讓古希臘人和古羅馬人煩惱不已的一個最重要的原因是，他們的算術中缺少了一個非常重要的元素——0，以至於他們沒有辦法表示「無」這個概念。從某種意義上看，即使是那些在獸骨或陶片上記賬的早期「會計師」，也已經有了「無」這個概念。他們用沒有任何刻痕、光溜溜的陶片來表示某種東西不存在。也許我沒有辦法把「沒有山羊」這個概念直接表現出來，但是我可以展示看不到一頭山羊的空蕩蕩的牧場；我也可以拿出一隻空盒子，告訴你裡面沒有橙子。當我們有了「無」這個概念之後，在不知不覺間，我們就不再只用一個數字專門表示數量與實物之間的對應關係，而是用到了容器。
然而，從表示沒有某種實物的「無」，到在數學中十分活躍的0，這是概念上的一大進步。如果沒有0，數學家就不可能將數字真正納入自己的掌控之中。此外，這個神奇的數字還可以方便地充當佔位符的角色，增強書面數字的條理性，使人類有可能完成之前根本不可能完成的複雜的計算。
「0」看上去無足輕重，貌不驚人，但是它的出現推動了數學的發展。在相當長的時間裡，人們都認為0是一個特殊的數字，很多數學家甚至認為0根本就不是數字。其中的原因不難理解。在進行一些基本的算術運算時，0往往會導致意外的錯誤。數學家都不喜歡特例（在這個方面，科學家與數學家的態度是一致的），而0卻是最愛出風頭的特例。任何數加上0或者減去0，都不會發生任何變化——0是擁有這個特點的唯一整數。任何數乘以0，結果都是0。0就是粉碎機，可以粉碎所有數字。
如果用0做除數，就會得到算術上無法處理的可怕結果——無窮大。我們可以這樣想，10除以1，結果是10。那麼，10除以1/2呢？在學習分數時，老師告訴我們，除以1/2相當於乘以2，所以10除以1/2的結果是20。（我們也可以這樣想：把10塊蛋糕分別一分為二，就會得到20塊小蛋糕。）同理，10除以1/4，結果是40。隨著除數越來越小，結果就會越來越大。當分數的分母趨近0時，分數的值就會趨於無窮大。
然而，這還不是0帶來的最大的麻煩。有沒有想過0除以0會有什麼樣的結果？蘋果手機的語音控制功能Siri給出的回答令人印象深刻：
無法確定。設想你有0塊餅乾，平均分給0個朋友，每人可以分到多少塊餅乾呢？看到沒有，這個問題沒有任何意義。甜餅怪獸很傷心，因為你沒有餅乾；你也會感到傷心，因為你沒有朋友。
分子為0的所有分數都等於0，而分母為0的分數則趨於無窮大。分子與分母同時為0的分數既可以同時歸屬這兩大陣營，也可能被雙方同時拒之門外。當印度人第一次使用0這個數字時，數學界就0除以0這個問題的答案展開了大討論。在一段時期裡，這兩個看上去似乎都有道理的結果得到了很多人的認可。公元7世紀，婆羅摩笈多[1]認為0除以0應該等於0；公元12世紀，婆什迦羅[2]宣佈，0除以0的結果是無窮大。
後來，數學界（也像Siri一樣）都贊成0除以0的結果無法確定的說法，認為0除以0沒有確定的答案。在數學上，0除以0這個問題並不是一定要得出一個有意義的結果。隨著歷史的變遷，我們越來越清楚地看到，大多數的數學知識並不是以現實為基礎的。在這種情況下，數學家可以隨意制定規則。0除以0就符合這個條件。
正是由於0的這些奇異特性，在剛開始的時候，數學界常常認為0不是整數。（後來，數學界決定不把數字1視為素數，也是出於同樣的原因。）但是，當數軸這個非常重要的概念出現之後，把0排除在整數之外就會導致一個問題。在過去30年裡受過教育的人都會在學校裡學到數軸這個概念。如果有人沒有學過，我在這裡介紹一個非常方便的理解方法。大家可以想像一把兩端無限延伸的直尺，上面的每個主要刻度都代表一個整數。沿著直尺向前（朝右），數值越來越大；沿著直尺向後（朝左），數值不斷減小。
