無窮大這個概念一直令人耿耿於懷，其實並不奇怪。從古希臘時期開始，人們就開始思考無窮大是否存在、本質是什麼的問題。古希臘人肯定知道，用於計數的正整數序列沒有盡頭。如果真的有最大的整數（我們用max來表示這個數），就必然有max + 1、max + 2等更大的數。但是，無窮大概念讓古希臘人很不舒服，他們用來表示這個概念的「阿派朗」（apeiron）一詞就有混亂的含義。
哲學家亞里士多德就曾對這個概念進行過研究，他的觀點在隨後幾百年時間裡一直佔據主導地位。公元前384年，亞里士多德出生於希臘北部。他認為，無窮大具有必然性，但是又無法達到。他從世間萬物中找到了一些他認為屬於無窮的例子，例如，他認為整數（我們已經知道整數是無窮的）和時間就是無窮的。此外，他還認為有的東西是無限可分的。但是，與此同時，他又提出了幾個含混不清的觀點，想證明無窮大不可能存在於現實世界中。例如，他說任何物體都有邊界，如果某個物體是無窮大的，它就不可能有邊界，也就不可能存在。
在明顯經過一番艱苦的心理鬥爭之後，亞里士多德最終斷定無窮大不是一種存在於現實世界的概念，而是一種潛在的可能性，在現實中永遠無法實現。無窮大是存在的，但是不能根據需要變為現實。他以古代奧運會比賽為例，簡單明瞭地介紹了自己的這個想法。比賽毫無疑問是存在的，肯定不是一個虛構的概念。但是，一般而言，如果有人請你把奧運會比賽展示給他看，你肯定做不到。因此，奧運會比賽就是一個潛在的實體，你沒有辦法仔細端詳，小心鑒別。亞里士多德小心翼翼地指出，儘管某些潛在實體在特定時間或特定空間裡會變成現實，但是無窮大不包括在內。
牛頓和萊布尼茨創立微積分的時候，使用的正是潛無窮的概念（參見第9章）。微積分中的無窮大是一種極限。我們非常熟悉的雙紐線符號（∞），表示的就是這種可望而不可即的目標，也就是亞里士多德所講的潛無窮。與牛頓同時代的約翰·沃利斯在一篇枯燥乏味的論文中第一次使用了這種符號。但是，沃利斯僅僅說了一句「用∞表示無窮大」，卻沒有解釋這個符號從何而來。
直到19世紀，絕大多數數學家都認為亞里士多德的觀點是正確的。他們普遍認為，潛無窮這個概念是正確理解無窮大的唯一可行的途徑。例如，享有盛名的19世紀德國數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯明確地說：
我反對將無窮量視為一個實體，這在數學中從來都是不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式，其真正的意義是指某些比值無限接近於某個極限，而另一些比值則可以無限增大。
但是，並不是所有數學家都被這種思想蒙蔽了雙眼，伽利略就是這些異類中最引人注目的一個。一說到伽利略，我們首先想到的是他因為支持哥白尼的日心說而受到宗教裁判所的審判並被終身監禁。但是，伽利略對科學領域做出的最重要的貢獻其實是他於1638年出版的《兩種新科學的對話》。這是他在物理學領域的代表作，為牛頓成功完成關於力學和運動的研究奠定了基礎。
同他支持哥白尼的日心說、給他帶來無數麻煩的那部著作一樣，這部新作也採取了三人對話的形式（這在當時十分流行）。它放棄了古板的拉丁語，改用意大利語，可讀性遠勝牛頓用專業術語撰寫的幾乎無法理解的作品。在此之前，伽利略因為出版著作已經被判終身監禁，這本書可以成功出版的確不是一件易事。最初，伽利略準備在威尼斯出版這本書。當時，威尼斯因為從羅馬帝國獨立出去而自視甚高。但是宗教裁判所發出了一系列禁令，禁止出版伽利略的所有作品。伽利略只有獲得宗教裁判所的批准，才能出版自己的這部新作。
頑強不屈是伽利略最顯著的特點。儘管受到禁令的限制，而且間接違反禁令的鑽空子行為將會為他帶來危險，但伽利略沒有放棄。1636年，荷蘭出版商洛德韋克·埃爾澤維爾造訪意大利，伽利略想辦法把手稿送給他看。在最終付梓成書時，人們發現它的獻詞非常有意思。之前，伽利略每次都會把他的作品獻給權勢人物，而且從不吝嗇他的讚美之詞（很可能是因為當時諂媚成風）。作為交換，他有可能得到對方的資助。但是，這本書卻被獻給了他以前的學生、法國駐羅馬大使弗朗索瓦·德·諾瓦耶，而且他在寫獻詞時十分小心。顯然，他絕不希望給諾瓦耶惹來麻煩。
從字裡行間可以看出伽利略既有簡單直接的一面，又有迂迴曲折的一面。宗教裁判所受他蒙騙的可能性非常小，但他們似乎並不是很重視這件事。伽利略稱：
我已經決定不再出版任何成果。但是，為了我的研究不被徹底遺忘，我覺得有必要在某個地方留一份手稿，至少讓那些研究相同內容而且方法得當的人有機會看到它。因此，我首先想到要將我的研究成果交到閣下手中……
伽利略既感謝諾瓦耶的熱心幫助，又不想讓人們認為諾瓦耶是負責這本書的出版事宜的人，因此，他拋出了幾個神秘的中間人：
埃爾澤維爾告訴我他們準備出版我的這些成果，要求我起草獻詞並且立刻做出答覆。這些出版商曾經出版過我的一些成果，因此他們希望繼續出版我的這項成果，並把它變成漂亮的精裝版書籍。這個消息讓我深感榮幸，也有些措手不及。我知道，他們能拿到我的手稿，是因為閣下為了幫助我恢復和傳播名聲而把我的成果介紹給了幾位好友。
