傳說中，畢達哥拉斯學派將一條座右銘刻在門楣上：萬物皆是數字。毫無疑問，我們大多數人對畢達哥拉斯學派都非常陌生。關於這個古希臘學派，我們唯一確定的可能就是畢達哥拉斯定理，即直角三角形斜邊邊長的平方等於其他兩邊邊長的平方和。其實，這條定理的基本概念早在畢達哥拉斯之前就已被人提出來了，但是，定理的證明可能要歸功於畢達哥拉斯或者他的門徒。
幾何學（我將在第5章深入討論）似乎是人類繼整數計數之後最早探討的一個數學領域。我們不清楚幾何學起源的確切時間和具體過程。大多數古希臘人認為幾何學源自埃及，但其實一些描述簡單幾何關係（如畢達哥拉斯定理）的相似概念，在巴比倫、美索不達米亞和東方出現的時間更早。古埃及把從事幾何研究的人稱作「司繩」（rope stretcher），暗示這門學科與從事建築測量及土地分割的人員有關。幾何學之所以成為人類較早研究的學科之一，從這個表達上也許可以略知一二。〔現代英語中的「幾何學」（geometry）一詞源於希臘語中「地球」和「測量」這兩個詞。〕但是，畢達哥拉斯及其門徒研究的並不是這種需要親力親為的實用數學。
畢達哥拉斯出生於公元前570年左右，古希臘的數學研究就是從那個時期開始的。據說，畢達哥拉斯去過埃及。他從埃及人那裡汲取了一些想法和概念，後來都被納入畢達哥拉斯學派的信仰體系，該學派的主要成員被人稱作數學家（mathematikoi）。前文的思想實驗告訴我們，數字的起源可能與現實世界密切相關。畢達哥拉斯學派的功勞則是將這個概念提升到基本法則的高度，但與此同時，他們也將數學與簡單數字區別開，使數學有可能擺脫束縛，無須直接應用於我們周圍的物質世界。
毫無疑問，畢達哥拉斯學派超越了計數的限制。他們認識到圖形的重要作用，並將圖形變成一個重要工具，從而拉開了現代數學與現代科學的漫長歷史的序幕。從一定程度上看，所有人都會總結規律（事實上，對周圍世界有反應的所有生物都會如此）。如果做任何事都需要從頭學起，那麼人生的複雜程度就會遠勝當前。但實際情況並非如此。借助規律，我們不僅可以認識周圍的世界，還可以對探知的一切做出反應。例如，假設我設計了一個可以打開臥室窗戶的機器人。事實上，所謂的臥室窗戶其實是一扇門，正對著一個法式小陽台。因此，我設計的這個機器人必須學會把鑰匙插進位於牆上某個位置的鎖孔，然後轉動鑰匙，再按下位於另一個位置的門把手，最後推開門。不僅如此，它還必須控制好力量的大小，以免損壞這扇門。
我家客廳的窗戶與之相同，但是位置不一樣。如果我把這個機器人搬到客廳，那麼儘管我編寫的程序十分精確，但它仍然會找不到目標，也無法完成打開窗戶這個任務。當然，如果客廳採用的是上下推拉式窗戶，那麼後果就會更加嚴重。在掌握門窗等事物的規律之後，我們就可以有針對性地採取應對措施，而不需要學習每一扇窗戶的打開方法。
規律在我們人類瞭解宇宙奧秘的過程中發揮了同樣的作用，所有科學都在利用規律的基礎上簡化了理解過程。如果必須逐個地研究所有原子，我們將永遠無法探知宇宙的秘密。但是，如果我們可以找出原子的一般規律，並將這條規律應用於所有原子上，我們的研究就可以取得進展。
在畢達哥拉斯學派的鼎盛時期，古希臘人還沒有提出原子的概念（「原子」一詞源於希臘語中的atomos，意思是「不可分割的東西」），但是他們仍然強烈地感受到了規律的重要性，包括幾何圖形的規律、音樂和弦的規律和數字的某些規律。然而，他們對規律的利用達到了過猶不及的地步，這也是人類經常犯的一個錯誤。我們非常善於無中生有，總結出某種根本不存在的規律，包括視覺規律（例如，從一片陰影中看出一個妖怪）和統計規律（例如，我們總希望從一系列事件中總結出前因後果，即使這些事件純粹是隨機事件，毫無聯繫可言）。
