學校裡有一個非常奇怪的現象：在中學畢業之前，學生們學習的物理學知識與19世紀末的物理教學內容完全相同。對於1900年以後的物理學，他們可能略知一二，但是，除非他們上大學之後繼續學習物理，否則就不大可能瞭解這門科學在20世紀到底取得了哪些發展（更不用說21世紀的物理學了）。
其他學科則幾乎不可能發生這樣的情況。例如，如果英語課只介紹19世紀90年代之前的文學作品，大家肯定會覺得十分奇怪。但是，從1900年至今，文學領域的變化遠比不上物理學，因為20世紀產生了兩大革命性理論——相對論和量子論，1900年之前的所有物理學知識都無法逃脫被修改或者被摒棄的命運。作為新科學的組成部分，這兩大理論都從數學那裡獲得了重要的推動力。
相對性這個基礎概念要追溯至伽利略時代，癡迷於研究對稱的人（參見下一章）肯定認為相對性與對稱的本質——不變性有關。所謂不變性，是指不會隨周圍環境的變化而變化的力、物體或物體的某種特性。也就是說，即使發生某個特定變化，某事物的活動方式與結果仍然保持不變。在伽利略提出的相對性原理中，不變與穩態運動有關。
眾所周知，伽利略曾經對人們深信不疑的幾個古代信條提出過嚴厲批評，他提出相對性原理也是出於這個目的。據傳，伽利略在一次外出遊湖時證明了相對性這個概念。當時，他和幾位朋友在皮耶迪盧科湖上泛舟，船以某個固定速度前進。伽利略問誰身上有比較重的物體，他的朋友斯泰盧蒂拿出自己的鑰匙，遞給伽利略。這把鑰匙是鐵製的，很大很結實，如果丟失，將很難配製。伽利略接過鑰匙，朝著正上方用力拋出去。因為6名船工正在奮力划槳，因此船前進的速度非常快。斯泰盧蒂趕緊向船後方跑去，希望能接住掉下來的鑰匙。但是，另外幾名朋友拉住了他。最終，鑰匙垂直掉下來，落在伽利略的大腿上。
伽利略通過這個「實驗」證明了他提出的觀點：在穩態運動的物體上，例如那條船，我們可以順利完成任何物理實驗，實驗過程中不會受到船以外世界的任何影響，實驗結果與我們在靜止狀態下完成的實驗沒有任何不同。如果伽利略坐在岸上不動，斯泰盧蒂知道鑰匙肯定會垂直上升然後垂直下落。但伽利略卻知道，在船上拋鑰匙也會得到同樣的結果。所謂「相對性」，就是伽利略發現相對鑰匙而言，船並沒有移動。只有相對於其他事物，才可以發現或探查到穩態運動。所以，伽利略規定了「船以外世界」這個條件。比如，與湖岸相比，船正在運動，並且我們可以通過實驗方便地探查出船的運動狀態。
伽利略的研究並沒有使用複雜的數學知識，但即便如此，學校的科學課程也往往不會把伽利略的相對性理論納入教學內容。似乎只要提起「相對性」這個詞，就會讓那些教育家們感到害怕。我們會把結果教給孩子們，但是我們不會認真解釋相對性這個重要概念的真正含義。我知道，大多數教師都會辯解說，他們之所以沒有深入討論，是因為這些內容太難了。當然，如果討論廣義相對論和量子理論，對知識水平的要求肯定不是中學生可以達到的。但是，如果只要求他們掌握相對性和量子理論的概念，就不會有太大的難度了。事實上，我到學校做報告時，發現學生們理解這些概念的速度比成年人更快，這可能是因為年輕人更習慣於接受新奇的東西。
然而，愛因斯坦改進伽利略相對性原理的第一個成果——狹義相對論，對數學水平的要求並不是太高，所以實在沒有理由將它排除在中學課程之外。的確，理解狹義相對論需要掌握數學知識，而且這些數學知識與牛頓定律中使用的我們習以為常的數學知識有所不同，但是，兩者之間的跨度是可以接受的。此外，狹義相對論是一門有極強吸引力的科學。比如，一講到時空穿梭機，學生們個個都正襟危坐，認真聽講。因此，中學不教授狹義相對論是沒有任何道理可言的。