他對諾瓦耶心懷感激，同時又表示，手稿到達出版商的手裡是諾瓦耶的幾位不知名的朋友促成的。很顯然，伽利略在這本書即將付印時才收到消息的說法是不真實的。早在埃爾澤維爾造訪意大利時，伽利略就想盡辦法把書稿送到了他手上。不僅如此，他和埃爾澤維爾還有書信往來，就這本書的內容進行過深入探討。伽利略是一位令出版商咬牙切齒、捶胸頓足的作者，因為不到最終出版他都不會停止修改書稿。即使在採用電子印刷技術的現代，這種行為也會導致相當大的麻煩。而在當時，人們必須利用活字印刷術小心翼翼地將所有書頁製成一個個印刷版，因此，任何修改都是一場可怕的噩夢。然而，無論是因為宗教裁判所遭受了蒙蔽，還是因為他們睜一隻眼閉一隻眼，這本書最後還是成功出版了，但伽利略的祖國意大利並沒有公開發售。
書名中所說的「兩門新科學」是指對固體物質的本質研究與對運動的分析，無窮大的概念出現在這本書的第一部分。在分析固體物質緊密結合在一起的原因（例如，金屬塊為什麼難以分割）時，書中的一位主角認為，構成這些固體物質的粒子之間的真空將它們緊密地吸附在一起。（真正的原因其實是電磁作用，因此他的這個觀點是不正確的，但聽起來有些道理。）這個說法遭到了辛普利西奧（書中三個人物之一）的質疑，辛普利西奧是古希臘思想的信徒，他的任務就是質疑新思想。他認為，由於空間十分狹小，即使有真空存在，作用力也會非常小，遠不足以讓金屬緊密地吸附在一起。
於是，三個人繼續思考。很多微弱的作用力加到一起，是不是可以變成一股異常強大的作用力呢？三人中的薩格雷多說：「也就是說，數量龐大的螞蟻群可以抬起裝滿穀物的船。」他認為，無數個微小的作用力加在一起，就可以克服任何阻力，只要這個阻力不是無窮大的。薩格雷多的「只要這個阻力不是無窮大的」這個條件，遭到了薩爾維亞蒂的嘲笑。薩爾維亞蒂在這本書中主要是扮演伽利略的代言人，他說，即使一個物體的大小有限，其內部也完全有可能存在無窮多個真空。
這似乎是一種托詞，伽利略的真正目的可能是提出幾個與無窮大有關的有趣想法，因為他接下來又用大量篇幅探討了無窮大的本質。與亞里士多德提出的那個說服力不足卻令數學界認可了很多年的潛無窮概念不同，伽利略給出的是一個實實在在、沒有任何掩飾的事實。他畫了一個想像出來的奇怪的組合圖形，用來說明無窮大的神奇特性。
這個組合圖形是由大小不同的兩個六邊形組成的，小的六邊形貼在大的六邊形前面，6個角對齊，都位於水平軌道上。然後，薩爾維亞蒂請另外兩個人想像著把這兩個六邊形轉動1/6圈。這個六邊形「車輪」向前移動的距離應該等於大六邊形的邊長，因為現在是第二條邊在最下面。這個結果沒有什麼稀奇的地方。但是，我們知道小六邊形的邊長要短得多。小六邊形沿著軌道轉動了1/6圈，因此它移動的距離應該是小六邊形的邊長，但是實際上，它前進的距離卻等於大六邊形的邊長。
這個現象並不難解釋。大六邊形轉動時，小六邊形就會從軌道上被抬起，向前跳躍，跳躍的距離正好等於這兩個六邊形邊長的差。因此，小六邊形不僅向前移動了一個邊長的距離，還向前跳躍了一段距離，兩者之和正好等於大六邊形的邊長。
到目前為止，這個解釋沒有任何問題。接著，伽利略想，如果多邊形的邊數不斷增加，結果會怎麼樣呢？隨著邊數增加，車輪轉動1/6圈時，大多邊形就會有更多的邊參與這個過程，同時，小多邊形需要完成更多次的小幅跳躍。在接下來的想像中，伽利略展現了他的聰明才智。他不斷增加多邊形的邊數，直至車輪變成圓形。此時，多邊形的邊數實際上變成了無窮大。在這種情況下，如果整個車輪轉動1/6圈，小車輪也會轉動1/6圈，但是它仍然可以與大車輪保持同步，向前移動相同的距離。此時，由於車輪是標準的圓形，因此它應該不會在軌道上跳動。
這就令人感到迷惑不解了（辛普利西奧對此感覺尤為奇怪）。伽利略借薩爾維亞蒂的口說，這是因為小車輪完成了無窮多個幅度無窮小的跳躍，這些跳躍的總長度，正好彌補了小車輪移動距離上的不足。薩爾維亞蒂一面滿懷愧疚地承認這個事實令人震驚，一面又請求不妨放下該書當前討論的內容，轉而對無窮大這個概念加以研究。另外兩個人也高興地同意了他的請求。
他們先舉了一個晦澀難懂的例子，並用幾何方法證明了點的集合與圓的圓周有可能大小相同，然後又回過頭來繼續討論這些車輪。辛普利西奧發現，第一個例子似乎包含兩個無窮大：大車輪周長的1/6是由無窮多個點構成的，小車輪周長的1/6也是由無窮多個點構成的。這兩個數都是無窮大，但是一個無窮大對應的結果卻大於另一個。薩爾維亞蒂先是敷衍搪塞，說從有窮的角度去理解無窮的概念，就會導致這個問題，但緊接著他又試圖向辛普利西奧證明，這是無窮大的內在屬性造成的一種奇怪現象。
他的證明使用了正整數（即自然數）的平方數這個概念。薩爾維亞蒂說，每個自然數都對應一個平方數。辛普利西奧欣然同意這個說法。接著，薩爾維亞蒂又問他，自然數有無窮多個，而且每個自然數都對應一個平方數，那麼這些平方數的個數是不是等於正整數的個數呢？答案顯然是肯定的。但是，正整數中還有很多數本身並不是平方數，例如2、3、5、6、7等。也就是說，每個平方數都會對應一個自然數，而自然數的個數遠多於平方數。
伽利略通過這番討論明確地告訴我們，傳統的運算法則不適用於處理實無窮。此時，「相等」、「小於」、「大於」等概念也會失去它們的傳統含義。我們可以說一個無窮集（例如正整數集）可能包含無窮子集（例如平方數集）。伽利略筆下的這三個人之所以遭遇麻煩，原因之一就是他們把無窮大看作一個數字（伽利略就是這樣想的）。我們現在不會把無窮大看作一個數字。我們可以說某些事物構成了一個無窮集，但不會說這是一個無窮大的數字。如果伽利略晚出生200年，就會明白其中的道理。
