幾年前，我在倫敦的英國皇家研究院（RI）參加過一次辯論會。辯論會的主題很有意思——誰是歷史上的第一位科學家。4個人選都不出意外地在本書中佔有一席之地。在辯論過程中，阿基米德和羅吉爾·培根（由我提名）的早期成果在伽利略面前相形見絀，後者憑借現代科學成就最終勝出。但是，研究院常駐科學史學家提名的候選人卻是比伽利略在歷史上出現的時間晚得多的詹姆斯·克拉克·麥克斯韋。
麥克斯韋角逐這個頭銜有一個不是很公平的理由——「科學家」這個詞在他那個時代才正式出現。在那之前，人們普遍使用的是一個拗口的名稱——「自然哲學家」。1834年，人們認為，既然從事藝術工作的人被稱作藝術家（artist），那麼把從事科學研究的人稱作科學家（scientist）似乎是合情合理的。（當時，他們提出了幾個備選方案，值得慶幸的是，他們最終沒有選擇「博學之士」這個詞。）但是，在那次辯論會上，人們支持麥克斯韋的理由卻更加微妙：麥克斯韋是科學領域中讓數學徹底擺脫現實的束縛，並在他提出的理論中有所體現的第一人。
當然，麥克斯韋不是第一個使用數學工具的科學家。我們知道，牛頓早已用他的數學知識構造出一個蔚為壯觀的科學魔法世界。麥克斯韋在電磁學領域取得的研究成果雖然與光的本質有關，但是與數學的聯繫更加緊密。最終版本的麥克斯韋方程組渾然天成，充滿美感，完全擺脫了與物理現實的聯繫，是直接源自數學公式的產物。同時，它也開啟了離經叛道的痛苦歷程。牛頓處心積慮地為自己的基礎數學罩上了一層晦澀難懂的外衣，一旦脫下這層外衣，我們就會發現它特別簡單。但是，漫不經心的觀察者是無法理解麥克斯韋的研究成果的，他們唯一的選擇就是毫不猶豫地接受它。這一點對於科學本身，對於幫助科學贏得社會支持，都具有非常深遠的意義。
如果你從未聽說過麥克斯韋，也不會令人感到特別奇怪。如果在科學家當中做一次問卷調查，請他們提供三個名字：歷史上最偉大的物理學家、有史以來最受他們喜愛的物理學家和最被普通大眾低估的物理學家，結果一定非常有意思。艾薩克·牛頓和阿爾伯特·愛因斯坦的名字肯定會出現在第一個名單中，理查德·費曼應該可以輕鬆地在第二個名單上名列前茅，而詹姆斯·克拉克·麥克斯韋則很有可能成功當選最被普通大眾低估的物理學家。值得注意的是，愛因斯坦的書房牆壁上掛著三個人的照片：牛頓、法拉第和麥克斯韋。
介紹麥克斯韋生平的科普讀物非常多，但是我認為仍然有必要告訴你們他這個不同尋常的姓名是怎麼來的。麥克斯韋的父親本來名叫約翰·克拉克，但是約翰的父親繼承了克拉克家族麥克斯韋系的莊園和頭銜。約翰的父親死後，約翰的哥哥又繼承了這個頭銜和位於米德爾比的主體莊園，約翰則繼承了位於哥倫萊爾的子莊園，並且從此以後，他在姓名中添加了「麥克斯韋」，以強調這種關係。因此，詹姆斯出生後，他的姓就是克拉克·麥克斯韋，簡寫為麥克斯韋。
由於家境殷實，麥克斯韋從小就自由自在，而且有機會深入探索附近村莊的自然史。他後來進入愛丁堡大學，攻讀物理學學士學位，之後又進入著名的劍橋大學。畢業後，他先後在劍橋大學、阿伯丁大學和倫敦大學國王學院任職。接著，他離開大學校園，回到哥倫萊爾莊園，潛心做研究。這種沒有壓力的生活讓他感覺十分愜意。直到劍橋大學成立卡文迪什實驗室（在這個新實驗室的推動下，劍橋大學一舉搶佔了當代物理學研究的核心地位），衝著第一個卡文迪什教授的頭銜，麥克斯韋才又回到劍橋大學，繼續他的學術生涯。