從本質上講，愛因斯坦的研究實際上是對伽利略的相對性概念進行了拓展，並將麥克斯韋揭示的光的本質也納入其中。麥克斯韋的研究表明，速度是電磁波的一個決定性特徵。根據伽利略的相對性原理，如果我們與某個正在運動的事物並肩前進，而且速度相同，對我們來說，這個「正在運動的事物」就是靜止不動的。因此，在伽利略把斯泰盧蒂的鑰匙朝正上方扔出去後，鑰匙會掉落在他的大腿上。但是，如果這個原理同樣適用於光，那麼與光並肩前進就會改變光的速度。一旦光的傳播速度不等於光速的定義值，光將不復存在。
一般人可能會認為麥克斯韋錯了，但是愛因斯坦十分讚賞麥克斯韋的證明過程。他由此推斷光與其他事物不同，即使我們與光做相對運動，光的速度也不會發生改變。這似乎是一個無關緊要的變化，但是一旦把這個變化放入研究運動的基礎數學（始於伽利略和牛頓）中，就會對現實的本質產生令人驚訝的影響。
所謂的「光鍾」就是一個非常簡單的例子，可以幫助我們瞭解這種變化的影響力。光鍾這種裝置沒有鐘錶的「滴答」聲，取而代之的是一束光在兩個水平鏡面之間不斷反彈。當上下傳播時，光束始終在一條直線上。假設把光鍾放到一艘透明的宇宙飛船中，然後我們在地球上用一台超級望遠鏡觀察它。如果飛船沒有與地球做相對運動，那麼地球上的人與飛船上的人從光鍾上看到的時間應該是一模一樣的。在這兩個人看來，光鍾都沒有移動，因此光束在鏡面之間反射時肯定與鏡面垂直。
現在，我們假設飛船正在以一個很快的恆定速度相對於地球運動。伽利略的相對性原理告訴我們，對飛船上的人而言，飛船裡沒有發生任何變化，光鍾在他們眼中沒有運動，那束光繼續沿著直線穩定地上下傳播。但是，地球上的人卻看到了某些變化。現在，假設那束光剛好從光鍾頂部的鏡面上反射出去，在它到達底部鏡面的這段時間裡，飛船將發生側移。於是，光將不再垂直向下傳播，而是沿著一條更長的斜線傳播。在光返回光鍾頂部的鏡面的過程中，同樣的現象將再次發生。也就是說，光將成「之」字形傳播。
如果伽利略的相對性原理是正確的，情況就會大不相同。假設我們坐在皮耶迪盧科湖岸邊，觀看湖面上伽利略乘坐的那條船。船上有一個與光鍾相似的東西，正在由上向下發射一串鋼珠。在船上的人看來，「光鍾」沒有動，鋼珠將沿著垂直方向向下運動。但是，我們坐在岸上會看到船與鋼珠都在發生側移，因此我們會將鋼珠的兩種運動加到一起，計算出一個新的速度。但是，如果愛因斯坦是對的，也就是說，無論我們以何種方式與光做相對運動，光的速度都會保持不變，那麼地球上的人在觀看光鍾時，看到的情景就會與飛船上的人不同。光傳播的距離增加了，但是速度不會改變。
這就意味著肯定有其他因素發生了改變，光才可以按時抵達目的地。愛因斯坦通過數學計算，發現必然會產生三種效應。從地球上看，飛船上的時間變慢了，運動距離縮短了，飛船的質量增加了。根據狹義相對論，空間和時間再也不被視為兩個完全獨立的實體，研究兩者的結合體——時空，變得非常有必要。
事實上，要解決這個問題，只需要學習一點兒古希臘幾何學和計算平方根的數學知識（所以，中學生應該學習狹義相對論）即可。愛因斯坦根據光鐘的幾何結構，再通過幾個思想實驗，計算出通常被稱作伽馬（γ）的關鍵因子就等於
，其中v是觀察者觀察到的運動物體的速度（本例中就是宇宙飛船的速度），c指光速。
我們還是以光鍾為例。如果飛船上的時間變化量為t，那麼對於地球上的觀察者而言，這段時長是t/γ，即t/。這個表達式看似涉及高深的數學知識，但其實非常簡單。如果v等於0，即飛船保持靜止，則v2/c2等於0，除數為1，最後得數就是t。此時，對於飛船與地球上的人而言，時間流逝的速度是相同的。
但是，隨著v越來越接近光速（c），t被一個越來越小的數除，因此從地球上觀察，這段時間就會越來越長。如果γ等於1/2，則這段時間等於2t。如果γ等於1/4，則這段時間是4t。對於飛船上的人而言，時間流逝的速度沒有任何變化，但是對地球上的人來說，飛船上時間流逝的速度變慢了，當飛船上流逝的時間為t時，地球上的時間已經流逝4t了。
