9.3.1 微分的規則
和泰朵拉一起來到車站前那家名叫「豆子」的咖啡店，我已經不知道這是第幾次了。不知不覺中，我們養成了並排坐的習慣。因為面對面的話，式子比較難閱讀。坐下來後，我們馬上就攤開了筆記本。
「現在開始討論的內容中，如果不懂三角函數的微分和多項式的微分的話，多少有些困難。難的地方我會只講一些重點，你就認為那是『微分的規則』就好了。」
「沒關係。我會加油的。」泰朵拉緊緊地握著雙手。
「假設 sin x 用如下冪級數來表示。」
「sin x 能這樣表示並不是一目瞭然的。雖然必須要嚴格地證明一下，但是現在不想深入。我們的目標是弄清無窮數列 
是一個怎樣的數列。也就是要把 sin x 這個函數分解成 
這個數列。這個就叫作函數的冪級數展開。到這裡為止，你都聽懂了嗎？」
泰朵拉認認真真地點了點頭。
「這當中，a0 的值剛剛泰朵拉使用 x = 0 找了出來。因為 sin 0 = 0， 所以以下式子成立。」
看著泰朵拉微微地點了點頭，於是我繼續說了下去。
「你還不懂微分的知識，但是現在沒有時間，所以我們暫時先不講那些微分的定義。你可以先把微分想成是單單的計算法則，把微分看作是『根據函數造出函數的一種計算』。反正不管看作什麼都行。」
「根據函數造出函數的一種計算？」
「是的。把函數 f(x) 微分掉，就能得到別的函數。我們把得到的函數叫作 f(x) 的導函數。f(x) 的導函數寫成 f\'(x)，當然也有別的寫法，但是 f\'(x) 是最經常使用的。」
「這裡我列舉幾個微分的規則。雖然這些規則根據微分的定義能夠嚴格證明，但是我們在此先往下進行下去。」
微分的規則（1） ：常數的微分等於0。
微分的規則（2）：xn 的微分等於
。
（指數下降）
微分的規則（3）：sin x的微分等於cos x。
「這些微分的規則應該是從最一開始就給定的吧？」泰朵拉問道。
「嗯，是這樣的。那麼，把這個式子的兩邊用 x 微分一下吧。」我在筆記本上寫下式子。
「微分的結果就是如下形式，這裡你應該可以理解吧？泰朵拉！」
她反覆地比較著微分的規則和上面的式子。
「嗯……左邊是微分的規則（3）對吧？把 sin x 微分掉就變成了 cos x，右邊各項使用了微分的規則（2）。」
「是的。其實本應該把微分運算符的線形性和對冪級數的適用性也證明一下的。」
「啊。但是 a0 怎麼不見了呢？」
「a0 是和 x 沒有關係的常數，所以適用微分的規則（1）——常數的微分等於 0。」
「我明白了，學長。我終於理解根據微分的規則能夠得到以下式子了。」
9.3.2 更進一步微分
「看一下下面這個式子，泰朵拉你知道 a1 的值是多少嗎？如果有 y = cos x 的圖像馬上就能知道了。」
「嘿……和剛剛的問題是相同的道理吧？ cos x = ... 的式子中，用 x = 0 代入就行了對吧？嘿……就是這樣子的。」
「根據圖像可知 cos 0 = 1，所以就得到了這個。」
「是的。」我點了點頭。
泰朵拉臉上露出了笑容。
「學長！我知道後面應該是什麼樣子的了。接下來把 cos x 微分一下吧。」
「嗯。說得對！因此，如果有 (cosx)\' 的計算法則就好辦了，也就是 cos x 的『微分的規則』。」
微分的規則（4）：cos x 的微分等於 -sin x。
「也就是要把 cos x 微分一下……」
「現在就變成這樣了。」泰朵拉臉蛋紅紅地說道。
「嗯。對的。現在要求的係數是多少呢？」我問道。
「是 a2。和平常一樣，把 x = 0 代進去。」泰朵拉急急忙忙地寫在筆記本上。