在這段時間裡，麥克斯韋的研究涉及諸多領域，主要包括運用統計工具從事熱力學研究、利用偏振光檢測透明材料的應變、探索顏色感知的本質，他甚至還拍攝出有史以來的第一張彩色照片。但是，他留給我們的最有價值的遺產是電磁學。麥克斯韋的前輩、電磁學大師邁克爾·法拉第在思考電磁學領域的各種現象時，曾經提出一個開創性的設想：電與磁會形成一種場。他提出的場概念與等高線圖比較相似，相當於整個空間遍佈了等高線，等高線的值表示電磁強度。如果一條導線穿過磁場的等高線，就會與磁場發生相互作用，進而產生電流。
法拉第毫無疑問是一位想像力豐富的科學家，但是他沒有接受過專門的數學訓練，在研究中幾乎不會使用數學工具。也有一些科學家曾經用數字來表示電磁感應，但是，就像牛頓對萬有引力的理解一樣，他們也認為電磁力是一種間接的「超距力」。麥克斯韋無疑是第一個認識到法拉第的場概念的重要意義的人，並且他開始運用數學工具來研究電磁場的概念。從此以後，人類對電與磁的研究發生了翻天覆地的變化。
由於電磁場在三維空間中能無限延伸，在建立數學模型時需要計算空間各點電磁感應的總和。要解決這個數學問題很容易，牛頓與萊布尼茨的微積分恰好可以做到（儘管很少用於三維空間）。但是，麥克斯韋還需要在此基礎上再向前一步。按照法拉第的理解，在電和磁形成的「力場」空間中，每個點的值就是磁體或者電荷產生的作用力。與質量是標量（僅有數量大小）不同，力是矢量，不僅有大小，而且有方向。質量一成不變，而力則必須有確定的作用方向。矢量是由兩個數量綜合而成的雙重數值，在表示力時，它不僅描述了力的大小，還說明了力的作用方向。
在麥克斯韋潛心鑽研電磁學的時候，人們剛剛發現了與矢量相對應的數學工具。發明這個工具顯而易見很有必要，因為在處理一個矢量時，我們肯定不能把它視為一個簡單的數字。比如，兩個矢量相加，與其說是代數運算，不如說是幾何操作。計算兩個矢量之和的最簡單方法就是畫兩個箭頭，用箭頭的長度表示矢量（例如力）的大小，用箭頭的方向表示矢量的作用方向。我們先畫一個箭頭表示第一個矢量，然後以這個箭頭的頭部為起始點，畫出第二個箭頭。從第一個箭頭的起始點至第二個箭頭的頭部畫出第三個箭頭，這個箭頭就是兩個矢量的和。但是，麥克斯韋需要解決的問題不只是計算兩個不變量的和。在開始研究電磁學之後，他還必須嘗試利用向量微積分，計算出空間各點因位置不同而變化不定的矢量。
當時，人們用力學世界觀研究世間萬物，麥克斯韋剛開始的時候也沒有徹底放棄這個工具。他考慮過將電磁力（電與磁的綜合體）看作並不存在的多孔固體中的流體，用流體代表電磁力的力線。同所有優秀的模型一樣，他的這個想法不僅與建模時觀察到的各項數值相互吻合，而且用模型做出的一些預測也得到了證實，其中包括電磁力的強度與距離的平方成反比。
麥克斯韋的「滲流」模型是一個非常有用的工具，但是它的作用也僅限於此。重要的是，代表力線的流體被固定在固體內部的通道中，但是在絕大多數情況下，例如，在越來越受歡迎的法拉第電動機和發電機中，力線並不是靜止不動的。要表示這種情況，麥克斯韋必須徹底改變自己的模型，但他暫時無能為力，原因之一就是他在這前後收拾行李搬到了倫敦。5年之後，他才開始考慮這個問題。
在這種情況下，平庸的科學家很可能會修改自己的模型，以適應運動的電磁力。但是高明的科學家在意識到錯誤時，即使他們在這條道路上已經投入大量的時間和精力，他們也會當機立斷，另闢蹊徑。麥克斯韋果斷地放棄了他的流體模型（即使是現在，運動的流體也是最難處理的物理學問題之一，很難得到精確的結果），轉而到更熟悉的力學領域中尋求答案。他首先對磁體進行了研究，發現他的模型需要添加磁力線，而且磁力線上應該有朝著某個方向的應力（與異性磁極之間的吸引力相對應）和垂直壓力（與同性磁極之間的排斥力相對應）。