最讓人感到奇怪的是，相對性是完全對稱的。地球上的人往往把地球表面定義為「靜止」，但是這個判斷具有主觀隨意性（儘管通常比較方便）。畢竟，地球不僅繞著軸線自轉，沿著軌道圍繞太陽公轉，還與銀河系一起在太空中高速遨遊。但是，我們往往不會這樣想，而是採用了伽利略站在遊船上的視角，認為船是靜止的，而周圍世界正在向我們身後運動。與之類似，從飛船乘客的視角來觀察，飛船根本沒有動，而地球正在向遠方高速飛去。至於選擇其中哪方作為固定點（科學家常常稱之為「參照系」），我們沒有一定之規。因此，如果飛船上的乘客可以看到地球上的光鐘，他們就會發現因為地球正在遠離飛船，所以地球上的時間變慢了。
我在這裡並不是要討論以接近光速飛行會產生哪些結果，但是我必須簡要說明在著名的「時間膨脹」效應的例子中為什麼沒有這種對稱性。在這個思想實驗中，兩個雙胞胎姐妹參與了一項飛船任務。其中一個人是任務主管，另一個人是宇航員，後者要乘飛船以接近光速的速度飛行，執行一個長期任務。假設任務開始時兩姐妹正好30歲，至任務結束時，「宇航員」感覺時間過去了5年，但是她發現留在地球上的姐姐卻長了10歲。
如果相對性像上文所說的那樣具有完全對稱性，那麼這個思想實驗似乎不應該出現這樣的結果。在飛船以恆定速度飛離地球時，對稱性應該始終發揮作用。但是，這種對稱性隨後發生了改變。在某個時刻，宇航員必須向飛船施加一個作用力，讓它減速，然後加速返回地球。抵達地球時，她需要再施加一個作用力，使飛船的運動速度等於地球的運動速度。這個變化只發生在飛船上，而沒有發生在地球上。在它的影響下，時鐘被校準了，所以宇航員感覺時間只過去了5年。
毫無疑問，狹義相對論的數學運算經常給出一些令人驚訝的結果，包括時間膨脹、沒有質量卻有動量的粒子（例如光子），以及把能量與質量聯繫到一起的終極方程E = mc2。然而，一般而言，其中用到的基礎數學知識對於高中生來說並不是很難。但是，廣義相對論的情況有所不同。在研究廣義相對論時，即使愛因斯坦也要在數學上向人求助。儘管關鍵的幾個方程看似非常簡單，但是其中隱藏了極大的複雜性，只有在特例中才可以求解，而不是在任何情況下都能找到答案。
廣義相對論將加速度和萬有引力納入其中（因此，與狹義相對論相比，廣義相對論中的相對性具有普遍性），但是它所涉及的基礎知識並不是特別難。廣義相對論始於現在被稱作等效原理的想法（愛因斯坦稱之為「最快樂的思想」）。
愛因斯坦產生這個想法的時候還是一名業餘科學家，在瑞士專利局上班。（愛因斯坦在這裡完成了狹義相對論的全部工作，但是他在完成廣義相對論的主要研究前，一直未獲得學術界的認可。）他後來說：「當時，我正坐在伯爾尼專利局的椅子上，突然我的腦海裡閃過一個念頭：如果一個人做自由落體運動，他肯定不會感受到自己的體重。我嚇了一跳。這個簡單的想法讓我久久不能忘懷，在它的驅動下，我開始研究萬有引力理論。」
不熟悉廣義相對論的人，無法從愛因斯坦的這番話中看出他當時到底想到了什麼。愛因斯坦其實是在舉例子。如果有人從非常高的建築物上掉下來，他就會加速下落，而且加速度是一個標準值，由地球與他的身體之間的萬有引力決定。但是，與此同時，他會有失重的感覺。就像國際空間站裡的宇航員一樣，他會感覺自己飄浮在空中。當然，你在從高處掉落時會使周圍空氣發生振動。因此，想像你在箱子裡，與箱子一起做自由落體運動，效果可能會更好。實際上，國際空間站的宇航員之所以有失重感，唯一的原因是他們正在下落。
值得注意的是，空間站高度上的地心引力強度與地面其實非常接近，大約是正常地心引力的9/10。造成宇航員失重感的原因是空間站正在垂直下落，就像從建築物上掉下來的人一樣，正在做自由落體運動。兩者之間唯一的區別是空間站還在向側方高速運動，因此，儘管它一直在下落，卻怎麼也到不了地面。這是進入運轉軌道之後必然產生的結果：一直在下落，卻怎麼也到不了地面。
