數學經歷了很長時間才在科研活動中找到充分展示自己的舞台，原因之一就是人們的宇宙觀中普遍充斥著一種超自然的神秘性。自然哲學家認為除月球運轉軌道以外的所有事物都是完美的，是由一種與宇宙中其他事物都不相同的要素（所謂的第五元素）構成的，它們能夠運轉，是因為天使給了它們動力。在這種情況下，很難想像數學可以發揮任何作用。但是，伽利略打破了古希臘的宇宙模型，開創性地利用數學來預測拋射體和鐘擺的運動軌跡。
艾薩克·牛頓站在這位巨人的肩膀上，繪製出宇宙力學圖。借助伽利略的研究成果，只要掌握足夠的數學知識、完美的數據和超強的計算能力，數學家就可以洞悉一切。牛頓是一名基督徒（儘管不是正統的基督徒），因此他不會公開宣揚，但是作為他的繼承者、超級擁躉，18世紀的法國學者皮埃爾–西蒙·拉普拉斯[1]卻沒有任何遲疑。拉普拉斯是當時不多見的無神論者。（據說拿破侖曾經問拉普拉斯，上帝在他的哲學中處於什麼位置？拉普拉斯回答說：「我不需要做那樣的假設。」）牛頓認為，宇宙是一個異常複雜的機械裝置，就像一座大鐘，只要掌握足夠的信息，擁有健全的智力，預測未來就完全有可能做到。他說：
假設有一位智者，他能理解所有驅動自然的力，以及形成各種力量的對應環境，並且能夠分析這些數據，他就可以用一個公式來表示包括最大天體與最小原子在內的世間萬物的運動情況。對於他來說，沒有什麼東西是不確定的。未來如同歷史一樣，在他面前一覽無餘。
牛頓永遠也不會成為這樣的智者，然而，當數學開始在科研活動中佔據重要地位的時候，他通過計算，並借助一種新穎而神秘的數學方法——處理無窮小問題的流數術，提出了牛頓運動定律和萬有引力定律。牛頓取得的成就非常重要，地位舉足輕重。他的數學也許不能完美地預測未來，但是在預測作用力（尤其是神秘的萬有引力）的大小及其效果時卻展現出引人注目的力量。但是，為了不讓他的讀者感到害怕，抑或是為了讓他的方法顯得高深莫測，牛頓在創作他的代表作《自然哲學的數學原理》時，煞費苦心地把很多研究成果轉化成傳統的幾何學。牛頓的世界就像一個鐘錶，表現出確定性和可預測性。
牛頓的成果可以轉化成幾何學形式，可能要歸功於他的法國前輩、哲學家笛卡兒的研究成果。笛卡兒有兩件事讓人們難以忘記：「我思故我在」的宣言，以及以他的名字命名的「笛卡兒坐標系」。但這只是冰山一角，他的研究包羅萬象，不僅涉及光學理論，他還試圖從科學的角度研究靈魂。
笛卡兒坐標系的意義遠不只是用一組數字表示一個點這麼簡單（早在13世紀，培根就已經知道這個方法了）。笛卡兒還創立了在幾何形狀與等效代數方程之間來回轉換的解析幾何學。例如，利用（x，y）坐標值，可以畫出方程（例如y = x2 + 2x + 3）的圖像。同樣，自然界中有很多變化過程也可以繪製成圖像，從而與代數方程對應起來，這樣就可以大大降低預測結果的難度。
笛卡兒的這個方法使奧雷姆利用圖像表示函數的想法變成現實，它將在牛頓的研究工作中發揮巨大的作用，使他的大多數代數研究成果隱藏在幾何學的外衣之下。笛卡兒本人似乎也沒有意識到這個概念到底有多大的影響力，他在《幾何學》（La Geometrie）中介紹了這個概念，並且說這是一個非常簡單的構建幾何形狀的方法。從本質上看，他認為這與牛頓將代數學問題轉換為幾何學問題的方法比較相似，而沒有像現代人一樣，看到它將空間問題轉換為代數學問題的真正威力。但是，無論笛卡兒的目的是什麼，他都為我們創造了一個將幾何學問題轉換為代數學問題的方法。幾何學與我們周圍世界的聯繫更直觀，而代數學則給人一種更抽像的感覺，大多數的現代數學研究都採用了這種方法。