他設想，磁體可能是由一系列可以自由旋轉的微小電池構成的。地球等實體旋轉時，在旋轉力的作用下，赤道附近的地方會凸起，兩極則會稍扁。與此同時，地球內部的微小電池也會發生同樣的變化。如果一系列電池的旋轉軸相同，在這些電池被壓扁的時候就會在沿著旋轉軸的方向上產生應力，而在微小電池凸起的地方就會產生向外的垂直壓力。這種效應與他的電磁場模型正好一致。
至此，他的模型沒有任何問題，但是在實際操作時，這些微小電池常常因為相互作用而僵持不下。原來，麥克斯韋忽略了電荷的影響作用。為了解決這個問題，他設想每個電池周圍都有一些很小的球體，就像安裝在轉軸周圍用來減小摩擦力的滾珠軸承一樣。微小電池只能在固定位置旋轉，而那些小球體卻像電流一樣，可以在原材料中穿行。儘管麥克斯韋的這個模型十分簡陋，但令人吃驚的是，它與金屬由原子構成、電子從原子中間穿行的結構非常接近。直到多年之後，人們才發現原子存在的證據（又過了更長時間才知道電子的存在）。
此時，麥克斯韋的模型已經可以解釋某些電磁現象了，但是它無法解釋電磁感應——這個物理現象對於變壓器具有非常重要的意義。一條電線中的電流發生變化，為什麼會導致另一條電線產生浪湧電流呢？法拉第正確地推斷出電流在接通和斷開時會產生磁場，而磁場可以通過另一條電線擴展、收縮，進而產生電流。麥克斯韋利用他的微小電池（此時他已經把這些電池改成六面體了）和小球體，成功地模擬了這個變化過程。為了模擬電磁感應現象，他對模型做了一些改進。當小球體從微小電池周圍流過時，不同層次的電池會做出不同的反應，同時會對小球體的運動施加阻力，使這些小球體的速度逐漸減慢。
做了這些改進之後，他的模型已經比較完美了，唯一的缺陷就是不能很好地表現電荷之間的相互作用。梳理過乾燥頭髮的梳子帶有電荷，可以吸住碎紙屑，原因就在於電荷的相互作用。同很多前輩一樣，麥克斯韋也發現遇到問題時暫且放一放，反而更容易找到解決辦法。
他想到，紙、瓷器等絕緣體內部的小球體被固定在微小電池上，不能像金屬內部的小球體那樣自由流動。他又想到，如果絕緣體的微小電池具有彈性（在固定位置上可以發生扭曲），這些電池就可以像彈簧一樣，通過扭曲將能量暫時儲存起來。與之相比，金屬的微小電池是剛性的，幾乎不會發生扭曲。這個想法不僅說得通，它還可以高度精確地模擬真實材料的特性，從而幫助我們瞭解電磁力的真實屬性。根據這個模型，靜電力與彈簧的勢能非常相似，磁力則更像轉動能，而且兩者一定會產生相互作用，不可能獨自出現。所有問題似乎都得到了妥善解決。但是，就在此時，麥克斯韋卻發現了一個足以讓整個模型變得一文不值的大問題。
法拉第場被認為無處不在，甚至存在於真空中。由於空間具有極強的絕緣性，因此，根據他的模型，空間應該包含彈性電池。彈性物體的一個特點是它可以傳遞波。事實上，彈性是波傳播的必備條件。由此可見，電磁波似乎可以在真空中穿行。此外，彈性電池的扭曲會產生磁場，磁場又會拉扯鄰近的小球體，進而形成電場。麥克斯韋認為，真空中應該有一個包含電波和磁波的自持波，其中電波和磁波彼此垂直，而且都與自持波的傳播方向垂直。同時，電波會產生磁波，磁波又會產生電波，循環往復。
當時，人們已經確認光是一種獨特的波，在介質中傳播時會發生左右擺動。（通常，只有在介質邊緣傳播時，波才會左右擺動。）人們還通過實驗發現，光與磁之間似乎存在某種聯繫。麥克斯韋在想，根據他的模型，光就是一種電磁波，這個近乎荒謬的結論到底是不是真的呢？畢竟，光可以毫不費力地穿透真空，從太陽傳播到地球。隨後，麥克斯韋對這種假設的波的傳播速度進行了估算，結果發現它與光在真空中的傳播速度非常接近。這個發現進一步展現了這個模型的驚人效力。