別忘了，畢達哥拉斯的這些門徒不僅僅是數學家，還是一個學派的成員，有獨特而奇怪的信仰，例如，他們特別反感吃豆子。據說，這種信仰源於某些神秘的象徵意義，因為豆子的外形與人類的某個器官相似，所以對於他們來說，吃豆子的行為與同類相食沒有多大區別，這種行為對於這個素食主義教派而言是不合適的。
在畢達哥拉斯的門徒看來，很多重要的規律都與整數密切相關。他們認為，宇宙萬物的基礎是數字，數字不僅是人類的發明創造，還揭示了現實世界的基本架構。與所有憑借一己之力在這個世界中謀取立足之地的生物一樣，數字也被他們賦予了各種屬性。例如，數字1與思想及其獨一無二的特性相關；數字2表示意見，因為他們認為意見是需要分享的；數字3與完整性有關，這是因為所有完整的事物都必須包括開端、中間和結尾，具體的事物需要三個維度才能定義它們的物理存在。
就這樣，他們發現了一條又一條規律。例如，由於奇數被視為陽性的，而偶數是陰性的，所以數字5表示婚姻（這裡的「婚姻」一詞可能是維多利亞時期的委婉語），因為它把第一個真正的奇數3（他們認為數字1過於獨特，因此不應該歸屬於奇數的行列）和第一個偶數2融為一體。對數字的這種聯想在數字10上達到了巔峰，他們認為10表示完美。10不僅是1、2、3、4這4個數字之和，而且10個點可以排列成一個完美的等邊三角形。
畢達哥拉斯學派還從音樂中找出了數字規律。他們不僅發現音樂節奏有某種規律，還發現樂器的琴弦或管腔長度必須符合某種規律，才能演奏出悅耳動聽的樂曲。例如，把琴弦加長一倍，演奏出的音調就會降八度。此外，他們還找到了演奏其他悅耳和聲所需要的琴弦比。這種以數學方式研究音樂的行為似乎無足輕重，但是它一直被視為人類第一次利用數字得出某種科學法則，因此成為科學發展史上的一個重要里程碑。在此之前，人類對自然的研究全部是定性研究，而從此以後，定量研究也登上了歷史的舞台。
過分相信數學與現實之間的聯繫，並以此為依據進行演繹推理，是一種非常危險的行為。（至少，亞里士多德是這樣認為的，這位做不到絕對公允的哲學家也對這個古老的學派提出了嚴厲的批評。）一位名叫菲洛勞斯的畢達哥拉斯門徒就犯了這個錯誤。畢達哥拉斯學派對數字10的完美性倍加推崇，對此深信不疑的菲洛勞斯因此認為，宇宙間必然還存在一顆不為人知的行星。他把太陽、月亮、地球、已知行星以及恆星的數量相加，即1 + 1 + 1 + 5 + 1，得到的結果是9。據說，菲洛勞斯認為，由於宇宙必須處於完美平衡的狀態（只有這樣，才與畢達哥拉斯學派深信不疑的規律相一致），所以所有這些天體的數量和必須是10，這是由數字10的重要性決定的。他因此推斷必然存在一顆未知的行星。
現在，人們很容易將他推斷存在的這顆行星與當時尚未被人類發現的天王星（我們就不提海王星了）聯繫起來，但是他提出的另外一個觀點卻更加瘋狂（從物理學角度看，也更加不可能）。他認為，宇宙中還有一個與地球相對應的「反地球」。當時，我們更加熟悉的希臘宇宙論（在這套理論中，宇宙與太陽系相似，但地球是宇宙的中心）還沒有出現，關於宇宙結構的普遍觀點是宇宙中心有一團火，構成了整個宇宙的光源。他們猜測，反地球就在這團火的另一側，因此我們永遠看不到它。