在伽利略之後，所有人都把眼光投向了更容易讓人接受的潛無窮概念。直到19世紀，格奧爾格·康托爾決心揭開其中的真相，才改變了這種狀況。康托爾是一名數學家，但是由於他堅信無窮大是一種真實的存在，再加上其他數學家都認為他是在引火燒身，所以，不僅他的職業生涯充滿了艱辛，他的精神世界最終也轟然倒塌。康托爾認為，數學和數學家都可以接受無窮大真實存在這個赤裸裸的事實。他試圖證明有比無窮大還大的存在。這項似乎根本不可能取得成功的研究，在現實世界中沒有明顯的實用價值，但康托爾取得的成就並不只是這些。
康托爾還是集合論的創立人，集合論似乎可以解釋數學的作用原理。要感受康托爾在無窮大研究領域中表現出來的傑出天賦，我們有必要對集合論稍加瞭解。在本書第1章，我提到了數字到底是什麼以及它們與周圍世界存在什麼關係的問題。集合論對數字進行了形式上的定義，而且這個定義顯然是以現實為基礎的，但它又擺脫了現實的束縛，卓爾不群地屹立在柏拉圖洞穴外面的數學世界之中。集合論對於數學的意義就相當於原子論對於科學的意義。我們曾經懵懂無知地生活了幾千年，但是在接受了原子的存在之後，我們就認同它們是構成自然界的基本單位。同樣，在幾千年的時間裡，數學研究並沒有因為集合論的缺失而令我們感到任何不適。但是，集合論問世後就立刻變成一切數學研究的基礎。
所謂集合，是指一系列具體事物或者抽像概念。這些事物或者概念都有一個共同的特點（例如一組名叫「布賴恩」的事物或者一組看上去像甜甜圈的事物），或者是基於地點或時間建立起某種聯繫的隨機組合（例如紐約人行道上的所有事物，或者你今天上午想起來的事情）。集合論的某些表達還進入了人們的日常用語。「子集」是指在一個集合中擁有另外某個共同特點的所有元素的集合，是包含在一個大集合中的集合。例如，「美國人」這個集合是「人」這個大集合的一個子集。集合中的各項稱作該集合的元素，也就是說，只要你不是智能機器，你就是「人」這個集合中的一個元素。
大家可能見過用維恩圖這種直觀的方法表示的集合。用維恩圖來表示集合的相交與合併，這是很容易理解的。例如，我們可以用下圖表示「人」與「在紐約生活的生物」這兩個集合（除了人以外，後者還包含很多其他元素）相交的情況，其中重疊的部分代表「在紐約生活的人」。
使用搜索引擎時，我們經常會不自覺地使用各種集合。借助「與」「或」「非」等布爾代數術語，我們可以進行集合的合併或者選擇。例如，如果你使用下面這個搜索項在網上搜索圖片：
（車與美國）（福特或雪佛蘭）（非紅色）
那麼你搜索的就是一個子集：美國車，品牌為福特或雪佛蘭，除紅色以外的其他顏色。至少以前的搜索引擎是這樣工作的。現在的搜索引擎（例如谷歌、必應等）都自視甚高，因此大多不屑於使用這些布爾代數術語。
在處理集合時，數字有兩種截然不同的用法，使用時一定要注意區分。本書中使用的1、2、3等數字都是「基數」，這是自然數的主要用法。但是，我們也可以利用數字來規定各子集在集合中所處的位置，此時這些數字叫作「序數」。例如，在考慮橙子集合時，數字3可以指集合中橙子的數量，也可以指集合中的第三個橙子（「3號橙子」）。
我們往往認為序數是數字的一個有用但不怎麼重要的用法，但一些人類學家指出，序數的出現早於基數。如果情況屬實，我們在第2章裡介紹的數山羊活動就應該是另外一種意義了。這些人類學家認為，計數首先不是出現在像貿易這樣平淡的事件之中，而是出現在宗教儀式之中，因為宗教儀式中的重要事物必須以正確的次序出現。也就是說，表示次序的數字出現在表示物體數量的數字之前。這些人類學家並沒有找到有說服力的證據，而且人們有足夠的理由認為，這些人類學家提出這個觀點的目的可能是試圖說明他們的人生觀遠比會計人員的人生觀更重要。當然，有序計數有可能出現得更早，儘管我們看不出它比掰手指數山羊的方法更有優越性。
描述集合的大小（也稱集合的勢）非常有用，無論這些集合的大小是否可以表示成數值的形式，我們都可以通過勢來比較大小。如果我們設想將兩個集合併排，讓兩個集合的元素結成對，並且形成一一對應的關係（一個集合中的每個元素都能在另一個集合中找到唯一一個與之對應的元素），那麼無論我們是否知道這些集合的大小，我們都可以說這兩個集合等勢。在研究無窮大的概念時，上面說的形成一一對應的關係將發揮非常重要的作用。
如何利用勢來比較集合的大小呢？我們可以想像有兩個集合，一個是指南針方向構成的集合，另一個是季節集合。我們可以讓北與冬季、東與春季、南與夏季、西與秋季分別配對。這樣，我們將所有方向和季節都包括進來，而且一個集合中的元素分別與另一個集合中的元素構成一一對應關係。因此，即使我們不知道一共有多少個不同的季節，也不知道有多少個不同的方向，我們也可以說這兩個集合等勢。事實上，在這個例子中，我們知道集合的元素數量是4。但是，重要的是我們無須知道這個數字。只要可以重複這個一一對應的程序，我們就會知道這兩個集合等勢。
請大家回想一下令辛普利西奧感到困惑的那個奇怪的現象。每個自然數都可以與一個平方數配對，因此我們知道，自然數集與平方數集等勢。但是，我們還知道平方數構成了自然數集的一個子集。後來，康托爾發現，無窮集一定包含一個與自身等勢的子集。