毫無疑問，麥克斯韋在數學工具的使用方面遠遠超過他的前輩，這也是他當時最令人矚目的成就。但是，在對氣體黏滯性進行了初步研究之後，他又一次放棄了自己建立的模型，然後重新開始研究電磁學。這一次，他沒有使用流體、旋轉式彈性電池等類比模型，而是採用了現代物理學家都非常熟悉的方法，即建立純粹的沒有摻雜其他任何內容的數學模型。
雖然他使用的仍然是建立模型的方法，但這個模型僅僅是一些表現一系列邏輯法則的數字。模型中沒有圖，沒有類比，也無法讓人們輕鬆掌握其中的原理。麥克斯韋使用的是18世紀意大利數學家約瑟夫–路易斯·拉格朗日發明的方法——拉格朗日函數。借助拉格朗日函數，人們可以通過微分方程組，以及系統各部分的動量、系統動能等要素，描述系統隨時間的變化而發生變化的情況。
拉格朗日函數就像一個黑箱（在數學家的眼中極具簡潔雅致的美感），只需輸入已知因素，搖動把手，就能得到答案。使用者根本不需要深入瞭解系統的物理屬性，因為建模時使用的全部是數字。
為了滿足電磁學的特殊要求，麥克斯韋進行了一番複雜的改進，把拉格朗日的研究成果變成了一個比較簡單的方程組，用來描述電與磁的特性。麥克斯韋的後輩們利用現代符號表示法，對麥克斯韋方程組進行了完善和精簡，最後得到了4個令人驚歎的簡短方程：
對於現代物理學家而言，這些方程簡單明瞭、司空見慣（然而大多數人卻會驚歎於它們的複雜程度）。但是，在麥克斯韋提出這些方程組時，大多數科學家都覺得，單憑數學工具就構建出這個模型，實在是一件不可思議的事情。如此徹底地擺脫對現實世界的依賴，是很多人努力追求的目標，其中包括與麥克斯韋同時代的傑出人才、在更年輕時就已成為物理學教授的威廉·湯姆森（即開爾文勳爵）。由於沒有人親眼見過電磁波，因此人們對這個模型的反響並不強烈。但是，這套理論認為，只需讓電荷沿著一片金屬（現在的人稱之為天線）運動，就可能產生電磁波。直到20年後，海因裡希·赫茲用這種方法首次生成無線電波，麥克斯韋的這項突出成就才真正得到人們的普遍認可。
儘管麥克斯韋可以借助數學工具完成他的研究，但在當時，就連他本人也不相信由這些公式得出的所有推論。他喜歡借助數學工具建立模型，但是他認為那些數字不可能直接反映現實世界的本質。麥克斯韋曾經兩次無視這些數字給他的提示：一次是他在提出一個假說時沒有考慮這些數字；另一次是他直接忽略了這些方程給出的某個預測結果，原因是這個結果太奇怪了。
那個假說與以太有關。麥克斯韋的電磁波理論成立的前提條件是，真空有容留電磁場的能力，因為電磁波離不開電磁場。波的傳播不需要任何介質。如果真的存在類似於普通物理材料的介質，這些波就會顯得特別奇怪，因為介質會抑制波的左右振動，導致橫波無法從介質中間穿過。通常，這樣的波都在介質邊緣傳播（例如，在水面上或者在小提琴琴弦上）。能從介質中間穿過（例如聲音在空氣中傳播）的波往往是壓縮波，也就是波的振動方向與傳播方向一致。
儘管麥克斯韋的模型明確地告訴他，光從恆星發出後，無須以太也能在真空中穿行，但他仍然堅信以太肯定存在。優秀的科學家幾乎都兼具叛逆者和傳統主義者的雙重特點，他們肩負著破舊立新的使命，但是他們又不可能推翻一切、從頭開始。他們必須依賴某些現存的觀念，但是這些觀念往往已經存在很長時間，以致失去了繼續存在的意義。以太就是一個這樣的概念。有趣的是，包括諾貝爾獎得主弗蘭克·韋爾切克在內的一些現代物理學家認為，以太從一定意義上講仍然是存在的，但是我們需要換一個思路，把數學意義上充斥整個空間的各種場（例如電磁場）視為以太。
麥克斯韋忽略的那個預測極具震撼性，令人震驚的程度遠勝過以太是否存在這一問題。這個預測表明，一定存在可以回到過去的波。為了說明這個問題，我們有必要先花點兒時間，思考一個非常簡單的數學問題。在下面這個方程中，x的值是多少呢？