因此，那些飄浮在空間站中的宇航員就是一個平常而真實的例子，他們向我們演示了愛因斯坦的想法：做自由落體運動的人感受不到自己的體重。在他們加速下落的時候，他們本來可以感受到的引力被抵消了。相比之下，如果我們下落的加速度超過了引力的作用，我們就會產生引力場正在將我們朝相反方向拉扯的感覺。大家想一想，飛機沿跑道開始加速時，你會有什麼樣的感覺？你會感到一種與引力非常相似的壓力，將你推向椅背。如果加速度足夠大，你就可以體驗到宇航員或者戰鬥機飛行員經常感受到的「幾倍重力」的感覺，你會覺得體重變得非常沉。
接下來，我們看看愛因斯坦當時想到了什麼。宇航員和從高樓上掉下來的人在自由落體的過程中都感覺不到自身的重量，這個事實說明加速度與萬有引力的體驗完全相同。他在腦海裡想像出一個與伽利略的設想非常相似的情境。當初，伽利略在考慮相對性時，想像自己身處一個平穩前進、沒有窗戶的船艙中。他發現，無論在這個船艙中做什麼實驗，都無法確定自己是在運動還是靜止狀態。愛因斯坦在研究狹義相對論時，還考慮了光速不變這個條件。現在，他又把加速度加了進來，要考慮的東西更多了。
假設你在一艘沒有窗戶的宇宙飛船中，有一個大小不變的力正在將你推向飛船的後部，使你感受到自己的體重。愛因斯坦稱，飛船有可能正降落在某個星球上，且該星球的引力正好與將你向後推的力大小相等；飛船也有可能正在太空中，在引擎的推動下以恆定的加速度提高飛行速度。但是，你無法在飛船中通過做實驗來判斷它到底處於哪種狀態。引力的拉動與加速度是等效的，二者無法區分。
愛賣弄的學究（喜歡賣弄的人往往與科學研究有密切關係）可能會辯解，嚴格地說，這兩種情況是可以區分的，因為我們可以在飛船內部四處走動。既然如此，我們可以在飛船後部和前部各做一次實驗。如果飛船在加速，兩次實驗結果應該沒有什麼不同，因為飛船各個位置的加速度是一樣的。但是，如果是受引力作用，我們就可以從實驗結果中看到細微的區別，因為飛船前部離星球更遠，我們感受到的引力作用會弱一些。這個說法完全正確，但是它不符合等效原理，因為等效原理要求在太空中選擇一個點，然後討論該點的情況，而不允許我們在飛船中四處走動。
在這艘想像的飛船上，我們還可以做另外一個極其重要的實驗。假設我們把狹義相對論實驗中使用的光鍾帶上了飛船。我們知道，當飛船以穩定的速度飛行時，在飛船上的人看來，光鍾沒有移動，光束也不會受到任何影響，而是繼續在兩個鏡面之間上下傳播。現在，假設我們打開飛船的引擎，讓飛船不再以恆定速度相對地球運動，而是開始加速。即使身處飛船內部，我們也能感受到飛船在加速。當光從頂部鏡面反射到底部鏡面時，飛船上的乘客可以看出光的傳播路徑發生了變化。
這個現象非常有趣，表明伽利略的「無法通過實驗區分」相對性的斷言在加速度條件下是不成立的。但是，我們無須光學實驗就可以知道他的說法不對。我們的身體能感受到加速度的效應，我們還可以在手機上安裝一個加速度計。但是，等效原理可以告訴我們一些更有趣的事情。我們已經知道，如果飛船加速運動，光的傳播路徑就會改變。既然如此，如果飛船在引力場中，肯定也會出現同樣的現象。愛因斯坦由此意識到萬有引力的一個基本特性：物質具有彎曲時空的能力。具有質量的物質可以使時空彎曲，因此，我們看到本來應該直線傳播的光束的路徑發生了變化。
這些話聽上去似乎有點兒耳熟。還記得繞地球運轉的空間站嗎？空間站沿著地球切線的方向飛行，飛行路線也是直線。本來，空間站應該會飛離地球，進入太空，但是地球質量使時空發生了彎曲，於是空間站的飛行路線也隨之彎曲，並形成了軌道。因此，當飛行物遇到巨大物體時，飛行路線會發生彎曲。但是，靜止的物體（例如蘋果）為什麼會突然加速落到地面上呢？這裡，我們需要瞭解一個重要的事實：發生彎曲的不是空間，而是時間。儘管蘋果在空間中保持靜止，但在時空中卻不是靜止的，因為時間一直在滴滴答答地流逝。也就是說，蘋果加速掉落是時間彎曲的結果。
