一提到「培根」這個名字，大多數人肯定會想到那位創立科研方法雛形的16世紀政治家、哲學家——弗蘭西斯·培根。但是，弗蘭西斯對數學的態度近乎漠不關心。在他眼中，科學研究不過是收集、整理、分類。後來，偉大的物理學家歐內斯特·盧瑟福嘲笑說，在培根眼中，「科學研究，除了物理，就是集郵」。我下面介紹的「培根」是羅吉爾·培根，與弗蘭西斯·培根沒有任何關係，但是他看待世間萬物的觀點似乎更具現代性。羅吉爾說：「對數學一無所知的人，不可能瞭解其他科學和世間萬物。」當時的社會根本沒有認識到數字和數學對於人類理解自然的重要意義，培根希望改變這種局面。
培根這個人似乎非常有趣，但是他出生於800多年前，因此關於他的任何信息都難以確認。除了流傳下來的一些逸聞以外，我們掌握的主要資料就是他本人的作品，所以我們只能根據其中的蛛絲馬跡來推測他的生平。通常，人們認為培根出生於1214年。
1267年，培根在他的代表作《大著作》（Opus Majus）中寫道：「我一直在努力地鑽研科學、研究語言，從我學習第一個字母以來，已經過去40年了……40年來，我潛心研究，心無旁騖，其間只中斷了兩年。」人們通常認為，培根所說的40年的研究生涯（他在書中使用的拉丁語表達是「in studio」），是從他參加牛津大學入學考試的時間算起的，因為通過入學考試代表他正式進入了一所大學。當時，人們通常會在13歲時參加大學入學考試，據此可以推斷出培根出生於1214年。但是，這就意味著培根說的「學習第一個字母」是一個非常隱晦的比喻，其實是指他開始從事正規研究的時間。如果這句話真的是指他開始學習字母的時間，那麼他的出生日期就要向後推，估計在1220年。但是，人們普遍認為他出生於1214年。
據15世紀的歷史學家約翰·勞斯稱，培根出生於伊爾切斯特這座寂靜的鄉村小鎮。但我們沒有找到有關培根出生地點的其他資料（培根本人也從未提過他的家鄉）。我們只知道培根進入牛津大學學習，而且他到了這裡之後做的第一件事可能就是理髮。學生在上大學之前必須完成某些宗教儀式，成為事實上的小僧侶。其中一個必不可少的環節就是理髮，要把頭頂上的一大片頭髮剃光。牛津大學成立之後，校園裡最早出現的生意之一就是理髮店。牛津大學現有的學院在那時候都還沒有成立，也沒有現代意義上的大學建築。學生們都住在出租屋中，至於上課的地方，則是在老師們在市區租用的大房間裡。
就這一點而言，這所大學與後來那所家喻戶曉的現代大學幾乎沒有任何相似之處。牛津大學的歷史可以追溯至1095年，當時，來自埃唐普的教師西奧博爾德決定在牛津創建一所高等教育學校。這座城市並不是英國創建第一所大學最理想的地址。英國有很多城市都建有大教堂，有建造教會建築的傳統，而且修道院現成的學習中心可以為教學提供便利。但是，在12世紀斯蒂芬與瑪蒂爾達之間的戰爭爆發之後，燒遍全英國的戰火證明牛津大學的選址是具有戰略眼光的。英國人在為第一所大學選址時，選中了這裡，也許就是因為牛津位於英國的中心位置，交通便利。
1209年，就在學校當局準備效仿巴黎大學（成立於12世紀中葉）大幹一番的時候，一樁謀殺案差一點兒讓牛津大學毀於一旦。由於某名學生（所有學生都應是禁慾者）的情人被謀殺，憤怒的市民彷彿變成了嗜血暴徒，叫囂著要學生們血債血償。政府官員立刻做出判決，絞死了另外兩名學生，只是因為他們在錯誤的時間出現在了錯誤的地點。