x2 = 4
即使「代數學」這個詞令你驚恐萬分、深惡痛絕，解這樣的方程你肯定也會胸有成竹。我們的任務就是找到平方為4的x的值。不難發現，2是滿足條件的答案。但是，如果在學校考試中解這個方程，回答2只能得到一半的分數，因為答案不止一個。x等於–2時方程同樣成立。也就是說，這個方程有2和–2兩個解。
某些方程（例如二次方程，上面這個方程就是一個簡單的二次方程）經常會出現有兩個解的情況。麥克斯韋方程組在預測電磁波這種自持波存在的可能性時，同樣遭遇了這種情況。這些方程的解不是一個，而是兩個，並分別被稱作「延遲波」和「超前波」。根據這些方程，當我們熟悉的電磁波（包括無線電、X射線、伽馬射線在內的所有光）從A傳播至B時，這些波都是延遲波。但是，這些方程還描述了第二種波，即從B傳播至A的超前波。在延遲波到達B的那一瞬間，超前波從B出發並逆時傳播，在延遲波離開A的瞬間到達A。
這個預測顯然面臨兩大難題。難題之一是，任何人都沒有見過超前波。如果超前波真的存在，那麼它們似乎可以完成時光倒流這種不可能實現的壯舉。儘管數學上沒有給出任何提示，告訴人們應該只保留其中一個解，忽略另外一個解，但是大家都這樣做了，因為他們認為那個解非常奇怪，不應加以考慮。數學工具似乎給出了一個與現實世界格格不入的預測結果，但是，由於這些方程式完美地描述了電與磁的其他特點，所以人們無法棄之不用。
直到20世紀40年代，美國的兩名物理學家約翰·惠勒和理查德·費曼才發現超前波不僅是這些方程的一個預測結果，它還可以在物理學領域發揮重要作用。儘管科學的發展在一定程度上需要科學家解放思想，但是既有的科學理論對大多數科學家的阻礙作用仍然十分明顯。然而，惠勒和費曼都十分開明，不會被常識遮住雙眼。
為了解釋光與物質之間的相互作用，費曼等人創立了量子電動力學（QED）這個物理學分支，而走在時間前面的超前波將幫助他們解決一個問題。量子電動力學常常會引出數學意義上的無窮大概念（參見第12章），這個缺點不僅會影響量子電動力學的發展，還會給量子色動力學等現代理論惹來麻煩。當惠勒和費曼提出他們的大膽想法時，量子電動力學面臨的電子反衝問題就屬於這一類型的麻煩。如果原子中電子的能量降低並釋放出一個光子，這個電子就會發生反衝，這與槍支發射子彈的情形十分相似（光子沒有質量，但是它們有動量，而動量一定是守恆的）。
要讓電子發生反衝，電子的電場必須作用於電子自身，因此它們實際上構成了一個反饋回路，而且會導致無窮大的結果。但是，當時的人已經知道電子會不停地釋放光子，我們看到的光大多就是這樣產生的。惠勒和費曼發現，如果每次產生的光子不止一個，而是兩個，而且其中一個是逆時運動的超前光子，在解釋反衝問題時就不會導致無窮大這種令人無法解釋的結果了。
毫無疑問，惠勒和費曼的研究得出了一個有用的結果，但是人們一直認為這是一種效果不錯的數學魔術，對於揭示現實世界的本質沒有任何啟示作用。當然，使用過這個研究方法的人大多（不包含惠勒和費曼）不認為物質世界中真的存在超前波和超前光子，但是這個例子再次說明數字可以產生與實際觀察相匹配的結果（儘管本例中的這個結果有點兒出乎人們的意料）。常識告訴我們，波不可能進行逆時傳播，但是數學工具卻告訴我們相反的預測結果。事實證明，數學工具做出的稀奇古怪的預測，與更加直接的研究方法相比，其反映現實的效果更好。
對於現代數學界而言，無論我們怎麼理解麥克斯韋方程組的解，這些方程都沒有多大的難度，儘管當初提出這些方程的人是一個天才。然而，正如與麥克斯韋同時代的格奧爾格·康托爾發現的那樣，即使是專業的數學人員，也會遇到解決不了的難題。