第二天放學後，圖書室裡人很少。
「怎麼樣？」我問道。
泰朵拉一臉哭相，攤開了筆記本。筆記本上只寫著一行數學公式。
「學長……看來我數學確實很爛。」她說。
「沒有沒有，你抓住了原式所要表達的意思啊。這個式子並沒有錯哦。」我鼓勵她。
「可是學長，我完全不知道該從何開始做起，雖然我想從中發現一些有趣的東西……」她洩氣地說。
「這種無限持續下去的式子總讓人有種已經掌握了的感覺，但真要認真分析時，又覺得非常困難。泰朵拉，你的挑戰精神真的很令人佩服哦。接下來的步驟我們一起來完成吧。」
「啊，不好意思哦，又要浪費您寶貴的時間了。」她充滿歉意地說。
「沒有，沒關係的。我們一點點做吧。」
8.2.1 部分和與無窮級數
「我們先來看看題目中的式子 
，這個式子中難以理解的是 ∞ 這部分吧。」我說。
「嗯，無窮大的數字是……」泰朵拉說。
「∞ 不是『數字』，至少一般它不作為數字來用。比如，實數中就不包括 ∞。」我說。
「啊，是嗎？」她不敢相信。
「是啊。一看到 這個式子，人們就會覺得這個是『k 由 1 變化 到無窮大，然後將這些 
相加起來的和』。但是，尋找無窮大的數到底在哪裡，然後把 k 給算出來的方法是不正確的。無窮級數 是 
部分和的極限，可以定義為以下的式子。」
「不好意思，lim 是什麼呢？」她問。
「是 limit，也就是指極限。如果用數學上的定義來解釋的話，可能一時半會兒解釋不完，那現在我就簡單說說。假設有數列 
這個式子就表示當 n 非常大的時候 an 的值到底是什麼。將 n 增大的時候，an 可能會變得越來越大，也可能會一會兒變大一會兒變小，還可能會變得趨向於某一個定值。而 
這個式子就可以定義成 an 趨向的那個定值。也就是說， 這個數學式表示了 an 所到達的『最終目的地』。確定到達的最終目的地稱為收斂。」我答道。
「嗯……真是好難啊。但是關於 n 變得很大很大的時候 an 到底會怎樣，這一點我倒是聽懂了……」她說。
「嗯，是挺難的。也難怪，用日常生活中的語言來表示確實很難，我們還是用數學公式來表示吧。首先，我們先將『最終目的地是被定義出來的東西』這一點牢記在心。雖說是被定義出來的東西，但也並不一定是靠直覺就能理解的。我們不應該直接求無窮級數的數字，而應該考慮部分和之後再思考從 n 變到無窮大的極限，這才是正確的方法。」
「對……對不起。我不太明白無窮級數和部分和的區別……」她打斷我的話問道。
「這就是無窮級數，也可以稱為級數。」
（使用了 k 的式子）
「而這個就是部分和。」
（使用了 k 的式子）
「你能發現它們的區別嗎？」我問她。
「嗯，一個是 ∞，一個是 n。但是，因為 n 是個變量，而 ∞ 也是吧，這樣一來不就是相同了嗎？」她疑惑不解。
「不是啊，這可有很大的不同。的確，n 雖然是個變量，但它表示有限大的數字。而 ∞ 不是數字，不能代入 n。將 n 理解為是有限大的數字，就意味著 
中有有限個項。也就是說，計算結果肯定是能夠求得的。但是，像 
這樣有無限個項相加的式子的話，就不一定能求得計算結果了。剛才我稍稍提到過『變得越來越大』和『一會兒變大一會兒變小』等狀況，那種情況下要到達的最終目的地是無法確定的吧。不確定的數值是不能被當作數字來處理的。不能確定要到達的最終目的地稱為發散。所以在處理無限個項的時候，會碰到這種比較危險的狀況。」
「是的……我知道了，我們在處理無限時要格外小心。是叫發散吧，一旦和無限有牽連，即使寫出了數學公式也可能無法確定具體數值吧。」泰朵拉說。