學校當局沒有弄明白一個問題：市民逼迫絞死無辜學生，與市民插手學校內部事務，這兩種情況到底哪一種更難以忍受？結果，有70名老師（在全體教職人員中占相當高的比例）離開牛津市，來到東英吉利亞地區的一個名叫劍橋的落後小鎮，加入了不久前創立的幾所學校。慶幸的是，教會特使尼古拉斯來到英格蘭規勸桀驁不馴的國王約翰，使牛津市恢復了秩序。1214年，牛津大學的基本結構被確定下來，但是直到1231年，才獲得正式的特許證。
羅吉爾·培根入學時（可能是在1227年），牛津大學還是一所歷史非常短的新學校。儘管從理論上講，這所大學屬於教堂體系，但是校園裡洋溢著狂躁，甚至是危險的氣息。貧民區中的致命攻擊時有發生，有的是暴力毆打造成的，有的則是因為市民與大學生之間發生衝突。這些大學生的著裝與城裡的年輕人區別不大，但是他們頗有特點的髮型肯定會暴露他們的身份。此外，來自英國南方和北方的學生因為分屬不同的派系，也會發生激烈的打鬥。
根據1238年的一份報告，我們可以很好地瞭解培根在牛津求學時所處的環境。這份報告稱，新任教會特使奧托即將造訪牛津市，並將在西南方不遠的奧斯尼修道院下榻。一群老師和學生來到修道院歡迎特使，但是在這個愉快的歡迎儀式上卻出了大亂子。一位愛爾蘭學生在修道院門口祈禱時，修道院的大廚將一鍋開水倒在這位不幸的學生身上。然後，另外一名學生掏出弓箭，射殺了這位廚師（即使在社交場合，攜帶適當的自衛武器也是必要的，是可以接受的）。
歡迎的人群一下子變成了群情激奮的暴徒。為安全起見，教會特使被偷偷地護送到了泰晤士河下游的沃靈福德。整個大學被嚴密控制，幾個月後，學校中擔任管理職務的老師們光著雙腳，沿著倫敦大街走到教會特使住所請罪，之後情況才有所好轉。培根說話一向直言不諱，又沒有從事這種政治活動的天賦，要在學校裡出人頭地非常困難，因此他不大可能從事管理工作，應該也沒有參加這次活動。至於那些學生，他們很快又恢復了以往的狂暴作風。
攻讀學士學位大概花了培根6年時間（別忘了，中世紀大學教育的前半部分基本上是傳授中學教育的內容），攻讀文學碩士學位又花了他兩年時間，因為擔任大學教師必須擁有文學碩士學位。接下來，他可能又花了8年時間獲得神學碩士學位。要獲得只有神學領域才有的博士學位，他還需要再花8年時間潛心研究，但我們沒有找到相關證據。之後，培根來到巴黎大學。由於法國曾經禁止各大學介紹亞里士多德的成果，當他們重新將這些內容納入教學範圍之後，卻發現在本地已找不到可以勝任的老師，所以牛津大學畢業的碩士在巴黎大學深受歡迎。當時，西方國家普遍認為巴黎大學是最好的三所大學之一，另外兩所是牛津大學和劍橋大學。
培根在巴黎大學只待了幾年，但是他在那裡結識了馬裡庫爾的彼得。彼得是一個非常神秘的傢伙，人們稱他「流浪者彼得」（Peter Peregrinus）。現存於世的最早研究磁力的論文中，有幾篇就是彼得撰寫的。彼得將培根的興趣引向科學，在他的啟迪下，培根對實驗產生了極大的熱情。13世紀40年代後期，培根回到牛津大學，花了很多錢購買書籍和實驗工具。1267年，培根寫道：「20年來，我放棄了尋常的方法，專門研究智慧。我花了2 000多英鎊，購買各種書籍、語言學習材料、器材和數學用表等。」當時，建造一幢大房子的成本是2—3英鎊。儘管培根的這個說法有些誇張，但是為了科研事業他肯定動用了家庭財產。數學已經成為培根理解周圍世界的一個重要工具。
