高二那年秋天，某天放學後，我在圖書室教泰朵拉數學，是很簡單的公式展開。
我將 
展開成 
給她看後，跟她說只要記住「兩數之和與兩數之差的積是這兩個數平方的差」即可。她說：「我明白了。聽了學長所說的，我覺得自己將以前支離破碎的知識點歸納到了一起。」
這時米爾嘉來了。她徑直走向我們，猛地朝泰朵拉的椅子踢了一腳。「匡」的一聲響得可怕，圖書室裡的學生都不約而同地看向我們這裡。泰朵拉嚇得從位子上跳了起來，狠狠地瞪了米爾嘉一眼便走出了圖書室。我杵在那裡，什麼話也說不出來，只能目送著泰朵拉離開。
米爾嘉像什麼事情都沒有發生過似的把椅子擺好，然後若無其事地坐下看我的練習本，再後來便是氣呼呼地拉我的袖子。她等我坐下後問：「這是公式的展開？」
我回答說，因為學妹問我題目所以剛才教了她。
「這樣啊。」米爾嘉說著，拿過我手中的自動鉛筆，開始轉起筆來。隨後她說，「喂，我們一起來找規律吧。」
4.1.1 找規律
喂，我們一起來找規律吧。從 
的展開式出發，這正好是 的特殊情況。
接著，我們用 
代替式子 中的 (1 + x)。
規律很明顯吧。式子只剩最左端和最右端的部分，推導過程中正負項相互 抵消。如果用豎式計算，規律更是顯而易見。比如說將 
寫成以下形式。你很快就能發現最後只剩下兩端的數字。
令 n 是 0 以上的整數，我們來寫出一般形式。
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……原來如此，我想，但是這也沒什麼特別好玩的。這是常見的展開式的一般化。先暫且不想這些，不知道剛才被米爾嘉踢飛椅子的泰朵拉現在怎樣了。
「到此為止都是很常見的式子吧。」米爾嘉又開始往下說。
4.1.2 等比數列的和
到此為止都是很常見的式子吧。接下去說什麼好呢？——再寫一下剛才的式子吧。
這裡如果兩邊同時除以 1 - x，為了不使分母為 0，我們假設 1 - x 不等於 0。
到現在為止算的都是類似「求積公式」的式子，現在這個式子看上去像「求和公式」。其實，這個是等比數列的求和公式。確切地說，這是首項為 1、公比為 x 的等比數列。也就是說，求 
這個數列從首項第 0 項到第 n 項的和。
那麼，接下來要說什麼呢？
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我對米爾嘉說：「接下來說說等比數列的無窮級數是很自然的吧。」我們不該在計算到第 n 項的有限和時就停下，而是應該求無限和。
米爾嘉微笑著回答說：「是啊。」
4.1.3 向無窮級數進軍
對，我們該考慮無窮級數。
我們先將無窮級數定義為 
，是等比數列的部分和的極限。
x 的絕對值比 1 小時，也就是說 |x| < 1 時，如果 n 趨向於無窮大的話，那麼 
趨向於 0，以下式子也就成立了。
這樣就能求出無窮級數了。|x| < 1 這個條件是 n 趨向於無窮大時， 趨向於 0 的必要條件。
等比數列的無窮級數（等比級數公式）
假設首項第 0 項為 1，公比為 x，|x| < 1。
喂，你不覺得很有趣嗎？左邊是無限延續的數列的和，有無限個項，不可能把每一項都明確地寫出來；而右邊則只有一個分數。只用一個分數來表示無限個項的和，這種濃縮的表達方式真好。
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窗外，天已經黑了。圖書室裡也只剩下我和米爾嘉了。米爾嘉似乎精神特別好，還沒等我回應就直接說：「我們再接著討論一下生成函數。」
4.1.4 向生成函數進軍
我們再接著討論一下生成函數。
從這裡開始我們不討論無限接近於某個數值的情況。首先，讓我們把剛才討論的等比數列的無窮級數想像成關於 x 的函數。
現在，為了讓大家能夠好好觀察這個函數中 x 的 n 次方前面的係數，我們將這些係數明確地寫出來。
就像這樣，各係數形成了 
的無窮數列。於是，我們可以想到以下的對應情況。
也就是說，可將 這一數列和函數 一視同仁。因為 
，所以也可以改寫成以下形式。
這樣的數列和函數的對應關係可以變形為以下這種一般形式。
像這樣與數列相對應的函數叫作生成函數。這是將原先七零八落的無數個項用一個函數歸納出來的式子。我們將生成函數定義為 x 的冪的無限和，也就是冪級數。
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突然米爾嘉停下不說話了。她沉默著，閉上眼，眉毛緊鎖，慢慢地吸氣呼氣，好像在深思著什麼。
我怕打擾米爾嘉，在一旁靜靜地看著她，她那漂亮的唇形，和數列相對應的函數，金邊眼鏡，等比數列的無窮級數……還有生成函數。
正看著，米爾嘉睜開了眼睛。
「剛才我們考慮了與數列相對應的生成函數對吧？」米爾嘉溫柔地問，「如果要求生成函數的有限項代數式的話，那麼這個有限項代數式也和數列一一對應。」
「然後，我簡單想了下……」米爾嘉說著聲音便漸漸小了下來。她好像不想讓別人聽見似的，把頭湊過來，就好像要告訴我一個寶藏所藏的地方那樣神秘。我又聞到那股淡淡的橘子香。
「接下來，我們就在這兩個王國裡漫步吧。」米爾嘉小聲嘀咕著。
我豎起耳朵仔細傾聽那秘密的話語，生怕自己漏聽一句。兩個王國？
「我想徹底掌握數列。但是直接抓住其要害實在太難了。這時，應該先暫且從『數列王國』過渡到『生成函數王國』。然後再穿過『生成函數王國』回到『數列王國』。這樣的話，就能抓住解數列題的關鍵了吧。」她說。
「放學時間到了！」
米爾嘉正說著，突然一個人大聲說道，把我們都嚇了一跳。正沉浸在討論中的我們一點都沒有察覺到圖書管理員就站在我們身後。
數列和生成函數的對應
