晚上。
我在自己的房間打開筆記本，開始思考米爾嘉給我佈置的問題。
問題是在離散函數的世界裡尋找與對數函數 
相對應的函數。
以前，在尋找指數函數的時候，是利用 
和 
相對應的關係把問題解決的。微分方程式和差分方程式是相對應的。
這次也從與對數函數 
相對應的微分方程式開始做起吧。
求對數函數 的微分的方法我在書上看到過。
將「微分後得 
」這一性質考慮成對數函數滿足的微分方程式看看。因為 還可以寫成 
的形式，所以我們也可以說「微分後得 」。米爾嘉過去將微分的運算符號用 d 來表示，我現在也這麼用，那麼就可以得到以下式子。
對數函數滿足的微分方程式
從這裡開始推，與 相對應的離散函數世界中的函數 L(x) 就可以考慮成是滿足如下差分方程式的式子。一般來說，可以使用下降階乘冪 
次方來代替 -1 次方。
函數 L(x) 滿足的差分方程式
但是，過去和米爾嘉討論的時候，我們只考慮了在 n 大於 0 的範圍內的下降階乘冪 
，如下所示。
下降階乘冪的定義（n 為正整數）
也就是說，必須考慮當 n 小於等於 0 的時候將 定義成什麼比較妥當。
當 n = 4, 3, 2, 1 的時候， 分別如下。
仔細觀察以上式子，我們可以得到以下結論。
將
除以（x - 3）我們可以得到 
。 將
除以（x - 2）我們可以得到 
。 將
除以（x - 1）我們可以得到 
。
如果繼續延伸下去，我們還可以得到以下結論。
將
除以（x - 0）我們可以得到 
。 將
除以（x + 1）我們可以得到 
。 將
除以（x + 2）我們可以得到 
。 將
除以（x + 3）我們可以得到 
。
換句話說，我們可以得到以下結論。
下降階乘冪的定義（ n 為整數）
好了，我們再回到對數函數上，目標是解出以下這個差分方程式。
首先來看左邊，根據 △ 的定義，可以得到 
。
再來看右邊，根據 的定義，可以得到 
。所以差分方程式就可以變為以下形式。
L(x) 的差分方程式
接下來如果能求出 L(x) 就好了。咦？怎麼回事呀？
和我之前和泰朵拉說過的式子不是正好一樣嗎？嗯，就是這個式子。
調和數 Hn 的推導公式
L(x) 的差分方程式和調和數 Hn 的推導公式相同！如果是這樣的話，我們將 L(1) 定義為 1。這樣一來，就可以得到以下非常簡單的關係式了。
如果使用調和數 Hn 這個表示方法的話，我們可以得到以下式子。
x 為正整數
到此為止，我們可以解出問題 8-3 了。
解答 8-3
所以，我們可以得到以下對應關係。
對數函數和調和數的關係
但是，不知道怎麼的一下子就是想出不來啊。對數函數原來和調和數是如此緊密地聯繫在一起的啊！
稍微等一下。在說「微分和差分」的時候，米爾嘉最後提到了「積分與和分」。「連續函數的世界」與「離散函數的世界」是兩個世界。微分、差分、積分、和分是四種運算……好吧，我用圖示來整理一下。
兩個世界、四種運算
嗯，我歸納得很不錯啊。在這個圖中，我可以將「調和數」寫在右下方的「和分 
」的位置。也就是說，當它回到連續函數的世界中時……啊，對了！ 進行微分後可得 的話，也就是說將 積分後就可以得到 了。因為寫成了 ，所以我一下子沒想出來。如果寫成 
的話就好了。
對數函數和調和數的關係
這樣一來就可以接受了。
連續函數世界中的積分用 dt 來表示是可以的吧。那麼，離散函數世界中的積分就有必要表示成 δk 吧。啊，假設 δk 為 1 的話，就可以前後相呼應了。
嗯，很完美地總結了出來。數學公式真是讓人神清氣爽啊！
「你的弱點是不肯畫圖。」
嗚嗚，被米爾嘉這樣直白地指出自己的弱點，真是難過啊！比被人踩了一腳還疼。
好吧，就照米爾嘉所說的，我來畫圖看看。我把表示積分與和分的面積的圖都畫出來就可以了吧。
啊，「連續函數的世界」與「離散函數的世界」之間的對應關係從圖像上看果然是一目瞭然。真是讓我大吃一驚啊！