這些解釋可以幫助我們瞭解廣義相對論，但是目前還沒有涉及相關數學知識。知道這些內容可以讓我們對廣義相對論有一個粗淺的瞭解，但還不足以讓我們將它應用到科學研究中。愛因斯坦擅長運用有限的數學工具，把思想實驗的情況直觀地表現出來，然後添加大量的數學內容，明確這個思想實驗可能產生的結果。在研究廣義相對論時，添加數學內容的工作持續了幾年時間，其中大部分工作是在1911年（因為對量子理論的研究讓愛因斯坦痛苦不堪，所以他決定暫時停止這項研究）至1915年完成的。
愛因斯坦面臨的第一個問題是，他需要擺脫歐幾里得2 000年前深入討論的幾何學（參見第4章）。我們知道，古希臘人是在一個平整的表面上研究畢達哥拉斯定理與歐幾里得幾何定理的。他們認為這些都是理所當然的，以至於不願意花費力氣把它們表述成公理。但是，稍加考慮，我們就會發現這個假設條件有點兒奇怪。別的不說，單是真正平整的表面，古代就比現代少得多。柏拉圖的完美原型自然可以做到真正平整，但是它們投射到現實世界的山洞中的陰影則不可避免有瑕疵。古希臘人規定了幾何學研究的直線與現實世界不同，且沒有粗細之分，但是沒有任何人明確地表述過平整表面這個假設。
讓我們感到奇怪的另外一個原因是，古希臘人知道地球不是平的，但他們還是一如既往地做出了相反的假設，也就是說，他們假設地球是平的。在中世紀之前，人們普遍認為平坦的地球是標準模型，但與此同時，所有受過教育的人都認為地球只能是一個球體，而且早在古希臘時代，人們就已經證明了這一點。因此，儘管幾何學令古希臘人深感自豪，儘管它的名字包含「測量地球」之意，但是在研究地球的曲面時，這門科學其實並不適用。
前文說過，垂直於赤道的平行線相交於地球兩極。這已經反映出幾何學的問題了，如果我們再考慮三角形這個最常見的幾何圖形，就可以更加清楚地看出這個問題。歐幾里得的《幾何原本》（卷一）的第32個命題告訴我們：「在任意三角形中，如果延長一邊，則外角等於另兩個內角之和，而且三角形的三個內角和等於兩個直角的和。」換成我們熟悉的語言就是，歐幾里得認為，三角形的三個內角和等於180度。
在歐幾里得精心搭建的幾何系統中（別忘了，在這個命題之前，還有31個其他命題），這個命題肯定是對的，不容置疑。可是，一旦離開了平整的表面，它就不成立了。在地球這個等球體上（地球至少是一個近似球體），與直線相對應的是大圓。顯然，球面上的所有線不可能在所有三個維度上都是直線。事實上，所有線都是彎曲的，曲率與地球表面相同。大圓是指圍繞地球表面且圓心與地球球心重合的所有曲線。
我們可以做一個簡單的實驗，利用大圓構建一個三角形，就可以徹底推翻歐幾里得幾何學。我們從赤道這個大圓上取兩個不重合的點，然後從這兩個點開始，向北極方向各作一條與赤道成90度角的直線（分別與另一個大圓重合）。這兩條直線將在北極相交，並構成一個夾角。赤道上兩點之間的距離越大，兩條直線在北極形成的夾角就越大。接下來，我們計算這個三角形的內角和。赤道上的兩個角各為90度，第三個角的度數還不確定，但它們的和肯定超過180度。事實上，如果赤道上兩點之間的距離為10 000千米（約等於赤道至北極的距離。千米這個單位當時就是通過這個方法定義的），這個三角形就是一個等邊三角形，三條邊的長度都相等。此時，三個內角都是90度，因此這個三角形的內角和是270度。
由此我們知道，愛因斯坦在計算廣義相對論中的時空曲率時，是無法使用歐幾里得幾何定理的，因為他使用的數學工具必須可以處理曲面。更令人吃驚的是，他甚至還要處理四個維度（包括三個空間維和一個時間維）全部彎曲的情況。愛因斯坦的朋友馬塞爾·格羅斯曼為他提供了一個解決方案：德國數學家伯恩哈德·黎曼創立的當時最先進的彎曲空間幾何學。