儘管科幻小說中經常會重現這樣的行星〔注意，不要與祝融星（Vulcan）混淆。人們曾經假想在水星的軌道內側還存在一顆行星，即祝融星〕，但是天文學從來沒有找到它確實存在的證據，它只是人們根據宇宙運行規律的數學模型進行演繹推理的產物。儘管現代物理學也會進行這樣的演繹推理，但是我們使用的數學方法已經得到了不斷完善，而且在提出某個假設之後，我們還會通過觀察或者實驗，驗證這種假設是否成立。然而，在菲洛勞斯那個時代，人們不可能利用這個方法驗證反地球理論的真偽。
儘管也遇到過一些小的挫折，但是規律在人類探索宇宙本質的活動中佔據了絕對優勢，所以這種演繹推理的方法必然會受到重視。有的規律非常明顯，你是不可能視而不見的。比如，我們都非常熟悉晝夜交替的規律。在時間方面，有些規律〔例如一天可以分成24個小時，一個星期有7天（這些規律都是基於太陽、月亮等星體的運轉形成的）〕是人類總結出來的，僅在人類使用這些規律時才有意義，而有些規律（例如天、年等）則是自然現象，是真實存在的自然規律。
太陽的運轉遵循某些規律（運動方向始終不變，速度大致相同）。在更大的時間跨度裡，太陽的高度變化，以及行星和恆星的光芒在天空中的重複性變化，都會表現出一些規律。此外，季節性交替也會表現出一定的規律。在時間跨度更大的情況下，生命本身也會表現出某些規律。因此，古希臘人借助各種規律來理解周圍的世界，也在情理之中。
所謂的親和數[1]，例如220和284，可能是源於畢達哥拉斯學派的另一個概念，雖然它源於數字之間的浪漫關係，但其實並沒有那麼誇張。這兩個數字彼此之間「含情脈脈」（畢達哥拉斯學派認為這兩個數字之間充滿了愛情的味道），甚至引起了珠寶商的興趣：他們設計的心形金屬首飾被分成兩半，上面分別刻有數字220和284。
對親和數的探索是一場冒險之旅，有可能把你變成資深數學呆瓜。列出220的所有因數（即可以整除220的數），也就是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220。不算220，把剩下的數相加，和為284。與220相比，284的因數則要少得多，僅有1、2、4、71、142、284。不算284，剩下的數字之和是220。在癡迷於整數的畢達哥拉斯學派看來，這種關係具有讓人無法抗拒的魔力。
在我們看來，這種關係僅是一個有意思的現象，在人們問起「為什麼要用220這個數」時你可以賣弄一番，也可以把它變成一個私人的小秘密。但是，在把數字視為萬物基礎的畢達哥拉斯學派看來，這些數字顯得尤為重要，應該被供奉在重要數字[2]的神殿之中。在探索宇宙奧秘時，如果完全依賴於數學（具體地說，就是整數），就會眼前漆黑一片，看不見前方的道路。
很顯然，這就是數學伊甸園裡的一條蛇。據傳，有一個人不小心闖進了這個整數統治一切的王國，結果丟掉了性命。
不難想像，深信數字具有重要意義的畢達哥拉斯門徒會不惜一切來維護他們的信仰。傳說中，他們確實也是這樣做的。受害者名叫希帕索斯，是畢達哥拉斯學派的成員之一，因為膽敢將他們發現的「骯髒」的數學秘密公之於眾而遭到殺害。可以想像，如果某個主流教派突然發現，他們的某一段經文宣稱該宗教建立在子虛烏有的基礎之上，那麼他們肯定會想方設法加以掩飾的。而且，整個教派肯定會坐立不安。
一切都源於畢達哥拉斯提出的那條顯然正確的定理。當人們利用這條定理計算單位邊長正方形的對角線長度時，問題出現了。這個正方形的邊長可以是實踐活動中的任何單位長度，可以是1厘米，也可以是1英里[3]。但是，方便起見，我們可以認為它的長度就是1。當然，這個長度可以是任意值，然後我們可以將這個長度定義成一個新的長度單位，從而把正方形的邊長變成單位長度。
