「接下來，再給你出道題。」米爾嘉說。
問題 3-3
將以下數列的通項 cn 用 n 來表示。
n012345...cn11
「這個數列是什麼？」我問道。
「嗯？你還不知道啊？」在說這話時，她帶著一種輕視嘲諷的語氣。她直白地表露出，她實在是太吃驚了。她那種口氣就彷彿在說：「你連自己的右手上有 5 個手指頭都不知道嗎？」
看到她這麼吃驚，我感到很丟臉，但我也顧不上這些了，忍著將話題重新拉回到數學上。
「1, 
, 這 3 項循環出現——這樣回答是不是很沒意思啊？」我注視著米爾嘉的面部表情。
「確實是沒有意思。你沒能解開謎底，沒看透其背後的結構，根本就沒有抓住問題的本質。」她潑了我一盆冷水。
「那麼，這個數列的本質到底是什麼呀？」我問道。
「本質當然就是看 1, , 這 3 項到底有什麼規律嘍。但你並沒有發現。這樣，我們用觀察數列的常用方法來做做看。」米爾嘉說。
「觀察數列的常用方法……先來看看階差數列吧。」我在練習本上算起來。
對於數列 
，我們可以考慮以下數列 
。
按照 
的順序依次計算，求出 。
...
嗯，我現在一點都不知道呢。
「怎麼樣？」米爾嘉窮追不捨。如果馬上就能求出解，勝利的曙光就在眼前的話，我會急於往下算。但我現在還正值摸索階段，不能著急不能慌張。
「我還是不明白。」我老老實實地回答。
「那是因為你觀察數列時只會運用階差數列這個常用方法吧。」她笑著對我說。
「要是不求兩項的差，剩下的只有求兩項的比這個方法了吧？」我問。
「那你快做啊。」
好吧好吧……對於 
這個數列，因為 cn 不可能為 0，所以不用擔心分母為 0 時分式無意義的情況。計算後得……
...
「啊 !」整個 
數列全都是 這一項，我不禁大吃一驚。
「有什麼好吃驚的？」她問。
「你看，取了前後兩個數的比後得到的商是相同的。」
「這倒是。數列 是首項 c0 為 1、公比為 的等比數列。其實就是 
這 3 項中任意一項的 3 次方都是 1。也就是說，這 3 項都滿足一元三次方程式 x3 = 1。」
「滿足方程 x3 = 1 啊？」
「是啊。x3 = 1 是個一元三次方程，滿足此方程的複數有 3 個。你知道怎麼解這個方程嗎？」米爾嘉問我。
「嗯，我想我應該會。因為我知道 x = 1 是這個方程的一個解，然後提取（x - 1）這個公因式就可以了。」
「接著呢？」米爾嘉問。
「接下來要解 x2 + x +1 = 0 這個方程式。一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求解公式為 
，使用這個求解公式就可以了。」我邊說邊計算著。
聽了我的解釋，米爾嘉點了點頭。
「是啊。那現在先將 定義為 ω。」
「 ω2 和 相等。」
「1 連續和幾個 ω 相乘後，就形成以下數列。」
「因為 ω3 = 1，所以這個數列又可以寫成以下形式。」
「也就是說， 這個數列就恰巧是數列 ，那麼將 
這 3 個數在複數平面上表示看看。快快快 !」米爾嘉好像很興奮。
「哇 ! 這圖是不是正三角形啊？」我問。
「從數列的週期性聯想到圓是很自然的，根據循環重複的道理求出圖形是圓也是很自然的。那些把這組數列看成是實數軸上的數字的人會認為這些數字只是在『振動』，但如果能把這組數列看成是複數平面上的點的話，就會發現這些數字是在『旋轉』，進而能夠發現這個圖形的結構。對吧？」她問。
解答 3-3
這裡令
米爾嘉的臉頰有點微微泛紅，舌頭也開始打結：「到現在為止，我們討論了 4 等分點和正方形、3 等分點和正三角形。如果將其一般化，也就是關於 n 等分點和正 n 邊形的問題。這就和棣莫弗定理息息相關了。」
棣莫弗定理
「棣莫弗定理的主要內容就是『複數 cosθ + i sinθ 的 n 次方是 cos θ + i sin nθ』。從圖形的角度來說，棣莫弗定理主要說的就是『單位圓上的角 θ 反覆旋轉 n 次後其實就是轉了 nθ』。透過數學公式，我們應該能夠看到單位圓上點的旋轉。」米爾嘉看著我，用手指畫了個圓。
「在棣莫弗定理中，如果 n = 2，立刻就能推導出倍角公式。」
「接下來只需將兩邊的實部和虛部分別畫上等號即可。」米爾嘉繼續說。
「好了，這就是倍角公式了。」米爾嘉說。
「你不是玩過 θ 在矩陣中的旋轉變化嗎？反正是玩，不如將旋轉的點畫成圖形，當作三角函數看，或者再到複數數列裡變化看看，這樣更好玩吧 !」她說。
我完全敗在了米爾嘉的手下，什麼話都說不出來。
「你從 ω3 = 1 這一點就能看出這是單位圓的三等分點了吧；你也能看出 
這個偏角、複數平面上的正三角形，以及由 ω 產生的三拍轉一圈的旋轉了吧；你還能看到 1, ω, ω2 這三個小人在複數平面中舞蹈了吧。」米爾嘉一口氣說完。
「你看到 ω 跳的華爾茲了嗎？」她嫣然一笑。
