這位為當時的數學研究注入實用性的古希臘數學家就是阿基米德。不僅如此，他在非實用性數學方面的研究同樣了不起，水平之高令當時的大多數人都感到不可思議。
儘管後世的翻譯家成功地復原了不少古希臘文本，但還是有很多遺失了，其中就包括很多重要人物的生平傳記。我們知道，阿基米德去世之後，曾經有人為他立傳，但是這部傳記卻沒有流傳下來，所以我們無從知曉他的具體生平，只知道他大約出生於公元前287年。阿基米德不僅具有不遜於先賢的幾何天賦，毫無疑問，他還是人類歷史上的第一位工程師，因為他把數學應用於實踐，發明了武器和實用的機器。
畢達哥拉斯學派曾經憑借想像，在底層建構上將數學與天地萬物聯繫在一起。在阿基米德時代，人類不可能回歸純粹的數學，但是阿基米德成功地證明了數學是科學發展的必需品，它可以成為自然哲學家的忠實僕人。有人甚至認為，阿基米德是第一位現代意義上的科學家。然而，在阿基米德本人看來，他只是一位應用數學家。希臘歷史學家、傳記作家普魯塔克說，阿基米德認為自己的機械發明不過是「研究幾何學之餘的消遣」，根本不值一提。
最值得我們關注的是，阿基米德幫助數學在另一個方面擺脫了與現實的聯繫。我們知道，古希臘數學（具體來說就是古希臘幾何學）有很強的直觀性，它永遠不可能為數學插上想像的翅膀，也不可能構建起我們現在看到的夢幻一般的數學王國，原因之一就在於古希臘的數字系統具有很大的局限性。古希臘數學幾乎從未採用現代人熟悉的符號系統，也沒有想辦法降低數字系統的複雜程度。我們知道，古希臘數字都是字母表中的字母，為了擴大表示範圍，還選用了幾個古代字母。因此，這些數字使用起來非常不方便。最令人感到氣餒的是，這套數字系統到10 000就結束了——米亞德（10 000）是最大的數字。
為了證明數字系統可以發揮更強大的功能，阿基米德撰寫了一本名叫《數沙者》（The Sand-reckoner）的小冊子。在這部不同尋常的著作中，他計算了填滿整個宇宙需要的沙粒數量。顯然，他在實踐性工程技術方面取得的成就並不包括這項計算。他的目的似乎是證明數學不會受到世俗思想的束縛，也不會因為當時採用的數字系統而裹足不前。為了達到這個目的，阿基米德必須另闢蹊徑，發明一套全新的數字系統。
為了增加權威性，阿基米德把這本書獻給了敘拉古的統治者——革隆。阿基米德似乎受雇於革隆，甚至有人認為，生活在敘拉古這個動盪不安的小地方的阿基米德和革隆十分投契。阿基米德告誡革隆不要錯誤地認為地球上的沙粒無法數清，或者以為沙粒的數量為無窮多。他還明確地告訴革隆，他所說的沙粒「不僅指敘拉古附近和西西里島其餘地方的沙粒，還包括地球上所有其他地方的沙粒，無論有沒有人居住」。但是，之後他把地球上的沙粒數量這個問題放到一邊，著手證明他可以找到一個數，用來表示填滿宇宙所需的沙粒數量。
以現代人的眼光來看，這項計算任務是不可能得到一個有意義的結果的，因為我們根本不知道宇宙到底有多大。我們僅知道可觀測宇宙的大小。這是由光在宇宙誕生以來可以傳播的距離決定的，大約為900億光年。在這個距離之外，我們就一無所知了。然而，在阿基米德那個時代，宇宙的概念則簡單得多。在亞里士多德的簡單模型中，宇宙的中心位置不是太陽，而是地球——地球是世間萬物的中心。就像我們每日所見的那樣，天空中可以觀測到的所有東西，包括月亮、太陽和各大行星，都在圍繞地球運轉。天空的外面是一個球體，上面點綴著一些稀疏的光點——恆星。按照這個推算結果，整個宇宙比我們現在已知的太陽系還要小（要知道，根據古希臘人的宇宙模型，恆星位於土星軌道的外側，因為土星是當時已知最遙遠的行星）。
有意思的是，阿基米德在《數沙者》中明確提出了另外一種觀點。據他介紹，薩摩斯的阿利斯塔克在其著作中指出，太陽與恆星都是靜止不動的，地球繞著太陽轉，太陽位於宇宙的中心。這些隻言片語引起了人們的興趣。阿利斯塔克的那部著作沒有流傳下來，因此我們不知道阿利斯塔克到底說了什麼，只能根據若干間接引用，推測這個地球圍繞太陽運轉理論的首創者的相關信息。
阿利斯塔克說，他心目中的宇宙遠遠大於當時人們普遍採用的模型。阿基米德指出，阿利斯塔克描述的宇宙大小令人困惑，根本不可能是正確的。他的理由是，阿利斯塔克似乎在書中說過，鑲嵌有固定恆星的天球十分遙遠，地球的運轉軌道與天球相比，就相當於「天球的中心與它的表面相比」。阿基米德指出，天球的中心沒有大小，無法與其表面構成比率關係。但是，阿基米德認為他知道阿利斯塔克這番話的真實含義——這是在拿地球的大小（地球是傳統宇宙模型的中心）與天球的大小做比較。