回到英格蘭之後，培根很快就加入了一個成立不久的宗教團體——方濟各會，原因可能是他的錢花完了。這些穿灰袍的方濟各會修士正在牛津市建立一個龐大的機構，覆蓋的範圍從牛津市南門一直延伸到西邊的城堡。與聖本篤會等成立時間更久的修道會的修士相比，方濟各會的修士享有更多的自由。而且，在牛津，宗教團體還與大學建立了緊密的聯繫。加入方濟各會後，培根得以接觸到大量書籍，而且有充分的時間研究自然哲學。自此之後，培根開始了無憂無慮的生活，直到1250年，他被派遣到巴黎的女修道院。培根說，他在那裡待了10年，做的都是「低賤的工作」。這些遭遇很可能是因為培根經常直言不諱地表達自己的觀點，令權威人士深感不安。
在巴黎逗留期間，培根產生了改革曆法的念頭。他發現當時使用的儒略歷還是羅馬時代的產物，一年的時長比精確值大約多出11分鐘。計算結果表明，每125—130年（確切數字是128年），該曆法給出的四季交替時間與實際情況就會相差一天。差距似乎並不大，但是從沿用這套曆法以來，總的時差已經超過一個星期了。這意味著宗教節日的日期是錯誤的，這讓培根無法容忍，因此他提出改革曆法，但是他的申請石沉大海。直到1582年，基督教國家才開始採用格里曆，這套曆法與培根當年詳細描述的方法幾乎一模一樣。而英國直到1752年才接受新的曆法；美國受當年殖民統治的影響，全國各地大多採用各自殖民者的曆法，這種混亂局面持續了幾十年時間。
培根在巴黎的時候，方濟各會為了重新扎根於窮困潦倒、缺衣少食的人群，通過選舉產生了新的領導人。這位領導人決定引領這些灰衣修士遠離學術機構，還禁止他們著書立說。但是，培根難以割捨那份對科學的情懷，因此他多方努力，希望可以繞開這條禁令。他寫信向幾位重要人物求助，其中包括教會派駐英國的特使、主教居伊·德富爾克。培根告訴主教，自己想寫一本科學方面的書，但又不敢違背禁令，因此懇請得到主教的特許。但是，德富爾克誤解了他的意思，在回信中說他希望馬上看到這本（還沒動筆的）書。
培根寫那封信的本意其實是尋求資助。由於家裡的錢已經用完了，方濟各會又不提供支持，他需要從外界得到資助，才能著手收集資料。結果，德富爾克不但沒有提供資助，反而提出了一個要求。就在培根焦慮不安，不知道如何回應主教的這個要求時，他收到了一個意想不到的消息。1264年，德富爾克被召喚到佩魯賈。原來，樞機團[1]選舉他擔任教皇。第二年，他加冕成為教皇克雷芒四世。一夜之間，培根的這位身居高位的朋友登上了權力的巔峰。
1266年，克雷芒四世寫了封信，允許培根著手進行科學研究，並授權他可以不遵從禁令。但是，培根仍然需要想辦法籌集資金，他試圖向朋友求助，但是朋友的支持非常有限。1267年1月，他決定向教皇遞交一份簡短的寫作大綱，介紹他未來的那部代表作——《大著作》，懇請教皇提供資金支持。寫過非小說類作品的人都知道，撰寫創作大綱是一項非常痛苦的工作，需要作者將整本書的內容壓縮成簡明扼要的介紹。