「接下來是寫法上需要注意的地方。下面兩個式子中出現了省略號（...），表示無限的 ... 是式（1）和式（2）中的哪個呢？」我問道。
「表示無限的 ... 是不是第（2）個式子呢？」泰朵拉不確定地問。
「正 是。式（1）
中出現的 ... 並不是表示無限的 ...。這裡只是因為地方不夠寫不下了，才用 ... 來表示的。這個式子只表示有限個項，必定有一個確定的數值，這並不可怕。但是 式（2）
中出現的 ... 表示無限。這個式子中隱藏著 lim，也就暗示著『有可能會有不確定的數值』。有限項的 ... 和無限項的 ... 意思完全不相同，可要注意了哦。」我提醒道。
「原來即使看上去相同的 ... 意思也不同啊！」泰朵拉感歎道。
8.2.2 從理所當然的地方開始
「啊呀，我們又陷入無限這個話題了。在求無窮級數之前，首先必須習慣計算有限項的和。為了習慣 
，我們把 n 為 1, 2, 3, 4, 5 的情況分別代入式子計算一下看看。」我說。
我又說道：「那麼接下來我們研究一下部分和吧。首先，要求 的值，n 的值是關鍵，所以就要先關注 n 為何值。比如用 Hn 來表示也可以，這就是 Hn 的定義式了。」
（Hn 的定義式）
「啊，等……等一下。我不太明 白『n 的值是關鍵』這一點。」泰朵拉打斷我說。
「嗯，像你這樣有不懂的地方就問出來是很好的習慣噢。『n 的值是關鍵』就是說，只要確定了 n 的具體數值，比如 5 或 1000，那麼 這個式子的數值也就能確定了。所以，以 n 為下標，可以寫出 Hn 這個式子。這樣一來，我們就可以將式子寫成 H5 或者 H1000 了，也就等於給它們命了名字。」
「那為什麼要以 H 來命名呢？」她不解。
「因為卡片上寫著 
，所以我將其部分和寫成了 Hn。」我解釋道。
「啊，原來是這樣。對了，寫成 Hn 的話，雖然剩下了 n，但是 k 為什麼消失了呢？」她問道。
「 中的 k 只是在 Σ 的過程中起作用的變量，這從外邊是看不出來的。像 k 這樣的變量稱為約束變量，也就是被約束在 Σ 的過程中的意思。其實也未必需要將這個變量取名為 k，隨便取個自己喜歡的字母就可以了。i, j, k, l, m, n 等也是經常被使用的。但是 i 也用來表示虛數 
，所以為了不使人混淆，還是避免取名為 i。另外，本來將約束變量取名為 n 也是可以的，但是在這裡不可以，因為 n 在這裡代表別的意思。如果將 寫成 
的話，式子的意思就變得很奇怪了。」
「嗯，我明白了。不好意思，我剛才打斷了您的話。」她表示歉意。
「沒關係的。有什麼不懂的地方就問，那很好啊。」說著，我們倆都笑了。
8.2.3 命題
「那麼，我們來列舉一下根據 
所能得到的信息。正所謂『舉例是理解的試金石』嘛！下面的這種說法是正確的嗎？」我問道。
如果 n = 1，則 Hn = 1。
「嗯，正確啊。因為 H1 等於 1，但是這不是理所當然的嗎？——噢，我知道了，『我們要從理所當然的地方開始思考問題』。」泰朵拉說。
「對啊對啊，你記得很牢嘛。那麼，下面的這種說法是否成立呢？」我又問。
對於所有的正整數 n，Hn 都大於 0。
「嗯，成立啊。」她答道。
「像這樣可以判斷是否成立的數學論題就稱為命題。命題可以用文字表述，也可以用數學公式來表示。那麼，下面這個命題是否成立呢？」我問。
對於所有的正整數 n，當 n 增大時，Hn 也隨之增大。
「嗯……是成立的吧。n 逐漸增大就意味著加上去的數字越來越多吧。」她答道。