在康托爾開始研究集合之前，意大利數學家朱塞佩·佩亞諾就已經利用集合來定義自然數了。在第2章，我們根據真實物體建立了數字系統，儘管最初是從數山羊開始的，但是這套數字系統最後可以應用於所有物體。佩亞諾擺脫了真實物體，單獨考慮這些數字，使它們可以僅憑集合的本質而獨立存在。這個方法在早期數學中無法採用的原因之一是，它必須建立在「無」（0的化身）這個基本概念的基礎上。具體來說，這個方法的起始點是空集，即不包含任何元素的集合，這為數字0的產生奠定了基礎。
第二個集合只包含一個元素——前面定義的那個空集。通過這個方法，佩亞諾得到了基數1。接著，他又創建了一個集合，將前面的那個集合包含其中。也就是說，這個集合包含兩個集合：空集和包含空集的那個集合。這樣，他又得到了基數2。以此類推，只憑一個個集合，我們就像俄羅斯套娃那樣，搭建出「自然數」的完整集合（包括0和正整數）。
物理學家羅傑·彭羅斯認為，既然可以用這種方法定義數字，就說明：「只需發揮想像力，這些數字就會栩栩如生地出現在我們的腦海裡，我們可以充滿信心地使用它們，而不需要考慮物質世界的任何屬性。」然而，我認為這個理由包含了不可靠的詭辯術成分。毫無疑問，我們無法僅憑想像力就讓自然數「出現」在我們的腦海裡，或者說我們無法完全脫離具體物體，憑空想像出這些數字。
而且，所謂集合，就是一系列實體。要建立集合的概念，首先必須有這些實體存在。如果現實世界中沒有可以計數的物體，很難想像我們會產生集合的概念。比如，我們假設世界上存在一種有思維能力的生物，它既沒有具體形狀，又與物質世界沒有聯繫。既然這個生物除了自己的存在以外，得不到任何其他體驗，那麼它怎麼能像我們一樣感知到周圍世界的多樣性呢？它又怎麼可能產生自然數、集合等概念呢？
佩亞諾和康托爾借助集合論，使算術脫離了數山羊的現實活動，為數學中的數字奠定了理論基礎。從某種意義上看，這個抽像化過程幫助數字擺脫了計數作用，直達數字的本質，因此具有非常顯著的意義。但是，這個變化過程也使某些數學家感到不安（時至今日，他們仍然不能釋懷），這是因為集合論的核心理論包含一個令人不安的悖論。第一個指出集合論面臨這種困境的人是英國哲學家、數學家伯特蘭·羅素。
佩亞諾通過創建以其他集合作為自身元素的集合，推導出了自然數。與之相似，羅素研究的是另一種包含子集的集合，具體地說，他是從集合是不是自身的元素這個角度展開研究的。這個說法似乎會導致棘手的遞歸問題，但是，通過具體實例，我們就可以洞見其中的奧秘。例如，我們考慮「狗」這個集合。與這個集合對立的是一個更大的集合——「除了狗以外的所有事物」。假設我們認為「所有事物」不僅僅包含具體事物，那麼「除了狗以外的所有事物」就是它自身的一個元素，因為它是一個非狗集合。同理可知，「狗」這個集合不是它自身的元素。
接下來，羅素提出了一個新穎的問題：考察「不是自身元素的所有集合」這個集合。這個集合包含「狗」這個集合，但是不包含「除了狗以外的所有事物」這個集合。我們把這個新的集合稱作「非元素」集合。羅素問道：「非元素」集合是不是它自身的一個元素？
至此，我們的大腦很可能已經陷入困境而難以自拔了，當年的羅素就遇到了同樣的麻煩。如果「非元素」集合是自身的一個元素，那麼根據定義，它就不是自身的一個元素，因為這個集合就是這樣定義的。同樣，如果「非元素」集合不是自身的一個元素，那麼它應該是自身的一個元素。從邏輯上講，「我說的這句話是謊言」這句話與「非元素」集合有相同的效果，都會導致自相矛盾的結果。事實上，羅素要告訴我們的是，集合論有一個固有的內在矛盾，這是數學家無法容忍的。但是，集合論仍然是數字本質和簡單算術的基礎。
我們將在下文繼續討論羅素發現的集合論問題，但是現在我們先花點兒時間，看一看康托爾的研究，瞭解無窮集合的定義。如果將佩亞諾構建自然數的方法發揮到極致，就會得到一個無窮集合。這與用雙紐線符號表示的潛無窮有所不同，因此康托爾發明了一個新的符號——
，它是由希伯來文的第一個字母與0構成的，表示這是最簡單的無窮集。我們熟悉的那些運算法則對於這個集合是無效的，這與我們對無窮大的理解是一致的，伽利略那部著作中的辛普利西奧也發現了這個問題。例如，從集合的本質我們可以得到下面這些運算法則：
利用集合論，我們可以毫不費力地解決讓伽利略頭疼不已的那個平方數與正整數的難題。我們知道，可以根據兩個集合中的元素是否可以構成一一對應的關係來判斷它們是否等勢。在解決平方數和正整數的這個難題時，我們同樣可以利用這個方法，將它們一一配對，即每個平方數對應一個正整數。由於我們可以完成這個步驟，說明這兩個集合是等勢的，都是。因此，無窮集與自身的一個子集等勢的奇怪現象就可以解釋了。我們在指南針指針方向與季節的例子中已經發現，無須知道集合有多少個元素，也可以確定它們是否等勢。
如果我們根據自己在周圍世界中獲得的體驗來理解數學過程，就會導致這樣的問題。我們難以理解無窮集的性質，是因為我們以為它們具有與有窮數字（尤其是現實世界中數量有限的物體）相類似的特點。然而，儘管集合可以幫助我們理解數字的含義，但是集合不是數字，而是一種數學建構。只有清楚地理解集合是一種截然不同的實體（它與數字的關係可以幫助我們理解數字），我們才能正確理解無窮集的奇怪特性。