牛頓在數學領域取得的傑出成就——流數術古已有之，可以追溯至古希臘時代。古希臘人對圖形不斷進行分割，使之變成許多盡可能小的形狀，然後計算這個圖形面積的近似值。例如，如果想計算圓的面積，我們可以想像沿著半徑的方向，將圓分割成一系列橘瓣狀的平面圖形。隨著這些「橘瓣」越來越窄，它們就會越來越接近三角形，三角形的面積是很容易計算的。把這些「橘瓣」以相對的方向拼接在一起，所得到的形狀就接近於寬為r、高為πr的矩形。即便你不是數學天才，也可以計算出圓的面積。
儘管這類方法最早是在古希臘時代提出來的，但是直到15世紀，德國哲學家尼古拉斯才用這個方法計算出我們所熟悉的πr2。他認為，這個方法計算的其實是數量無窮多、面積無窮小的一個個圖形的面積，因此不是一個嚴格的數學方法，不能得出精確的結果。但是，他承認這個方法可以有效地對正確答案進行預測，因為隨著分割的圖形越來越小，它們重新拼接而成的形狀將越來越接近標準的矩形。
還有一些人也接受了這個方法，其中最著名的當屬天文學家約翰尼斯·開普勒，但是，真正解決無窮小問題的卻是與牛頓同時代的約翰·沃利斯。如果不是被牛頓的光芒所掩蓋，這位數學家的名氣將會大得多。例如，他提出，我們可以認為那些用來計算總面積的小形狀可以「稀釋」，也就是說，它們可以根據需要變得非常小，但又不會徹底消失。這個詞顯然會讓人們聯想到牛頓取得重大突破時採用的那個方法。牛頓在提出流數術時，考慮的就是流動量（流數術這個名稱由此而來）。牛頓的流數術不僅幫助他獲知了萬有引力的奧秘，還在數學家之間引發了一場持續百年的爭論。
從艾薩克·牛頓的家庭圖書館的目錄就可以看出，他的興趣非常廣泛。到他去世時，他擁有大約2 100本藏書。這在當時是非常了不起的藏書量，他所在的學院——劍橋大學三一學院所擁有的藏書還不到他的兩倍。他有235本物理學和數學方面的書，有138本煉金術方面的書，神學方面的書也非常多，有477本。此外，他還有207部文學作品、46本遊記、31本經濟學著作，以及6本關於勳章的書（牛頓後來擔任英國皇家造幣廠廠長，負責鑄造錢幣和勳章）。由於興趣廣泛，相較科學研究，他花在煉金術與神學上的時間多得多。
即便如此，牛頓仍然為科學做出了巨大的貢獻，包括對光與顏色的研究和發現萬有引力定律。他的力作《自然哲學的數學原理》是在流數術的基礎上寫成的，這個功能強大的方法從本質上看是一種數學工具，它給人一種違背自然規律的感覺，因為它的目的是預測宇宙間所有事物的行為。
牛頓晚年被奉為科學界第一名人，隨之而來的是「牛頓神話」，人們認為牛頓在20歲出頭的時候就發明了流數術。當時，由於爆發了一場瘟疫，劍橋大學疏散了校內人員，牛頓被迫回到林肯郡的家庭農場休假。在此期間，他進行了一番思考，但是，從他留下的筆記來看，牛頓的流數術顯然是花費了20年的時間才逐漸成熟的。
牛頓的流數術也可以將圖形分割成越來越窄的許多小形狀，然後計算圖形的面積。但是，牛頓提出這個新的數學方法的主要目的是，計算加速度等隨時間變化的因素，這對於研究萬有引力，以及比較月球繞地球運轉與蘋果自由落體運動之間的異同都具有非常重要的意義。利用牛頓的流數術計算加速度，就可以理解這個方法的原理。計算時需要使用幾個方程，儘管這些方程非常簡單，但是如果大家覺得有難度，可以跳過不讀。
