如宇宙學），研究人員卻會遭遇同樣的問題。在實驗室中，科研人員也可能遇到異常複雜的情況，或者需要通過非常曲折的方式進行間接觀察。例如，在大型強子對撞機項目中，探測器提供的探測結果就非常複雜、極其混亂。在這種情況下，我們很有可能受到誘惑，忍不住使用某種數學方法，原因是這個方法「似乎是正確的」，它給人一種難以抗拒的美感，而不是因為觀察結果要求我們必須採用這種數學方法。結果，雖然我們的數學模型可以產生大量與實驗結果相吻合的數據，但是模型本身卻與現實沒有任何聯繫。對數學的過分依賴，已經引起了若干當代物理學家的關注。
在科學史上，我們可以找到大量模型與現實脫節的實例，例如，托勒密天文學中使用的本輪系統。這套系統的基本原理是，根據觀察結果建立相匹配的數學模型，並對其進行完善。這套系統的應用時間為1 300多年，而且由於不斷完善，它與觀察結果的吻合度一直非常高。但是，使用這種圓周旋轉模型來描述行星的運行方式的做法，並沒有充分的科學理由。這個模型基於一個錯誤的物理假設（地球是宇宙的中心），因此它無法逃脫覆滅的命運。畢竟，即使數學工具給出的答案與觀察結果高度吻合也無濟於事，因為僅僅得到數學的支持是不夠的，數學不可能擁有決定一切的權力。
數學鳩佔鵲巢，把實驗擠到了次要位置，這讓在著名的圓周理論物理研究所擔任主任一職的尼爾·圖羅克難以接受。圖羅克曾發表了下面這番言論：
自然為我們提供了這些不可思議的線索，但是我們並沒有理解其中的含義。事實上，我們正在做著南轅北轍的努力，導致我們的理論越來越複雜、越來越不自然。我們搬來了更多的場、維度、對稱，想盡一切辦法解決這個問題，卻沒有解釋最基本的事實。
實際上，圖羅克批評的是人們利用數學來推動科學研究這個現象。從本質上看，數學研究的是真理和事實，這是數學與科學的區別之一。在數學系統裡，事實不容置疑。例如，在傳統算術中，2加2一定等於4。這是算術法則規定的事實，是由這套數學系統的本質決定的，任何人都不可能找到證據駁斥它。科學家兼科幻作家艾薩克·阿西莫夫說：「隨著時間的推移，人類活動的所有領域幾乎都會發生顯著的變化，這些變化可以被視為修正或者拓展，又或者兼而有之……現在，我們可以看到數學到底有什麼獨特的地方了。數學這個領域從來沒有進行過重大的修正，所有的改變都是拓展。」
在數學領域，我們必須注意語言的精確性。如果我們換用另一個數基（比如基數為3時，2加2等於11），或者使用第1章裡討論的算術法則（數字不是一直往上增加，而是像鐘面一樣，達到最大值之後就會從頭再來），那麼2加2完全有可能得出不同的結果。對於數學家而言，傳統算術與鐘錶算術不存在誰更「真實」的問題，儘管一種算術適用於所有傳統實物，而另一種則只能用於處理週期性事件。在傳統算術的特定系統中，我們絕不能背離在該系統中發揮基礎作用的所有事實。
然而，科學與數學在這方面有所不同。當科學家討論137億年前使宇宙開始膨脹的那次大爆炸時，他們描述的內容與我們通過書寫2 + 2 = 4這個等式表達的內容有所不同，因為後者是一種事實，而宇宙大爆炸則是根據當前數據建立起來的最可靠的理論。在我創作本書期間，當得起「最可靠」這項殊榮的大爆炸理論至少被修改過三次，每次都是因為有數據證明當前版本是錯誤的。在未來的某一天，大爆炸理論甚至有可能被全盤否定，並被一個更可靠的理論取代。
科學一直都是臨時性的。科學的目的不是尋找絕對真理，科學的核心要素也不是事實，但這並不是說事實在科學中不重要。科學研究中涉及大量的事實收集任務，也就是遭到盧瑟福詬病的「集郵」工作，部分原因在於很多工作不過是貼上「已成事實」這個標籤。很多事實都屬於可觀測事實，包括我在打字時會使用一個鍵盤、我的計算機需要電源等事實。當科學提供解釋性理論時，我們必須清楚，此時事實已經離我們遠去了。比如，當我說光是一種波、一束粒子流，或者量子場的波動時，我描述的其實不是光，而是一個數學理論，或者是在進行類比。我們可以說光或者原子是存在的，也可以創建理論描述它們的本質或者作用原理（因為它們的規模及作用環境與我們可以觀察的宏觀世界大不相同），但這兩者並不是一回事。