此時，愛因斯坦的研究成果已經引起所有人，尤其是德國傑出的數學家戴維·希爾伯特的注意。希爾伯特曾邀請愛因斯坦到他任教的哥廷根大學做報告。之後，他對愛因斯坦的關注度進一步提高。當時，愛因斯坦的研究仍然有幾個不完善的地方，希爾伯特似乎認為，他應該趕在愛因斯坦之前完成改進工作。事實上，儘管愛因斯坦先於希爾伯特發表了第一篇完整的廣義相對論論文，但人們一度認為希爾伯特率先完成了那些方程，只不過他發表論文的時間晚於愛因斯坦。後來，人們發現希爾伯特的原始論文本身存在若干缺陷，他在看到愛因斯坦的論文之後才進行了修改，因此首發權仍然應該歸屬於愛因斯坦。
無論第一個完成這項工作的人是誰，第一個著手研究廣義相對論的人毫無疑問是愛因斯坦。與牛頓和萊布尼茨在微積分開創者問題上的紛爭不同，愛因斯坦與希爾伯特並沒有相互指責，希爾伯特還大度地承認這是愛因斯坦的傑作。整個研究成果可以用一個看起來十分簡單的方程表示：
Gμv + Λgμv = (8πG/c4)Tμv
除了光速的四次冪以外，整個方程看起來似乎非常簡單，但是那些帶有μv下標的參數都不是簡單的變量，而是愛因斯坦從黎曼研究成果中借鑒而來的張量——一種功能強大但是難以操作的數學工具。張量可以把不同數值、矢量以及其他張量之間的多維關係壓縮成一個單項。這個單項看似非常簡單，但是其背後隱藏著一個變量矩陣。把引力場方程中的張量展開，將會變成10個基本微分方程，而且其中涉及的值會根據在空間和時間中的位置不同而發生變化。
牛頓的萬有引力理論包含一個簡單的基本方程（牛頓本人並沒有使用這個方程）：
F = Gm1m2/r2
整個方程只涉及常數G、兩個天體的質量與它們之間的距離（r）。愛因斯坦的方程也有G，但是其他需要考慮的因素遠不只是質量的影響作用，儘管質量非常重要。其中一個關鍵因素是，物體質量不固定且隨著運動發生變化（根據狹義相對論）。能量可以增加質量。後來，愛因斯坦還證明了能量也可以增加引力。質量的效應則主要是使時間發生彎曲。
與此同時，空間也會發生彎曲。宇宙飛船加速時導致光束彎曲的根本原因就是空間彎曲。與時間不同，空間彎曲需要考慮所有三個維度，每個維度上有兩個方向，因此愛因斯坦需要考慮的因素又多了六個。此外，他還要綜合考慮一些稀奇古怪的東西，例如慣性系拖曳效應（由於相對性效應，運動物體會產生一個垂直於運動方向、強度不大的引力）。愛因斯坦需要考慮的最後一個問題是，引力會產生某種形式的能量（某些物體，如高山上的石頭，因為位於引力場的高處而具有勢能）。我們已經知道，能量可以產生引力。於是，它們就會形成一個小的反饋回路，引力又搖身一變成了一個引力源。
與狹義相對論不同，廣義相對論使用的是尋常人並不熟悉，甚至永遠也不會熟悉的數學知識。事實證明，這些複雜方程的求解極富挑戰性。儘管在特例中解這些方程並非難事，但是它們沒有一般性解法。麥克斯韋通過求解複雜方程，預測到電磁波這個意想不到的物理實體的存在，這是人們利用數學工具進行類似預測的早期實例。現在，根據廣義相對論方程，人們又預測到黑洞的存在。
黑洞這個概念要追溯至18世紀。當時，英國天文學家約翰·米歇爾發現，如果天體的質量足夠大，它的逃逸速度（擺脫該天體引力必須具備的速度）就會非常快，甚至能超過光速，因此光也有可能無法從這種暗星上逃逸。後來，德國物理學家卡爾·史瓦西受到愛因斯坦相對論的影響，重新提出這個概念，那時米歇爾的研究早已被人們遺忘了。