「這樣 a2 = 0 就求出來了。好像在不斷地用那個最強有力的武器啊。我好像找到感覺了。下一個『微分的規則』是什麼呢？」
「有沒有都不要緊了。」
「可是這回不得不把 -sin x 微分掉啊……啊，我知道了！這個根據 sin x 的微分就可以知道了，對吧？」
「是的。剩下的就是反覆重複。」
「反覆重複？」
「把 sin x 微分一下就變成 cos x，把 cos x 微分一下就變成了 -sin x …… 這樣就形成了『週期是 4 的反覆』。這是三角函數的微分的特徵。」
三角函數的微分
「我懂了。那麼下面試著求 a3。」
「好，求出來了，
。接下來再求 a4……」
「請稍等。這樣一個一個地把係數求出來也是可以的，但是最好整體一起考慮。」
「嗯？——啊，我會了。」
9.3.3 sin x 的泰勒展開
我們喝下已經完全冷掉的咖啡，打開筆記本新的一頁。我口頭提示她，泰朵拉自己把式子寫在筆記本上。
「現在我們要把 sin x 展開成冪級數。剛剛求出了 a0, a1, a2, a3 這 4 個係數，接下來要把係數整體一起求出來。先把 sin x 的冪級數展開式重新寫一遍。」我說道。
「是，是這個對吧？」
「嗯，是這樣的。不過把 x 寫成 x1 更好些。」
「兩邊一直微分下去。注意微分的時候不要計算係數，留下積的形式。」
「嗯？學長……不用計算嗎？」
「是。不計算。因為把積的形式保留下來容易發現『規則性』。先試著做做看吧。特別是要注意常數項。」
「好。」
「學長！找到『規則性』了。5·4·3·2·1 這種有規則的積顯現出來了！——原來如此啊，這就是『微分的規則（2）』中出現的『指數下降』的意思吧。終於搞懂了乘數變化的規則性了。」
「對對。自己動手寫一下式子，那種感覺就油然而生了。不是光用眼睛來看，用手親筆寫寫看也是非常重要的。泰朵拉。」
「還真的是那樣呢。」
「接下來，我們觀察一下導函數中 x = 0 時情況會怎麼樣。」
「好。觀察。就像小時候寫牽牛花觀察日記一樣呢。嗯……因為 sin 0 = 0，cos 0 = 1，所以……」
「找到規則了。」
「嗯。左邊的 1 寫成 +1 是不是更好一點？因為我們要求的是數列 對吧？所以把上面的式子整理一下，使 ak 都在左邊，5·4·3·2·1 寫作階乘 5!，這樣 sin x 就能展開成冪級數了。先來具體地寫一下下式的 ak 吧。」
「好，0 可以跳掉， a1, a3, a5, ... ，好，寫完了。」
「嗯。泰朵拉寫的冪級數展開，其實就叫作 sin x 的泰勒展開。」
sin x 的泰勒展開
「我正要說這是泰勒展開呢。」
「……」
「……」
「……」
「但是這個要記住的話好像挺難的，因為很複雜。」
「確實很複雜，但是仔細觀察一下，我們會發現這是理所當然的。比如，分母上的階乘 1! 3! 5! 是通過多次微分導致指數下降得到的。+ 和 - 交互出現，以及沒有 x 的偶數次方，原因就在於 0, +1, 0, -1 的反覆。自己動手導出來就不會忘掉了。」
「哈哈，原來如此。或許並不是那麼難。」
「像這樣故意不使用階乘和冪次方重新寫一遍，就會發現式子變得富有節奏了。」
「感覺很整齊，這樣寫也可以嗎？」
「當然可以啦。為了讓自己更好地理解，為了發現樂趣，嘗試各種寫法都是可以的。好像歐拉在書中也把 x2 寫成過 xx，但是在考試的時候寫成 xx 就不太好了。好了，這樣我們就能得出問題 9-1 的答案了。」