「對對對，如果正數相加的話就會變大吧。『當 n 增大時，Hn 也隨之增大』這個命題用數學公式來表示的話也是可以的。用數學式子表示會顯得更嚴密。」我說。
對於所有的正整數 n，Hn n + 1。
「的確，這個命題是成立的。但是，比起『當 n 增大時，Hn 也隨之增大』，『
』這種說法更加嚴密。嚴密……嗯。」泰朵拉陷入了沉思。
在泰朵拉思考的時候，我一直默默地等著。
「啊，我明白了。這就是『增大』這個動作性的表現方式與使用不等號來表示『大』這個敘述性的表現方式的差別吧。就好比英語中一般動詞和 be 動詞的差別。」她說道。
「啊？」聽了泰朵拉的話，我有點吃驚。「增大」和「大」的區別？「一般動詞」和「be 動詞」的區別？——啊，原來如此，可能確實是這樣。曾幾何時，村木老師也說過這樣的話。就像觀察數列的變化情況和通過關係式把握數列的各項間的關係……
「學長，您怎麼了？」泰朵拉問。
「沒什麼，聽你這麼一說，我剛才在想，原來還有你這樣的想法啊。其實我只是想說『比起日常生活中的語言，用數學式子來表示顯得更嚴密』罷了。話雖如此，泰朵拉你究竟是什麼人呀？」我說道。
「啊？什麼意思？」泰朵拉突然睜大眼睛，歪了歪腦袋。
「沒什麼。我們繼續往下看。下面這個命題是否成立呢？」我問。
對於所有的正整數 n，
成立。（？）
「嗯，成立。因為我們將 Hn 定義為分數的和，所以前後兩個數字相減結果得到分數也是理所當然的。」
「很可惜，這次錯了。 這個式子不成立。右邊的分母不正確。分母不該是 n，如果是 n + 1 的話就成立了。」
對於所有的正整數 n，
成立。
「咦？奇怪了。啊，這樣啊。學長，您給我陷阱讓我跳，真過分啊。」泰朵拉嘀嘀咕咕地抱怨。
「對不起對不起。但是，你不仔細確認就下結論，這樣可不行哦。」我說道。
「雖說如此……」她不滿地撅起了小嘴。
「對了，
應該是什麼，這個從 Hn 的定義式中就能求出來了。你做做看。」我說。
「好的，嗯……」泰朵拉開始算起來。
這就是 Hn 的定義式。接下來將 具體展開。
好了，完成了。接下來再將各項的順序調整一下。
這下好了吧，學長。
「嗯，做得不錯。泰朵拉你從中發現了什麼命題嗎？」我問道。
「嗯……因為出現了 ，那麼這個命題怎麼樣呢？」她邊思考邊寫下。
對於所有的正整數 n，當 n 增大時， 的值變小。
「厲害厲害。不錯，如果用數學式子來表示的話是什麼樣呢？」我問道。
「是這樣吧。」她說。
對於所有的正整數 n，
成立。
「正是如此。非常好。」我讚許道。
「
，相加下去的數字在逐漸『變小』，這裡就是用『小』這個數學公式來表現這種『變小』的情況的吧。」她補充道。
8.2.4 對於所有的……
「泰朵拉，像這樣把數學公式寫出來可是很重要的哦。即使是理所當然的內容也沒關係，先把它們都寫下來看看。這就是練習使用數學公式來表達的好方法噢。」我說。
「嗯。我想起來了，學長以前也說過『要把數學公式像揉捏黏土一樣玩弄』。」泰朵拉一邊說著「玩弄」，一邊用手擺弄起揉捏黏土的動作，「啊……但是『對於所有正整數 n』這部分不是數學公式吧？」她又問道。
「嗯，不是。但是如果將正整數的集合用 
來表示的話，就可以用這樣的數學公式來表達。」
「這個數學公式怎麼讀啊？」她問。
「『
』可以讀作『For all n in ... 』，翻譯過來就是『對於 所有的正整數 n 都……』或者『對於任意正整數 n 都……』吧。
就是將 All 這個單詞中的 A 倒過來寫。」我答道。
「 和普通的 N 有所不同吧。」她說。