在集合論的幫助下，康托爾成功地定義了自然數的無窮性，即 。我們也許會認為，集合論對無窮大的研究已經到了極致。但是，作為數學家，康托爾絕不願意不加深究就輕信任何結論，這也是他在「」後面附上一個0的初衷。這只是最簡單的無窮，但是他還沒有證明，包含整數在內的所有數字構成的集合，是否也與之等勢。因此，康托爾決定繼續研究下去。這一次，他使用的是非常簡單易懂的數學證明。現代數學證明往往包含一頁又一頁的方程式。20世紀，安德魯·懷爾斯證明著名的費馬大定理的過程超過100頁紙的篇幅。然而，不用任何方程，我們也可以基本理解康托爾的無窮集合證明。
證明過程必須注重嚴謹性，在用數學語言描述時，僅僅使用幾張圖表肯定是不夠的。在介紹康托爾的證明時，我將對證明過程略做壓縮處理，但是它們仍然非常直觀，古希臘幾何學家肯定也會欣然接受。不幸的是，與康托爾同時代的人卻持有不同的看法。
康托爾考慮的第一類數字是有理分數。他想像把所有正有理分數填入一張表中，使分子從左到右逐項加1，分母自上而下也逐項加1。於是，他得到下面這張表：
顯然，這張表是無法完整畫出來的，因為它是一張無窮大的表。但是，我們可以看出它的規律。表中包含所有的有理分數，並且數字1將沿著對角線方向出現無數次。接下來，康托爾需要在表中找出一條可以到達所有位置的簡單重複路徑，才能證明表中的有理分數集與自然數集等勢。也就是說，他需要制定一些法則，即算法，來幫助他通過一個簡單的程序覆蓋表中的所有方格，比如：
1. 從左上角出發。
2. 向右前進一步。
3. 向左下方運動至表的邊緣。
4. 向下前進一步。
5. 向右上方運動至表的邊緣。
6. 重複第2步及後續步驟。
通過這個程序，最終可以走過表中所有有理分數，並且不會有任何遺漏。
可以採取的路線不止一種，但重要的是，沿著康托爾建立的這條路線，我們可以一步一步地走遍所有方格。我們每邁出一步，就會走過一個方格。我們需要做的就是將這些步驟與整數配對，從而按部就班地建立起一一對應的關係。也就是說，總體來看，表中的有理分數集與整數集等勢。因此，有理分數集的元素個數是。
這個結論自然不會讓我們大吃一驚。畢竟無窮大非常特殊，而且我們知道下面這個等式是成立的：
× =
直覺告訴我們，有理分數集符合這個規律是有道理的。但是，這並不意味著所有數學現象都是合理的。當康托爾使用同樣的方法研究另一個數集時，他無比震驚地發現結果竟然大相逕庭。
想一想，0—1之間有哪些數字。（康托爾研究的其實不是這些數字，但是0—1的數字考慮起來最簡單。）這裡說的「數字」指什麼呢？不僅僅是整數（如果我們說的0—1這個範圍包含邊界，那麼共有兩個整數），也不僅僅是有理分數（0—1之間的有理分數就是第195頁表格第一列中的所有數字，也就是分子是1、分母是各個整數的所有分數。它們是所有分數的一個勢為的子集）。除了這些數以外，還有無理數，即與2的平方根相類似的數，但我們在這裡討論的無理數數值都在0—1之間。
從本質上講，康托爾考慮的其實就是0—1之間的所有小數（即「實數」），而且包含這個範圍內所有可能的數字。要使用上面那個方法，我們必須將表格打亂重排，否則小數的開頭就會有無數個0，無論多大的紙也寫不下這些0。重新排列之後，我們可能會得到下面這張表格：
下面這個步驟充分展示了康托爾的天才。他按照每次後移一位的方式，從各個數中選出一個數位加粗。然後，他把這些加粗的數字排列起來，再逐項加上1（如果原來的數字是9，加1之後就會變成0）。這樣，這些數字串就可以構成一個0—1之間的小數。例如，我們可以從上表得到下面這個小數：
0.720 441 784 983…
這個數字非常有意思。它與康托爾表格中的第一個數不同，因為它們的第一個小數位不同；它與表格中的第二個數不同，因為它們的第二個小數位不同；它與表格中的第三個數不同，原因同上。以此類推，它與表格中的所有小數都不相同。也就是說，我們得到的這個小數並不包含在上表中。
如果我們可以成功地寫出0—1之間的所有數字，我們就可以把這些數字與正整數逐個配對，從而證明小數集與自然數集等勢。但事實上，我們無法寫出所有小數。康托爾告訴我們（並給出了嚴格證明），0—1之間的數字比整數多。這個集合的勢更大，是更大的無窮大。
接下來，康托爾把探索的觸角伸向其他維度。他把這個更大的勢稱作
，因為它是0—1之間的連續統的勢，也就是數軸上0—1之間所有點構成的集合的大小。然而，我們經常描述的是二維平面或者三維空間裡的點，而數學家通過假設，可以輕鬆自如地考慮任意維度。這些無窮大是否適用於這些假設的維度呢？
我們同樣可以在幾乎不使用數學工具的條件下，輕鬆地把康托爾接下來的證明過程解釋清楚。我們通常會使用一組坐標（也就是我們前面討論過的笛卡兒坐標系）來定義二維平面上的點，這些坐標可能是坐標圖上的x和y，也可能是地圖上的經度和緯度。因此，邊長為1的正方形區域中的所有點都可以用兩個0—1之間的實數來定位。
直覺告訴我們，既然× = ，我們似乎就可以將0—1之間的連續統的勢按比例增大，從而將同樣的法則應用於正方形中的所有點。但是，這並不是一個有效的證明。康托爾發現，把表示某個點的坐標的兩個數放到一起，使它們的各個數位交錯排列，就可以得到一個獨一無二的小數，而且可以用這個小數確定這個點。這樣一來，正方形區域內所有點的勢就再次變成了0—1之間所有小數的勢。通過交錯排列更多的數位，我們可以延展至任意多的維度。就這樣，連續統的無窮性再次體現在正方形中的所有點上。
