今天是圖書室整理圖書的日子，所以不能去圖書室自修。於是，我和泰朵拉決定去教學輔樓的休息室「神樂」繼續計算。我們佔了角落裡的位子。
「打擾了。」泰朵拉朝我恭敬地鞠了一躬，坐到了我身邊。她來晚了一會兒，但身上的香味依舊。不知什麼地方有人在練習著長笛的二重奏。
我沉默著開始寫起了數學公式，是昨天問題的解答。
問題 8-1
如果將實數的集合用
來表示，正整數的集合用
來表示，那麼下面的式子是否成立呢？
泰朵拉在旁邊看我寫。
「好，先到這裡，我們歇口氣。算到中途要變形成不等式，這個你知道吧。為了方便一般化的變形，不用算到最後，算到 
即可。現在我們只是考慮了 H8 的結果，如果計算 H1, H2, H4, H8, H16, ... ，就會是這樣哦。」
「將它們進行一般化變形並不難。假設 m 是大於等於 0 的整數，以下式子成立。」
「但是，這個是不等式吧。如果不是等式的話，就無法準確地求出 
的值吧。」泰朵拉問道。
「我們現在的目的不是準確求出 的值，而是弄清 究竟可以變 大到什麼程度。上式中的 m 如果很大的話，情況會變得如何呢？你想想看。」
突然，泰朵拉興奮地說：「啊！我知道了，我知道了！會一直無限變大下去！如果 m 變大的話，
會一直無限變大下去！所以，嗯，考慮到不等號的因素，如果 m 無限變大的話，那麼 也會一直無限變大下去！」
「嗯，不要激動。我們從問題這裡出發一步一步做做看。思考一下當我們得到 M 的時候能夠使 
成立的 n 是什麼。」我說。
「嗯，我已經知道了。對於無論多大的數 M，將 m 擴大到很大的話，就能夠找到使
成立的 m。比如，只要取 m 為大於等於 2M 的整數就可以了。如果找到了 m 的話，接下來就可以求 n = 2m 了。也就是說，利用 m 來求 n，這個 n 也就是所要求的 n。」她說。
「是啊，所以昨天問題 8-1 的解答是……」
解答 8-1
如果將實數的集合用
「這樣啊，用不等式表示是可以的嘍。即使不求出準確的數值，也可以從小的數值開始逼近準確值……」泰朵拉像在做排球的托球姿勢那樣舉起雙手說。
「嗯，這樣我們就找到了一塊寶物。
可以無限變大下去。」我說。
「真是不可思議啊，學長。有了 
這個逐漸變大的數字，一下子就可以推出 的數值。為了逼近準確的數值我們使用了不等式。雖然到此為止沒有什麼問題……可是這個式子加上的是逐漸變小的 
，但是總和 卻可以無限變大下去，真是不可思議啊。」泰朵拉不住地點頭。
「嗯，我們將『無限變大下去』這一說法用數學公式來表示看看。這裡，為了簡單起見，我們將所有項都設為是大於 0 的數列。」我邊說邊在筆記本上寫了起來。
「所有項都是大於 0 的數列就可以表示成 ak > 0 (k = 1, 2, 3, ... )，對於部分和 
，如果
成立的話， 中的 n 趨向於無窮大， 稱為向正的無窮大發散。這就是定義。然後將它表示為
的時候正好符合問題 8-1。現在如果定義『向正的無窮大發散』這句話的話，可以表示為這樣。」我說。
「無窮級數 
向正的無窮大發散。」
泰朵拉一直盯著我的筆記本，認真地思考著，說：「無論是什麼正數，只要無限往上加，總會變得很大很大吧，這應該就是所謂的無窮大吧？」
「嗯？剛才你說了很奇怪的理論哦。那麼，接下來的題目怎麼樣呢？」我問。
問題 8-2
如果將實數的集合用
，那麼下面的式子成立嗎？
「嗯，我認為能夠成立。但是……將很多個 ak 這個正數相加的話，也就是說將 n 擴大，那麼和就會變大吧。然後，總有一天和 要比 M 大。」泰朵拉答道。
「嗯，我理解你的心思，但你過分誇大了無窮大的作用。雖然我這種說法本身也很奇怪。」
「嗯？會有無論加上多少個正數都不會比 M 大的情況嗎？」泰朵拉問。
「當然囉。比如，數列 ak 的通項公式為
的時候將會怎麼樣呢？」我提示道。
「嗯？」泰朵拉不太明白。
我解釋道：「這種情況下，對於所有的正整數 k 來說，ak ＞ 0 都成立。但是， 並不能變得這麼大，因為……」
這就是 ak 的定義式。接下來，我們把 
具體展開。
接下來，為了運算方便，我們先加上一個 
，然後再把它減去。
這樣一來就可以利用等比數列的求和公式了。
如果去除分子部分的 
的話，我們可以得到以下不等式。
接下來就只剩計算了。
「嗯，不好意思……最後的計算，
的計算結果不是 2 吧？」泰朵拉問。
「嗯？——啊，是真的呢，最後計算結果是 1。最終下面這個式子應該成立吧。」
「也就是說式子 
中無論 n 有多大，都不可能比 1 大。無論相加多少，由於 
迅速趨向於 0，所以總和都不會比 1 還要大。如果 M < 1 的話，n 雖然是存在的，但是如果 M ≥ 1 的話，這樣的 n 就不存在了。所以把 
作為題目的反例，問題 8-2 就迎刃而解了。」我說。
問題 8-2
如果將實數的集合用
「原來如此。當 n 變大的時候，有兩種情況吧，一種是部分和也無限變大下去，另一種是部分和不無限變大下去。對了，學長也有計算失誤的時候呀。」泰朵拉說。
「我當然也有錯誤的時候啊。不過，剛才的計算錯誤並不影響證明的過程。」我說。
泰朵拉不放過我剛才的錯誤，模仿著我的口氣說：「但是，不仔細確認那可不行哦。您是這麼說過的吧，學長。」
一瞬間，空氣凝固了，我和她互相看了一眼，笑出聲來。