培根無法滿足這個必要的限制條件，他的「簡短」大綱最終變成了一本厚厚的書，篇幅超過50萬個單詞（大概是本書的6倍），內容涉及光學、天文學、力學、煉金術、農業和醫藥業，最後還用了一章著重討論實驗科學。在請人謄寫這份大綱時（當時，創作全部是用紙筆完成的），培根想，這份大綱太長了，已經失去了大綱的意義，因此他需要再附上一封信。結果，這封信也寫得很長，變成了另外一本書。令人驚奇的是，這一幕第三次上演，第三本書就這樣產生了。最後，他寄給教皇的是三本書，共計約100萬個單詞，創作時間總計12個月。（實際上，他當時只寄出去兩本書，因為信使出發時，第三本還在謄抄過程中。）
這時候，培根已經開始整合牛津大學的資源，準備撰寫他那部醞釀已久的大作。但是，從歐洲大陸傳來的消息令他萬念俱灰——克雷芒四世死了。而此時，他寄給克雷芒四世的信還在路上。在教會中，有人認為只需要掌握神學知識就可以了，有人對科學則一無所知，所以教會中幾乎沒有人支持培根。於是，培根對這種現象發起了猛烈的抨擊。寫於1370年的一部編年史稱，培根因「思想怪異」而受到譴責。他可能被關進了意大利中部城市安科納的一所監獄，直到1290年才被釋放。根據勞斯的記錄，培根死於1292年。
培根其實不算一名偉大的數學家，但是他留下來的《大著作》一書卻是一部無與倫比的傑作，詳細地描述了當時已揭示的自然奧秘。這本書最特別的關注點是，數學對於自然哲學家（甚至神學研究者）的重要意義。培根在學術上的前輩羅伯特·格羅斯泰特（Robert Grosseteste）也非常重視對數學本質的研究，他們兩個人顯然為未來的研究指明了方向。此外，培根還指明了曆法改革的發展方向。正因為如此，他把自己放到了一個非常有趣的所謂「祖父效應」的位置上。
我們習慣於給某個人貼上「某某之父」的標籤，這裡的「某某」是指處理某個問題的全新方法，例如「計算之父」、「太空飛行之父」。但我認為，「祖父」的角色有些微妙的區別，「祖父」會指出一個非常寬泛的方向，或者一條充滿艱辛的道路，但是通常不會告訴人們如何沿著這個方向順利地走下去。一段時間之後，「父親」這個角色就會出現在繼承結構的直線上，並且朝著最終結果邁出非常重要的一步。
我認為，維多利亞時期的攝影師埃德沃德·邁布裡奇就是電影的「祖父」。（他的真名叫作愛德華·馬格裡奇，但是他行事高調，經常重塑自己的形象。）他先是為加利福尼亞的鐵路大亨利蘭·斯坦福工作，後來進入賓夕法尼亞大學。他通過連續觸發一組照相機的方式，拍攝出馬、人和其他動物運動的系列照片。利用現有條件拍攝出這些靜止照片，本身就具有重要的價值，可以提供大量信息。邁布裡奇還借助一台簡陋的投影儀，將這些照片轉變成真正的動態影片，儘管影片的長度非常短。1893年，他甚至還在芝加哥郊區舉辦的哥倫比亞世界博覽會上建造了第一個專門放映電影的劇院。
邁布裡奇出人意料地把這座影院命名為「動物實驗攝影廳」（Zoopraxographical Hall）。他在這座全尺寸專用建築中舉辦教育講座，介紹自己的成果。但是實際上，觀眾們花25美分購票的目的是觀看大屏幕上的拳擊比賽和衣著暴露、來回走動的美女。（邁布裡奇喜歡捕捉衣著暴露或者赤身裸體的人物形象，他甚至拍攝過表現裸體泥瓦匠幹活場景的系列照片，目的是研究他們的肌肉組織。）儘管邁布裡奇的照片質量得到了人們的一致認可，但是在相當長的時間裡，他的動態影片卻遭到無視，部分原因是一位電影史學家發起了一場聯合抵制運動，號召人們忘記他的這些作品。當然，邁布裡奇的技術注定不會成功，因為主流技術需要使用膠卷。但毋庸置疑的是，他展示了電影的概念，並因此贏得了「祖父」的地位。