加速度是速度（包括速率和方向）變化量與時間的比值。為方便起見，我們在本例中假設運動方向保持不變，這樣我們只需考慮速率的變化量。這是一種穩定的「線性」關係。假設1秒鐘後的速度是每小時10英里，2秒鐘後是每小時20英里，3秒鐘後是每小時30英里，以此類推。為了計算出加速度，我們可以認為它就是一秒鐘時間裡速度的變化量。在本例中，速度每秒鐘的變化量是10英里。研究這種加速度的一個便利方法，就是把它看作山的坡度。觀察上圖，就可以看出速度隨時間的變化情況。
加速度就是這條直線的傾斜度，即斜率，是速度變化量與時間變化量之比。但是在現實世界中，很多關係並不像直線那樣簡單。例如，牛頓很早以前就知道，萬有引力遵循平方反比定律，也就是說，萬有引力的大小與物體和引力源距離的平方之間存在某種關係。把速度按照這種關係發生變化的情況繪製成圖像，得到的將不是一條直線，而是一條曲線。
下面我們研究一下速度與時間存在簡單平方關係時的加速度。在這種情況下，速度與時間的關係可以繪製成下面這個圖。
由於該圖不像直線那樣便於處理，所以我們不能直接用速度變化量除以時間變化量來計算加速度。但如果我們考慮一個非常短的時間段，那麼這段曲線就近似於一條直線。因此，我們可以利用速度變化量除以時間變化量的老辦法，計算出一個加速度的近似結果。牛頓當年就是這樣做的。我們用s表示速度，用t表示時間。牛頓把那個短暫時刻裡的微小時間增量稱作「流動量」，並用一個類似於扭曲的零的符號（o）表示。因此，在這個短暫時刻裡時間的變化量是（t + o） – t，時間變化又導致速度發生了變化（別忘了，s = t2）：
(t + o)2 – t2
也就是說，我們可以用速度變化量除以時間變化量求出加速度：
展開完全平方式，然後去掉括號，就會得到：
上式化簡後變成：
分子、分母同時消去o，就會得到：
2t + o
最後，我們略去小小的流動量o，就會得到答案2。這個答案是正確的。至此，我們已經計算出當時間為t時，加速度是2t。但在得出這個正確答案的過程中，某些步驟有些不可靠，令人擔心。既然o最終變成0，那麼在前一步中，分子、分母同時消去o的做法就會涉及0除以0。我們已經知道，這種運算不符合數學法則。
牛頓非常清楚這個問題，因此他試圖通過一種相當於約分的方式予以解決。他說，他處理的是比值，而且他的流動量就像約翰·沃利斯說的那樣，是可以稀釋的，意思是流動量可以消失，但並不真的等於0。這個理由並不高明，但是流數術的確有效，牛頓也沒有因為它不完全符合數學運算法則就放棄它。在《自然哲學的數學原理》一書裡，他盡量將代數運算過程轉換為幾何證明，以便盡可能地掩飾這個問題，但是他很快就遇到一個更加迫切的問題：競爭。
競爭壓力來自德國數學家戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨。據我們所知，在牛頓發明流數術的同時，萊布尼茨也在獨立進行著同樣的研究。牛頓知道德國人正在進行這項研究，因為他和萊布尼茨都與倫敦的英國皇家學會有聯繫。牛頓和萊布尼茨之間有過幾次充滿猜疑的通信交流，其中一封信非常有名，因為牛頓在信中寫下了這句話：
我現在無法繼續解釋流數術，因此我寧願將它隱藏在這段密碼中：6accda13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx
牛頓的做法是當時的一個學術慣例：用一句話概括流數術，然後把句子中字母的頻率記錄下來，用作保護自己成果的密碼。牛頓這樣做的目的是宣示自己的首發權，但根據解碼後的那句話——Data aquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire: et vice versa（已知包含若干流動量的方程，求流數；或者反過來，已知流數，求流動量），我們很難確定他的方法到底是什麼。（後來，他又進一步做出了比較隱晦的澄清。）此時，牛頓完全可以公開發表他的方法並奪得首發權，但是直至去世，他也不願意分享自己的想法，很多時候都是在同事的恭維下他才肯透露一二的。對於自己的成果，他總是秘而不宣。
1684年，萊布尼茨公開發表了他的研究成果，並為這項與流數術有異曲同工之妙的研究成果起了個名字——微積分。他的這個舉動令牛頓對他的猜疑之心達到了頂點。萊布尼茨使用的是一套迥然不同的符號，而且實踐證明這套符號使用起來更方便，但是它的原理與牛頓的流數術如出一轍。牛頓使用的是一種點狀符號，比如，在字母x上方加一個點，表示它的變化量，而萊布尼茨從希臘字母δ表示較小變化這個傳統用法中得到靈感，用字母d表示被牛頓稱為流動量的無窮小變化，即萊布尼茨的表示方法是dx/dt。這個符號不僅更清楚，而且處理起來更加方便。
萊布尼茨還為這種「微分」（按照尼古拉斯提出的辦法，將許多小形狀拼接在一起，以計算整個圖形的面積）的逆運算設計了一個獨特的符號。他把微分的逆運算稱作積分，並用拉長的S——∫（來自拉丁語中表示求和的詞）作為積分符號。牛頓的抱怨沒有充分的正當理由，不發表研究成果也是他自己的決定。但是，由於牛頓的種種質疑，英國數學家都認為萊布尼茨有剽竊之嫌。
1708年，蘇格蘭數學家約翰·基爾在英國皇家學會的《哲學會刊》上發表文章，對萊布尼茨進行了直言不諱的指責（很有可能是牛頓要求他這樣做的），氣氛變得緊張起來。由於牛頓和萊布尼茨都是英國皇家學會的成員，因此英國皇家學會宣佈成立一個11人委員會調查此事，以確定首發權的歸屬。由英國皇家學會會長親自撰寫的報告表明，情況對牛頓更有利。然而，這個結果並不令人感到奇怪，因為英國皇家學會當時的會長正是艾薩克·牛頓。從此以後，英國數學界與歐洲大陸數學界之間的關係降到了冰點，並且在隨後幾十年裡都沒有改善。
無論這兩位數學家採取的是什麼方法，無論到底是誰先創立了微積分，他們後來都遭到了哲學家喬治·伯克萊的猛烈攻擊。這位主教在一篇文章中指出，牛頓和萊布尼茨在某些方面誤入了歧途。這篇文章有一個氣勢恢宏的標題——「致分析家，或一位不信奉上帝的數學家」。伯克萊所說的那位不信奉上帝的數學家可能是指天文學家埃德蒙·哈雷，因為牛頓出版《自然哲學的數學原理》一書時得到了哈雷的幫助。哈雷是無神論者，他對伯克萊的信仰提出了質疑。作為回應，伯克萊對流數術進行了討伐。
伯克萊給流數起了一個富有詩意的名稱——「逝去量的鬼魂」，並且指出，儘管流動量在計算過程中變成0，但後來它又回來了。要採用這樣的方法，似乎必須借助信仰的力量，才能讓人們接受一種無法想像的概念。伯克萊認為，那些批評宗教的人是表裡不一的偽君子，因為他們的這個做法與宗教沒有任何區別。無論這位主教是出於什麼目的，我們已經知道，他提出的那個問題確實存在。的確，如果在運算過程中把那些無窮小量當作0來處理，流數術（也就是微積分）就是可行的，但這樣的處理在數學上卻是行不通的。