數軸上既有正數，也有負數。問題是，當數值小於1且朝著負值的方向移動時，會出現什麼情況？公元紀年法是人類實踐活動中最早出現的數軸之一，它在這個問題上就犯了錯誤。525年，僧侶狄奧尼修斯·伊希格斯發明了這套公元紀年系統。8世紀30年代，歷史學家比德對其進行了推廣。到9世紀，這種紀年方法已經得到了基督教國家的普遍認可。在這種紀年系統中，公元元年（AD 1）之前是公元前1年（1 BC），竟然沒有公元0年。這種情況直到今天也沒有更正過來。
時間線在–1（1 BC）之後就迅速跳到了+1（AD 1），中間沒有任何數。AD表示「Anno Domini」，意思是「主的年份」，AD 1指的是耶穌誕生之年（儘管這個說法存在爭議）。因為數軸上存在這個缺口，一些立志成為歷史學家的人在計算生卒年跨公元前和公元後年份的人物的年齡時往往會出錯。
歷史學家不同於數學家，這種從–1直接跳到1的紀年方法得到了他們的認可。但是，如果同樣的情況出現在數軸上，人們就無法接受了，因為數軸是一個非常重要的數學工具，在數軸上前進或後退的行為應當與加法或減法運算相一致。例如，我們可以利用數軸來計算5 + 2的得數：從5開始，朝前（正方向）移動兩個單位，就會得到答案7。但是，如果數軸上沒有數字0，在計算1–1時就無法得出正確答案0，因為從1開始朝後（負方向）移動一個單位，就會到達–1的位置。無論我們是否願意，若想讓算術基本運算可行，整數中就必須包含0。
如果0的作用僅僅是為數軸填補空缺，表示「無」的概念（位於整數–1和1之間，表示兩者之間的那個整數），那麼雖然這足以讓它成為一個非常重要的數字，但還不足以促使數學領域發生翻天覆地的變化。0的重要作用還體現在它的另一個身份——數字中的佔位符上。我們已經知道（參見第2章），羅馬數字和更早的希臘數字在數位排列上缺少輔助系統，隨著數字增大，它們會變成龐大到難以處理的字符串，從而大大增強了計算的難度。但是，在實踐活動中，這兩大古代文明對一種存在了1 000多年的有效方法卻一直視而不見。
這個方法可以追溯至古巴比倫人。古巴比倫人從他們的蘇美爾祖先那裡獲得了靈感，開始使用六十進制的計數系統。這套系統用豎直的刻痕表示1（這與符木刻痕非常相似），用斜向一側的符號（稱作「鉤」）表示10。我們把一天分成24個小時，又把每個小時分成60分鐘。與之相似，古巴比倫人從1數到10之後，就開始採用六十進制。他們的祖先用不同的符號表示1和10，但是表示60的符號與表示1的符號相同，只是更大一些。用不同的筆可以刻畫出更大的符號，但是很容易混淆，因此，後來的古巴比倫人換了一種方法，借助數字的位置來達到這個目的。
用羅馬數字寫一個大數，例如MDCCCLXXVII，就會發現這個表達法浪費了傳遞大量信息的機會。雖然羅馬數字中字母的位置也會發揮作用，例如LX表示60，而XL則表示40，但總的來說，在這套數字系統中，字母位置的作用十分有限，只表示字母的先後次序。但是，字母位置傳遞信息的潛力是巨大的。例如，「GOD」（上帝）和「DOG」（狗）是由相同的字母構成的，但是由於這些字母的排列位置有所不同，因此兩個單詞的意思也完全不同。數位攜帶了更多的信息，難道不能更廣泛地對其加以應用嗎？古巴比倫人正是這樣做的。他們將一個數字最右端的數位定義為1，向左的第二個數位表示60，第三個數位表示60×60，以此類推。