我們畫出了這個正方形的對角線。到目前為止，沒有任何問題。根據畢達哥拉斯學派最喜歡的那條定理，可以很容易地計算出這條對角線的長度，因為它是直角三角形的最長邊（事實上，我們可以從兩個全等的直角三角形中任選一個）。也就是說，借助數學這個功能強大的工具，我們求出直角三角形另外兩邊的平方和，就可以得出這條對角線長度的平方。由於我們將正方形的邊長定義為1個單位長度，因此對角線的平方就等於12 + 12，也就是1 + 1，結果等於2。同樣，我們可以方便地把這條對角線的長度（也就是我們試圖計算的值）定義為
，即2的平方根。這個數的平方是2。
整個過程似乎沒有任何問題。但是，當畢達哥拉斯學派的門徒試圖計算的確切值時，情況一下子變得複雜起來。別忘了，在他們的心目中，整個宇宙的基礎就是整數。因此，所有的數字，包括，都應該可以通過整數表現出來。顯然不等於1，因為1的平方等於1，而不是2。同樣，也不可能等於2，因為2的平方是4。這不成問題，因為畢達哥拉斯學派的門徒知道在1和2之間還有其他的數，這些數是兩個整數的比，也就是我們現在所說的分數。
如果古希臘人真正理解了分數的概念，畢達哥拉斯學派在數字抽像化進程上的步伐就會邁得更大一些，而不會將整數的存在與現實世界中具體事物的數量統計割裂開來。在我們使用正整數時，這些數字可以隨時回歸到具體事物的數量上來。比如，如果我有3頭山羊，你牽走1頭，那麼我只剩下2頭山羊。但是，如果朝著簡單分數（例如一半，即1/2）邁進一步，這些數字就再也不能同樣完美地表示現實世界中的事物了。不錯，2頭山羊正好是4頭山羊的1/2，但是，1/2個蛋糕在現實世界中只能是一個近似值——因為我們需要將某個物品一分為二，而這分成的兩個部分可以非常相似，但絕不可能一模一樣。
在分割蛋糕等物品時，我們會不由自主地想到分數。在空間測量時，分數同樣非常重要。在劃分土地或者測量建築用石塊的大小時，我們可以用整數加上測量單位來表示。最初，人們是用身體的某個部位來做測量單位的，例如拇指、腳、肘的長度（肘長指肘部至中指指尖的距離），以及步（passum）。步的1 000倍就是千步（mille passus），即1英里。但是，同數山羊不同，在測量石塊大小時，我們有時候用了7次拇指之後，長度還會剩下一點兒，需要使用拇指的一部分來完成整個測量活動。這一部分的長度在0與一整根拇指之間，因此需要使用分數的概念。
儘管希臘人把分數視為與整數不同的數字，但是他們的抽像化實現得並不徹底，因為他們使用分數的方式與我們不同。首先，他們用來表示分數的符號與我們不同。例如，在表示1/4時，他們先直接寫出字母δ，用來表示數字4，再在這個本來就容易混淆的字母上方添加一個類似於重音符號的標記。第二個希臘字母是β，因此用β表示2是可以理解的。但是，令人摸不著頭腦的是，因為某些不明確的歷史原因，他們在β上方添加一條橫線，用來表示2/3。這種奇怪的表示法很可能是從埃及人的習慣做法演變而來的。在埃及人知道的分數中，大多數的分子都是1，而2/3是其中一個例外，因此他們用專門的符號來表示這個分數。
古希臘人用來表示1/2的專用符號也很奇怪——它不是希臘字母，而是一個閃電形狀的符號（這個符號也不是標準寫法，1/2還有其他幾種表示方法）。正因為如此，分數運算實在是一個令人頭疼的任務。現代人可以將分子、分母同時乘以一個數，將分數變成方便運算的形式，但是古希臘人沒有這樣的方法可以利用。他們最常見的做法是買一本加法表，從上面可以查詢到1/2 + 1/6的答案是4/6（或者2/3）。儘管古希臘人把分數看成整數的比，但是他們的分數沒有明確的分子和分母。
