如果世界上只有兩個人的話，人類的煩惱一定會大大減少。正因為人口過多，人和人之間一比較就會情緒低落，就會互相爭鬥。比如說，如果像亞當和夏娃那樣只有兩個人的話，那麼就不會產生什麼爭執。不，即使只有亞當和夏娃兩人，不也產生了爭執嗎？但是當時還有蛇呢。如果真的只有那兩個人的話，也許就不會產生問題了吧。不，還是有可能會產生問題的。而且，即使最初只有兩個人，但這兩個人遲早會生出孩子，人口會增加的。這樣一來，也可能會產生煩惱。
米爾嘉問：「你在想什麼呢？」
我回答道：「我在想如果世界上只有兩個人的話會怎麼樣。」
「嗯，這樣啊，你打開著筆記本在想這個？那麼，我們來說說『如果世界上只有兩個質數』的話題吧。」米爾嘉像往常一樣，拿過我的筆記本，寫起了數學公式。
8.9.1 卷積
「我們按照順序來說吧。首先，我們考慮一下下列積的形式。」米爾嘉說。我沉默著聽她說。
「這個乘積朝著正的無窮大發散，所以可以稱為形式上的積。但是，我們把開頭的幾項展開看看。」
「根據指數的和進行分組後可以清楚地得到以下形式。」
「也就是說，可以用以下二重和的形式來表示。」
我看著式子的展開，點了點頭說：「米爾嘉，這個是卷積吧。外側的 
中 n 由 0, 1, 2 開始一點點增加。然後，在內側的 
中，列舉出分別與這些數字相對應的 2 和 3 的指數和為 n 的數字。也就是說，用 2 和 3 來劃分指數。」
「用 2 和 3 來劃分指數嗎？——哦，確實可以這麼說呢。那麼，只含有質因數 2 或 3 的正整數一定會在這個和的形式的某個地方出現吧。為什麼這麼說呢？這是因為 2 和 3 的指數中，大於等於 0 的整數的任意組合一定會出現一次的。」米爾嘉說。
我回答說：「哦，原來如此，確實如此。」
「雖說是只含有質因數 2 或 3，但也包含 1 這個數哦。」她補充道。
8.9.2 收斂的等比數列
米爾嘉繼續說道：「接下來，我們來考慮以下無窮級數的乘積。我們先把它取名為 Q2 吧。」
「剛才是朝正的無窮大發散的數字的乘積，這次不同了。為什麼這麼說呢？這是因為 Q2 的兩個因式的無窮級數是收斂的等比數列。用等比數列的公式來計算兩個因式，Q2 就變成了『積的形式』了。」米爾嘉說。
她又接著說：「接下來，我們將 Q2 從頭開始展開看看，這樣就能將 Q2 變化成『和的形式』了，這樣一來，分母中就出現了剛才的 
的形式。」
「好了，我們用兩種方法求得了 Q2。所以，以下等式成立。」米爾嘉說。
我說：「左邊是積，右邊是和吧。」
8.9.3 質因數分解的唯一分解定理
「那麼在此我們假設『世界上只有 2 和 3 這兩個質數』看看。這樣一來，所有的正整數一定會在 
的分母 中出現一次。」米爾嘉說。
「嗯？米爾嘉，不是所有的整數都可以用 的形式來表示的啊。加上 1 這個數字，只有含有 2 或者 3 這兩個質因數的正整數吧。比如說 5、7、10 之類的數字就不能用此形式表示吧。」我反駁道。
「所以，我先假設了『世界上只有 2 和 3 這兩個質數』啊。如果世界上只有 2 和 3 這兩個質數的話，就沒有 5、7、10 之類的整數了。你還不明白我想說什麼嗎？」
「米爾嘉，你想說的是 質因數分解的唯一分解定理吧。因為『比 1 大的所有整數都可以用質數的乘積形式來表示』，所以你想說『如果世界上只有 2 和 3 這兩個質數的話，就沒有 5 和 7 之類的整數吧』。不過，『世界上只有兩個質數』的話題就不要討論了吧，事實上也不可能這樣啊。」
「明白了。既然你這麼說，那就不要討論了。正因為只有兩個質數，所以不可能。也對，因為只有兩個質數這件事本身就不可能吧。那麼，我們這樣，假設世界上的質數只有 m 個。」米爾嘉淺淺地笑著說。
「不行，我都說了不行了。無論是 2 個還是 m 個，這不是一樣的嗎？如果做這樣的假設的話，就把質數認定為有限個了啊。」真不知道米爾嘉到底在說什麼。
「我就是假設『質數有有限個』啊，你還沒有發現嗎？」米爾嘉說。
看著她的表情，我突然明白了。