史瓦西提出這個概念的時間是1916年，當時他正在參加第一次世界大戰，而相對論也只發表了幾個月。此時，愛因斯坦本人僅僅求得了部分近似解，做出水星軌道是變化的這個可以檢驗的預測。但是，躲在戰壕裡的史瓦西卻得到了黑洞這個特例的精確解，指出星體耗盡支撐其重量的燃料之後，就會因為無法抵抗自身引力而坍縮，最終變成黑洞。
但是，史瓦西並沒有把他的預測結果稱作「黑洞」，這個名詞直到20世紀60年代才出現。人們通常認為黑洞這個名稱是約翰·惠勒發明的。雖然惠勒肯定是最早使用這個名稱的科學家之一，但是第一個想出這個名詞的人似乎不是他。1964年1月，在美國科學促進會的一次會議上，有人開始傳播這個術語，但這個人不是惠勒。隨後，安·尤因在《科學簡訊》上發表了一篇介紹這次會議的文章，把這個術語變成了鉛字。也就是說，這個名稱源自那次會議，但是無法確定發明者。
無論黑洞這個名稱源自何處，我們都知道黑洞從何而來，答案就是數學。在檢驗科學模型的有效性時，我們往往會考察它能否預測出當初沒有被納入模型的現實世界的情況。因此，愛因斯坦急匆匆地求得方程的部分近似解，並開始預測水星軌道的特點。不久之後，人們利用日食發生的時機，通過觀察從太陽旁邊經過的星光，證實了相對論關於引力可導致光束彎曲的預測是正確的。但是，在預測黑洞的存在之前，幾乎沒有人僅利用模型就預測出一個所有人見所未見，甚至想都沒想過的物理實體。
即使是現在，與其說黑洞是科學研究的對象，還不如說它是數學的產物。天文學家在太空深處觀察到很多天體，有間接證據表明，從它們表現出來的特點看，這些天體似乎就是黑洞。儘管這些證據有很強的說服力，但所有證據都只是間接證據。我們從來沒有直接觀察到黑洞，只是借助數學工具推演出我們在銀河系中心可能觀察到的那些景象（據猜測，銀河系中心有一個無比龐大的黑洞）。這裡應用的數學絕對位於現實世界的邊界線上，似乎與真實世界存在某種關係，但尚未得到證實。有人（例如馬克斯·泰格馬克）認為，數學與現實之間的聯繫永遠達不到嚴絲合縫，如果我們可以近距離分析黑洞，就可以證明這些預測都是錯誤的。
儘管相對論的證明工作非常重要，但是在此期間，愛因斯坦還投身於物理學的一個新分支——量子物理領域，並在其中發揮了重要作用。量子物理是一個研究微觀世界的物理分支，同樣具有革命性意義。20世紀初，原子尚未被視為一種確定存在的實體，而只是一個有用的概念性工具，可用於預測物質有哪些特徵。但隨後，人們不僅證明了原子的確存在（主要是愛因斯坦的功勞），而且發現原子具有一些看似完全違背自然規律的特徵。這實在是一個自相矛盾的悖論，因為自然界主要是由這種量子構成的。
量子物理非常複雜（它研究的是由原子、電子、光子等粒子構成的微觀世界），本書不準備對其進行深入討論，但是量子物理在其發展過程中得出了兩個非常重要的觀察結果，可以幫助我們瞭解數學對於宇宙探索的重要意義。愛因斯坦和丹麥物理學家尼爾斯·玻爾等人是最早進入量子物理領域的科學家。他們很快發現，如果從量子的層級來研究宇宙，就必須拋棄很多關於物質和光的特徵的假設。例如，人們早就認為光是一種波，這個假設也已經得到了麥克斯韋的證實。但是，在新興的量子物理研究領域脫穎而出的大咖們告訴人們，所謂的光波特性，不過就是一個模型。光的確具有類似於波的特性，但它也可以被描述成一堆粒子或者場擾動。
在解釋原子中的電子與光的相互作用時，玻爾受行星繞太陽運行的啟發，試圖把這些電子放入類似的軌道。儘管這個模型早在20世紀20年代就已經過時了，但是我們仍然可以在幾乎所有的原子平面結構圖中看到它的身影。玻爾很快就發現自己的這個想法行不通，於是他為這些電子設計了多個軌道，讓電子可以在不同的軌道之間跳躍，但是不允許它們停留在軌道中間。我們所熟悉的那些看得見、摸得著的「真實」事物不具有這種特徵，但是這些量子卻表現出這個特點。