然而，在考慮古希臘人的方法時，我們也不應該認為他們的方法過於簡單。對於分數運算可能帶來的錯綜複雜的後果，古希臘人有一定的認識。比畢達哥拉斯晚出生幾十年的哲學家芝諾（Zeno）根據分數相加時的奇異特性，提出了一個悖論，他本人也因此享有盛名。芝諾屬於埃利亞學派（位於埃利亞，這座古城的舊址就在現在意大利的韋利亞海堡外），該學派認為變化與運動是一種錯覺。儘管他們對此深信不疑，但是經驗似乎表明變化無處不在。為了捍衛學派的論斷，芝諾提出了一系列悖論，以證明我們對變化及運動的認識是錯誤的。在埃利亞學派看來，這個結果意味著大多數人賴以理解變化的經驗是錯誤的。
在芝諾悖論中，最著名的可能是阿喀琉斯與烏龜賽跑的悖論。阿喀琉斯是芝諾那個時代的超級名人，與他賽跑的卻是一隻動作緩慢且笨重的烏龜。這顯然是不公平的，但是芝諾斷言，從阿喀琉斯的角度稍加考慮，就會發現這位英雄追不上慢吞吞的烏龜，條件是阿喀琉斯讓烏龜先跑一兩分鐘。畢竟他是一名英雄，讓烏龜佔這樣的便宜並不過分。但是，芝諾指出，即使阿喀琉斯跑得比烏龜快得多，他也不可能超過烏龜。
為了方便理解芝諾的理由，我們假設阿喀琉斯的速度是烏龜的兩倍。實際上，他的速度肯定要更快，但是這個假設可以簡化我們的數學推理，而且無論阿喀琉斯跑得有多快，這個證明過程都同樣有效。烏龜起跑之後，我們的英雄還在等待。等烏龜跑出去1碼（約為0.9米）之後，他開始追趕。很快，他就跑完了1碼的距離，但是，在他跑這段距離的同時，烏龜還在繼續往前跑。這段時間裡，烏龜將前進1/2碼。阿喀琉斯跑完這1/2碼後，發現烏龜還領先他1/4碼，他不得不繼續追趕。於是，這個過程不斷重複，永遠不會結束。阿喀琉斯每次到達烏龜先前所在的位置時，烏龜已經又前進了一小段距離。因此，阿喀琉斯永遠也追不上烏龜。
我們不清楚芝諾是否真的不明白其中的道理，但是古希臘數學完全可以解釋這個奇怪的悖論。事實上，由於古希臘人理解分數的方式非常獨特（從我們現代人的角度來看），而且他們研究數學時使用了一種非常直觀的方法（他們對於幾何學的熱情經久不衰），所以對於他們來說，這個問題很好解釋。古希臘人對整數有一種難以割捨的感情，在他們的心目中，「2」（用字母β表示）的意思是「兩個單位組成的集合」。這個概念難以表述，但是與我們現在的理解存在微妙的差別。
他們對分數的理解與我們更加不同。在希臘人眼中，構成分數的兩個整數仍然保持著各自的意義，他們把1/2、1/3分別理解成「第二部分」、「第三部分」。我們把1/2理解成一個對像（1）被分割成2個部分，而在古希臘人的眼中，它則是放到一起可以形成1的兩個完整對像（2個部分）。就這樣，他們徹底迴避了1/2帶來的抽像化問題。例如，他們不會想到半塊蛋糕的近似值問題，因為他們想到的是，兩塊完整的蛋糕放在一起之後，變成了一塊更大的蛋糕。阿喀琉斯與烏龜之間的每一段距離，利用我們現代人使用的算式來表示的話，就是：
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
而用古希臘人的方法來考慮的話，就是一個箱子被一塊單位體積的石頭佔據了一半空間。然後，我們再裝進去一塊石頭。第二塊石頭是單位體積的1/2，也就是說，兩塊這樣的石頭合在一起正好是一塊單位體積的石頭。第三次裝進去的石頭是單位體積的1/4，也就是說，4塊這樣的石頭加到一起才等於一塊單位體積的石頭。以此類推，這些石頭越加越多，箱子越裝越滿，但是永遠也裝不滿。這是畢達哥拉斯學派的整數情結留給我們的遺產。古希臘人對分數的理解與我們不同，在他們的心目中，分數表示用2個、3個或者4個完整物體拼湊成另外一個物體。