考慮數軸上0—1之間數字的無窮性，可以得出一個在研究無窮大時經常會讓我們感到頭暈眼花的悖論。根據康托爾的證明，我們知道有理分數集與整數集等勢。接下來，我們讓另外一個分數集，即1/2，1/4，1/8，1/16…這個數列，與有理分數並列，很容易證明它們也等勢。此外，我們已經知道這個無窮級數的和是1。做好這些準備工作之後，好戲就要開場了。
假設我們給數軸上的每個正有理分數發一把傘，以防止它們被雨水淋濕。這些傘都是簡單的T形。第一把傘的T形結構在數軸上佔據1/2個單位，第二把傘佔據1/4個單位，以此類推。一旦所有的正有理分數都撐起傘，整個數軸就會全部被遮蓋在雨傘之下。傘的T形結構向兩邊伸出的幅度相同，也就是說，第一把傘將遮擋住左右各1/4個單位中的所有數字。請注意，由於傘遮擋的都是有理分數，將第一把傘所在的點（同樣是一個有理分數）加減1/4都會到達另一個有理分數。
到目前為止，你沒有發現任何問題吧？每把傘都立在一個有理分數所在的點上，同時向兩邊展開，伸到其他有理分數所在的位置。別忘了，我們給每個正有理分數都發了一把傘，因此傘與傘之間至少會相互接觸，大多數情況下還會發生重疊，從而把整個數軸都遮擋起來。
也就是說，我們利用雨傘把數軸上0至無窮大的部分全部遮蓋起來。現在，再想一想傘的寬度，它們的寬度構成了無窮級數1/2 + 1/4 + 1/8 + …。在不發生重疊的情況下，這些雨傘最多可以覆蓋數軸的1個單位，在發生重疊時，覆蓋的長度就更小了。總寬度僅為1的物體集合竟然把無限延伸的直線都遮蓋住了，你是不是感到困惑不解啊？這就是無窮大給我們的大腦帶來的衝擊。
然而，儘管康托爾取得了這些成就，他卻始終無法證明一個發現的正確性。他最終精神崩潰，或許就是出於這個原因。康托爾認為，無窮應該是分等級的，整數的無窮等級最低，其次是連續統的無窮等級，即。這個觀念在他的心目中幾乎達到了宗教的高度，事實上他把終極無窮與上帝聯繫到了一起。但是，他沒有辦法證明連續統的無窮等級是
。在
和之間可能還存在其他無窮等級。直到去世，康托爾也沒有發現這是一項毫無意義的研究。後來，有人利用數學方法證明，這個被稱作連續統假設的斷言的正確性根本無法確定。
這個結論是由數學家庫爾特·哥德爾通過他的不完全性定理證明的。不完全性定理是所有數學家的噩夢。該定理認為，任何一個形式系統，只要包含了一階謂詞邏輯與初等數論，就必然存在一個命題，它在這個系統內既無法被證明為真，也無法被證明為偽。有時，即使在同一個世界內，我們可以應用的法則也可能不止一套。前面討論的平面和曲面上的平行線的特性就是一個例子。但是，當我們試圖使用數學工具探索現實世界時，就必須使用一套固定的法則。
哥德爾的研究實質上是要證明任何系統中都會存在某些結果無法確定的問題。也就是說，從根本上看，數學是不完善的。如果把哥德爾不完全性定理簡化，就與我們在前文討論的羅素悖論非常相似了。羅素悖論給出的命題在應用數學系統的法則時會產生無法解決的問題。哥德爾成功地證明康托爾的連續統假設與集合論公理系統不矛盾——這個假設有可能是正確的，但是他無法證明。後來，另一位名叫保羅·科恩的數學家，證明了集合論與連續統假設彼此獨立。換句話說，即使該假設不是真的，對集合論也不會產生任何影響。
從本質上講，他們的研究表明，只要現行的集合論公理系統不做修改，就不可能證明連續統的無窮級別就是高於的。哥德爾本人也著重強調了這一點，他說連續統假設的真實性肯定無法確定。他還說：「根據現在已知的集合論公理系統無法確定它的真實性，只能說明這些公理無法完整地描述現實世界。」
我們知道，公理是為某個數學分支奠定基礎的基本假設。數學家必須假定這些「已知」條件是真實的，然後以它們為基礎，開始搭建數學結構。運用數學證明時一定會使用這些公理，但是這些公理畢竟是假設，假設肯定會引起人們的質疑，因此這些公理到底正確與否，難免引發爭議。
集合論是康托爾所有無窮大研究（更不用說這位數學家眼中的數字基本概念及運算法則）的基礎，集合論自身的基礎則是ZFC公理系統。其中Z和F分別指將康托爾的集合論研究成果整理成形的數學家策梅洛（Zermelo）和弗倫克爾（Fraenkel），C代表選擇公理（把這條公理單獨列出的原因馬上就會揭曉）。系統中的8條公理對於20世紀的數學界而言非常熟悉：
1.存在性公理。至少存在一個集合。基數源自空集，即沒有任何元素的集合。但是，首先必須有集合存在。
2.外延公理。當且僅當兩個集合有同樣的元素時，這兩個集合相等。這條公理具有數學公理的典型特點：表面上是一個顯而易見的命題，但是，要讓數學有據可循，它又不可或缺。
3.分類公理。對於所有集合與所有條件，都有一個集合與之對應，且該集合的元素正好是原集合中符合該條件的所有元素。換言之，從一個集合中選擇一些元素，無論如何選取，所選擇的元素都可以構成一個集合。例如，在所有大於1的自然數這個集合中，利用「除自身和1以外沒有因數」這個條件，就可以得到另外一個集合，即素數集。
4.無序對公理。對於任意兩個集合，都存在第三個集合將前兩個集合包含其中。也就是說，可以由兩個集合得到第三個集合。
5.並集公理。已知多個集合，則存在某個集合包含屬於已知多個集合之中至少一個集合的所有元素。
6.冪集公理。對於任意已知集合，都存在一系列集合，包含已知集合的所有子集。