「是反證法吧！」
8.9.4 質數無限性的證明
反證法是證明的基本方法。如果用一句話來概括反證法的話，就是『先寫出要證明的命題的否命題，然後找出矛盾』。但是，想寫出自己要證明的命題的否命題真是一種比較難的方法，不擅長此方法的人很多。
反證法
「那麼我們就用反證法來證明一下質數的個數有無限個這個命題。」米爾嘉就這樣宣戰了，她攤開雙手，就好像是要開始做手術的外科醫生一樣。
「對了，米爾嘉，要證明質數的無限性是不是用歐幾里得的證明方法呢？假設質數的個數為有限個，那麼所有的質數相乘後加上 1 的數也應該為質數……」我還沒說話，米爾嘉在我面前擺擺手，示意我停下。
「假設質數的個數為有限個。」米爾嘉斬釘截鐵地繼續說道，「假設質數的個數有 m 個，這樣一來，將所有的質數按照從小到大的順序排列，表示成
最初的三個數為 p1=2, p2=3, p3=5。於是，我們可以思考一下無限和的有限積 Qm。」
「也就是說，我們將剛才 Q2 中只有 2 個質數轉變為了有 m 個質數。因為 m 是個有限數，所以 Qm 也應該是個有限數。」米爾嘉補充道。
我邊看著式子邊思考。
「哈哈，原來如此。也是哦。因為質數 pk 是大於等於 2 的數字，所以等比數列 
收斂成 
。也就是說，是個有限的數值吧。」
「嗯，對，然後呢，從這裡開始才比較有意思哦……」米爾嘉一邊這麼說著，一邊吐出小舌頭慢慢地舔了舔上嘴唇。
然後她繼續說：「我們用剛才計算只有 2 和 3 兩個質數時的方法來算有 m 個質數的情況。也就是說，先在腦海中放入有限個這個概念，然後再具體展開。如果照你的話來說，這次就不是用兩個數來『劃分』指數，而是用 m 個數來『劃分』。」
米爾嘉說：「可以變成這樣的形式。」
「嗯……最後這個式子的意思我不太明白。尤其是內側的 
上什麼都沒有寫。」我說。
「雖然那個 
上什麼都沒有寫，但是只要滿足 
這個條件，取關於 
的總和就可以了。」米爾嘉說。
「這就是你所說的『指數和為 n 的所有組合』吧，米爾嘉。」我說。
「嗯，對的。也就是說這個 Qm 是 
這一形式的各項的總和哦。
質數 pk 的指數用 rk 來表示，指數和為 n 的所有組合就是取 的和。那麼，我們來關注一下分母，也就是『質數的乘積』部分。就是這樣的吧。」她說。
「接下來，根據反證法的假設，我們可以知道世界上只有 m 個質數。根據質因數分解的唯一分解定理，我們可以知道所有的正整數都可以質因數分解為 
這種唯一的形式。也就是說，Qm 展開後各項的 的分母中，所有的正整數一定會出現一次。」米爾嘉說。
「嗯……這和剛才討論的只有 2 和 3 兩個質數時的情況是相同的。」我說。
「分母中『所有的正整數一定會出現一次』的說法無非就是要說明以下式子成立的意思。」
「啊！」我突然發現是調和級數。
「你好像發現了吧。」米爾嘉說。
「Qm 照理應該是有限個，但如果是這樣的話它就會發散下去。」我說。
「正是如此。利用收斂的無限等比數列，我們已經證明 Qm 為有限值了。」米爾嘉說個不停。
（有限值）
「對了，接下來就把 Qm 與調和級數 
之間劃上等號。」
（調和級數）
「也就是說，可以寫成以下這個等式關係。」
「從質數的個數是有限個這一假設可以得出等式左邊是『有限值』，而等式右邊因為是調和級數，所以『朝正的無窮大發散』。左右兩邊是互相矛盾的。」米爾嘉說。
我驚訝得說不出話來。
「這樣我們就從『質數的個數是有限個』這一假設上找出了矛盾，所以假設不成立，它的否命題，也就是『質數的個數有無限個』是成立的。Quod Erat Demonstrandum，證明結束。」米爾嘉突然豎起手指宣佈說，「好了，到這裡我們的工作就告一段落了。」
將調和級數的發散性和質數的無限性聯繫起來，這種解法真是讓我大吃一驚。這真是個寶貝啊！
「這是從我們的老師那裡套用的證明方法哦。」她說。
「我們的老師？」我不解。
「是 18 世紀最偉大的數學家——歐拉啊。」她目不轉睛地看著我答道。
調和級數和質數的無限性