現在，我們知道下面這個級數趨近於2：
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
每加上一項之後，該級數就會更加接近2，但是永遠不能達到2。在理論上，如果這個級數包含該序列的整個無限集合，最終的和就會等於2。但是，無論有多少項，和都不會超過2。我們說，隨著級數的項數趨近無窮大，和就會趨近2。然而，在現實世界中，沒等烏龜跑出2碼的距離，阿喀琉斯就已超過烏龜了。也就是說，芝諾悖論被破解了。毫無疑問，古希臘人的級數求和方法非常直觀，比我們的現代方法更容易理解，因為我們可以清楚地看出，由於裝填的石頭越來越小，箱子永遠都裝不滿。但是，僅從下面這個級數
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
你卻不容易看出它的和是一個有限數。事實上，下面這個極其簡單的級數
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …
就不具有數學家所說的「收斂性」。隨著項數趨近無窮大，它的和也將趨於無窮大。
接下來，我繼續講關於畢達哥拉斯學派的故事。他們正在考慮如何用整數比的形式來表示2的平方根。如果你對分數略有瞭解，就會知道這個值與707/500相近，但是又不完全相等。嚴格地說，在古希臘人看來，這個數應該等於707個1/500。但是，古希臘人可能會把它表示成1、1/5、1/5、1/100、1/500、1/500這種形式，儘管這種表達方式更令人困惑。在絞盡腦汁之後，畢達哥拉斯學派借助邏輯分析，證明不可能表示成任何兩個整數之比的形式，任何整數都不行。這個新數與他們的世界觀格格不入，他們認為整數是宇宙基礎的信念搖搖欲墜。
證明不能表示成整數之比，似乎並不是一件容易的事。乍看之下，古希臘人似乎必須逐個檢查所有分數，以確保任何分數的值都不等於。這顯然是一件不可能完成的任務，因為分數有無窮多個。但對於酷愛邏輯的古希臘人而言，這不是難事，他們利用自己對奇數和偶數特性的粗淺認識，再加上一點兒邏輯推理，就完成了這項任務。他們採用的是一種常用的經典證明法：首先假設某個命題是真實的，然後根據這個假設得出一個不可能成立的結論，從而證明這個命題是假的。下面是具體的證明過程。
假設某個整數之比（借用古希臘人的習慣，我們設這個整數之比為α/β）可以表示該對角線的長度，也就是說，α、β為整數，且α/β=。為簡單起見，我們假設α和β是可以得出這個比值的最小整數，也就是說，這兩個整數可以構成2/3這種形式的比，而不是4/6或200/300這種形式的比。
為了避免棘手的除法運算，我們採用了一種老辦法：等式兩邊同時乘以β。由此得到：
α=β×
接下來，左右兩邊進行平方運算，以消去平方根：
α2=β 2×2
到目前為止，我們使用的都是中學學過的簡單數學知識（古希臘人的做法略有不同，但結果是一樣的）。古希臘人知道，任何數乘以2，積都是偶數。因此，上述等式的右邊是一個偶數，這就意味著α2也是一個偶數。由此可知，α是偶數，因為奇數的平方肯定是奇數。