7.無窮公理。存在一個集合，包含空集和所有非空子集。
8.選擇公理。對於任意集合，我們都有辦法從該集合的所有非空子集中選擇一個元素。
這些公理大多比較可靠，而且不會導致麻煩。但是如果我們處理的是無窮集，最後那條公理，也就是第8條公理，就會成為ZFC系統的大麻煩。隱患就在於「辦法」這個詞。當然，對於一個已知集合，我們肯定可以從中隨機選擇一個元素，但是「隨機選擇」並不能被視為一個有效的數學方法。我們可以不考慮任何特殊原因，從一系列物理對像中隨機選擇一個，但是利用數學方法完成隨機選擇的難度非常大，因為很難定義到底如何選擇才算真正做到隨機，除非集合的元素數量已知。
對於有窮集，我們甚至無須做到隨機選擇，比如，我們可以採取「選擇集合的第一個元素」的方法。但是，整數是所有數字的一個子集，它們沿著正負方向無限延伸。如果我們需要從這個子集中選取一個數字，應該如何做呢？也許「選擇中值」這條法則可以幫助我們完成任務，但是無窮集的中值真的那麼顯而易見嗎？
好消息是，我們現在有辦法「修復」ZFC系統，為連續統假設這個問題給出一個確切的答案。大多數數學家都認為最好的辦法是「力迫法」或「內模型法」（這個方法還有一個上口的別稱——V = ultimate L，即集合論宇宙終極可構成集類）。唯一的問題是，力迫法告訴我們連續統假設是錯誤的，而內模型法則認為連續統假設是正確的。
這兩個可能的結果充分顯示了數學的本質和它與現實世界的關係。集合論絕對是我們每天都要使用的實用數學的基礎之一，然而集合論自身在選用公理這個方面卻具有隨機性。一條道路通向光怪陸離、令人嚮往的數學世界，另一條道路則更貼近我們心目中的現實世界。就純粹數學而言，這不是問題，只能說明我們使用的是兩個不同的數學系統，就好比有的數學系統是建立在維度多達數千而且與現實世界毫不相干的基礎之上。但是，作為科學的基礎，我們還是希望找到一條具有唯一性和確定性的數學道路。
儘管在科學研究中應用數學工具，會因為集合論自身的問題而受到嚴重影響，但是康托爾的無窮性研究並不會給我們帶來明顯的麻煩。我們知道，如果方程涉及變化，而且某些值可以通過合併無窮多個無窮小的部分的方式推導得出，牛頓、萊布尼茨及其後來者在進行微積分運算時就會使用潛無窮的概念。在這種情況下，無窮的概念（至少是亞里士多德提出的潛無窮概念）具有讓人無法抗拒的價值。我們更不清楚的是，如果脫離了徹底抽像化的數學世界，康托爾的實無窮是否還有任何實際意義。
答案非常簡單，到現在為止，我們還不知道無窮在現實世界中到底有沒有意義。宇宙可能是無窮無盡的，大爆炸理論並不能徹底否定這種可能性。我們只知道可觀測宇宙的直徑大約是900億光年，這個數字是對光自宇宙誕生以來傳播的距離與相同時間裡宇宙膨脹的速度加以綜合之後得出的結論。但是，無論我們這個宇宙是獨一無二的，還是無窮無盡的宇宙海洋中不起眼的一滴水（很多現代大爆炸模型認為，在更大的多元宇宙中發生過多次大爆炸），宇宙的膨脹都有可能是沒有限度的。
從某些方面看，無限宇宙似乎比有限宇宙更有吸引力，因為有限宇宙會讓人們情不自禁地遐想：宇宙邊界之外是什麼？但是，數學家已經找到了一個可能的答案：即使是有限宇宙，也可能完全沒有邊界。
這個答案似乎與我們的直覺不符，因為這在常見的三維空間中是很難想像的，但是我們可以輕鬆地找到一個二維類比對像——月球表面。（我選擇月球表面而沒有選擇地球表面，是因為地球表面上的海洋會破壞它的連續性。）月球上有一個有限空間，即它的表面，而且這個有限空間沒有邊界。我們可以朝著任意方向一直走下去，也不會走到月球的邊緣。站在月球上看，月球表面似乎是一個平面。把平面折向第三個維度，讓邊緣結合到一起，平面的邊界就消失了。要在宇宙中想像出類似效果，我們需要把宇宙的體積折向第四個維度。在折疊之前，我們在某個位置上跨出一步就相當於從宇宙的一個側面跨出去，但是在折疊之後，跨出去的這一步會讓我們從宇宙的這一面進入與之相對的另一面。
現實世界中另一個可能真正具有無窮性的事物是時間。亞里士多德認為時間沒有盡頭，可以被視為一個無限膨脹的過程。有的宇宙學理論認為宇宙也沒有起點，儘管更受歡迎的大爆炸理論揭示了宇宙的起源。但是，有人認為，如果宇宙膨脹到一定程度，之後再也不會發生任何變化，宇宙就走到了盡頭。在這種情況下，我們有理由相信時間已經不存在了，因為時間的流逝將沒有辦法表示。
亞里士多德還相信時間和空間都可以被分割成許多無窮小的部分（亞里士多德不是原子論者）。現代物理學家大多認為這個觀點可能不正確。僅僅因為物理現實的其他方面可以量子化（可以分割成離散粒子），時間和空間就一定也如此嗎？考慮到萬有引力已經被引入量子框架，他們更加確信這個觀點不正確了。表示空間粒度效果最好的備選量度就是普朗克長度和普朗克時間，這兩個單位的值是由光速c、引力常量G和普朗克常量h三個基本常數決定的。
當人們建立這兩個普朗克單位時，它們被視為宇宙的基本屬性，而不是人為創造的兩個概念。普朗克長度等於
，大約是1.6×10–35米，普朗克時間是
，大約等於5.4×10–44秒。還有一個普朗克單位是普朗克質量，即
，大約等於2.2×10–8千克。雖然人們很少提及普朗克質量，但這是唯一一個與我們體驗過的事物具有可比性的普朗克單位。（這些單位的值非常小，人們從來沒有用過其他任何方式來衡量這些值。）如果時間和空間可以量子化，那麼我們有可能（儘管無法確定）使用這些值來測算它們的粒度。（普朗克質量肯定不是質量的最小單位，它大約是電子質量的1022倍。有人認為，普朗克質量可能是基本粒子的最大可能質量。）
