米爾嘉看上去很開心。我不知不覺地被她的話所吸引，被她帶到了另一個世界。
啊，對了，我還是得事先說明一下泰朵拉的那件事情。
「米爾嘉，那個，上次坐在我旁邊的那個女生……」我說。
米爾嘉抬起頭，朝我看看。她的臉上閃過一絲驚詫的表情，又立刻將視線轉移到了數學公式上。
「那個女孩是我初中時的學妹。所以……」我解釋道。
「我知道。」她說。
「啊？你知道？」這下輪到我吃驚了。
「你上次說過。」她的頭抬都沒抬。
「所以我有時教她數學。」我繼續說。
「這我也知道。」她說。
我無語。
「不具體說明的話，就不能把自己想表達的意思傳達給別人。」她邊說邊轉了轉自動鉛筆。
◎ ◎ ◎
6.3.1 一次函數 x
不具體說明的話，就不能把自己想表達的意思傳達給別人。我們不考慮抽像的 f(x)，先考慮具體的函數。
比如說，我們來比較一下一次函數 f(x) = x 的微分與差分的區別。
我們先來看微分。
然後我們再來看差分。
微分和差分的答案都為 1，由此可以得出結論：函數 f(x) = x 的微分和差分是相同的。
6.3.2 二次函數 x2
接下來我們討論二次函數 f(x) = x2，看看它的微分和差分是否相同。
首先我們先來看一下微分。
然後我們再來看差分。
x2 的微分是 2x，而差分卻是 2x + 1。這樣一來，微分和差分就和剛才的情況不同，它們的結果不同。真是無聊啊，我們還得再想其他更好的辦法。怎麼做呢？
問題 6-2
定義與連續函數 x2 相對應的離散函數世界中的函數。
「怎麼做呢？」米爾嘉問我。我思考著將微分與差分對應起來的方法，但是，腦海中還是空白一片。當米爾嘉確定從我這裡得不到任何答案時，她自己開始說解答方法。她的聲音聽上去很溫柔。
◎ ◎ ◎
其實呢，原本離散函數世界中幾乎就沒有與連續函數 x2 相對應的函數，所以我們不考慮 x2，來考慮一下離散函數世界中的其他函數。
我們來計算一下 f(x) = (x 0 0)(x 0 1) 的差分。
你看，這下差分和微分的結果是相同的了。
也就是說，連續函數 x2 和離散函數世界中的 (x - 0)(x - 1) 可以互相對應。
我們將 xn 重新考慮成下降階乘冪的形式。可以得到這樣一個對應關係。
如果寫成以下這種比較冗長的形式，它們之間的對應關係就更顯而易見了。
解答 6-2 （離散函數世界中的 x2）
這裡所用的下降階乘冪 
可以定義為以下形式。
下降階乘冪的定義（n 為正整數）
我給你舉例看看。
6.3.3 三次函數 x3
那麼，接下來我們來思考一下三次函數 f(x) = x3。
首先我們先來看微分。
在離散函數世界裡，與 x3 相對應的下降階乘冪為 
。下面我們來算算 x3 的差分。
如果使用下降階乘冪 來表示的話，我們就能讓微分和差分一一對應了。
寫成一般形式是這樣的。
6.3.4 指數函數 ex
剛才我們就與微分運算符號 d 相對應的差分運算符號 △ 進行了定義。接著，我們又充分利用微分和差分之間的對應關係，定義了與冪 xn 相對應的下降階乘冪 。
現在，我們再來討論一下關於指數函數 ex 的問題，也就是討論一下離散函數世界中的指數函數。
問題 6-3
定義與連續函數中指數函數 ex 相對應的離散函數世界中的函數。
正如其表達式所顯示的那樣，指數函數 ex 是一個底數為常數 e，指數為 x 的函數。常數 e 就是自然對數的底數，是一個無理數，它的值為 2.718281828 ... ，這是一個非常重要的知識點。現在我們從另一個視角來觀察這個指數函數。
指數函數 ex 在連續函數的世界中有怎麼樣的性質呢？
指數函數 ex 最重要的一條性質是「進行微分運算後所得的式子仍然不變」。也就是說，將 ex 進行微分運算，所求得的函數就是 ex 本身。也對，e 這個常數就是這樣定義的，所以對 ex 進行微分運算，所求得的函數仍舊是 ex 本身，得到這樣的答案也是理所當然的。
「對 ex 進行微分運算，所求得的函數仍舊是 ex 本身」這個性質如果用微分運算符號 d 來表示的話，就可以表示成以下的微分方程式。
到此為止，我們討論的是連續函數世界中有關指數函數的問題。
接下來，我們要討論離散函數世界中的問題。我們把接下來要求的離散函數世界中的指數函數稱為 E(x)。這樣 E(x) 也有「即使將它進行差分運算，所得的結果仍舊是它本身」這樣一個性質。這個性質如果用差分的運算符號 △ 來表示的話，就可以表示成以下形式，即差分方程。
根據差分運算符號 △ 的定義，我們可以將公式左邊展開。
將這個式子整理後可求得以下推導公式。
當 x 為大於等於 0 的整數時，這個推導公式成立，這就是函數 E(x) 的性質。當等式右側括號內每次遞減 1 時，將右側的式子每步都乘以 2，可以使原式不變。這樣一來我們就很容易求得推導公式的答案了。
也就是說，我們得到了下面的公式。
如何來定義 E(0) 的值呢？因為 e0 = 1，與其相對應的 E (0) 也應該為 1。綜上所述，指數函數 ex 所對應的函數 E(x) 就可以被定義為以下形式。
由此，我們就能得出以下對應關係。
解答 6-3 （指數函數）
因此，離散函數世界中的指數函數就是 2 的冪次方。