在明確這一點之後，阿基米德開始計算填滿傳統模型代表的宇宙和阿利斯塔克模型代表的體積更大的宇宙所需要的沙粒數量。首先，他必須計算出這兩個宇宙到底有多大。作為一名古希臘人，阿基米德在計算中自然會大量使用幾何知識。開始計算之前，他對地球的大小以及地球、月亮和太陽的相對大小做出了一系列假設。大多數的假設都比較直截了當，例如，「地球的周長最多約為3 000 000斯塔德」。〔斯塔德（stade）是根據體育場跑道長度確定的單位。〕但是，有一個假設比較難以理解：「太陽的直徑大於宇宙天球的最大切面的內接千邊形的邊長。」
有必要告訴大家，千邊形（這個詞在現代並不常見）是指有1 000條邊的多邊形。阿基米德在這裡對「宇宙天球」這個概念下了明確的定義。我們往往以為希臘模型中宇宙的盡頭是恆星，但是阿基米德指出，「宇宙天球的中心就是地球的中心，它的半徑等於太陽中心與地球中心的直線距離」。換句話說，他認為「宇宙天球」就是從地球上看到的太陽運行軌道所構成的球體。也就是說，他認為太陽的直徑大約是我們觀察到的太陽軌道的千分之一。
在進行科研活動時，古希臘最流行的做法是純粹依靠論證，而往往不屑於驗證論證結果與現實之間是否存在相似之處。然而，天文學是個特例。阿基米德絕不是一位只會空談的哲學家，而且他的父親生前是一位非常活躍的天文學家。太陽大小與運行軌道的比值，就是阿基米德通過有限的天文學實踐活動得出的。他準備了一根長竿，上面安裝了一個可以調節位置的圓盤。然後，在太陽剛剛升起的時候（因為他相信，在太陽剛剛升起的時候觀察太陽是安全的。其實，他錯了，雖然這時候的陽光確實弱一些，因為陽光在到達地球之前，要在空氣中傳播一段很長的距離），他將長竿指向太陽，然後上下移動圓盤，使它正好遮住太陽。他計算出，當圓盤蓋住太陽時，圓盤與視線之間的夾角介於直角的1/200和1/164之間。根據這個結果，他計算出太陽直徑與太陽運行軌道的比值。最後，通過取整，他得出太陽直徑約為太陽運轉軌道的千分之一這個近似值。
阿基米德計算距離時使用的長度單位是斯塔德（源於希臘語的「stadion」一詞，複數形式為「stadia」），這給我們造成了不小的麻煩。前面說過，這個長度單位是根據運動場跑道的長度來確定的，但它並不是一個標準單位。1斯塔德可能等於600希臘尺，但是具體數值因地而異，變化範圍大概為150—200米（490—650英尺）。然而，即使這個定義非常模糊，阿基米德的計算結果也表明宇宙的外圍達到了帶外行星的位置。考慮到古希臘人的估算水平，這個結果已經相當不錯了。
接著，他武斷地認為只需要1米亞德（10 000）粒沙子就可以填滿一粒罌粟籽，而罌粟籽至少是手指寬度（比尺小的標準長度單位）的1/40。現在，他需要想辦法建立超過米亞德的數量級。因此，他創造了一個新數——米亞德米亞德（億），並把達到這個值的數稱作第二級單位。然後，他通過求米亞德米亞德的平方得到第三級單位，再通過求米亞德米亞德的三次方得到第四級單位，以此類推。在求得米亞德米亞德的米亞德米亞德次方之後，第一期（period）結束，然後他以同樣方式得到了第二期。
在建立了這些數量級之後，阿基米德又制定了一系列運算法則。最後，他計算出傳統模型代表的宇宙可以裝下的沙粒數不超過1 000個第七級單位（即1051，也就是1後面有51個0）。而亞里士多德模型所代表的那個更大的宇宙可以裝下的沙粒數為1 000萬個第八級單位（即1063）。其實，阿基米德發明的數字系統並沒有這麼先進，它是以古希臘人當時使用的那套糟糕的數字系統為基礎的，所以使用起來十分不便。然而，在計算宇宙大小的時候，儘管阿基米德使用的是幾何學知識，但在方法上卻有一種別出心裁的新意。
毫無疑問，這個新方法幫助阿基米德完成了計算，也幫助他從同時代的古希臘人當中脫穎而出，從一個全新的角度推動了數學的抽像化。他研究的課題可能是數沙子，但他發明的數字系統擺脫了傳統方法的羈絆，在將數字與實物分離開的道路上邁進了一步。儘管阿基米德邁出了這一步，但他的數字系統仍然缺少一個至關重要的組成部分。當時的人都沒有發現，他們的數字系統真正缺少的正是「什麼都沒有」這個概念。
這是一個深不見底的漏洞！