上學時，如果你接觸過幾何學，並且在解題結束時以勝利者的姿態（或者怒氣沖沖地）寫下QED（拉丁語「quod erat demonstrandum」的縮寫，意為「證明完畢」）這個表示幾何證明過程結束的傳統標誌，就說明你正走在歐幾里得所指引的道路上。在大約2 000年的時間裡，他的著作《幾何原本》一直是至高無上的數學教科書。但是，關於歐幾里得本人，我們卻知之甚少。有的學者甚至認為根本不存在這樣一個人，歐幾里得只是代表若干作者的一個虛構的姓名。我們僅知道他的著作出自托勒密一世在亞歷山大創建的那所無與倫比的學校，歐幾里得（如果他確實存在）是這所學校的一個重要人物。歐幾里得是當時公認的名師，他的那部代表作是他授課所用的教科書。在撰寫這部書時，他沒有打算收錄那些驚天動地的新發現，而是收集了那些已有的知識。然而，這些知識的編排方式卻給人留下了極其深刻的印象。
歐幾里得幾何學建造了一個自得其樂的小小世界，從此以後，數學研究就沿用了這個模式。《幾何原本》首先提出若幹假設，然後在此基礎上完成一系列邏輯清晰的證明。在證明的過程中，人們不需要從事諸如觀察、計數、測量等苦活兒去解決現實世界的難題。現在，我們把這部著作看作一本權威的幾何教科書，但實際上，書中還涉及算術，也介紹了古希臘人對代數問題的直觀表示。從級數1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + …這樣的直觀表示可以看出，古希臘人已經開始接觸代數學了。
毫無疑問，證明的概念與精確性（與測量人員工作時只求大概的結果不同）是古希臘人對數學的最大貢獻。我們知道，古埃及人在幾何學的舞台上非常活躍，古巴比倫人的數字與代數知識也達到了古希臘人無法企及的高度。但是，這兩個時間更早的文明對證明之道卻不怎麼關心，因為他們認為有數字或者圖形就足夠了。他們研究的僅僅是理論數學。
我們已經接觸過數學證明的概念。數學證明始於畢達哥拉斯學派，但是歐幾里得為證明過程建立了一套嚴格的模式。他首先為證明規定了一系列條件、公理或者「已知內容」。這些條件、公理或者「已知內容」無法加以證實，但是數學家要完成證明，就必須視其為理所當然。這些公理都是顯而易見的（儘管有個別例外，但基本上確實如此），可以用作證明過程的基礎。證明時，數學家必須從這些公理出發，環環相扣地完成一系列邏輯推理步驟，直到最終完成證明。
歐幾里得的《幾何原本》（從技術上看，應該稱之為一套書，因為每卷的實際長度都受到限制）首先給出了一些定義（包括點、直線、圓的定義），然後是5條公設（也被稱作「假設」）和5條公理（現在也被視為「公設」）。緊接著，他給出了第一條定理，描述了利用圓規和直尺作等邊三角形的方法（古希臘人尤其熱衷於尺規作圖）。事實上，歐幾里得給出的一些定義並不嚴謹縝密（例如，他用「傾斜角」這個名詞來定義角，但實際上，「傾斜角」這個詞反而比「角」更加冷僻），但是他所表述的意義都是正確的。本書給出這些公理，但不再提供詳細的證明過程。
5條公設是：
1. 過任意兩點都可作一條直線；
2. 一條直線可以無限延長；
3. 以任一點為圓心，任意長為半徑，可以作一個圓；
4. 所有直角都相等；
5. 一條直線和另外兩條直線相交，若兩個內角之和小於180°，則這兩條直線一定相交。
5條公理是：
1. 等於同量的量彼此相等；
2. 等量加等量，其和仍相等；
3. 等量減等量，其差仍相等；
4. 彼此能重合的物體是全等的；
5. 整體大於部分。