「啊，那個卡片啊，我都忘記了！答案是這樣的，對吧？」
問題 9-1
假設函數 sin x 能展開成如下所示的冪級數。這時，求數列
「數列 可以根據 k 除以 4 的餘數分類。」我說。
解答 9-1
9.3.4 極限函數的圖像
「話說回來，sin x 的泰勒展開的含義，我們再更進一步思考一下。再把 sin x 的泰勒展開寫出來。」
「嗯……可以寫那個整整齊齊的泰勒展開嗎？總感覺想寫一下。」
「喂，泰朵拉。這個式子是由無窮級數，也就是無限個項的和組成的。現在考慮一下無窮級數中有限個項的部分和。就取到 xk 項為止的有限個項的部分和吧，假設部分和的名字為 sk(x)。當然，sk(x) 也是關於 x 的函數。」
我從書包中把畫圖用的紙取出來。
「試著畫出函數 s1(x), s3(x), s5(x), s7(x), ... 的圖像，也就是 k = 1, 3, 5, 7, ... 時 y = sk(x) 的圖像。這樣就會發現這個函數在漸漸地接近 sin x 的樣子。」
我邊說邊把圖像畫了出來。
「原來如此。學長，我當時沒有理解把 sin x 用冪級數來表示的含義。通過『微分的規則』得出那些式子，這個我是理解的，不過當時我還納悶『得出這些式子又能怎麼樣呢』。但是，看了這個圖像，我明白了，當 k 變大時，sk(x) 越來越接近 sin x。正弦波不斷波出去的樣子好可愛啊。」
「是的。」
「但是，學……學長。我講得不是很好。就是說 sin x 這個東西只不過是個名字對吧？也就是僅僅是把某個函數寫成 sin x 而已。泰勒展開也只是把那個相同的函數用冪級數的形式表示出來而已。sin x 和冪級數的式子外觀不一樣，但是函數的性質是相同的。所以，變成冪級數的形式就顯得非常方便。不好意思，我總是說不好。」
「不，不，泰朵拉，你很厲害。你把本質搞懂了。想要研究函數的時候，那個函數如果能進行泰勒展開的話，就能夠在方便操作的多項式的延長線上進行研究。比如，像剛才的 sk(x) 那樣，在考慮近似的情況時就很有幫助。因為是無窮的，所以在處理的時候要多加注意。但是冪級數的形式是非常方便的。這麼說來，在解斐波那契數列和卡塔蘭數時使用的生成函數也是冪級數的形式。」
「我在學校聽老師講課的時候，儘是注意些細節的地方，結果主幹的內容反而不懂了。為什麼做，在做什麼，我大腦全混亂了。但是，聽學長的話時完全相反。細小的地方——日後自己也能搞懂的地方都能略過去，為了什麼而幹什麼，思路都搞得清清楚楚的。」
「不，不是那樣。泰朵拉的理解能力……」
「就是那樣的！」
泰朵拉搪住了我的話。
「是那樣的。學長。比如今天，我對於微分完全不懂，冪級數和泰勒展開這些詞語，我也是有生以來第一次聽說。但是，我搞懂了。如果使用泰勒展開的話，就能夠像玩弄多項式一樣研究函數。雖然讓我自己一個人來做的話肯定是不行的，但是我現在知道要把複雜的函數問題轉化為無限次多項式——冪級數——xk 的無限和這樣的方法了。」
泰朵拉把拳頭在胸前握得緊緊的。
「我想，今天從學長這裡學的泰勒展開我是不會忘記的。我抓住了一種思考問題的方法——當要研究函數時就要想到『試一試泰勒展開如何』，這都多虧了學長您吶！」
她的視線突然從我的臉上轉移開，落到了桌子上畫著圖像的那張紙上。不知道為什麼她的臉頰變得紅彤彤的。
「但是……但是……佔用了學長您這麼多寶貴的時間，真是對不起。我真的是非常愛聽學長的話。學長，我……」
泰朵拉抬起頭，一動不動地看著我說道。
「學長教我的泰勒展開，我一生都不會忘記。」