「確實不一樣。如果寫成 N 的話，給人的感覺像是普通的數字。而寫成 就是為了表示『這不是數字，而是集合』。」我說。
「∈ 這個符號又表示什麼呢？」泰朵拉問。
「∈ 這個符號其實是利用了元素 ∈ 集合這個形式，表示『這是集合中的元素』。寫成 這個形式的話，就表示『無論從集合 中選擇哪個元素 n 都……』的意思。」我回答。
「就是說無論選擇哪個數字都可以吧！學長，不知道為什麼，我覺得這像是在用數學語言寫作文似的。這不叫英語作文，叫數學作文吧？」泰朵拉笑著說。
「數學作文……確實，數學也有這一方面的功能吧。用數學公式來表示的話，經常能大大精簡語言。所以，在解讀寫有數學公式的地方時，我們還是慢慢地來比較好。」我說。
「數學公式就像濃縮果汁一樣吧。一口氣喝下不妥吧？」她問。
「好了，我們把數學式子 Hn 一個一個地寫出來看看。」
「按順序觀察這些式子，我們來關注一下變量，也就是 這部分。」我說。
「就像這樣， 的數值在逐漸變小。正如泰朵拉你剛才所說的那樣。」我說。
「嗯。」泰朵拉應聲道。
「雖然 H1, H2, H3, H4, H5, ... 這些數本身是逐漸增大的，但是它們『增大的部分』，也就是『增加的數量』是逐漸變小的。漸漸地，這些數字就只是增大一點點，於是……」
我還沒說完，泰朵拉就搶著說道：「啊，請等一下。那個『增加的數量逐漸變小』這個說法就可以用我剛才所寫的數學公式來表示吧。嗯……就是這個。」
對於所有的正整數 n， 成立。
「對對，正是如此。增加的數量逐漸變小這一說法有點模稜兩可，如果像這樣用數學公式來表達的話，意思就清晰明朗了。也就是說，讓人更容易理解了。也有人可能會認為數學公式很複雜，讓人難以理解，但是如果不用數學公式來表達，反而變得讓人更加難以理解。數學公式就是語言。如果能夠很好地利用的話，不僅能幫助自己理解，還能幫助自己把自己想說的話表達出來。」我說。
「嗯。那麼，我們將現在的命題用數學公式來寫寫看……這樣可以嗎？」她問道。
「嗯，很不錯哦。正是如此。」我讚許她道。
聽了我的讚美，泰朵拉看上去很高興。
8.2.5 存在……
「好了，我們逐漸可以看出問題了。這是最初的寶藏。」我說。
「什麼呢？」泰朵拉不解。
「到目前為止，我們把 Hn 定義為 。如果 n 逐漸變大的話，那麼 Hn/sub> 本身也逐漸增大。但是，Hn 增加的數量卻在逐漸變小。那麼，只要 n 不斷增大的話，Hn 就會一直增大下去嗎？還是說，即使 n 變得很大很大，Hn 也不會比某一個特定數字大？」我提問道。
「這個問題也就是說，下面的式子是一直增大下去呢，還是大到一定程度就停止了呢。對吧？」泰朵拉用手撐著頭，問道。
「嗯，是的。從那張紙片中可以非常自然地想到這個問題。也就是說，我們要研究它是發散還是收斂。我們用數學公式來表達。」
問題 8-1
如果將實數的集合用
來表示，正整數的集合用
「這是日語片假名嗎？」泰朵拉指著式子中的一個符號問。
「不是哦，∃ 是把 Exists 中的 E 倒過來寫的符號。」我回答說。
「是表示『存在』的意思嗎？也就表示『For all M in , n exists in ... 』的意思吧？」泰朵拉說道。
「泰朵拉你英語發音真標準啊。既可以說是『n exists』，也可以說是『there exists n』。再補充上 such that 的話，更容易讓人理解。」
For all M in , there exists n in such that 
.