這些公設和公理大多是顯而易見的常識，但是數學證明的嚴謹性要求我們不得進行不必要的假設。證明過程不接受常識作為論據。在數學世界中，我們可以做出在現實世界中不成立的假設，這是數學世界特有的有利條件之一。例如，我們從定義中可以看出，直線「只有長度，沒有寬度」。而在現實世界中，線條肯定是有寬度的。直線的定義把我們置身於一個無法真實存在的世界之中。
此外，至少有一條公設對數學特有的環境做出了若幹假設。這些假設沒有出現在公理之中，是因為歐幾里得從未想過這方面的問題。歐幾里得的第五公設（該公設的意思是不平行的直線就會相交，但其語言表達異常複雜，它暗藏的意思就是平行的直線不會相交）在歐幾里得研究的平面上的確是正確的，但對於在現實世界中更加常見的曲面，這條公設卻不一定正確。例如，我們沿著朝北的方向，作若干條與地球赤道垂直的直線。這些直線就是地球的經線，在它們到達北極時就會相交，但是在赤道這個位置上，它們確實是互相平行的直線。所以，第五公設在平面上是成立的，但是在曲面上卻不適用。
歐幾里得幾何學必須具備的一個基本條件是平行線不相交，否則它就會轟然倒塌。直到19世紀，人們才提出了適用於現實世界中的曲面的非歐幾何。當時，除了測量地球表面以外，非歐幾何的實用性似乎十分有限。但是，後來的事實證明，在愛因斯坦開始研究廣義相對論時，非歐幾何的研究領域已經延伸至多維曲面，並成為一種非常重要的研究工具。
想到數學可以徹底擺脫我們所在的物質世界繼續存在並發揮作用，我們不禁要問，歐幾里得的研究對象是現實世界嗎？答案是否定的。但是，這並不說明他的研究就毫無價值。歐幾里得幾何學為現實世界繪製了一幅逼真的畫像，非常珍貴，但它描繪的卻不是一個真實的世界。也許最能說明歐幾里得定理與現實世界具體對像之間關係的就是柏拉圖的那個隱喻。這位成名時間比歐幾里得早幾百年的哲學家設想了一個猶如天堂般完美的宇宙，在這個世界裡，歐幾里得研究的那些數學概念是可以存在的。這些完美的圖形和物體具有某種超現實性，而我們在現實世界裡感知的那些圖形和結構僅僅是這些純淨原型的投影。
具體來說，柏拉圖用投射在山洞中的影子打比方。在他眼中，不完美的三角形就是在純正數學世界的強光照射下，一個完美三角形留在山洞中的模糊陰影。他的這種理解有一定道理。這並不是說數學從某種意義上講比現實世界更加真實或者更加完美，而是說宇宙過於複雜，我們很難將它惟妙惟肖地表現出來。因此，數學通常只能是真實宇宙的一種近似表現。整數在現實世界可以找到完全對應的對象，而分數則不可以。同樣，現實世界是由原子和線條構成的，這些線條不僅有寬度，而且不是毫無瑕疵的直線，因此幾何圖形也不是現實世界的完美表現。
洞中影子的不完美特點（數學證明中的完美圖形與我們在現實生活中處理、體驗的那些對像之間的區別），在「失蹤的正方形」這個令人費解的難題上得到了充分體現。
在這幅圖中，兩個圖形看起來一模一樣，只是它們各部分所處的位置不同。可以看出，下面的圖形中有一個空白格，這說明下面圖形與上面圖形的面積並不相同。柏拉圖的完美圖形是不會出現這種情況的，但是在模糊、朦朧的現實世界中，畫出來的線條都不精確，因此我們難免遇到這種情況。在上面的圖形中，較小三角形的左邊的角與較大三角形的左邊的角看起來度數相同，但實際上並不相同。重新排列之後，那個空白格就是這個極其微小的差別造成的。
隨著不斷深入研究數學與現實世界的相互關係，我們越發清楚地看到在科學研究中使用模型的意義。模型就像在現實基礎上製作的玩具。宇宙是一個龐大的存在，即使其中一個很小的部分（例如人）也有非常複雜的結構。在瞭解宇宙奧秘、確定其物理構成時，我們通常需要做簡化處理，降低研究對象的複雜程度。