也就是說，如果用Y表示古巴比倫人的「1」，用D表示古巴比倫人的「10」，那麼YY DY這個數字等於2×60 + 10 + 1，也就是131。由於數字位置表達了更多的信息，因此在表示大數時要簡潔得多。不僅如此，採用這個辦法之後，我們還可以將類似的數字上下對齊，排成列，從而大大降低加法、減法和乘法等運算的難度。例如，在求YY DY與Y Y的和時，我們可以按照數位對齊，寫出下面這道算術題：
YY DY
Y Y
我們立刻就可以看出，答案是YYY DYY。我們甚至沒有意識到，這是一道可怕的六十進制算術題。當然，就像我們現在的數字系統一樣，列與列之間的進位還需要遵循進位法則。儘管如此，這也比古希臘人和古羅馬人使用的數字系統高效得多。古巴比倫人甚至可以處理無理數問題，例如，令畢達哥拉斯學派撓頭的2的平方根。同樣令人震驚的是，他們的數字系統中也有小數（因為他們使用的是六十進制，所以這些小數其實是六十進制小數），古巴比倫人留下的陶片還給出了2的平方根的近似值：1.414 222。很難理解，古希臘人竟然沒有學習古巴比倫人的這些方法，反而後退了一大步，箇中原因已經湮沒在歷史的長河中了。
然而，古巴比倫人的那套數字系統也有一個問題。上面那道題中的第二個數是Y Y，即61。如果這個數是3 601，該怎麼表示呢？60×60的列是Y，60的列中什麼也沒有，而表示1的那個列中有Y，因此3 601被表示成Y Y。嚴格地講，兩個Y之間的空格應該稍大一些，但是很難清楚地區分這兩個數，在手寫陶片時就更難以分辨了。從現存的古巴比倫人陶片來看，這些數字的排列方式極具隨意性。當然，在第2章討論的鄰居借山羊的問題中，數清那些山羊並不是難事，因為我不大可能借給鄰居3 601頭山羊。所以，根據當時的情境，我們可以看出那些數字到底表示什麼意思。但是，如果在交易物品時使用的是比較小的單位，或者涉及錢財時，這些數字就難以區分了。
在古巴比倫文明走向衰落、古希臘文明即將興起的時候，人們找到了一個解決辦法。如果某一列中沒有數字，他們就在那裡畫一道斜線，表示這是一個空列。因此，61仍然是Y Y，而3 601則被表示成Y \\ Y的形式。太棒了！按列計算的方式要安全得多，而且人們不需要根據情境來分析數字表示的含義。但是，\\與現代數學中的0還是有所不同的。因為某種原因，古巴比倫人一直沒有承認一個事實：由於數字後面有可能出現除號，所以，數字中某一列為0時，仍然有可能與其他數字混淆。無論何種原因，\\都無法充分發揮佔位符的作用。這個符號從來沒有獨自出現過，也沒有出現在計算過程中，因此，它沒有發揮整數0的作用，而僅僅是0的幻影，只是有時起到佔位符的作用。只有身兼二職，這個符號才有可能真正地發揮作用。
古希臘文明末期的某些數字系統也出現過這種偶爾使用佔位符的情況。在古希臘文明走向衰落的時候，天文學的研究得到了蓬勃發展，從相關研究成果中就能找到這些佔位符。古希臘數字系統使用了十分笨拙的表示法，用單個字母分別表示從1到10的整數、各個小於100的10的倍數以及各個小於1 000的100的倍數，但也有一些系統使用的方法比較接近於古巴比倫人的方法。後來的希臘人同我們一樣，用度、分、秒來表示角度。例如，在表示5度0分20秒的角時，希臘人會在分甚至秒的位置上畫一個圓圈，並在圓圈上方畫一個複雜的棒形標誌，以示空缺。
