數學家把負數的平方根稱為虛數。乍看上去，這個概念似乎非常奇怪，完全背離了在這之前數字與現實世界建立起來的關係，彷彿是要證明數學與現實世界徹底斷絕了聯繫。然而，隨著時間的推移，人們在探索物質世界的過程中卻發現虛數的作用異常廣泛，而且關注現實的工程技術人員也離不開虛數，在每天的計算中都要用到它。
說到虛數，首先要從負數說起。數學家發現自然數的這些變體可以構成一個實用的數學概念之後，就對它們的數學特性進行了考量。他們發現，兩個負數相乘就會得到正數。其中的道理並非一目瞭然，但是借助數軸還是很容易看清楚的。減號實際上表示數軸上的方向變化，因此，在正方向上變化兩次方向，朝向的仍然是正方向。我們也可以換個方法，認為這是數學家做出的一個主觀決定，但他們也是不得已而為之。對不同的決定稍加研究就會發現，這是與數學其他方面保持一致的唯一選擇。
接下來，新的問題出現了。既然我們已經知道正數乘以正數的結果是正數，負數與負數相乘的結果也是正數，那麼負數的平方根是什麼呢？什麼數的平方是負數呢？答案既不可能是正數，也不可能是負數。人們發現，可供選擇的答案似乎並不多。
我們暫且不要急於沿著這個思路繼續考慮下去，而是回過頭來思考負數與現實的關係。我們從第2章得知，負數在記賬的時候是有用的，它可以表示債務。在鄰居來借山羊時，我們可以用負數表示與原來相比山羊減少的數量，也就是鄰居借走的山羊的數量。但是，在這些例子中，其實仍然用的是正數，只不過形式特別。比如，我沒有辦法表示我欠你多少錢，我只能告訴你我需要還給你多少錢。那麼，我能在現實世界中找出明確表示負數概念的東西嗎？事實上，真的可以找到，條件是允許我突破自然數的範圍。但是，在19世紀之前，沒有人認識到這種可能性。
大家想一想電池兩極上的標誌：一個是正號，一個是負號。我們通常認為這種標記方法是本傑明·富蘭克林發明的。實際上，剛開始的時候，這兩個符號僅為了表示兩者的不同，而不代表數學中正數與負數之間的區別。然而，我們現在都知道電子與質子攜帶的電量相同，電性相反。它們沒有方向，本質上是純粹的數值（數學家和物理學家稱之為「標量」），與牛頓第三定律描述的大小相等、方向相反的作用力不一樣。但是，它們與正負數一樣，也可以相互疊加或者抵消。
雖然正負電荷的定義具有主觀隨意性，但是這些電荷都是實實在在的東西，特性與正負數相似。這似乎說明通過現代科學發現也能找到現實世界中的有理數。現在，我們知道質子、中子等粒子是由更小的粒子——夸克構成的，而夸克攜帶的電量是基本電荷的2/3或–1/3。儘管這些數值都不是近似值，而是一絲不差的精確值，而且看上去都是有理數，但是我們在將質子電量定義為1，將電子電量定義為–1時，我們並不知道這些粒子的電量到底是多少。實際上，夸克的電量是2或者–1，而質子和電子的電量分別是3和–3。
我們接著討論負數的平方根。在數學家發現他們無法利用已有的數字表示負數概念時，他們就很隨意地做出了一個決定——創造一種新的數字。他們之所以這樣做，並不是因為他們需要負數，而是因為他們勇於探索，渴望瞭解數字世界的未知領域。笛卡兒不無諷刺地為這些數字賦予了一個非常妥帖的名字——「虛數」，這些稀奇古怪的數字也變成了數學家的新寵兒。數學世界彷彿又增加了一個維度，而且這個新維度似乎與物質世界不存在對應關係。剛開始時，虛數不過是數學家的玩具，但是這些玩具的靈活性高得驚人，適用於所有的數學運算法則。