「學長，如果用語言來表達的話該怎麼說呢？」泰朵拉問我。
「如果一定要用語言來表達的話，可以這樣說。」我回答。
對於任意實數 M，存在正整數 n 使式子 成立。
「雖然很複雜……但不管怎麼樣，我還是明白了。」泰朵拉說。
「下面（a）和（b）兩個數學公式表達的是兩種完全不同的意思，你知道嗎？」我在筆記本上寫下兩個數學公式。
「這兩個式子有點長，為了讓你更容易理解，我加上括號給你看看吧。」我邊說邊加上括號和解說。
「如果用英語來表示的話……」我又接著寫道。
For all M in , there exists n in such that . (a)There exists n in , such that for all M in . (b)
泰朵拉口中輕輕反覆念著這段英語，考慮了片刻。
「我覺得自己應該是明白了。順序很重要。式（a）是先決定 M，然後再探尋 n。在探尋 n 的時候，M 是不變的。但是，式（b）是先決定 n，然後再根據 n 來探尋所有的 M 吧？」泰朵拉說。
「嗯，對哦。式（a）是先選擇 M 然後再尋找 n，主張對於所有的 M 都能找到相對應的 n。每選一個 M，n 都可以有所改變。但是式（b）是首先尋找 n。這個 n 究竟是一個什麼樣的數字呢？它是關於所有的實數 M 都能使不等式成立的偉大的 n。在式（b）中，選擇 M 的時候 n 不變。這次例題 8-1 的主張是式（a），能理解嗎？」我說。
「嗯，勉強能懂。」泰朵拉說。
「式（a）和式（b）意思上的不同是很難用語言來表達的。但是，如果用數學公式來表達的話，卻非常清楚明朗。——當然也要在你正確解讀的基礎上。」我說道。
「的確，如果用語言來描述它們的區別的話太難了。對了，這個不等式中出現的 M 原本應該是什麼呢？」泰朵拉問。
「泰朵拉，那你認為是什麼呢？」我反問道。
「嗯……噢，這個數字是不是很大啊？」她問。
「嗯，是這種感覺吧。與其說是『一直變大下去』，倒不如給任意實數取上 M 這個名字，然後說『比 M 還要大』，這個表達方法也更清晰。如果不管 M 取哪個數，都能找到像例題 8-1 中那樣與 M 對應的 n 的話，就可以說 Hn 一直變大下去。但是，如果對於某個數 M，與之相對應的 n 不存在的話，那麼就不能說 Hn 是一直變大下去的。」
「原來如此……雖然我們繞了個大圈子，但是意思總算是表達清楚了。」泰朵拉喘了口氣。
「嗯，你累了吧？」我說道。
「沒有沒有。——有一點累吧。但是，多虧聽了學長的講解，不知怎麼的，我覺得自己『數學作文的詞彙量』增大了呢。」
「你也很努力啊，泰朵拉。今天就說到這裡吧。快到圖書管理員瑞谷老師出現的時候了。明天放學後我們再一起打開百寶箱的盒子吧。」我提議道。
「好的！學長，我……我很開心！」泰朵拉說。
「嗯，是啊，數學是很有意思的哦。使用數學公式這個新型語言，可以讓表達不再模稜兩可，還可以整理思路。」
「嗯，特別是我和學長一起……嗯，是啊，是這樣的。明天也請多多關照囉！」她說。