至此，從某種意義上看，他們已經朝著0邁出了一小步，但是這種佔位符號仍然沒有被他們視為獨立的數字。在表示普通數字時，希臘人會在對應的希臘字母上方添加一條橫線，但是在空白的佔位符上方，他們會添加另外一種標誌，以表示這是一個特別的符號。在我們看來，把這種佔位符變成一個真正的數字，似乎是一件理所當然的事。儘管在記賬時以及在天文學研究的文本中都不可避免要使用數字，但我們也別忘記了，古希臘數學在絕大多數情況下都是幾何學研究，非常直觀，關注的都是各種圖形。正是由於思維上的這種特點，這種表示空缺的佔位符在幾何學實踐活動中是難以想像的，也很難加以利用。
也就是說，即使某些數學家和哲學家非常聰明，有可能提出0這個數學概念，也無法找到合適的出發點。至於那些必須與數字打交道的古希臘會計人員和商人，他們通常會使用一種不穿繩的算盤。這種算盤其實是一塊平板，上面裝有一排排算盤珠。與我掰手指數山羊的方式相比，算盤稍微先進一點兒。使用算盤時不需要佔位符，因為算盤珠在算盤上的位置是固定的，表示十位數、個位數以及其他數的算盤珠都在對應的位置上。如果算盤上的某個位置沒有算盤珠，也沒有任何問題。但是，這也根本不算一個數字，而是表示這種高級符木上出現了一個空缺。
直到13世紀初，0才以我們現代人常見的形式出現在幾位西方數學家的筆下。其中最有名的當屬比薩的列昂納多，但他的另一個名字——斐波那奇卻更廣為人知。斐波那奇生於1170年，他的身為外交家的父親代表比薩出使北非時，可能把年輕的斐波那奇也帶去了。正是在北非的遊歷，讓他接觸到了阿拉伯數學家從印度學習並改進的那套新穎的數字系統。斐波那奇有一本名叫《計算之書》（Liber Abaci）的專著。這個書名很奇怪，它的意思是「算盤書」，但是這本書與算盤沒有任何關係。通過這本書，斐波那奇不僅把阿拉伯數字（後演變為現在通用的阿拉伯數字）引進到西方，還為我們創造了「zephirum」這個詞。該詞可能譯自阿拉伯語的「sifr」，它指代一個特殊的數字，以直立的蛋形符號表示。這個數字就是0。
源於印度的這套靈活自如的數字系統早就應該傳播到西方世界了。662年，一位名叫塞維魯·塞博赫特的敘利亞主教指出，「印度人」在天文學領域有了「一些微妙的發現」。他還特別強調說：「他們的計算方法極有價值，他們的計算能力高超到了難以形容的地步。更令人難以置信的是，他們在計算時竟然只使用了9個符號。」給塞博赫特留下深刻印象的是不包括0在內的其餘9個數字，從這裡可以看出古希臘學者的眼光是多麼狹隘。他們似乎認為，希臘以外都是蠻夷之地。不幸的是，正是這種狹隘性導致他們對這套系統視而不見。10世紀末，法國數學家熱爾貝（也就是後來的教皇西爾維斯特二世）曾經試圖推廣不包括0的阿拉伯—印度數字系統，但是他的努力沒有成功。
儘管我們無法確切知道現代數學中真正的0起源於何時，但是我們至少可以推測阿拉伯數學家是從印度數學家極為先進的研究成果中汲取這個概念的。根據數學家、科學作家阿米爾·阿克塞爾在《零的起源》（Finding Zero）一書中的描述，他曾經花費大量時間，試圖尋找在阿拉伯人之前使用0的相關記錄。他希望可以找到確鑿的證據，證明0既不是歐洲人的發明，也不是阿拉伯人的首創。他指的是20世紀20年代法裔匈牙利學者喬治·克代斯在研究活動中翻譯的一篇柬埔寨語碑文。從寺廟殘骸推斷，樹立這塊石碑的日期是塞種紀元605年。我們知道塞種紀元始於公元78年，因此這篇碑文的起始日期應該是公元683年，這是人類使用0的最早的明確記錄。