同邁布裡奇一樣，培根並沒有昂首闊步走在數學領域的發展道路上，但是在大多數學者對數學嗤之以鼻的時候，他卻獨樹一幟，強調了這門學科的重要性。當時，神學是唯一可授予博士學位的學科，因此培根很可能有一種自卑情結。但是，他仍然指出，當代的神學研究者對數學的重要性不屑一顧，是因為他們不知道數學可以發揮什麼樣的作用。現在看來，造成這個局面的部分原因是數學與魔術之間的聯繫讓人們感到不安。
培根本人對於魔術是持嚴厲批評態度的，他指出這是騙子常用的伎倆，目的是從那些沒有受過教育的人身上騙取錢財。但是在當時，很多人，甚至包括某些學者，都會把魔術與數學混為一談。這個誤會是一個非常不幸的巧合造成的。表示科學知識的單詞讀作「matesis」，而表示占卜的單詞讀作「mathesis」，但是這兩個單詞都寫作「mathesis」。甚至到了都鐸王朝，還發生過類似的現象，人們用「calculating」（計算）這個詞表示玩魔術，將數學文本與介紹魔術的文本混為一談的情況時有發生。
毫無疑問，羅吉爾·培根在數學上的造詣並不深。他在《大著作》一書中就犯了一個低級錯誤。為了證明亞里士多德的知識不全面，他舉例說這位古希臘哲學家曾承認不知道如何化圓為方，接著他又說，「如今，人們已經非常清楚如何解決這個問題了」。但是，我們知道，化圓為方，或者說只使用幾何學的常規工具——直尺和圓規，畫出一個與圓面積相同的正方形，自古以來就是一個令數學家頭疼不已的問題，而且人們已經證明這個問題是無法解決的。
儘管培根水平有限，但是他敢於在那個時代強調數學的重要性，毋庸置疑是非常了不起的。17世紀末，與艾薩克·牛頓同時代的英國數學家約翰·沃利斯給牛頓在數學領域的冤家對頭戈特弗裡德·萊布尼茨寫了一封信：
在本世紀，一些人（追隨伽利略的步伐）把數學歸入自然哲學的範疇，從而大幅度推動了物理學的發展。400年前（甚至更早），羅吉爾·培根（從黑暗的百年歷史中脫穎而出的一位偉人）也做過同樣的努力。
在《大著作》一書中，數學整整佔據了一章的篇幅，儘管其中還涉及曆法改革、占星術等其他內容。對於那些從小就被告知占星術根本不科學的人而言，把占星術納入其中可能是一個令人掃興的選擇，但是培根畢竟要受到所處時代的影響。培根對占卜算命者所用的占星術嗤之以鼻，認為占星術就是在利用輕信心理騙取普通人的錢財。但他也認為，出生時天體的排列分佈有可能影響人們的性格。正因為占星術的這種表現形式（一種先天與後天之爭），培根那個時代的人認為占星術有可能發展成一門潛力巨大、地位崇高的科學。
天體的排列分佈幾乎不可能對人產生影響，但是培根那個時代的人無從瞭解這個事實。考慮到當時的科學水平，占星術有可能影響人物性格這個說法（與某些現代企業鍾愛的邁爾斯—布裡格斯人格類型測驗有幾分相似），在那些從事這項活動的人看來是有道理的。培根認為，科學在很多方面都要借助數學這個工具，原因是科學可以從數學中獲益：
數學是自然科學的大門和鑰匙……對數學一無所知的人，不可能瞭解其他科學和世間萬物……更糟糕的是，對數學一無所知的人不會認識到自己的無知，因此也不會考慮如何做出補救。而且，掌握這門科學之後，我們的大腦會更加聰明，為清楚瞭解世間萬物做好準備。因此，如果大腦理解了這門科學的基礎知識，並且利用這些基礎知識來探查其他科學以及世間萬物，所有問題都將迎刃而解，不會留下任何疑問，也不會造成任何錯誤。