玻爾的原子研究沒有多少實用價值，但激起了一些年輕科學家的興趣，其中最有名的當屬沃納·海森堡和埃爾溫·薛定諤。他們決定在簡單的玻爾原子模型的基礎上，用數學描繪出量子的相互作用。海森堡更加徹底，他提出的矩陣力學利用純粹的數學方法，描述量子的特點。他根本不考慮借助模型這種直觀表示，而是通過操作矩陣（即數組），搖動手柄，使黑箱模型像麥克斯韋電磁波方程組一樣，做出一些重要的預測。
薛定諤不喜歡這種抽像的方法，因此他利用波這種熟悉的形式，考慮如何建立量子行為的模型。時至今日，薛定諤方程對於我們理解量子物理仍然具有非常重要的意義。它同樣屬於形式十分簡單、實質卻十分複雜的方程：
從數學的角度看，這個方程的某些特點足以讓你膽戰心驚。首先，該方程使用了–1的平方根i。其次，就像愛因斯坦方程中的張量一樣，薛定諤方程中的希臘字母Ψ和戴帽子的Η這兩個符號都暗藏玄機。Ψ是描述某個系統本質的波函數，表達式非常複雜，而戴帽子的Η指「哈密頓算符」，表示系統中的能量並將其應用到波函數之中。
最初，人們以為薛定諤方程中的波函數，或者說該函數值的平方（謝天謝地，終於擺脫了那個讓人討厭的i），表示的是量子在系統中的位置。但是，真如此的話，似乎就可以預言所有量子無時無刻不在擴散，並且越變越大，但是沒有實驗可以證明這個預測。（謝天謝地，否則我們將身處一個無比奇怪的世界。）再次，人們發現該方程預測的是量子處於某個位置或者系統處於某種狀態的概率。
除了這個方程和令人暈頭轉向的數學應用，量子理論研究還產出了大量其他成果。例如，將相對論引入量子行為研究的狄拉克方程（它有一個副產品，即預測了反物質的存在），以及在量子理論的基礎上發展而成的量子電動力學等。但是，只需要看看海森堡和薛定諤，我們就可以看出科學家在「採擷」數學運算結果而不單純依靠直接觀察的道路上取得了兩次重要的突破。
海森堡在他的矩陣力學中使用了完全數學化的描述方法，薛定諤緊隨其後，他的方程把概率納入其中。愛因斯坦辛辛苦苦地把量子理論帶到我們這個世界上，但是在涉及概率之後，他發現在量子這個層級，如果不經過測量，所有的存在都只是一種可能性。例如，如果剛剛沒有測量過，就無法確定量子的位置。人們常說，量子在同一時間裡的可能位置有兩個，但是真實情況似乎更加複雜，展現在人們眼前的是概率織成的一張網。這讓愛因斯坦感覺很不舒服，因此他立刻停止了這項研究。
從本質上講，量子物理似乎從根本上把現實變成了數學。根據量子理論，如果不是正在測量，關於現實世界的所有觀察結果對概率的依賴程度都會很大。乍一看，這與拋硬幣似乎沒有本質上的不同。在公平的拋硬幣遊戲中，得到正面與反面的概率通常各佔一半。但是，一旦硬幣被拋出去，出現某種結果的可能性就是100%，而出現另一種結果的可能性則是0。只不過在硬幣落地之前，我們不知道這個結果到底是什麼。但是，如果拋出去的是一枚量子硬幣，我們得到的就真的只有各佔一半的概率，在進行測量並得出結果之前，前面說的那種潛在確定性是不存在的。
儘管數學概念與真實的量子之間的這種關係似乎不可信，但是多年來已經有大量實驗證明了它的真實性。事實證明，「現實世界建立在數學基礎之上」的說法屬於誇大其詞。從某種意義上講，這個說法已經不像以前那樣令人吃驚了。數學仍然是現實的模型，而不是一種絕對的描述。概率與推動現代物理發展的抽像數學不同，它是作為應用數學工具被人們發明出來的。概率源於拋硬幣等真實操作的觀察結果，只不過在量子物理中，它表現出之前沒有的獨立性。這並不是說量子就是概率，而是說我們通常只能以概率的形式來描述它們。
即使在伽利略和牛頓的時代，物理學領域也不時可以看到對稱的身影，例如牛頓第三運動定律就描述了一種令人賞心悅目的對稱，人們對相對論莫衷一是的態度也形成了一種對稱。但是，隨著歷史的車輪進入20世紀並繼續前行，對稱展示出新的活力，對科學理論的發展起到顯著的推動作用。從此，數學真正地佔據了主導地位。