這篇碑文的重要意義在於0（用一個點表示）作為佔位符出現在605這個數字之中。這是人類使用0的早期記錄，其中還記載有日期（但它與古巴比倫人很早之前使用的佔位符「\\」並沒有本質上的不同，還不能證明人們已經開始使用真正的0了）。1931年的《倫敦大學亞非學院院刊》記載了這個發現，但是那篇碑文卻已經遺失，而且沒有留下任何照片。因此，它的真實性就完全取決於克代斯報告的真實性。後來，蘇門答臘出現過歷史幾乎同樣悠久的記錄，記載了人類在公元684年使用0的情況，但是阿克塞爾認為那篇碑文才是最早的已知記錄，因此他決定進行追蹤研究。
經過漫長的搜索，阿克塞爾終於在柬埔寨暹粒發現了「K–127」號石碑。碑文很完整，那個神秘的數字605也赫然在目。在外行人看來，那個代表0的圓點只不過是一個普通的小洞，更像後期風化造成的瑕疵，但是在內行人看來，這是人類早期使用0的證據。然而，熱情高漲的阿克塞爾卻發現，很難證明這個圓點與古巴比倫人使用的佔位符有多大區別，具有全部數字功能的0似乎是沿著另一個方向進化而來的。
大量證據表明，早期的印度數學和天文學受到了古希臘人的影響，托勒密等人用作佔位符的圓似乎就是從希臘傳到印度的，但是，讓0開始履行數字的全部職能的那次突破，卻是印度當時的數學家促成的——正是他們無與倫比的創造性思維推動0發生了脫胎換骨的變化。最晚從6世紀開始，印度數學家就在使用「無」的概念，也就是沒有任何數量的意思。但是，我們卻無法確定，0作為一個數字到底是何時出現的。令人困惑不解的是，這個符號在當時身兼二職，既可以用作表示空缺的佔位符，也可以用來表示未知量（就像代數老師告訴我們的那樣，「用x表示未知數」）。
由此可見，佔位符與未知數被混為一談，原因是兩者都代表一個空位。我們甚至可以從表示0的單詞——「null」（或「nil」）看出兩者之間的這種聯繫。這個英語單詞來自法語的「null」，但它最初來源於拉丁文短語「nulla figura」，意思是「沒有數字」。從古希臘數學到阿拉伯數學，其間有很多次數字0都呼之欲出，但是，印度人把0作為佔位符使用的最古老的確鑿證據卻記載在一塊瓜廖爾出土的876年的石碑上，上面的兩個數字——270和50中的0都用一個小圓圈表示。然而，人類用圓圈表示0的做法很可能比這個時間更早。
7世紀，偉大的印度數學家婆羅摩笈多開始用0表示一個數減去自身之後的得數，但是，這種用法在此之前肯定已經非常成熟了。因此，我們現在使用的0的所有職能很可能有兩個來源：一個是通過古希臘人傳承下來的古巴比倫人的思想；另一個是後來在印度得到了更廣泛應用的來自遠東的數學理念，之後經由印度進入了正在興起的阿拉伯科學和數學領域，這為增強數字系統的複雜性提供了一個全新的舞台。0是通過後一條路徑最終進入歐洲的（隨之而來的還有印度數字系統）。正因為如此，我們現在仍然把我們使用的數字稱作「阿拉伯數字」，而不是更準確的「印度數字」。
正統的數學史肯定需要認真研究中國、南美洲和中美洲的數學發展情況，尤其不能忽視早期印度數學家的研究成果。但我們關注的是數學與科學之間的關係，數字0的使用以及印度數字對發展現代科學所做出的更大的貢獻。三角學的正弦函數可能是印度數學做出的第二大貢獻，這個概念值得我們關注，因為它推動印度數學在擺脫對現實的依賴這個方面達到了當時全世界的領先水平。