對於培根而言，數學不僅是一種工具、一種思維方式，還是邏輯的一種結構化應用。不懂數學的人無法理解，它可以幫助大腦更好地思考並理解自然。接著，培根論證了數學對於我們理解其他科學的重要意義。以光學（培根深入研究了這門科學，不僅提出了一些新穎的理論，還完成了一些實驗）為例，要學好這門科學，首先必須正確理解角、幾何學和對稱等相關內容。
認為應該將數學納入教學範圍的不止培根一人。（當時的教育已經包括了一些數學內容。由算術、幾何學、天文學和音樂等4門學科組成的「四藝」在大學課程設置中佔有相當大的比例，這4門課要麼直接屬於數學，要麼核心內容與數學密切相關。）但是，培根看到了數學對於各門科學的重要意義，他將數學從自己的獨立王國中解放出來，指出它可以為我們瞭解自然界提供幫助。這才是培根出類拔萃的地方。
總的來說，培根的觀點在幾百年時間裡都沒有引起人們的注意。然而，數學王國中也曾有幾道閃電劃過黑暗的天空。其中一道「閃電」來自牛津大學，即「牛津計算師」，也稱作默頓學派、默頓數學家。他們人數不多，但都與牛津大學的默頓學院（牛津大學最早成立的學院之一）有關，他們充分認識到了數學（和推動數學發展）的重要性。
這個學派（托馬斯·布拉德沃丁和威廉·赫特斯柏立是其中的代表人物）研究邏輯、幾何學和計算方法，但是他們最著名的成果是落體定律，即「平均速度定理」。該定理稱，在相同的時間內，如果第一個物體做勻加速運動（例如由高處掉落），第二個物體以第一個物體最終速度的一半做勻速運動，那麼在該段時間內兩個物體的運動距離相等。有意思的是，布拉德沃丁及其同事的研究之所以具有重要意義，最主要的原因可能在於他們的研究背離了亞里士多德對運動的理解，反而有點兒接近於伽利略和牛頓的觀點。重要的是，亞里士多德研究數學的動力來自純粹的哲學，而在默頓學派的眼中，數學可以幫助我們得出答案這個作用更重要。
14世紀的法國學者尼古拉·奧雷姆是拓展數學思維的又一個傑出代表。我們現在使用的冪運算就是他的研究成果。兩個底數相同的指數冪相乘，直接把指數相加即可，例如，y2×y3 = y5。此外，他還探索了分數指數冪（例如x1/2）的可能性，但我們現在使用的冪的概念在當時還沒有確定下來，因此他使用的是一種間接的研究方法。與默頓學派的成果相比，他在擺脫現實的抽像化道路上走得更遠。默頓學派研究的正方形與立方體都與觀察運動物體的特性有關。
奧雷姆可能是第一個提出用圖像表示數學結構的人。這個成果不是很抽像，但是重要性卻絲毫不減。今天，我們理所當然地認為圖像表示法非常有效，不僅可以幫助我們更直觀地瞭解函數（例如函數y = x2），還可以幫助我們深入研究微分和積分等概念（在介紹微積分時，我們將討論這兩個概念）。奧雷姆至少是推廣這個方法的第一人（當時稱作「形態的幅度」），他甚至還考慮了將這個方法推廣至三維空間的可能性。
通過強調數學和實驗的重要性，培根及其中世紀的追隨者們在當時的自然哲學與未來的真正科學之間架起了一座橋樑。對於培根來說，數學是一種工具，可以幫助我們理解世間萬物，但是它本身絕不能真正地擺脫與現實的聯繫。他從未接觸過虛數和複數的概念，也許反而是件好事。
[1] 樞機團或稱樞機院，是天主教會的最高宗教機構。——譯者注