所有的偶數都可以被2整除，因此α2可以被4整除。這就說明β2×2也可以被4整除，從而證明β2可以被2整除，也就是說，β2是偶數。既然β2是偶數，那麼β也一定是偶數，也就是說，它可以被2整除。
我們的目的就要達到了。從上述證明可知，α和β都可以被2整除，因此它們就不可能像最初假設的那樣，是比值等於的最小整數。也就是說，我們經過證明發現，最小的兩個整數並不是最小，從而說明原命題在邏輯上不成立。因此，我們可以確定比值等於的整數是不存在的。
對於現代人而言，根本不是什麼問題，我們可以若無其事地使用這個數，也可以把這條對角線的長度表示成小數形式，還可以根據需要保留小數的位數，例如，1.414 213 562…。但是，對於有整數情結的畢達哥拉斯學派而言，他們沒有任何選擇。現在，我們把這樣的數稱作無理數，原因是它不能表示成整數之比的形式。而對畢達哥拉斯學派而言，這些數似乎真的對理性基礎構成了威脅，至少在他們將數字與幾何圖形聯繫到一起時，會讓他們遭遇麻煩。據說，可憐的希帕索斯因為洩露無理數的秘密而慘遭報復，被扔到水裡淹死了。實際上，當時的幾何學研究完全不同於數字研究。在畢達哥拉斯學派的心目中，兩者之間的區別非常大，幾何圖形似乎與數字毫不相干。他們認為，幾何學是一種直觀概念，而不是一個數字概念。
現在，在提到這些除整數以外的數時，無論是像這種無理數，還是表示成十進制序列的有理數，例如把2/3寫成0.666 666…的形式，我們都可以稱之為「實數」。我們可以得心應手地使用無理數乃至所有實數。手動計算已經在很大程度上被計算機取而代之，事實證明，實數的處理毫無難度可言。人們通常根據設備的計算能力，對這些數字進行四捨五入的處理，因此0.666 666…（其中「…」表示該數可以無休止地寫下去）就會在最後一位小數上進行四捨五入，變成0.666 667。
總的來說，我們不清楚實數是不是「真實」的——考慮到它與宇宙的本質直接相關，而不是一個數學概念。在數學中，圓的周長與直徑的比值是無理數π，但是在現實世界中，我們從來沒有也不可能完美地實現這個比值。即使我們通過某種方法畫出一個完美的圓，但是鑒於它是由原子構成的，我們仍然需要考慮粒度問題。無論物質世界之中的這個圓是如何構造的，無論它是一塊圓形金屬還是紙上畫出來的圖形，都不會具有完美的連續性。這就意味著我們永遠無法在我們構建的實物與數學的預言之間建立理想的一一對應關係。
當然，我們可以將物質排除在外，只考慮空間自身的問題。但是，現代物理學告訴我們，即使空間也可能存在粒度問題，並不是完全連續的，至多只能在普朗克長度這個量級實現量子化。普朗克長度是不可測量的極小長度，約等於10–35米，是最小的原子——氫原子直徑的10的25次方分之一。然而，現實世界的這種不可避免的粗糙性在數學世界中卻根本不存在。在那裡，一切都有可能，數值的連續性更是慣常現象。宇宙可能無邊無際，某些量子特性可能與實數保持一致，但這僅僅是一種可能，而實數很有可能只是現實世界的一種近似表示。
然而，古希臘數學家並不瞭解物質世界的這種特性。他們沒有花費太多精力去尋找一種可以與現實世界精確吻合的形式數學，而是一頭扎進理論數學的研究之中。在這個與塵世隔絕的完美世界裡，有一個神秘的代表人物——歐幾里得。
[1] 親和數指一對存在特殊關係的數。一般來講，如果兩個數中任何一個數都是另一個數的真因數之和，則稱這兩個數是親和數。——譯者注
[2] 有的數學家認為，所有數字都非常重要。但如果你認為某些數值小的數字不那麼重要，那麼這些數字也會因為小而變得重要。
[3] 1英里≒1.61千米。——編者注