三角學的意思就是三角形測量，它的研究對象是三角形中的角與直線。在這個研究領域，古希臘人使用的是一種名叫弦表的複雜系統，而印度人則引入了正弦這個現代概念。所謂正弦，就是直角三角形中某個銳角的對邊與斜邊的比。大家在學校裡應該學習過這個概念，但是很可能已經忘記它的含義了。從某種意義上講，這個概念代表了印度數學在抽像化方面取得的突出成就。三角形的邊和角都是清晰可見的存在，但正弦是一個比值，如果你不知道它的來歷，就無法確定它的含義。正弦是一個非常有用的概念，但是與它的組成相比，毫無疑問它算不上一種真實的存在。
與正弦相比，0是一個更大也更重要的概念。但是，當斐波那奇將這個概念引入西方世界時，人們的反應卻是褒貶不一。數學家們的熱情程度似乎高於普通人的第一反應，他們迅速掌握了0的用途。17世紀20年代，詩人約翰·鄧恩在一篇布道文中抱怨說：「任何事物，數量越少，我們就越不瞭解。因此，0這個東西是多麼難以看清、難以捉摸啊！」仔細琢磨這句話，數學家的熱情與普通人的冷淡顯然就很好理解了。
對這個全新數字系統的消極態度並不完全是情感造成的。會計人員發現，這個新系統中的0可以非常方便地被篡改成6或者9，因此不可避免地產生欺詐行為。為此，1299年，佛羅倫薩市議會頒布了一項法令，規定記賬時必須用文字表示各種數目，而不得使用阿拉伯數字，以防遭到篡改。即使到了伽利略生活的時代，一位比利時牧師在與供貨商簽訂合同時，還警告他們只能使用文字來表示所有數字。
但是，在這套新的符號與功能強大的0推動歐洲數學取得蓬勃發展之前，中東的另外一群數學家就已經接受了這套印度符號系統，並將它傳播開去。我們知道，這套符號系統由中東傳播至西方世界，因此被稱為阿拉伯數字。但是，令數學研究發生翻天覆地變化的卻是波斯作家花剌子米（al-Khwarizmi）[3]在825年前後創作的一部重要著作——《論印度數字的計算》（On the Calculation with Hindu Numerals），拉丁語版本的名稱為「Algoritmi de numero Indorum」。我們把計算機執行的一系列規則稱作「算法」（algolrithm），這個詞就是從花剌子米的拉丁名字演變而來的。「代數學」（algebra）這個詞也是由花剌子米創造的。有了這套靈活方便的數字系統之後，數學為我們創造了一個可以與豐富多彩的物質世界相媲美的全新世界。
代數學可能令很多學生頭疼不已，但是它解決難題的能力和開放式方法的效力無與倫比。回頭看看古希臘人研究數學的方法，將有助於我們瞭解印度數字和代數學等概念所具有的強大威力。古希臘人之所以一離開簡潔美觀的幾何學就寸步難行，不僅因為他們處理分數的方法受到諸多限制，應用時困難重重，還因為他們沒有辦法處理我們現代人借助代數就可以輕鬆解決的問題。一旦離開幾何圖形和直觀思維，他們面對數學問題時就會束手無策。
以A + B = C + D這個簡單的等式為例，古希臘人不會用符號的方式來處理這個步驟，而只能用文字來表述。而且，由於當時的習慣是單詞之間不留空格，因此，上述等式的古希臘表達可能是：
THEAANDTHEBTAKENTOGETHERAREEQUALTOTHECANDTHEDTAKENTOGETHER（A與B的和等於C與D的和）