米蘭醫生、數學家吉羅拉莫·卡爾達諾[1]在《偉大藝術：代數法則（第一冊）》（Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus）中第一次提出虛數的基本概念，這本著作出版於16世紀上半葉。這本書之所以有名，原因可能與這本書在一定程度上涉嫌欺騙有關。卡爾達諾從同為數學家、工程師的尼科洛·塔爾塔裡亞那裡學會了三次方程（未知數的最高次數是3的方程，例如x3 + 4x2 + 2x + 5 = 0）的解法，並保證不會把這個方法告訴別人。但是，卡爾達諾把這個方法寫到他的書中，並且公開發表了。他在致謝中充分肯定了塔爾塔裡亞的貢獻，因此這不算是剽竊行為，但是他顯然沒有遵守自己的諾言。
卡爾達諾還在書中順便談到了一個看起來無傷大雅的簡單方程x2 + 1 = 0，並討論了它的解法。這個方程與x2 = –1同解（第一個方程兩邊同時減去1就可以得到第二個方程）。除非某個數的平方是負數，否則這個方程無解。卡爾達諾說，這樣的數「不僅沒什麼用處，而且難以捉摸」。後來經證明發現，這個評價與事實相差甚遠。19世紀，德國數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯發現虛數可以方便地拓展數軸，形成二維的數字平面，至此，虛數的價值才表現出來。
我們已經知道，人們在考慮整數時，經常會想像一條左右兩端分別向負無窮和正無窮延伸的水平直線，整數排列在這條直線上，0位於正中的位置。高斯沿著與這條直線垂直的方向畫出了第二條直線，並讓正虛數排列在朝上的方向，負虛數排列在朝下的方向。這樣，平面上的任意點都可以用一個「複數」加以定義。複數是由一個實數和一個虛數構成的數。如果用i表示–1的平方根，那麼5 + 2i就是一個複數，可以用來定義實數軸（橫軸）上有5個單位、虛數軸（縱軸）上有2個單位的那個點。
我們也許會認為，這不過就是將坐標繫上我們都非常熟悉的x軸、y軸換了個名稱而已。但是，有了這個變化之後，我們就可以把複數當作普通數字進行代數運算，應用代數學的所有法則和方法，並最終得出適合這個二維空間的結果。事實證明，複數是描述各種波的理想選擇，因為這些波天然地具有二維的形態。於是，在不知不覺間，虛數就無處不在了，從簡單基本的電場計算到複雜深奧的量子力學方程，我們都可以看到它們的身影。只要在計算結束時捨棄虛數結果，就不會產生虛數值電流這樣的結果。實踐證明，複數的用途廣泛，是一個強大的數學工具，並將繼續發揮它的強大作用。
虛數是否真實存在呢？虛數顯然不會與物質世界中的任何事物構成直接的對應關係。比如，我沒有辦法拿出3i個蘋果。我可以從已有的蘋果堆中拿出3個蘋果，來表示–3個蘋果，但即使是這種間接的辦法，也無法表示3i個蘋果的概念。然而，任何東西，只要它可以嚴格定義，而且遵從所有規則，就可以在數學世界中找到立足之地。由於虛數（特別是複數）可以有效地表現二維空間的變化，因此在它們歷經艱辛闖入抽像的數學世界之後，人們發現它們竟然是解決現實世界難題的絕佳工具。
虛數提供的是一個現實世界所沒有的工具。我們可以將現實世界的難題搬到虛數世界中，用虛數提供的特有辦法加以解決，然後再把它們送回現實世界。自然數非常簡單，我們可以認為它們與一個物體或者一群物體存在直接的對應關係。虛數和複數則活躍於一個平行世界中，但它們仍然可以啟發我們，幫助我們瞭解物質世界的奧秘。
然而，在虛數真正地在實踐中大放異彩之前，人們仍將借助傳統而直接的正數和幾何學，去征服神秘的宇宙。
[1] 吉羅拉莫·卡爾達諾（1501—1576），意大利文藝復興時期的全能學者，古典概率論創始人。——譯者注