科學家經常忽略甚至忘記科學與真理之間的間接關係，或許是因為這種關係會造成某種危險，讓人們以為所有的想法和理論在重要性方面都不相上下。因為我是一名科普作家，所以經常有人向我介紹各種各樣的理論，甚至宣稱他們已經證明愛因斯坦的相對論是不正確的。還有一些人根本不相信科學，而是對巫術深信不疑，堅信能量可以無中生有，堅信順勢療法可以治病。但是，在面對多種可能性時，科學沒有採取一視同仁的態度。所有人都可以對愛因斯坦的觀點提出質疑，但是就目前而言，相對論取得了非常好的效果，除非有新的令人信服的證據可以證明某個理論與實驗結果或宇宙觀測結果的契合程度更高，否則人們不會轉而接受其他理論。要徹底推翻科學，用巫術取而代之，需要更有說服力的數據。
有人認為科學就是數學，或者數學就是宇宙的本質。儘管其中不乏才高八斗、智力超群之人，但是我認為，從數學與科學本質上的不同可以看出他們都錯了。這兩個學科，一個學科（數學）包含一系列事實，我們可以根據我們制定的法則確定它們都是事實；另一個學科（科學）則涉及一系列模型和理論，我們可以利用數據測試這些模型和理論，但是絕不可以稱之為事實真理。
在確定數學這門與現實世界脫節的學科應該被賦予的地位時，我們需要考慮一個非常重要的因素。在脫離現實的那個絢麗的世界中，數學家可以編織神奇的魔術，以數學為基礎創造出所有事物，但這並不是科學研究應用數學工具的真正目的。我們在第2章提過的數學家理查德·哈明說：
使用數學工具時，我們都會有所選擇。數學工具不是通用的。在發現標量不適合表示作用力之後，我們就發明了矢量這個新的數學工具。接著，又發明了張量……我們根據具體情況選擇不同的數學工具，因為同一個數學工具不可能適用於所有情況。
科學已經取得了輝煌的成就，而且未來的前景更加光明。數學也已被證明是一個功能強大的工具，可以幫助我們建立宇宙模型，還將繼續扮演強大工具的角色。在運用得當的情況下，數學仍然是幫助我們理解物理學基本原理、探索宇宙奧秘的最有效方法，但這並不意味著我們可以濫用這個工具。科學界還需要注意另外一個同樣重要的問題：不可將模型與現實混為一談，而要時刻牢記數學世界別有洞天，有時候它像一面鏡子，能把現實世界的情況準確地反映出來，但這並不意味著它就是現實。像愛麗絲那樣透過鏡子就可以造訪的數學鏡像世界是不存在的。
某些數字和數學過程毫無疑問是真實的，至少與現實世界的真實物體和行為存在一一對應關係。自然數，即非負整數，肯定源自物理對象，並且與真實物體一樣遵循相同的算術法則。人類花費了很長一段時間，才為負整數奠定了同樣的理論基礎，我們可以在計算電荷的過程中看到它們的身影。隨著數學的進一步發展，數學與現實之間的差別越來越明顯。例如，雖然分數和幾何在現實世界中可以找到與之匹配的對象，但是它們高度精確，這與現實世界的混亂狀況迥然不同。我們棲身的這個世界就像柏拉圖的山洞一樣，不可能找到線條寬度為0的幾何圖形，而且，由於現實世界是由原子構成的，我們也無法完全等分蛋糕。
誠然，有時候我們可以把某些東西分成精準的幾等分，例如錢，25美分就正好是1美元的1/4。但是，這是因為錢從本質上看是量化的，有現成的分割方法，因此我們可以使用分數。然而，這種辦法需要付出數學成本。我們可以精準地得到1美元的1/4，但是我們沒有辦法精確地得到1美元的1/3。儘管其數學表達非常簡單，但是現實中根本不存在這個概念。
本書從數學專業人士的角度告訴大家，分數和幾何學與美輪美奐、光怪陸離的數學世界相比，不過是冰山一角。數學世界無比廣袤，即使數學家窮盡畢生精力，也很可能不會有任何真正的發現。但是，有的數學結構與數學機制的確與現實有相似之處。這些數字和程序也許並非真實存在，但是它們仍然可以幫助我們找到問題的答案。
儘管數學可以脫離現實，但是我們必須讓實用數學建立在物質世界的基礎之上，使科學可以被所有人接受。那麼，數字到底是不是真實存在的？我認為，數字從最基本的意義上看確實是真實存在的，但是大多數的數學內容則與之相反。數學就是一個夢幻世界，有時與我們身邊的這個世界非常相似，是這個世界的完美反映，可以作為我們理解現實世界的工具。但是，所有的數學工具都必須恰當運用。只要我們（以及科研人員）牢記這一點，就不會犯下大錯。