真實的情況可能會更加糟糕，因為古希臘人沒有用字母或其他簡單符號表示未知量的傳統（如果他們真的使用字母，就會特別難以理解，因為他們在表示數字時也會使用字母）。也就是說，「文字等式」中不會出現A、B、C和D，而是用文字把需要加到一起的事物一一表述出來。這個例子再一次說明，古希臘人放棄古巴比倫人的方法是一個退步。古巴比倫人對數字的態度有所不同，他們可以解決代數學難題，甚至可以解某些二次方程。然而，二次方程的這種解法被遺忘了有千年之久。
然而，這不能阻擋希臘數學前進的步伐。從公元250年前後至亞歷山大裡亞學派[4]後期，代數學研究已經得到了中等程度的發展，其中的典型代表人物是丟番圖[5]。丟番圖似乎重新拾起了古巴比倫人更重視數字的研究成果，還加入了古希臘研究的精髓——精確性和證明，忽略了近似表示。丟番圖的最大貢獻或許是他創立了符號法，代數問題從此變得簡明扼要，難度也大大降低了。
在《算術》（Arithmetica）一書中，丟番圖利用符號和結構來表示未知數、10的冪和算術運算。他給出的方程與我們現在使用的方程並不完全相同，而是用一種簡單明瞭、前後一致的符號表示。以2x4 + 3x3 – 4x2 + 5x – 6為例。如果用字母S表示平方，C表示3次方，x表示未知數，M表示減，u表示數字1，丟番圖的方程就是SS2 C3 x5 M S4 u6。他的這些貢獻，成為代數學蓬勃發展的基礎。
花剌子米的一本關於代數學的著作（Al-jabr wa』l muqābalah，書名意思不明）僅使用文字表述，甚至都沒有使用丟番圖發明的笨拙的方程。因此，從某種意義上說，這部著作相對於丟番圖的某些研究來說是一種倒退。但是，花剌子米的著作與現代基礎代數入門讀物很相似，因為他給出了方程的解法，尤其是二次方程，儘管是以文字的形式表述。有人認為，阿拉伯世界當時實施的遺產繼承規則十分複雜，然而，遺產金額的計算卻意外推動了代數學的發展。花剌子米在解方程時通常會忽略負根，可能也是出於這個原因。
隨著花剌子米等阿拉伯人的著作被翻譯流傳開來，情況開始發生變化。我們知道，在斐波那奇出版《計算之書》後的幾百年時間裡，這套新的數字系統一直未被普通人接受。但是，與其說這是一種明智的行為，不如說這是舊有系統垂死之前的最後掙扎。那些善於使用算盤或計數表（與算盤比較相似，但是不穿繩）的既得利益者持抵制態度，可能是擔心引入這些新數字後，他們在這方面的特長就會一文不值。從這個意義上看，斐波那奇選用的書名的確有幾分諷刺意味。畢竟，我們都曾抱怨「新數學」與我們在學校裡學到的數學並不是一回事。但是，變化是無法抗拒的。新系統的優勢是非常明顯的，所有對數學有所研究的人都知道，新系統被人們接受幾乎是大勢所趨。
在中世紀學者中，有很多人故意貶低數學的重要性，但有一位學者發起了一場運動，為人們認識數學的重要性掃清了障礙。
[1] 婆羅摩笈多（598—約655），印度天文學家、數學家，著有《婆羅摩修正體系》。——譯者注
[2] 婆什迦羅（1114—約1185），印度數學家、天文學家，著有《歷算書》。——譯者注
[3] 花剌子米（約780—約850），數學家、天文學家，被譽為「代數學之父」。——譯者注
[4] 亞力山大裡亞學派是古希臘數學家在埃及亞歷山大城建立的學派，分前期（前4世紀—前146）和後期（前146—公元641）。前期以歐幾里得、阿基米德等人為代表，後期以托勒密、丟番圖等人為代表。——譯者注
[5] 丟番圖（約246—330），古希臘亞歷山大裡亞學派後期的重要學者和數學家，代數的創始人之一，對算術理論有深入研究。——譯者注