伯克萊稱，牛頓和萊布尼茨能得出正確答案純屬運氣好，是兩個錯誤相互抵消的結果。他說：「接連出現兩個錯誤，反而歪打正著得出了正確答案，但這不是科學。」牛頓的辯解理由是，這些極小的變化量具有流動性，它們並沒有徹底消失，而是處於逐漸消失的狀態。在上例中，當2t + o變成2t時，牛頓可以說結果趨近2t，是因為o趨近0，但是這個無窮小量永遠不會真正等於0。從數學的角度看，這個解釋只能算語焉不詳、理由不充分的權宜之計。直到19世紀，才有兩位數學家為微積分堵上了這個漏洞，徹底解決了這個問題。
19世紀20年代，奧古斯丁·路易·柯西重新定義了微積分中的無窮大和無窮小的概念，稱它們是變量，意思是它們都趨近某個數值。隨後，19世紀50年代，卡爾·魏爾斯特拉斯引入了極限的概念，這是我們今天仍使用的標準方法。有了極限的概念，我們就可以把某個終值確定為某個變量為無窮小時得到的極限值，條件是終值接近這個極限值的速度快於某個最低限度。魏爾斯特拉斯通過嚴格的證明告訴我們，只要接近極限值的速度足夠快，微積分的方法就肯定有效。從某種意義上說，魏爾斯特拉斯在微積分計算的過程中拋棄了潛無窮的概念，而只要求接近極限值的（有窮）速度必須足夠快。
我們將在第12章詳細討論無窮大這個概念，但是現在，我們只需知道這個概念在現實世界非常難以理解，甚至不可能被人們理解，然而，它對數學卻產生了深遠的影響。這個概念使牛頓的力學世界成為現實，從而證明了它具有無與倫比的價值。儘管極限概念的確立意味著無窮大永遠失去了用武之地，但是微積分利用無窮小和無窮大搭建出的神奇的數學世界，就這樣悄無聲息地潛入了現實世界。在塵埃落定之後，人們驚奇地發現它與現實世界的關係竟然十分和諧。
微積分要求我們想像瞬間發生的情況，然而在極其短暫的瞬間，任何事似乎都不可能發生。古希臘哲學家芝諾提出的一個著名悖論——飛矢不動悖論，反映的就是這個問題。儘管下面的這個設想與飛矢不動悖論在文字表述上有所不同，但這是想像飛矢運動情況的最有效辦法：我們可以想像一共有兩支箭，一支飄浮在我們眼前的空中，靜止不動，而另一支箭從弓弦上射出，閃電一般從第一支箭旁邊飛過。
假設在第二支箭與第一支箭並排的一瞬間，我們凍結時間，然後研究這兩支箭。在那一刻，這兩支箭似乎一模一樣。一支箭在運動，另一支則沒有運動，但兩支箭都懸浮在空中。芝諾說，我們不能區分兩者狀態的不同，說明我們對運動和變化的理解是非常片面的。
現在，我們知道這兩支箭的物理屬性在某些方面明顯不同：那支運動的箭有慣性。儘管在時間靜止的狀態下我們無法感知這一點，但是慣性依然存在。此外，狹義相對論明確指出，物體在運動時，質量會變大。因此，如果古希臘人有能力，就可以比較兩支箭的精確質量，從而區分它們的狀態。
飛矢的這個比喻不是很好理解，但它還是說明了微積分的一個特點。儘管給人一種比較奇怪的感覺，但是微積分及其在探索自然時的應用方式都建立在現實世界的基礎之上。如果我們可以處理時間上的瞬時概念和空間位置上的無窮小變化的概念，微積分就是一種非常自然的數學方法。畢竟，它不是晦澀難懂的數學研究的產物，而是在不斷拉近視野，研究世界上事物的運動情況的過程中獲得的成果。
從某種意義上說，微積分的研究對像正是牛頓的「機械宇宙觀」。受到它的啟發，拉普拉斯設想，如果我們掌握了足夠多的信息，就可以根據過去預測未來。但在牛頓完成他的研究之前，已經有人埋下了種子，希望可以借助數學對未來進行不太確定的預測——基於機會和條件的預測。
[1] 皮埃爾–西蒙·拉普拉斯（1749—1827），法國天文學家、數學家，法國科學院院士，天體力學的主要奠基人。——譯者注