有趣的是，可能出現真正的無窮的一個領域是量子物理。原子、電子等量子的屬性不同於我們在「宏觀」世界中熟悉的各種事物的屬性。例如，量子的一個特性叫作自旋（量子自旋並不是指真的自旋，而是借用自旋物體來比喻某種屬性），但是我們無法用具體的值來表示它。在任一特定方向上測量，我們會發現量子自旋的方向可能「向上」，也可能「向下」。
在測量之前，我們無法預知測量結果，因為粒子的自旋沒有實值。其實，自旋就是一種疊加狀態，比如，粒子有27%的可能性向上自旋，有73%的可能性向下自旋。也就是說，如果我們在某個特定方向上重複測量，測量結果是「向上」和「向下」的概率分別是27%和73%。但是，我們只能測量概率（這要歸功於薛定諤方程），而無法預知測量結果。
在疊加狀態下，自旋可以被視為一種方向。我們可以把它想像成箭頭，箭頭朝上表示上旋的可能性是100%，箭頭朝下則表示下旋的可能性是100%。在疊加狀態下，箭頭指向某個中間方向。（可能性為各佔一半，箭頭指向水平方向。）由此可見，我們實際上得到了一個實數——一個無窮小的數，其表現形式是疊加狀態的方向。因此，以這些粒子自旋為基礎的量子計算機的潛能遠遠超過二進制的傳統計算機。如果準備入侵現實世界，也許它會通過量子位，甚至只能通過一種間接的方式來實現這個目的，因為我們永遠無法知道它的確切值。但是，這種入侵是真實的，因為它會對測量結果產生直接影響。
然而，有一件事肯定是真實無誤的。儘管對於數學家而言，無窮就是一個雅致的玩具，但是在科學研究中卻經常會招致難以解決的麻煩。在物理學領域，例如在研究前面討論的電子反衝時，無窮大概唸經常會發揮更大的價值。無論我們研究的是黑洞內部結構，還是反衝電子這種常見現象，無窮都有可能悄無聲息地出現在我們眼前。電子還會導致另外一個問題，因為人們認為電子是沒有維度的點粒子。但是，這就意味著隨著我們越來越接近電子，電場強度就會趨近於無窮大，而離電子最近的肯定是它自己。
當用量子電動力學解釋光與物質粒子之間發生的電磁相互作用時（這種電磁相互作用對於我們所有的日常體驗來說幾乎都是不可或缺的），無窮引起了無數麻煩，電子與自身電場發生相互作用產生的自能就是其中之一。然而，人們普遍認為，就預測觀測值而言，量子電動力學是迄今最成功的理論。那麼，它是如何處理無窮問題的呢？答案是重正化，歸根結底就是用觀測值取代那些荒謬的無窮值。
在遇到無窮時，物理學家並不總是束手無策，因為他們隨時可以借助微積分中的潛無窮概念來化解危機。但令人尷尬的是，物理學理論似乎隨時會拋出足以導致麻煩的實無窮概念。物理學家馬克斯·泰格馬克認為，如果我們支持那些容許實無窮概念存在的理論，就等於給未來的物理學製造麻煩。
他特別指出，宇宙膨脹說就是這種理論的一個代表。宇宙膨脹說是幫助早期大爆炸理論解決某些問題的「補丁」。該學說認為，大爆炸發生之後，宇宙空間以遠超光速的速度急劇膨脹，我們現在可觀測到的宇宙從此開始了它的生命歷程。現行的宇宙膨脹說與觀測結果的一致程度比較高。（從某種意義上講，這也是理所應當的，因為宇宙膨脹說的創立初衷就是實用，為了與新數據吻合，又修改了若干次。但是，自現代宇宙膨脹說建立之後，已經有很多觀測結果遲遲不能得到合理的解釋。）
泰格馬克稱，麻煩的根源就在於膨脹說秉持宇宙體積可以無限膨脹的觀點。根據這個觀點，最終將會形成一個空間無窮集，將所有可能的物理情況都包含其中，導致膨脹說在諸多領域裡完全喪失做出明智預測的能力。如果一切都有可能，我們就無法準確預測任何結果，科學的意義也會遭到嚴重破壞。從這個角度看，宇宙膨脹說與致命計算機病毒有幾分相似，如果聽之任之，所有的科學理論都將遭遇滅頂之災。
泰格馬克指出，就像橡皮筋因為原子數量有限而無法無限拉伸一樣，根據時空的量子性質，宇宙的膨脹也應該是有限度的；而且，如果物質真的具有連續性，那麼這個說法基本上就是對的。他認為，有了這個限度，一切問題都將迎刃而解。無論是密度無限大的黑洞奇點，還是阻礙量子引力理論發展的數學難題，都不再是問題。他大聲疾呼：我們不需要實無窮！
最後，泰格馬克說：「我們物理學家面臨的挑戰是找到這個簡便有效的方法，用不包含無窮的方程描述真正的物理定律。我們必須先對無窮提出質疑，才可能積極投身這項探索活動。我認為，我們有必要把它趕出物理學界。」儘管泰格馬克的話有些特立獨行，但是他的思想可能代表了科學的一個新起點。
與令人尷尬的物理學領域的無窮不同，康托爾研究的數學領域的無窮對日常生活與科學研究從未產生任何重大的影響。從研究數字與現實之間關係的角度看，我們更想知道哥德爾的研究成果，以及選擇公理因為自身問題而導致的隨機性到底會產生什麼樣的影響。集合論是數學的基礎，但它自身卻有一個有趣的缺陷。或許這些新發展的最大意義是告訴我們，將數學視為現實世界的直接基礎，會帶來一定的風險。果真如此的話，就意味著現實也具有隨機性。
儘管直到康托爾去世，他的無窮理論也沒有得到廣泛應用，但是物理學卻開啟了一個新的發展方向，使數學的核心地位得到了史無前例的鞏固。從此以後，人類對世間萬物的認知，以及人類的日常生活，幾乎都將因此而發生改變。