模型可以是看得見摸得著的具體表現，例如太陽儀。在計算機問世之前，這種簡潔的太陽系機械模型一直深受歡迎。然而，我們使用的模型大多是由一系列方程或者數學系統構成的「數學模型」。它們具有現實世界中物體的某些特徵，但是處理起來要簡單得多。現在，人們通常會通過計算機編程來建立這樣的模型，儘管很多科研人員仍然更青睞以簡單（或比較簡單的）方程式為核心的模型。
我們將在後續章節深入討論這些模型。從本質上看，它們表示的都是柏拉圖理想世界中的宇宙的整體或部分情況。它們不是真實的事物，而是真實事物簡單化、完善化的產物。有時，這些模型被稱作「原型」，這個名稱使我們不由得想起中世紀對柏拉圖思想的美妙描述——「類型和影子」。只不過，柏拉圖把相互關係弄顛倒了。在他的想像中，先有真實存在的完美對象，例如三角形，然後才有我們在日常生活中遇到的有瑕疵的影子。根據柏拉圖的理解，我們周圍世界的真實程度比不上理想世界。但是，科學家建立模型時，情況則正好相反，有瑕疵、有限制條件的是他們建立的模型。科學模型與科學理論是自然世界的數學投影，比真實系統要簡單得多。
柏拉圖的山洞本身就是一個模型，它毫無疑問是山洞外世界的一個表現，但這不能說明任何問題。你也可以說數學就是大家共同創作的一部科幻小說，是一個所有數學家都願意和諧共處的精神世界。但是，這個世界不允許存在科幻小說的天馬行空，這裡的所有規則都必須明文規定並得到一致認可。任何數學內容，只要遵從了這些規則，就會得到認可，無論它是否與現實世界存在相似之處。但是，經常有人提到一個事實：很多數學內容不僅與現實世界有相似之處，而且在反映現實世界真實情況這個方面具有異乎尋常的能力。其中的原因可能僅僅在於數學的基本結構中有很大一部分（例如整數運算的本質）是基於對現實的反映，但是，在我們摸清了數學世界的真實情況後，我們就會重新思考是否有其他原因。
即使是在完美圖形這個壁壘森嚴的世界裡，歐幾里得的門徒們也在化圓為方的道路上遭遇了滑鐵盧。他們的內心有一個情結，想憑借一個圓規和一把直尺畫出世間萬物。他們想，是否可以畫出一個正方形，它的面積恰好等於圓這個最簡單、最完美的圖形？這個想法令古希臘人難以釋懷，他們甚至賦予那些埋頭鑽研這個難題的人一個專門的稱呼——「化圓為方者」（tetragonidzein）。儘管這個稱呼聽起來很威風，但他們的努力不過是一種不自量力的行為。
現代人都知道，在計算圓的準確面積時，古希臘人遭遇了另一個比
更重要的無理數——圓周率（π）。圓周率不僅是無理數，而且是超越數，也就是說，我們無法通過一個有限方程得出它的精確值。（我們可以用方程表示圓周率的值，但是這些方程都是無窮級數，因此，我們甚至無法用方程來表示圓周率的精確值。）
在歐幾里得那個時代，數學家在面對幾何學的嚴謹性時感到心安理得，我們也可以肯定，他們從事數學研究的目的並不單純是為了刺激智力發展，與此同時，數學還得到了廣泛的應用。我們已經知道，「幾何」（geometry）這個詞源於希臘語，原意是指測量地球。無論你是測量人員，還是建築師，對於你來說，測量地球的近似值都具有非常重要的意義。但是，推導和證明卻是在有條不紊、與世隔絕的數學世界裡完成的。與這個世界相比，我們身處的現實世界混亂不堪，令人氣餒。
雜亂無章的物質世界似乎是歐幾里得精確證明的墓地。但是，當一位數學家登上歷史的舞台，甘願幹苦活累活，並將數學應用到工程技術乃至戰爭武器等領域時，完美世界的壁壘被打破了！